北京市通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测数学试卷

通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 题号 3 6 7 8 答案 C B C C 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 5 9 10.顶点坐标为(0,0)或对称轴是y轴 A 9 11 12.m≥4 13,△BCD 14.3 15.5 16.①②④ 三、解答题（本题共68分，第17一24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题 每小题8分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 4 x=- =2 17.解：(1) 2×(-1) …1分 y=-22+4×2-3=1 …2分 顶点坐标为(2，) (2)图象正确： …3分 (3)1<x<3 …5分 18.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ABIIDF. .∠B=∠ECF1s分 :∠BAE=∠CEF」 :.△ABE∽△ECF 2分 (2)解：：△ABE∽△ECF, AB BE ..EC FC, …3分 AB=6,CE=5,BE=3. 63 50000000000000000000 …4分 .FC=2.5 5分 19.(1)解：：AB=AC,D为BC的中点， AD⊥BC, CE⊥BC. .AD//CE. …1分 .△BGD∽△BEC. DG BD :CE BC, D为BC的中点， :.BD=CD=L8C 2 DG BD 1 ·CEBC2 …2分 (2)ADIICE, ∠GAF=∠ECF, :F为AC的中点， ∴.AF=CF 在△AFG和△CFE中 I∠GAF=∠ECF AF=CF ∠AFG=∠CFE ∴.△AFG≌△CFE AG=CE.......... …3分 ∵CE=2, ∴.DG=1,AG=2」 ∴.AD=AG+DG=2+1=3 …4分 :AB=AC=5,D为BC的中点， ∴.AD⊥BC.BC=2DC. 在Rt△ADC中， :DC=AC2-AD2=52-32=4. .BC=2DC=8.. 5分 -b_40=2 20.解：(1)2a2a …1分 令x=0,y=a×0-4a×0+3=3 ·点4的坐标为(0,3)】 …2分 (2)当x=2时，y=a×22-4a×2+3=-4a+3 ·对称轴为直线x=2,点A的坐标为(0,3)， 图象必过点(4,3)， .a<0. ∴.-4a+3>3, 当x=5时，y=a×52-4a×5+3=5a+3 …3分 “点A, B(5,1)为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点， .5a+3>1, 2 .a>- 5 …4分 2 <a<0 ∴.a的取值范围是5 …5分 21.解：(1)AD/BEI/CF .AB DE AC DF …l分 AB=6.BC=8,DF=21, .6DE 6+821, .DE=9 …2分 (2)过点D作ONIIAC,交BE于点M,交CF于点N, ∴.AD∥BE/CF.AD=9 .BM=CN=AD=9,.… …3分 BE//CF ∴.△DME∽△DNF ME DE NF DF .DE:DF=2:5.CF=14, 、ME2 14-95」 ∴ME=2, …4分 ∴.BE=BM+ME=9+2=11 。。。。。。。。。。。。。。。 …5分 2.C1)解：抛物线y=ar+br+4(a≠0)与x轴交于A(-2,0),B4,0)两点， 4a-2b+4=0 16a+4b+4=0 21 a=- 2 b=1 y=- 抛物线的表达式为 2+x+4 …2分 y=- (2),抛物线 2 2+x+4 与y轴交点C的坐标为(0,4) 直线BC的表达式为y=-x+4, …3分 点P是抛物线上一点，其横坐标为m, 点P的坐标为 点B的坐标为m,-m+4) 1 ∴.PE=--m2+2m …4分 PElICO ∴.△PDE∽△ODC PE_PD OC DO. :PD:OD=1:2」 2m+2m 、1 1 2, ∴.m=2 …5分 DE= 23.(1)证明：：BD=2CD 2 BD_AD=2 DC DE …1分 .∠ADB=∠EDC .△ABD∽△ECD.... …2分 2)解：∠BAC=90°，AB=8,AC=6, SAcB4三2AB·AC=24 …3分 BD=2CD S△MDB=DB_2 SAABC BC 3 2 SAAD SAABC =16 …4分 .△ABD∽△ECD 2 S△cDE CD SABDA DE .S△cpE=4 …5分 24.(1)如图所示. 2分 6 4 o123456a (2)4.75: …3分 （3)1; …4分 (4)4. 5分 25.(1)证明：依题意补全图形： …1分 :∠FEC是△BEF的一个外角， .∠FEC=∠BFE+∠B :∠FEC=∠DEF+∠CEG,∠DEF=∠B ∴.∠BFE=∠CEG 2分 又∠ECG=∠B. ∴.△BEF∽△CEG BE BF CG EC, .BE·EC=BF.CG …3分 (2)解：在BC的延长线上取点M,使DM=DC,连接DM. .∠DCM=∠M, …4分 ,四边形ABCD是平行四边形， .AB//CD,DC=AB=5. :.∠B=∠DCM=∠M,DM=5, D :∠FEC=∠DEF+∠DEC=LB+∠BFE,∠DEF=∠B, .∠DEC=∠BFE, …5分 :.△BFE∽△MED EF BE 2 .DE DM 5 6分 x=--3a）3 26.解：(1) 2a 2,… …l分 (2)①若a=1,则该抛物线及直线解析分别为y=x2-3x,y=-x, 当1=3时，可有点P(3,0), :PM⊥x轴， .XM=XN =3 将x=3代入y=2-3x,可得y=3-3×3=0,即M(3,0）,…2分 将x=3代入y=-x,可得y=-3,即V(3,-3) …3分 MN=0--3）=3…4分 1 a≤ ②a的取值范围为”2且a≠0 …6分 27.(1)如图，过点D作DM⊥AB于点M,…1分 :DE⊥BC,BD平分∠ABC, DM =DE....... …2分 在Rt△BDM和Rt△BDE中， DM=DE BD=BD :Rt△BDM≌Rt△BDE, BM=BE,。…3分 :EF⊥AB,DG⊥EF, :.∠DGF=∠GFM=∠DMF=90° 四边形DGFM是矩形，… …4分 ..DG=FM, .BM=BF+FM=BF+DG」 .BE BF+DG........ …5分 (2)解：EF⊥AB,DG⊥EF ∠BFH=∠DGH=90°. ∠BHF=∠DHG ∴.△BHF∽△DHG :DG、GH BF FH, GH 1 ·FH2, DG 1 BF2,… …6分 设DG=x,则BF=2x, 由(1)得，BE=BF+DG, .BE =3x 在Rt△BEF中，由勾股定理得：EF=VBE2-BF2=V5x,7分 :∠DEG+∠BEF=90°，∠EBF+∠BEF=90°， ∴.∠DEG=∠EBF,且∠BFE=∠DGE=90°， ∴.△BEF∽△EDG BE EF 5x=5 DE DG x …8分 28.