大题08 数列、集合、函数新定义综合讲义-2027届高三数学一轮复习

大题08 新定义综合（数列+集合+函数） 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 2 2024/2025/2026高考真题 4 易错点速查清单 6 速记口诀 7 典例讲解之会一题通一类 9 解答题专项题组A（基础回归） 12 解答题专项题组B（能力提升） 14 解答题专项题组C（思维拓展） 17 公式定理汇总 一、定义拆解的五步操作 第一步：圈出对象。 定义作用于什么？是数列的项、集合的元素、函数的取值，还是数阵中的位置？ 第二步：圈出关系。 对象之间满足什么运算或比较？加法、乘法、大小、包含、整除、等差构造？ 第三步：圈出量词。 “对任意”与“存在”必须区分并写出；充要条件与必要条件不可颠倒。 第四步：圈出范围。 变量的定义域、正负、整数性、是否包含端点。 第五步：用一句话复述定义。 如果不能用一句话说清“什么样的对象叫做什么”，说明定义还没有读进去。 书写要求：解答题第一问即使只要求“判断”，也应先写出你对定义的翻译，例如“根据定义， 满足性质 当且仅当对任意……都有……”，再代入验证。这一步既是拿步骤分，也是防止后续用错定义。 二、定义翻译的三种去向 新定义只是“外壳”，翻译后必然落到高中已学的某一类问题上。 去向一：数列语言。 若定义涉及项的递推、项的相等或大小、子列、周期、分组，翻译方向是通项、递推关系、单调性、前 项和或项与项之间的不等式。2024年新课标Ⅰ卷的“可分数列”本质上是将等差数列的项重新分组，核心仍是等差数列的项结构。 去向二：集合语言。 若定义涉及元素的选取、包含、交并补、元素个数，翻译方向是集合的运算与计数。2024年北京卷的序列变换题，操作对象是数列，但每一步变换的实质是“指标集上的加1”，需要从集合运算的角度理解“哪些项被改变”。 去向三：函数语言。 若定义涉及对应关系、取值大小、单调、最值、零点，翻译方向是函数的单调性、值域、方程根的分布。2026年全国Ⅰ卷函数新定义题需要集合包含关系与反证法，而不是默认走导数路线。 书写要求：翻译后写一句“该定义等价于……”，把新语言换成旧语言。如果翻译不出来，回到定义做特例代入。 三、特例代入的取法 当定义抽象、直接推理无从下手时，取特例不是“猜”，而是通过具体实例暴露定义的结构。 取最小合法对象：，集合取单元素或空集，数列取常数列或公差为1的等差数列，函数取一次函数或常函数。 取边界对象：取使条件“恰好成立”或“恰好不成立”的对象，观察分界在哪里。若定义涉及“至少”“不超过”“整除”，边界值的处理往往是后续分类讨论的标准。 取对比对象：构造一个满足定义的对象和一个不满足定义的对象，比较二者在哪个条件上分岔。这个分岔点就是推理的入口。 书写要求：特例代入后写“取……，则……，可见定义要求的是……，排除的是……”。特例结论不能直接当作一般性证明，但可以作为分类讨论的线索。 四、第一问的判断型回答模板 新定义题第一问通常是“判断某对象是否满足定义”或“写出所有满足条件的对象”。判断型的回答结构：先复述定义的关键条件，再逐条验证，最后下结论。列举型的回答结构：先由特例或小范围枚举锁定候选，再逐一验证，最后写“经检验，满足条件的为……”。第一问分值必须拿满，不能因为“简单”而省略验证过程。 书写要求：判断型写“因为……满足定义中的条件①，……满足条件②，……满足条件③，所以……”。列举型写“当……时，……；当……时，……；经检验，只有……满足全部条件”。 常用结论、二级结论归纳 路径1：定义条件 → 递推或通项 触发信号：定义中出现“对任意 ， 由 按某规则确定”“相邻项满足某关系”“序列由前一序列变换得到”。 转化动作：把定义中的文字规则写成含 的等式或不等式，必要时对 赋值 写出前几项，观察是否可化为等差、等比或可累加的结构。若递推式中出现 或分段条件，分类按 的奇偶处理。 书写要求：写出“由定义，（）”，再写“取 ，得 ；取 ，得 ”。不能只写最终通项而不展示由定义到递推的翻译过程。 路径2：定义条件 → 集合的包含、交并或计数 触发信号：定义中出现“集合 中的元素满足……”“若 ，则……”“ 中至少有 个元素”。 转化动作：把定义中的条件写成元素属于或不属于某个集合的判定条件，必要时画出韦恩图或列出小规模集合的成员。涉及“最多”“至少”时，转化为集合的基数不等式；涉及“存在”时，转化为交集非空；涉及“任意”时，转化为包含关系。 书写要求：写“由定义，”，再写“因此 ”。集合运算的结果必须回扣定义中的命名，不能只写运算结果而不说明它满足什么新性质。 路径3：定义条件 → 函数的单调、最值或方程根 触发信号：定义中出现“函数 满足 ”“ 的值域包含……”“方程 在区间内有 个根”。 转化动作：把定义中的比较关系写成 的符号或 的符号；把“值域包含”写成最值与目标区间的关系；把“根的个数”转化为函数图象与水平线的交点个数。注意新定义函数未必可导，优先用定义作差，不要默认求导。 书写要求：写“由定义，对任意 ，有 ，所以 在……上单调不减”。若用导数，应说明可导性；若不可导，回到作差。 路径4：定义条件 → 分类讨论的标准 触发信号：定义中含有多个并列条件，或条件中含有绝对值、分段、整数约束、奇偶约束。 转化动作：从定义中提取“使条件改变性质”的参数或变量作为分类标准。常见标准： 的奇偶，参数与0的大小，判别式与0的大小，根是否在定义域内，集合是否为空。分类必须覆盖定义允许的全部对象，且各类互斥。 书写要求：写“按……分类：①当……时，……；②当……时，……”。每一类都要回到定义检验，不能只在一类中完成推理就默认其余类同理。 路径5：定义条件 → 充要条件证明 触发信号：第三问出现“证明：‘存在……’的充要条件是‘……’”。 转化动作：拆成“充分性”和“必要性”两段。充分性：假设条件成立，构造或推导出结论中的对象存在；必要性：假设结论中的对象存在，反推条件成立。充要条件证明中，反证法和构造法是常用工具，但构造必须回代定义验证。 书写要求：写“先证充分性：若……，则……；再证必要性：若……，则……”。不能只证一个方向就写“充要条件得证”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·北京·高考真题）设是如下形式的行列的数表： 其中位于第行第列的数记为，且． 若对任意的和，当，且时，均有，则称数表具有性质． (1)分别判断数表和是否具有性质；（只需写出结论） (2)当，时，若数表具有性质，求中1的个数的最大值； (3)当时，若数表具有性质，且，证明： 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 3．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 4．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 易错点速查清单 易错点1：第一问只写结论，不写验证过程 学生典型错误：判断型第一问直接写“是”或“不是”，不列定义条件逐条对照。 成因分析：误以为第一问“送分”不需要过程，但评分标准按条件验证给步骤分。 纠正要求：判断型必须写“条件①：……成立；条件②：……成立；条件③：……成立，所以满足定义”。列举型必须写候选的筛选过程和逐一检验。 易错点2：把“任意”与“存在”写反 学生典型错误：定义要求“对任意 成立”，证明时只验证了几个特例；或定义要求“存在 ”，却试图证明对所有 成立。 成因分析：量词在定义中位置不同，证明方向完全不同。 纠正要求：读定义时把“任意”“存在”圈出并抄在草稿纸上。证明“任意”用全称推理，证明“存在”用构造或取值。 易错点3：默认新定义函数可导，直接求导走偏 学生典型错误：看到函数新定义，不判断可导性，直接求导。 成因分析：2026年全国Ⅰ卷的函数新定义题需要用集合包含和反证法，导数并非有效路径。 纠正要求：先判断定义给出的函数是否可导、是否便于求导；不可导或求导无用时，回到定义作差或集合翻译。 易错点4：分类讨论漏掉初始值或空集 学生典型错误：数列新定义中直接用 的递推，不验证 ；集合新定义中不考虑空集。 成因分析：定义的范围可能包含初始项或空集，遗漏会导致分类不全。 纠正要求：分类前列出定义允许的全部情形，特别检查 、空集、端点值、零。 易错点5：反证法假设写错 学生典型错误：要证“单调递增”，反证假设写成“存在 ，使 ”，与正确否定混淆。 成因分析：对“单调递增”的否定形式不熟。 纠正要求：“对任意 ，”的否定是“存在 ，使 ”。写反证假设前先把原命题的量词和不等号写清。 易错点6：构造性证明只构造不验证 学生典型错误：充要条件或存在性证明中，写出一个构造对象后直接写“所以存在”，不回代定义检验。 成因分析：构造出的对象可能不满足定义的全部条件。 纠正要求：构造后写“经检验，该对象满足定义中的条件①……②……③……，所以存在”。 易错点7：把新定义中的符号当作旧符号使用 学生典型错误：定义中出现 、距离、点积等符号，直接按旧含义计算。 成因分析：新定义赋予了符号新的运算规则，旧规则不适用。 纠正要求：凡定义中出现的符号，一律按定义给出的规则运算；在草稿上写出“本题中 ”，再代入。 易错点8：第三问完全不写，放弃步骤分 学生典型错误：读不懂第三问，整题空白。 成因分析：新定义题第三问虽难，但定义复述、特例验证、充分性或必要性单方向证明都可能得分。 纠正要求：即使完整证明写不出，也应写出：定义的关键条件、由第二问得到的性质、充分性（或必要性）的尝试、特例检验。步骤分按逻辑节点给，不按最终结论给。 速记口诀 新定义题的考场策略与常规解答题不同：第一问必须满，第二问争取完，第三问写节点。口诀按时间顺序排列。 口诀一：读定义 圈对象，圈关系，量词范围别漏记； 一句话，能复述，才算定义读进去。 口诀二：做翻译 新语言，旧去向：数列递推集合算，函数单调方程看； 翻不动，取特例，最小边界对比试。 口诀三：第一问 第一问，是底线，判断列举写条件； 条件逐条验一遍，步骤分比结论先。 口诀四：第二问 第二问，找标准，分类互斥又周全； 奇偶零正空集端，每类回代定义看。 口诀五：第三问 第三问，写节点：定义复述放最前； 充分必要拆两段，构造之后必回验； 全证不出不空白，关键步骤也是分。 口诀六：量词与反证 任意成立全称推，存在成立构造陪； 反证假设先否定，量词不等号一起对。 口诀七：时间分配 读定义，三分钟，圈画翻译再动笔； 第一问，五分钟，验证过程不能省； 第二问，十分钟，分类讨论按标准； 第三问，留五分，能写几步写几步。 口诀八：收尾检验 写完答案回头验：定义条件是否全？ 范围端点是否漏？量词方向是否反？ 检验通过再收笔，新定义题不丢冤。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·广东梅州·模拟预测）对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． (1)判断，和是否为完全集合（无需证明）； (2)若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； (3)设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 8．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 9．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 10．（2026·山东济南·模拟预测）已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. (1)若，求的最大值（结果用表示）； (2)若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； (3)若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 11．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：； (3)将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值． 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为k的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 13．（2026·山东滨州·二模）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 14．（2026·广东·模拟预测）如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． (1)若与有“点”，求的值； (2)证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； (3)若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 15．（2026·山东·模拟预测）已知函数的定义域为，集合，若对于任意，任意，总有，则称函数具有“性质”． (1)设，，，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，，，若具有性质，求实数的范围； (3)函数的定义域为，其导函数为，当时，恒有，，证明：具有性质的充分条件为具有性质． 16．（2026·江苏·模拟预测）对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． (1)若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； (2)设，，，求证：是的“从属函数”； (3)设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 解答题专项题组A（基础回归） 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知实数，函数的定义域为，若函数满足： ①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立， 则称为“积轴函数”． (1)设，证明：是“1积轴函数”； (2)设，且是“积轴函数”，求实数的值． 18．（25-26高三·全国·三轮复习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． (1)若，，求和． (2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 19．（2026·黑龙江·模拟预测）已知函数的定义域为，为其导函数． (1)若，，则称为上的“导优函数”．判断是否是上的“导优函数”，说明理由； (2)若，，则称为上的“优导函数”．已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数，，若存在一个正实数，对，，满足，则称是的“-陪伴函数”.已知，判断函数是否为函数的“-陪伴函数”，并说明理由，若为“-陪伴函数”，求的最小值. 21．（2026高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 22．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 23．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 24．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 解答题专项题组B（能力提升） 25．（26-27高三上·浙江·阶段检测）设集合，，若存在非空集合，，满足，，则称，是集合的一个划分．记为任意非空集合的所有元素之和． (1)当时，求集合的一个划分，，使得； (2)当时，是否存在集合的一个划分，，使得．若存在，求出，；若不存在，说明理由； (3)若集合存在一个划分，，使得，求满足条件的所有正整数． 26．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 27．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数和其导函数定义域均为且曲线连续不断．对任意，定义集合：． (1)若，求； (2)若存在，使得，证明：； (3)若实数满足对于任意，都有． （i）证明：对于任意，若，则； （ii）若存在，使得，证明：． 28．（26-27高三上·江苏扬州·期中）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． (1)求函数的不动点； (2)若定义在上的函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； (3)设常数，函数，满足，，，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． 29．（26-27高三上·重庆·开学考试）我们把函数 的 阶导数记为 ，已知 的导数为 ，则 . (1)若函数 的图象在点 处的斜率为 ，求 . (2)已知 ， ， 为常数. ① 若函数 ，求 在 上的零点个数； ②若函数 ， 证明: . 30．（2026·浙江·二模）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. (1)试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；    ②；    ③； (2)已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； (3)求证：. 31．（26-27高三上·山西·阶段检测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”． (1)设，，证明：为有界数列； (2)若，，证明：为有界数列； (3)设数列是有界数列，，，…，，且，求的最大可能值． 32．（26-27高三上·浙江·阶段检测）设数列为等比数列，对集合，，，…，，定义．已知，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意正整数，若，求证：； (3)若，，且，求证：． 33．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义． (1)若，，写出，的值； (2)若，求； (3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列． 34．（2026·湖南·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列． (1)若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由． (2)若为的衍生数列，证明：． (3)若为的衍生数列，证明：． 解答题专项题组C（思维拓展） 35．（26-27高三上·山东济宁·开学考试）对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，．对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． (1)是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； (2)给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为．求的最大值． 36．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 37．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在实数，使，其中为非零常数，则称为“的定积点”．已知，． (1)若任意实数均为“的2定积点”．求证：为周期函数； (2)若为“的定积点”，且只有两个不同的解，求实数的值； (3)设，若“的1定积点”恰有3个，求实数的取值范围． 38．（2026·河南郑州·一模）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． (1)设函数求在上的最大“点”； (2)判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； (3)若函数在上不存在“点”，求的取值范围. 39．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 40．（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 41．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. (1)若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； (2)记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. 42．（26-27高三上·湖南·开学考试）对所有满足且的数列，记为满足的的最小值（若不存在，则记）． (1)若，求的可能取值； (2)证明：若，则； (3)求． 43．（2026·江苏·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题： 已知数列满足，记为的前项和. (1)若，求的值； (2)若，求满足不等式的所有正整数； (3)若，证明：当时，. 44．（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为. (1)设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； (2)已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）. 45．（2026·河北衡水·模拟预测）设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足：，恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. (1)数列：1，，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. (2)若，是数列，且，求的最小值. (3)若，是数列，且，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题08 新定义综合（数列+集合+函数） 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 2 2024/2025/2026高考真题 4 易错点速查清单 21 速记口诀 23 典例讲解之会一题通一类 24 解答题专项题组A（基础回归） 45 解答题专项题组B（能力提升） 53 解答题专项题组C（思维拓展） 72 公式定理汇总 一、定义拆解的五步操作 第一步：圈出对象。 定义作用于什么？是数列的项、集合的元素、函数的取值，还是数阵中的位置？ 第二步：圈出关系。 对象之间满足什么运算或比较？加法、乘法、大小、包含、整除、等差构造？ 第三步：圈出量词。 “对任意”与“存在”必须区分并写出；充要条件与必要条件不可颠倒。 第四步：圈出范围。 变量的定义域、正负、整数性、是否包含端点。 第五步：用一句话复述定义。 如果不能用一句话说清“什么样的对象叫做什么”，说明定义还没有读进去。 书写要求：解答题第一问即使只要求“判断”，也应先写出你对定义的翻译，例如“根据定义， 满足性质 当且仅当对任意……都有……”，再代入验证。这一步既是拿步骤分，也是防止后续用错定义。 二、定义翻译的三种去向 新定义只是“外壳”，翻译后必然落到高中已学的某一类问题上。 去向一：数列语言。 若定义涉及项的递推、项的相等或大小、子列、周期、分组，翻译方向是通项、递推关系、单调性、前 项和或项与项之间的不等式。2024年新课标Ⅰ卷的“可分数列”本质上是将等差数列的项重新分组，核心仍是等差数列的项结构。 去向二：集合语言。 若定义涉及元素的选取、包含、交并补、元素个数，翻译方向是集合的运算与计数。2024年北京卷的序列变换题，操作对象是数列，但每一步变换的实质是“指标集上的加1”，需要从集合运算的角度理解“哪些项被改变”。 去向三：函数语言。 若定义涉及对应关系、取值大小、单调、最值、零点，翻译方向是函数的单调性、值域、方程根的分布。2026年全国Ⅰ卷函数新定义题需要集合包含关系与反证法，而不是默认走导数路线。 书写要求：翻译后写一句“该定义等价于……”，把新语言换成旧语言。如果翻译不出来，回到定义做特例代入。 三、特例代入的取法 当定义抽象、直接推理无从下手时，取特例不是“猜”，而是通过具体实例暴露定义的结构。 取最小合法对象：，集合取单元素或空集，数列取常数列或公差为1的等差数列，函数取一次函数或常函数。 取边界对象：取使条件“恰好成立”或“恰好不成立”的对象，观察分界在哪里。若定义涉及“至少”“不超过”“整除”，边界值的处理往往是后续分类讨论的标准。 取对比对象：构造一个满足定义的对象和一个不满足定义的对象，比较二者在哪个条件上分岔。这个分岔点就是推理的入口。 书写要求：特例代入后写“取……，则……，可见定义要求的是……，排除的是……”。特例结论不能直接当作一般性证明，但可以作为分类讨论的线索。 四、第一问的判断型回答模板 新定义题第一问通常是“判断某对象是否满足定义”或“写出所有满足条件的对象”。判断型的回答结构：先复述定义的关键条件，再逐条验证，最后下结论。列举型的回答结构：先由特例或小范围枚举锁定候选，再逐一验证，最后写“经检验，满足条件的为……”。第一问分值必须拿满，不能因为“简单”而省略验证过程。 书写要求：判断型写“因为……满足定义中的条件①，……满足条件②，……满足条件③，所以……”。列举型写“当……时，……；当……时，……；经检验，只有……满足全部条件”。 常用结论、二级结论归纳 路径1：定义条件 → 递推或通项 触发信号：定义中出现“对任意 ， 由 按某规则确定”“相邻项满足某关系”“序列由前一序列变换得到”。 转化动作：把定义中的文字规则写成含 的等式或不等式，必要时对 赋值 写出前几项，观察是否可化为等差、等比或可累加的结构。若递推式中出现 或分段条件，分类按 的奇偶处理。 书写要求：写出“由定义，（）”，再写“取 ，得 ；取 ，得 ”。不能只写最终通项而不展示由定义到递推的翻译过程。 路径2：定义条件 → 集合的包含、交并或计数 触发信号：定义中出现“集合 中的元素满足……”“若 ，则……”“ 中至少有 个元素”。 转化动作：把定义中的条件写成元素属于或不属于某个集合的判定条件，必要时画出韦恩图或列出小规模集合的成员。涉及“最多”“至少”时，转化为集合的基数不等式；涉及“存在”时，转化为交集非空；涉及“任意”时，转化为包含关系。 书写要求：写“由定义，”，再写“因此 ”。集合运算的结果必须回扣定义中的命名，不能只写运算结果而不说明它满足什么新性质。 路径3：定义条件 → 函数的单调、最值或方程根 触发信号：定义中出现“函数 满足 ”“ 的值域包含……”“方程 在区间内有 个根”。 转化动作：把定义中的比较关系写成 的符号或 的符号；把“值域包含”写成最值与目标区间的关系；把“根的个数”转化为函数图象与水平线的交点个数。注意新定义函数未必可导，优先用定义作差，不要默认求导。 书写要求：写“由定义，对任意 ，有 ，所以 在……上单调不减”。若用导数，应说明可导性；若不可导，回到作差。 路径4：定义条件 → 分类讨论的标准 触发信号：定义中含有多个并列条件，或条件中含有绝对值、分段、整数约束、奇偶约束。 转化动作：从定义中提取“使条件改变性质”的参数或变量作为分类标准。常见标准： 的奇偶，参数与0的大小，判别式与0的大小，根是否在定义域内，集合是否为空。分类必须覆盖定义允许的全部对象，且各类互斥。 书写要求：写“按……分类：①当……时，……；②当……时，……”。每一类都要回到定义检验，不能只在一类中完成推理就默认其余类同理。 路径5：定义条件 → 充要条件证明 触发信号：第三问出现“证明：‘存在……’的充要条件是‘……’”。 转化动作：拆成“充分性”和“必要性”两段。充分性：假设条件成立，构造或推导出结论中的对象存在；必要性：假设结论中的对象存在，反推条件成立。充要条件证明中，反证法和构造法是常用工具，但构造必须回代定义验证。 书写要求：写“先证充分性：若……，则……；再证必要性：若……，则……”。不能只证一个方向就写“充要条件得证”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·北京·高考真题）设是如下形式的行列的数表： 其中位于第行第列的数记为，且． 若对任意的和，当，且时，均有，则称数表具有性质． (1)分别判断数表和是否具有性质；（只需写出结论） (2)当，时，若数表具有性质，求中1的个数的最大值； (3)当时，若数表具有性质，且，证明： 【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质； (2)由题设知，若数表具有性质， 则当，且时，，，，中恰有2个1． 当，时，数表中满足，且的，，，包括下列四组： ，，，；，，，；，，，；，，，． 上述四组数中恰有8个1． 数表中还剩余4个数，，，，其中1的个数至多为4． 所以数表中1的个数至多为． 取下列4行5列的数表： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 经验证，该数表具有性质，且其中1的个数为12． 综上可知，数表中1的个数的最大值为12． (3)定义集合． 因为，所以当或时，，即．    ① 下面证明，当数表具有性质时，其具有以下性质． 性质：对任意的和，当，且时，若（i）；（ii）；（iii）；（iv）中任意三个成立，则第四个也成立． 不妨设（i）（ii）（iii）成立，即，，． 由题设，，则，，，中有两个为1，两个为． 所以． 所以．故成立． 其余情况同理可证．所以性质成立． 令，，，，依次使用性质． 当时，因为，，，所以． 当时，因为，，，所以． 当时，以此类推，可得，． 所以．同理可证． 所以当或时，．    ② 令，，，，由①②，依次使用性质、 同理可证与． 所以当或时，．    ③ 令，，，，由①③，依次使用性质． 同理可证与． 所以当或时，．    ④ 因为，，，所以．同理． 因为，，，所以． 因为，，，所以． 所以，，，．    ⑤ 由①②③④⑤，得． 即． 【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质. （2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达. （3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，逐步完成证明. 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． （2）略 （3）略 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 3．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】(1)没有，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； (2) (3)证明：充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【详解】（1）函数不具有“性质”，理由略； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； （3）略. 4．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是，理由为： ，，则不是中的元素. (2)； (3) 证明：对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）略 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2) 证明：必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）略 （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2) 由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. (3) 定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 易错点速查清单 易错点1：第一问只写结论，不写验证过程 学生典型错误：判断型第一问直接写“是”或“不是”，不列定义条件逐条对照。 成因分析：误以为第一问“送分”不需要过程，但评分标准按条件验证给步骤分。 纠正要求：判断型必须写“条件①：……成立；条件②：……成立；条件③：……成立，所以满足定义”。列举型必须写候选的筛选过程和逐一检验。 易错点2：把“任意”与“存在”写反 学生典型错误：定义要求“对任意 成立”，证明时只验证了几个特例；或定义要求“存在 ”，却试图证明对所有 成立。 成因分析：量词在定义中位置不同，证明方向完全不同。 纠正要求：读定义时把“任意”“存在”圈出并抄在草稿纸上。证明“任意”用全称推理，证明“存在”用构造或取值。 易错点3：默认新定义函数可导，直接求导走偏 学生典型错误：看到函数新定义，不判断可导性，直接求导。 成因分析：2026年全国Ⅰ卷的函数新定义题需要用集合包含和反证法，导数并非有效路径。 纠正要求：先判断定义给出的函数是否可导、是否便于求导；不可导或求导无用时，回到定义作差或集合翻译。 易错点4：分类讨论漏掉初始值或空集 学生典型错误：数列新定义中直接用 的递推，不验证 ；集合新定义中不考虑空集。 成因分析：定义的范围可能包含初始项或空集，遗漏会导致分类不全。 纠正要求：分类前列出定义允许的全部情形，特别检查 、空集、端点值、零。 易错点5：反证法假设写错 学生典型错误：要证“单调递增”，反证假设写成“存在 ，使 ”，与正确否定混淆。 成因分析：对“单调递增”的否定形式不熟。 纠正要求：“对任意 ，”的否定是“存在 ，使 ”。写反证假设前先把原命题的量词和不等号写清。 易错点6：构造性证明只构造不验证 学生典型错误：充要条件或存在性证明中，写出一个构造对象后直接写“所以存在”，不回代定义检验。 成因分析：构造出的对象可能不满足定义的全部条件。 纠正要求：构造后写“经检验，该对象满足定义中的条件①……②……③……，所以存在”。 易错点7：把新定义中的符号当作旧符号使用 学生典型错误：定义中出现 、距离、点积等符号，直接按旧含义计算。 成因分析：新定义赋予了符号新的运算规则，旧规则不适用。 纠正要求：凡定义中出现的符号，一律按定义给出的规则运算；在草稿上写出“本题中 ”，再代入。 易错点8：第三问完全不写，放弃步骤分 学生典型错误：读不懂第三问，整题空白。 成因分析：新定义题第三问虽难，但定义复述、特例验证、充分性或必要性单方向证明都可能得分。 纠正要求：即使完整证明写不出，也应写出：定义的关键条件、由第二问得到的性质、充分性（或必要性）的尝试、特例检验。步骤分按逻辑节点给，不按最终结论给。 速记口诀 新定义题的考场策略与常规解答题不同：第一问必须满，第二问争取完，第三问写节点。口诀按时间顺序排列。 口诀一：读定义 圈对象，圈关系，量词范围别漏记； 一句话，能复述，才算定义读进去。 口诀二：做翻译 新语言，旧去向：数列递推集合算，函数单调方程看； 翻不动，取特例，最小边界对比试。 口诀三：第一问 第一问，是底线，判断列举写条件； 条件逐条验一遍，步骤分比结论先。 口诀四：第二问 第二问，找标准，分类互斥又周全； 奇偶零正空集端，每类回代定义看。 口诀五：第三问 第三问，写节点：定义复述放最前； 充分必要拆两段，构造之后必回验； 全证不出不空白，关键步骤也是分。 口诀六：量词与反证 任意成立全称推，存在成立构造陪； 反证假设先否定，量词不等号一起对。 口诀七：时间分配 读定义，三分钟，圈画翻译再动笔； 第一问，五分钟，验证过程不能省； 第二问，十分钟，分类讨论按标准； 第三问，留五分，能写几步写几步。 口诀八：收尾检验 写完答案回头验：定义条件是否全？ 范围端点是否漏？量词方向是否反？ 检验通过再收笔，新定义题不丢冤。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·广东梅州·模拟预测）对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． (1)判断，和是否为完全集合（无需证明）； (2)若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； (3)设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】(1)和是完全集合，不是完全集合. (2)中的元素个数的最小值为7. (3)对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【详解】（1）集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. （2）设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. （3）略. 8．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）从个数中取个数求和，全体总和减掉剩下的1个元素，即子集和，内4个数相加等于，代入直接计算求解； （2）是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数，令得出，由是整数，故必为整数，分情况讨论求出最大数与最小数的和，进而得出集合； （3）当时，记，表示集合，记取出的数中最小值为，记是从中均匀随机选取的的元素的最大值，利用组合概率与组合恒等式求，利用期望的性质求出． 【详解】（1）当时，是4个正整数， 是这4个正整数中任取其中3个数的和构成的集合，且集合恰好有4个数， 由条件可知，这4个正整数互不相同， 令， 则，解得，即． （2）当时，是9个正整数， 是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数． 由条件可知，这9个正整数中必有2个数或者1个数重复， 令，则，其中， 整理可得，由是整数，故必为整数， ①当，满足为整数，所以， 中最大的数为：，最小数为， 故它们的和为； ②当或者，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，故它们的和为； ③当，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，所以它们的和为； 综上，中的最大数与最小数的和所有可能的集合为． （3）当时，记， 且， 从集合中随机取出个不同的数（等可能），记取出的数中最小值为， 记是从中均匀随机选取的个的最大值， 则， 共有种取法，， ， 又， ， 方法一： ． 方法二：可理解为从个不同的元素里选出个元素的总的方案数， 可理解为按选出的个元素里最大的那个元素来分类计算： 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 所有情况加在一起，即成立， 即． 而． 9．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 【答案】(1)， (2)因为 为奇数，故至少存在一个，使得为奇数， 从而也为奇数，不能被整除. 即，命题成立. (3)当时，数列为 ，，，，，⋯，1， 或，，，，⋯，，1. 当时，数列为 ，，，，⋯2，，1， 或，，，，⋯，，2，，1. 【分析】（1）根据“制约集”的定义可求； （2）通过证，得到至少存在一个，使得为奇数，从而也为奇数，进而得证； （3）先利用最大下标条件：从开始，因为 且差的绝对值小于 n，所以，从而只能是或；再递推构造更小规模的数列：将问题规模从 降到，建立一一对应，从而证明满足条件的数列个数与 时相同，即总是2个；具体写出这两个数列：通过正向递推或逆向递推，利用差必须等于，唯一确定每个位置的值。 【详解】（1）对于 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以 对于 能整除故; 不能整除故; 不能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以. （2）略 （3）因为，可知整除，一定有或，即满足条件的数列的最后一项必为1或. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以结尾、满足条件的数列均对应一个以1结尾，满足条件的数列，且的项数为. 反之亦然，即上述对应是一一的. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以1结尾、满足条件的数列均对应一个以结尾，满足条件的数列，的项数为. 上述对应也是一一的. 综上所述，满足条件的项数列与项数列之间具有一一对应，从而对于任意的，满足条件的数列的个数均相同. 取，数列只有1，2和2，1两种可能，其制约集均为. 故对任意的，恰有两个数列满足条件. 当时，数列为 ，，，，，⋯，1， 或，，，，⋯，，1. 当时，数列为 ，，，，⋯，，2，，1， 或，，，，，⋯，，2，，1. 10．（2026·山东济南·模拟预测）已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. (1)若，求的最大值（结果用表示）； (2)若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； (3)若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，，对应数组为 【分析】（1）根据的进制定义化简即可求解. （2）利用等差数列的概念以及错位相减法即可求解. （3）利用换元法以及增数列的性质进行讨论验证即可求解. 【详解】（1）若，因为， 所以 故此时的最大值为，当时，等号成立. （2）由知成等差数列， 又为互不相同的整数且， 故其公差不为0，所以， 又因为， 要求最大值，所以，且， 故，① 令② ③ ③式减②式知， 所以，即，当且时取等. （3）存在最大值. 因为，所以， 令，则为严格递增数列. 若中至少四项为正，不妨设， 则， 故，这与矛盾！故中至多三项为正. 同理可得中至多三项为负，所以. 当时，有，由为整数且严格递增知， ， 故， 故. 验证知满足题目条件. 故存在最大值，此时，对应数组. 11．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：； (3)将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值． 【答案】(1)； (2)由（1）知，所以是的一个排列． 令，则是的一个排列，并且． 因此，只需研究排列的相邻两项之差的绝对值之和． 对于每个，在与之间画一条“分界线”，即把分成和． 记为相邻项对中，一项不大于、另一项大于的相邻项对数，也就是相邻项跨过第条分界线的次数． 下面说明“跨分界线的次数”为什么等于相邻差的绝对值． 若某一对相邻项为，且，那么从到依次跨过，，，这条分界线． 因此，这一对相邻项在中各被计算一次，总共被计算次． 把所有相邻项对的贡献相加，得到. 接下来估计每个的最大值． 当时，集合中有个数． 每个数在排列中最多与两个数相邻，所以由这些数产生的跨界相邻项对最多有对，即． 当时，整个排列一共只有对相邻项，所以． 当时，集合中有个数． 同理，每个数最多与两个数相邻，所以． 于是. . 下面构造一个排列，使相邻差绝对值之和恰好等于． 当时，． 当时，取排列满足，；（）；（）． 也就是说，该排列为． 其中，、、以及都恰好出现一次，所以它确实是的一个排列． 在这个排列中，首、尾两个相邻差均为；有个相邻差等于；有个相邻差等于． 因此． 结合前面的上界，得． 下面证明所给不等式．当时，． 当时，对，有，所以． 于是． ． ． ． 故原不等式成立． (3) 【分析】（1）由时，将关于与的两个等式相减，得到相邻两项的递推关系，再由正项条件确定公差和首项． （2）先将各项同时减去，把问题化为排列的相邻差绝对值之和的最大值问题．通过统计相邻项跨越各整数分界线的次数求出上界，再构造一个排列达到该上界，得到的准确值，最后进行放缩与裂项相消． （3）仍统计相邻项跨越各整数分界线的次数，并利用数列首、尾两项在相邻关系中只出现一次，得到首、尾两项到中间数的距离之和的上界，从而求出的下界；再构造排列说明下界可以取到． 【详解】（1）由题可知，，所以有， 即 因为数列是正项数列，所以. 即数列是以1为公差的等差数列 令，有 ，所以解得，（负舍）. 所以. （2）略 （3）由（1）知，所以是的一个排列． 记 对于，记为相邻两项中一项不大于、另一项大于的相邻项对数． 若相邻两项为，且，那么这对相邻项恰好跨越这个分界线， 因此它对的贡献为． 由题意得， 又因为这些相邻差的绝对值是的一个排列， 所以 当时，考虑这个数． 其中不在数列首、尾位置的数有两个相邻项，位于首、尾位置的数只有一个相邻项． 设中不大于的数有个，则 当时，考虑，这个数． 设中大于的数有个，同理可得 将这些不等式相加， 得 计算前两项，得 对于首、尾两项中的任意一项，若，它在中各被计算一次， 共计算次；若，它在中各被计算一次，共计算次． 所以， 结合前面的等式与不等式，得 所以 又因为 所以 下面说明可以取到．取 此时相邻两项之差的绝对值依次为恰好是的一个排列， 并且 因此的最小值为． 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）给定自然数，定义集合．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为a的“逆对数”．例如，若中的一个元素，则，a的“逆对数”为2． (1)当时，若，，直接写出，； (2)记为中“逆对数”为k的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】(1)，； (2)（i） ；（ii） 【分析】(1)按照集合的定义进行判断； (2) （i）情况 1： 在末位；情况 2： 不在末位，分类讨论；（ii）通过构造等比数列求解递推关系. 【详解】（1）对于，仅在，所以， 对于，在，，所以； （2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列，且这两个数为， 若去掉中最大的数t后仍有一个逆对数的排列，则t位于，之间或最后； 若去掉t后逆对数为0，则t可能位于除最后的所有位置． 所以 ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设 ，，则当的逆对数为1时，前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数 ， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数t后仍有两个逆对数的排列，则t位于，或，之间或最后； 若去掉t后逆对数为1，且为，则t可能位于除最后与，之间的所有位置， 所以， 由（i）知，又 ，则 ， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故， 所以 ，所以， 所以， 又 ，则 ， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以． 13．（2026·山东滨州·二模）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项．使得． (1)若，判断数列是否满足性质①，说明理由； (2)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (3)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列. 【答案】(1)不满足性质①，理由如下： 取，，得，， 计算得​，不是正整数，不属于， 不存在满足条件的​， 因此数列不满足性质①。 (2)同时满足性质①和性质②，理由如下： 验证性质①：对任意，，计算得： ，​ 时为正整数，因此存在使得，性质①成立， 验证性质②：对任意，取，，满足，计算得： ， 因此存在满足条件的，性质②成立，故同时满足两个性质； (3)首先，证明数列中的项同号，不妨设恒为正数：显然， 假设数列中存在负项，设， 第一种情况：若，即， 由①可知：存在，满足，存在，满足， 由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：， 另一方面，，由数列的单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立. 同理可证，若数列中存在正项，则必不存在负项； 综上可得，数列中的项同号. 其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知， 而，故，此时必有，即， 最后，用数学归纳法证明数列为等比数列： 假设数列的前项成等比数列， 不妨设，其中，（的情况类似） 由①可得：存在整数，满足，且 （*） 由②得：存在，满足：， 由数列的单调性可知：， 由可得： （**） 由（**）和（*）式可得：， 结合数列的单调性有：， 注意到均为整数，故，代入（**）式，从而. 综上可得，数列的通项公式为：. 即数列为等比数列. 【分析】（1）根据性质①定义验证，即可判断； （2）根据定性质①和性质②的定义逐一验证，即可判断； （3）首先，证明数列中的项数同号，然后证明，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 14．（2026·广东·模拟预测）如果函数与的图象在处有公共点，且，则称的图象与的图象在处相切，其中称为与的“点”． (1)若与有“点”，求的值； (2)证明：对任意的，，与的“点”个数最多为1； (3)若的图象与的图象相切，且存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：设是与的“点”， 由，得，     又，， 由，得，， 若，则，矛盾，所以， 把代入， 得，设，     假设，是与的两个不同的“点”， 则，是方程的2个不同实根， 所以，，且， 于是，     因为，所以， 所以，方程的判别式，与矛盾， 所以对于任意的，，与的“点”个数最多为1． (3) 【分析】（1）求导，由导数相等求出切点横坐标，再代入函数，求出的值； （2）利用反证法，假设存在两个不同点，联立条件消参，结合韦达定理推出矛盾； （3）联立相切条件解出参数，求函数的单调性与最小值，得到值域，根据存在实数，使得解不等式，求出的取值范围. 【详解】（1）解：与有“点”，即直线与的图象相切， 因为，令，得，，     所以切点坐标为，     代入，得． （2）略 （3）解：因为，， 所以，． 若的图象与的图象相切，设“点”为， 则即     因为不满足方程，所以，，     代入，得， 所以问题转化为关于的方程有实根，     若，代入得，矛盾，所以，     所以，整理得， 所以，， 代入，得，所以．     所以，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 由，且时，， 可得的值域是．     若存在实数，使得，则，所以， 所以的取值范围是． 15．（2026·山东·模拟预测）已知函数的定义域为，集合，若对于任意，任意，总有，则称函数具有“性质”． (1)设，，，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)设，，，若具有性质，求实数的范围； (3)函数的定义域为，其导函数为，当时，恒有，，证明：具有性质的充分条件为具有性质． 【答案】(1)函数具有性质，理由如下： 设，因为， 即对任意，都有，故函数具有性质. (2) (3) 假设存在，，使得， 令，则， 因为具有性质，所以恒成立，在上单调递增， 设，由，得， 当，时，， ，，，……，， 将上述各式相加，得， 令，且，则，且， 与题设当时，均有矛盾， 所以对任意，及任意，均有， 即具有性质，所以具有性质的充分条件为具有性质． 【分析】（1）直接利用函数新定义即可判断； （2）利用导数得到函数的单调性，再结合函数新定义即可求解； （3）根据题意，令，用反证法得到矛盾即可. 【详解】（1）略. （2）已知，，，则，， 所以当时，；当时，， 即在上单调递减，在单调递增， 设，当时，因为，所以，函数具有性质， 当时，令，由，得，函数不具有性质， 综上所述，若函数具有性质，则实数的范围为. （3）略. 16．（2026·江苏·模拟预测）对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． (1)若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； (2)设，，，求证：是的“从属函数”； (3)设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 【答案】(1)因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. (2)对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 (3)因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 【分析】（1）根据函数新定义及偶函数的性质得，即可证； （2）由题设，对于任意且，，，利用不等式性质及函数新定义即可证； （3）根据已知，对于任意且，有，从而有，令（且），，转化为证明时恒成立即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为证明不等式恒成立，结合函数新定义及导数分析证明. 解答题专项题组A（基础回归） 17．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知实数，函数的定义域为，若函数满足： ①对于任意，有；②对于任意，当时，恒成立， 则称为“积轴函数”． (1)设，证明：是“1积轴函数”； (2)设，且是“积轴函数”，求实数的值． 【答案】(1)证明：的定义域为. 对任意，满足条件①； 对任意，当时，， 则，满足条件②，故是“1积轴函数”. (2)4 【详解】（1）略 （2）解：. 由“积轴函数”定义，对定义域内任意，有，代入得： . 展开整理得：. 该式对任意恒成立，因此： ，解得，即. 18．（25-26高三·全国·三轮复习）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题．对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”． (1)若，，求和． (2)若集合是有限集，将集合的元素个数记为．已知，且存在实数满足对任意恒成立，求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件． 【答案】(1)， (2)，，，． 【分析】（1）根据新定义直接运算求解； （2）设，，，，则，，，先化简，再运用基本不等式求的范围，即可求解． 【详解】（1）由题意可得，， ． （2）设，，，， 则，，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围为． 若取到最大值，则，即， 可得，即，所以，． 19．（2026·黑龙江·模拟预测）已知函数的定义域为，为其导函数． (1)若，，则称为上的“导优函数”．判断是否是上的“导优函数”，说明理由； (2)若，，则称为上的“优导函数”．已知为上的“优导函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由如下： 由导优函数定义，需证. ，求导得. ， 因为，故，即， 故是上的导优函数. (2) 【分析】（1）依托导优函数定义转化为证，求导化简后换元构造三角函数，借助导数判定单调性并比较区间端点函数值，由两端均为正证得恒成立. （2）依据优导函数条件列式整理，分离参数后构造分式函数，求导确定单调区间求出最小值，利用恒成立得到小于该最小值. 【详解】（1）略. （2）因为，所以. 由为上的“优导函数”， 所以在上恒成立. 所以恒成立. 因为，所以恒成立. 设，则， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，即实数的取值范围是. 20．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在区间上的函数，，若存在一个正实数，对，，满足，则称是的“-陪伴函数”.已知，判断函数是否为函数的“-陪伴函数”，并说明理由，若为“-陪伴函数”，求的最小值. 【答案】 假设是的“—陪伴函数”， 则，有， 即， 即，则得. 因为且，所以，则， 因此，所以是的“－陪伴函数”，且的最小值是． 【分析】将中的分离出来，转化为恒成立问题. 【详解】略 21．（2026高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，对每一个，在与之间插入个1，得到新数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)是数列的第几项； (3)是否存在正整数，使若不存在，请说明理由；若存在，求出的值． 【答案】(1) (2)1034 (3)存在，1876 【详解】（1）设的公差为， ，， ，，． （2）依题意，在之前插入的1的总个数为， ，故是数列的第项． （3）依题意，， 之前插入的1的总个数为， 故数列中，项及前面的所有项的和为， ∴数列中，及前面的所有项的和为， 而，与之间的1的个数为个， 即在后加842个1，其和为2008，故存在，使． 22．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不是，理由如下： 由正项数列是“数列”，得，， 则，即，而， 因此，当时，， 两式相减得，即，而， 则，又，即，则， 由，得，即不满足， 所以数列不是等比数列. 【分析】（1）利用给定定义计算得解. （2）根据给定的定义，借助变形，结合等比数列定义判断即可. 【详解】（1）由正项数列是“数列”，得， 则，而， 所以. （2）略 23．（2026·辽宁·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由如下： 因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. (2)①； ②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 24．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数. (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以为首项，为公比的等比数列； (2) 【分析】（1）由题意得，配方可得，利用“平方递推数列”定义即可证明，两边取对数，根据等比数列的定义即可证明； （2）求出，根据错位相减法计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以， 则， . 两式相减可得， . 解答题专项题组B（能力提升） 25．（26-27高三上·浙江·阶段检测）设集合，，若存在非空集合，，满足，，则称，是集合的一个划分．记为任意非空集合的所有元素之和． (1)当时，求集合的一个划分，，使得； (2)当时，是否存在集合的一个划分，，使得．若存在，求出，；若不存在，说明理由； (3)若集合存在一个划分，，使得，求满足条件的所有正整数． 【答案】(1)， (2)不存在，假设存在的一个划分，，使， 则为偶数．而为奇数，矛盾！ (3)，，或， 【分析】（1）利用新定义计算可求集合； （2）利用反证法证明即可； （3）利用新定义可得或，，进而利用分类讨论可求得满足条件的所有正整数． 【详解】（1）当时，， ， 所以， 所以， （2）略. （3）由于为偶数，则或，． 若，，构造集合 ，， 此时，满足题意； 若，，记为集合中的元素个数． 不妨设，则，． 已知， ． 由知即， 解得，． （i）当时， 令，． 则，， 于是， 将中的2072与中的2117交换，得到与，易知此时． （ⅱ）当时，将前92个数按照方案（i）来划分，其余的数按照方案来划分， 也符合题意． 综上所述，，，或，． 26．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集满足对于任意，都存在，使得． (1)若，，且，求； (2)证明：对于任意，都有； (3)若，，且，求数集中所有元素的和．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2)证明：当 时，命题显然成立. 当 时，设 为 中的最大元素， 为 中的最小元素. 若 既不是最大元素，也不是最小元素，则 于是对任意 ，都有 另一方面，取 ，则 由题设，应存在 ，使得 即 这与 矛盾. 故 必为 中的最大元素或最小元素. 若 为最大元素，则对任意 ，都有 从而 若 为最小元素，同理可得 命题得证. (3)当时，中元素之和为；当中元素之和为． 【分析】（1）由题设条件可知，对任意两元素之差的绝对值，都能表示为某个元素与 的差的绝对值. 结合已知元素逐一讨论即可. （2）先讨论 的情形. 当 时，用反证法证明 只能是集合中的最大元素或最小元素，进而得到结论. （3）分 与 两种情况讨论. 先证明相应顺序下数集中的元素构成等差数列，再求元素和. 【详解】（1）当 时，取 ，则 故命题成立. 当 或 时，命题也显然成立. 由题意，对 ，应有 故 分别解得 又因为 为三元数集，故 ，且 ，所以 （2）略 （3）若 ，则 ，又已知 ，故 是 中的最小元素. 下证 成等差数列. 由且 ，由题设知存在 ，使得 又因为 是最小元素，所以 . 由 可知 ，故只能有 ，从而 所以 成等差数列. 设对 ，都有其中 . 则 即 由题设，存在 ，使得 由 可知 ，于是 . 又由归纳假设， 结合 ，可知只能有 所以 由数学归纳法可知，对任意 ，都有 故当 时， 中元素之和为 当 时， 为 中的最大元素. 用同样的方法可证 成等差数列. 又因为该等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，故当 时， 中元素之和为 综上，当 时， 中元素之和为 ；当 时， 中元素之和为 . 27．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知函数和其导函数定义域均为且曲线连续不断．对任意，定义集合：． (1)若，求； (2)若存在，使得，证明：； (3)若实数满足对于任意，都有． （i）证明：对于任意，若，则； （ii）若存在，使得，证明：． 【答案】(1) (2)即恒成立，则恒成立， 令，则恒成立，故在处取最小值，即， 又，故得. (3)（i）因为，所以， 因为， 所以，， 代入不等式得，因为，故不等式化简得 ，故. （ii）因为，所以由（2）得， ， 因为， 令代入得， 令，因为， 所以, 即， 故，即在和处取最小值， 所以，即，又， 代入得，化简得，因为， 所以，即，故， 又在处取最小值，所以， 将代入化简， 得，又因为，且， 所以，即，故. 【分析】（1），，即， 又，即，令，求的解集即可； （2）即恒成立，令，则恒成立，故在处取最小值，即； （3）（i）因为，所以， 因为，所以，，代入不等式，化简得； （ii）因为，所以由（2）得， ， 因为，所以， 结合对称性可得，令，得. 【详解】（1），， 故，即，又， 所以，即，， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增，故，所以恒成立，即恒成立，故. （2）略. （3）略. 28．（26-27高三上·江苏扬州·期中）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． (1)求函数的不动点； (2)若定义在上的函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； (3)设常数，函数，满足，，，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． 【答案】(1) (2)因为是函数的一个“不动点”，即， 可知在函数图象上，因为函数的图象绕原点逆时针旋转之后不变， 则由旋转后所得点也在函数图象上，同理由旋转后所得点也在函数图象上， 以此类推都在函数图象上， 由和都在函数图象上可知，即 (3)函数存在唯一的不动点，即方程存在唯一解，等价于函数存在唯一零点， 令，则，即，得， 所以， 当时，，因为，所以，即，使得， 当时，，可知，即，使得， 所以，使得， 假设函数零点不唯一，即，使得， 可得，即， 不妨设，可得，即，即，即，与题干条件矛盾，即假设不成立， 所以函数存在唯一零点，即函数存在唯一的不动点 【分析】（1）根据题干定义，列出方程，求出结果即可； （2）根据不动点的定义，确定点在函数图象上，根据函数图象性质，确定其旋转产生的点也在函数图象上，以此类推，列出方程，即可证明结论； （3）根据题目定义，对函数进行化简，构造函数确定函数零点的个数，进而根据不等式性质，确定函数存在零点，运用反证法和不等式性质，证明结论. 【详解】（1）可知，解得， 函数的不动点为. （2）略 （3）略 29．（26-27高三上·重庆·开学考试）我们把函数 的 阶导数记为 ，已知 的导数为 ，则 . (1)若函数 的图象在点 处的斜率为 ，求 . (2)已知 ， ， 为常数. ① 若函数 ，求 在 上的零点个数； ②若函数 ， 证明: . 【答案】(1) (2)①在上的零点个数为2； ②因为，， 因此， 当时，， 设， ，设，， 所以在上单调递增，则，所以， 所以，故； 当时，，设， ，在单调递增， 由零点存在定理得存在唯一使，即， 当，，单调递减，当 ，，单调递增， 所以的极小值， 设， ，因为， 所以，在上单调递减，所以， 所以0,故， 综上， 得证. 【分析】（1）求出，，建立方程求解参数； （2）①转化为方程，先看出是零点，当,证明在存在唯一零点，当时不再有零点，合计 2 个零点； ②当时，利用不等式放缩证明，当时，利用隐零点代换证明的极小值，故.从而得证. 【详解】（1）函数 ， ， 则的图象在点 处的斜率为， 由于 ，所以 ，由题意得 ，即， 所以. （2）①由题意得，， 因此， 令，得， 当时，左右两边均为，是个零点； 当时，，无零点； 当时，令，， 设，，当，， 所以在上单调递增，即在上单调递增， ，， 由在上单调递增和零点存在定理得在内有且仅有一个零点， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在处取得最小值， 因为，，则，， ， 由，所以，故， 由零点存在定理得，在内有且仅有一个零点； 综上，方程在上有且仅有2个解，所以在上共有个零点； ②略 30．（2026·浙江·二模）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”. (1)试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；    ②；    ③； (2)已知实数是在区间上的“下域函数”，求实数的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)①是“上域函数”，②③是“下域函数”； (2) (3)构造函数， 代入， 累加可得， 故仅需证即可， 构造函数， 其中，在上单调递减，， 即， 当时，， 可得 ，原命题得证. 【分析】（1）结合定义并利用导数证明不等式，最后得到结论即可. （2）对的取值进行分类讨论，再利用分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意利用放缩法和导数证明不等式即可. 【详解】（1）对于①，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递减，且， 则，可得， 得到是在上的上域函数， 对于②，令，定义域为， 而，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 对于③，令， 则，当时，恒成立， 则在上单调递增，且， 则，可得， 得到是在上的下域函数， 综上可得，①是“上域函数”，②③是“下域函数”. （2）由题意知，当时，； 当时，，符合题意；当时，应有； 构造函数，可得， 令， 当时， ，所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 故在上单调递增，而时，， 综上可得，的取值范围为. （3）略 31．（26-27高三上·山西·阶段检测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”． (1)设，，证明：为有界数列； (2)若，，证明：为有界数列； (3)设数列是有界数列，，，…，，且，求的最大可能值． 【答案】(1) 故 ，（时取“=”） ∴ 所以，即为有界数列 (2)因，则，对于函数，， ，则在上单调递增， ，， 从而． 则且，即为有界数列； (3)392 【分析】（1）通过界定余弦函数范围以及基本不等式求解出最大值. （2）通过构造新函数判断与大小，并由此放缩原函数求解最大值. （3）通过有界数列的定义判断并推断出使最大时数列的情况为中有49个2，49个，和1个0，进而求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题可得，因，为使最大， 应让中出现尽量多的2或. 则容易想到可让中有49个2，49个，和1个0， 此时中包含98个，1个， ． 32．（26-27高三上·浙江·阶段检测）设数列为等比数列，对集合，，，…，，定义．已知，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)对任意正整数，若，求证：； (3)若，，且，求证：． 【答案】(1) (2)当，可知中的元素均大于， 令，且， 则． (3)令，，，，设，，…，与，，…，中第1个不等的项为第个，即， 由，， 去掉前面个相等的项得，（1） 若，则，（1）两边同除以，得 ，（2） 而， ，这与（2）矛盾，所以不成立， 同理可得，不成立， 所以不成立． 所以成立，所以． 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义，求出，再根据并集的元素构成，代入子集和的定义列出关于公比q的方程，求出结果，写出通项公式； （2）利用等比数列的通项关系，将所有下标大于k的项用表示，进而用等比数列的求和公式，得到所有下标大于k的项的总和恰好等于；由于T是有限子集，子集和是有限项的部分和，必然小于无穷总和，直接得到不等式结论； （3）采用反证法，假设，构造两个集合的对称差T，取T中的最小元素k；利用第（2）问的结论，对做放缩，推出，与题设条件矛盾；因此原假设不成立，证明，得到子集和的唯一性； 【详解】（1）设数列的公比为， 由题可知，，则，所以，即， 可得，所以， 得，即，解得， 所以. （2）略 （3）略 33．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）设无穷数列的前项和为，为单调递增的无穷正整数数列，记，定义． (1)若，，写出，的值； (2)若，求； (3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列． 【答案】(1)， (2) (3)若为有限集，设其最大元素为（若为空集，取）， 则当时，存在满足. 令， 则，所以； 若为无限集，设，其中， 记，则. ①若数列中只有有限项为正数，记（若中没有正数项，取）， 则，令， 则，所以， ②若数列中有无穷项为正数，将这些项依次记为，其中， 则， 令，则.所以. 综上所述，对任意的无穷数列都存在数列，使得为常数列. 【分析】（1）先根据已知条件确定的值，再求出对应，最后由计算. （2）先求出数列的前项和，再分为奇数和偶数讨论的正负，确定. （3）根据集合及数列正数项情况分类讨论，确定为常数列，为有限集时，；为无限集时，若正数项有限时，，若正数项无限时，. 【详解】（1）由题意可得，，，， 所以，，，， 所以，， ， 所以，； （2）由题意，在数列中，，， 所以， 若为奇数，则，所以. 若为偶数，则当时， ，所以. 所以. （3）略. 34．（2026·湖南·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列． (1)若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由． (2)若为的衍生数列，证明：． (3)若为的衍生数列，证明：． 【答案】(1)不是，，求导得，则， 因为， 所以， 所以不是的衍生数列. (2)当时，，则， 及得， 又，， 设，则， 则， 即， 则. (3)证明：， 由，得， 令，得，， 将两边平方，得，得， 当时，，得， 又， ， ， 当时，， 得， 当时，， 则 ， 要证，只需证， 现证，该不等式等价于，显然恒成立， 则， 显然，当时也成立. 综上，． 【分析】（1）求导，根据衍生数列的定义结合已知条件计算求解并判断； （2）根据衍生数列的定义结合已知条件求出，设，利用错位相减法计算求出，进而证明结论； （3）根据衍生数列的定义结合已知条件得出，令，则，，利用放缩法证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 解答题专项题组C（思维拓展） 35．（26-27高三上·山东济宁·开学考试）对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，．对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质： ①，； ②． (1)是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由； (2)给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为．求的最大值． 【答案】(1)不存在数表具有性质． 假设存在使得数表具有性质， 则有， 即在这两行中，有列的数不同，设其中有列是第行的数为，第行的数为， 则有列是第行的数为，第行的数为， 所以从第行到第行，一共增加了个，的个数的奇偶性不变． 所以任意两行中，的个数的奇偶性相同， 与数表第一行有个，最后一行有个矛盾， 所以，不存在具有性质的数表． (2) 【分析】（1）假设存在使得数表具有性质，结合定义推出矛盾，进而证明结论； （2）定义行列的数表，根据定义得到具有性质的数表，证明；利用奇偶交替性和间隔行差值估计，证明，进而求出的最大值． 【详解】（1）不存在数表具有性质，理由：略 （2）的最大值为． 定义行列的数表： 其第i行第j列为，（）， 则，且表示，两数相同，表示，两数不同， 因为数表的第行确定，所以给定数表后，数表唯一确定． ①先证． 按照如下方式，构造数表：对于第行和第行，， 令，，，， 且在这两行其余的列中，任选相同的列都为，其他列都为， 于是可得到具有性质的数表如下： 第1列 第2列 第3列 第4列 第列 第n列 第1行 1 1 1 1 … 1 1 …… 第3行 0 0 1 1 … 1 1 …… 第5行 0 0 0 0 … 1 1 … 第行 0 0 0 0 … 0 0 即对于每个，当时，都存在数表具有性质． 所以． ②再证时，． 记（）． 因为是奇数，所以与的奇偶性不相同（）． 因为，，所以是奇数， 考虑的第行和第行， 因为，所以这两行中都有列为，列为， 若这两行相同，则数表的第i行和第行相同，； 若这两行不同，设其分别在第p，q列为0， 则数表的第i行和第行只在第p，q列上不同，其他列都相同，． 因为，，其中是偶数． 所以， 所以，即． 结合①，． 综上所述，的最大值为． 36．（2026·湖北襄阳·一模）集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． (1)当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； (2)若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； (3)当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【答案】(1) (2)的分布列为 0 2 4 6 p 0 ， (3)证明：当时，若且满足，不妨令 ①由于，所以，，…，不可能都是0． ②若A中有个0，不妨设，，则，此时， 根据题意，则，， 但是当时与矛盾，所以不成立； 当时，， 与矛盾． 所以A中不可能有个0． ③若A中有个0，不妨设，，则，其中， 则存在函数f使得： ，，，，，， 即存在使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于个，不妨设， 其中，，，，，…，，则． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：，其中若，， 则；若，，则，此时， ， 不符合题意； 第二种：，则 ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有个0． 【分析】（1）当时，由题意，写出满足的条件，写出函数值，即可得答案. （2）取，，写出函数值，完成分别列，求出期望即可. （3）根据所给定义，不妨令，讨论A中有个0、个0和小于等于个0三种情况，求出B，分析讨论，综合即可得证. 【详解】（1）当时，由，需构造满足 ①， ② ③， 设，，，，，则满足①②③， 此时；故满足题意． （2）取，满足且满足 ，，，，，， 的分布列为 0 2 4 6 p 0 ， 所以， （其他合理答案，同样给分，如：，等）． （3）略 37．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）对于定义域为的函数，若存在实数，使，其中为非零常数，则称为“的定积点”．已知，． (1)若任意实数均为“的2定积点”．求证：为周期函数； (2)若为“的定积点”，且只有两个不同的解，求实数的值； (3)设，若“的1定积点”恰有3个，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：对成立， 所以， 所以， 所以为函数的周期； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得，从而可得，从而可得，即可得证； （2）由定义求得，设，将问题转化为与有两个交点，利用导数确定的单调区间及最值，并作出图象，结合图象求解即可； （3）由题意可得方程恰有3个不等实数根，分、和，结合指数函数性质、导数及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）略； （2）由为“的定积点”， 得， 即， 整理得， 即，得， 设的定义域为， 求导得， 当时，，严格递增； 时，，严格递减； 时，，严格递增， 所以的单调递增区间为，，递减区间为， 所以的极大值为，极小值为， 当时，，当时，， 作出函数的大致图象如下， 只有两个不同的解转化为与有两个交点， 所以． （3）依题意， 由的1定积点恰有3个， 得方程恰有3个不等实数根， ①当时，，方程可化为，解得， 这与不符， 因此在内没有实数根； ②当时，， 方程可化为， 该方程又可化为． 设，则， 因为当时，， 所以在内严格递增，， 因此，当时，方程在内恰有一个实数根； 当时，方程在内没有实数根． ③当时，，方程可化为， 化为，于是此方程在内恰有两个实数根， 则有，解得， 因此当时，方程在内恰有两个实数根， 当时，方程在内至多有一个实数根， 综上，的取值范围为． 38．（2026·河南郑州·一模）已知函数定义域为，，若对任意，存在，当时，都有．则称为在上的“点”． (1)设函数求在上的最大“点”； (2)判断函数在上是否存在“点”，并说明理由； (3)若函数在上不存在“点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）先利用导数分析函数在上的单调区间，从而找到最大值，即可确定最大“点”； （2）通过导数求出在上的最大值，不满足“点”的条件，即可作出判断； （3）将不存在“点”转化为在上恒成立，通过导数分析的单调性，分和的不同情况讨论，最终求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，令，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是在的最大值， 所以在上的最大“点”为. （2）不存在“点”，理由如下： 因为，令得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 而， 所以是在上的最大值， 所以对任意，都有，所以在上不存在“点”. （3）由函数在上不存在“点”， 得在上恒成立， 求导得，令， 求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 因此函数在上单调递减，，符合要求； 当时，令，则， ①当，即时，，即在上单调递增， 则， 所以函数在上单调递增，，不符合要求； ②当，即时，恒成立，函数在上单调递减， 则， 函数在上单调递减，此时，符合要求； ③当，即时， 若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 若，则在上恒成立，在上单调递减， 此时， 若，则存在，使得， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则要恒成立，只需，解得， 由，得， 由，得 即当时，符合要求. 综上，的取值范围是. 39．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 或 ； (2) 或 . (3)存在 ， 证明：. 【分析】（1）代入计算得，再求解即可； （2）分、和讨论即可； （3）写出，再证明即可. 【详解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）略 40．（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为．若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”． (1)求函数在上的最大“凸点”； (2)若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围； (3)设，且．证明：在上的“凸点”个数不小于． 【答案】(1)5 (2) (3) 若在上的“凸点”个数为0，则，符合要求； 若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为 其中，，, 若，则若，由，则，即， 若，由题意，，，故， 即，又，故，符合要求； 若，则， ， 由，则， 若，即，则 ， 若，由题意，，且， 又，故 ， 即，，，， 即有 ，即， 由 ，故，又，故， 即在上的“凸点”个数不小于. 【分析】（1）利用导数求出的最大值结合“凸点”的定义即可得出答案； （2）把问题转化为在上恒成立，分四类进行讨论； （3）在上的“凸点”个数为0，直接验证，在上的“凸点”个数为，分和进行证明. 当时，分 和 两类，当时，分和 两类. 【详解】（1）设 ，则 ， 当或时，，单调递增； 当时， ，单调递减， 又 ，所以在 上最大值为， 所以都满足，所以函数在上最大的“凸点”为5. （2）因为函数 在上不存在“凸点”，所以在上恒成立，，令， 则 , 当时，恒成立，故在上单调递减，则 ， 故在上单调递减，此时，符合要求. 当时，令，则， （i），即时，，即在上单调递增， 则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去； （ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减， 则，故在上单调递减，此时，符合要求； （iii）当，即时，若，，若，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则若需恒成立，有 ，解得，因为， 且，即时，符合要求， 综上所述. （3）略 41．（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知数列：，，…，的各项均为正整数，且，，，…，.定义变换，将数列变换为数列：，，…，，其中，为数列中不小于的项的个数. (1)若数列：4，3，3，2，求，并求一个数列，满足（直接写出结果即可）； (2)记为数列的各项之和，若，. （i）求的最小值； （ii）求的最大值，并求出取得最大值时的所有满足条件的数列. 【答案】(1)， (2)（i） （ii），满足条件的数列有，两种可能 【分析】（1）根据定义变换的意义，设数列：，，，，结合数列：4，3，3，2，即可求解和数列. （2）（i）根据，可得，，代入即可求出的最小值. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于2，可得，由题意，，，…，，可知，结合，求得，然后检验即可求出结果. 【详解】（1）数列：4，3，3，2，中，因为，设数列：，，，， 数列中不小于1的项有4个，所以， 数列中不小于2的项有4个，所以， 数列中不小于3的项有3个，所以， 数列中不小于4的项有1个，所以， 所以数列：4，4，3，1， 因为：4，3，3，2共4个元素，所以数列的首项为4， 根据题意数列中不小于4的项有2个，不小于3的项有3个，不小于2的项有3个，不小于1的项有4个， 由数列各项均为正整数，且非递增数列，所以数列：4，4，3，1. （2）（i）由题意知，中的最大项即为数列的项数，结合，得， 故，因为，则， 又，故， 注意到数列，满足，且， 所以存在数列满足要求，所以的最小值为. （ii）设，，则数列共有项，且有项不小于， 故， 由题意，，，…，，故，从而， 因为，，故， 若，，则数列有且仅有两个1， 则，不符合题意； 若，，则数列有且仅有一个1， 则， 故，由，故只能，， 此时数列满足要求； 若，，则数列每一项均不小于2， 则， 故，从而， 此时数列可能为，，， 验证只有符合题意， 故取最大值507时，可能的数列有，两种可能. 【点睛】1、自共轭条件：数列项数等于首项，对每一个下标，数列中不小于的项的个数； 2、等差数列求和公式. 42．（26-27高三上·湖南·开学考试）对所有满足且的数列，记为满足的的最小值（若不存在，则记）． (1)若，求的可能取值； (2)证明：若，则； (3)求． 【答案】(1)，， (2)一方面，构造数列如下： 显然符合原式且此时，即． 另一方面，若，则，但，显然，矛盾． 因此只能有． 构造方法亦可写成：取，． (3) 【分析】（1）利用因式分解求得数列的递推关系式，然后根据的定义，依次检验各项即可. （2）利用条件，构造的通项公式，得到，同时证明不成立，于是得到. （3）先考虑奇数的情况，；然后再考虑偶数的情况，设，记，其中，．记,利用二进制格式证明.于是可以得到，再利用错位相减法求前n项和即可求解. 【详解】（1）由 因式分解得． 因此可得或． 已知，则或，即； 则可能为或，即； 则的可能取值为：若，则； 若，则， 所以． 又因为，故的所有可能取值为，，． （2）略 （3）易知当为奇数时，． 以下讨论为偶数时的情形． 设，且记，其中，． 记．下面尝试证明：．     考虑，则，且满足：或． 则显然是满足的的最小值，此时，且， 由上述分解，可将写为唯一的二进制格式，即， 下考虑将该二进制数从左往右写出，从1开始（显然），每写一个数字即对应一个新的二进制数，直到得到的二进制数． 每多写一个0，对应十进制中即为给上一个数乘2， 每多写一个1，对应十进制中即为给上一个数乘2再加1． 则从到的过程即可等价于到的过程（显然这一路径具有最小性）， 写0时，相当于进行一步递推；写1时，相当于进行两步递推，故总递推步数为： “该二进制数的位数”“二进制数中1的个数”，即， 则．     （用其他方法完成该结论的证明亦可，若提出该结论而未证明，扣除证明过程的相应分数） 当时，满足的的个数为， 这是因为最高位固定，其余位中恰有个1．     于是 ．     故． 记， 则， 相减得， 故，     因此． 【点睛】（1）利用因式分解将未知的递推数列转化为已知的常见递推关系是处理复杂递推关系的重要方法；（2）利用二进制实现递推关系为或的处理是一种巧妙的方法值得借鉴；（3）最终求和时使用错位相减法处理数列通项前n项和需要认真运算，避免计算错误. 43．（2026·江苏·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题： 已知数列满足，记为的前项和. (1)若，求的值； (2)若，求满足不等式的所有正整数； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1)1013 (2) (3)证明：因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 又因为， 所以， 又因为，所以. 令， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为 ， 所以， 综上所述，. 【分析】（1）先通过对已知等式变形构造新数列，根据新数列性质确定其周期，再结合周期计算. （2）先通过对递推式变形构造数列求出，再进一步变形求出的通项公式，最后根据求解的范围. （3）先通过已知等式变形构造数列递推关系，求出数列通项公式，再根据通项公式放缩求的范围. 【详解】（1）因为，所以， 由和， 得， 因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 即， 因为，所以，即， 所以，因为，所以， 所以. 因为，所以，化简得，解得， 所以满足不等式的所有正整数为. （3）略 44．（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为. (1)设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； (2)已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）. 【答案】(1) （i）5、7、11、13； （ii）设，其中 则， 因为， 所以， 同理，， 所以，所以. (2) 因为，所以，即， 由数列为正项数列，则，所以. 又因为，则， 所以，所以 则，两式作差得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得. 方法一： 因为，设， 当时，； 当时，， 当时，， 所以，即 当时，； 当时，， 当时，， 所以， 即 同理可得， 当时，，所以 所以 ．证毕 方法二：上接， 对任意实数，记，其中 当时， 当时， 当时， 故对任意实数，恒有， 则. 代入，得， 取正整数满足，则，记， 则， 当，故，得证． 【分析】（1）（i）应用新定义求解；（ii）应用数列新定义计算求和即可证明； （2）应用已知结合计算结合等比数列定义及通项公式得出，