解：(1)抛物线C的对称轴为直线x=1, b= 2a ∴.2a+b=0 …1l分 (2)抛物线c经过点(2,1)， .4a+2b+a=1,… …2分 又由(1)得2a+b=0 解得a=1,b=-2, 一抛物线C的表达式为y=x2-2x+1 …3分 :将点4(0，)向右平移2n>0)个单位长度得到点A,将点A(0,)向左平移>0)个单位长度得到 点4， 4(2n,).4（-n,t) …4分 :点A,A恰好都落在抛物线C上， A(2n,).A,（-n,)关于直线x=1对称， 2n-n=1 2 解得n=2, …5分 4(4,) 把4(4，)代入y=x-2x+1,得t=16-8+1=9 …6分 14 ≤a< (3)3 3 …8分 通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 学校             班级             姓名             考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．如果线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么d的值是 A．1．5 B．4 C．6 D．8 2．将抛物线竖直向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为 A． B． C． D． 3．如图，小郑在做"小孔成像"实验时，蜡烛到挡板（钻有小孔）的距离与挡板到屏幕的距离之比是，如果烛焰AC的高是，那么实像DB的高是 A．12cm B．6cm C．8cm D．5cm 4．已知二次函数（k为常数），如果点，，都在该函数的图象上，那么，，的大小关系是 A． B． C． D． 5．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点在小正方形顶点位置，AB，AC与格线分别交于点D，E，连接DE，那么DE的长是 A．1 B．2 C． D． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于O、A两点，将二次函数的图象竖直向上平移m（m>0）个单位长度后所得的图象与x轴有两个交点，且这两个图象与x轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么m的值是 A．18 B．16 C．2 D． 7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴只有一个交点，且经过点 ，，那么n的值是 A．1 B．0 C．9 D．4 8．如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点A作，垂足为F，交BC于点E，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是 A．①② B．②③ C．①③ D．① 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9．如果，那么的值是                        ． 10．已知抛物线，，，请写出一条它们共有的性质：                        ． 11．如图，四边形ABCD是平行四边形，的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F． 如果，，那么和的面积之比是                        ． 12．抛物线，当时，y随x增大而减小，那么m的取值范围是                        ． 13．如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D 也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这 个三角形是                        ． 14．如图，二次函数的图象与二次函数y₂的图象关于y轴对称，一条平行于 x轴的直线与y₁，y₂的图象共有四个交点，从左到右依次记为A、B、C、D，当 时，那么                        ． 15．如图，P是的平分线OC上一定点，D是线段OP的中点，于点E．如果 ，点F是射线OB上的一个动点．那么PF的最小值为                        ． 16．已知二次函数（a为常数）的对称轴为直线，有下列结论：①顶点坐 标为（1，2）；②当时，y随x的增大而增大；③当时，函数的最大值为3；④该图 象与x轴没有交点．其中所有正确结论的序号是                        ． 三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 18．如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 19．如图，在中，，为的中点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求的值； （2）如果，，求的长． 20．已知二次函数的图象与y轴交于点A． （1）求该函数图象的对称轴及点A的坐标； （2）若以点A，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，求a的取值范围． 21．如图，已知，它们依次交直线、于点A，B，C和点D，E，F． （1）如果，，，求DE的长； （2）如果，，，求BE的长． 22．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）作直线BC，P是直线BC上方抛物线上一点，其横坐标为m．过点P作PE平行于y轴，交直线BC于点E，连接OP交BC于点D．如果，求m的值． 23．如图，在中，点D在BC上，且，连接AD并延长到点E，使，连接CE． （1）求证：； （2）如果，，，求的面积． 24．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端B处，表演成功．如果将演员身体（可看成一点）运动的路线可以看作是抛物线的一部分． 设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米，现记录了某一次表演几组数据如下： d（米） 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 h（米） 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 根据上述函数模型和数据解决以下问题： （1）在下边的平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为                        米； （3）直接写出起跳点A距离地面的高度是                        米； （4）在这次表演中，已知人梯的高度是3.40米．问此次表演中人梯移动到距离起跳点A的水平距离为                        米时，表演成功． 25．如图，在中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点，且． （1）作交线段DE于点G，求证：； （2）如果，，求的值． 26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，直接写出a的取值范围． 27．如图，点D在的平分线上，过点D作于点E，过点E作于点F，交BD于点H，过点D作于点G． （1）请用等式表示线段DG，BF，BE的数量关系，并证明； （2）如果，求的值． 28．已知抛物线的对称轴为直线． （1）求代数式的值； （2）若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值； （3）将抛物线在间的图象记为，如果图象与直线始终有2个交点，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $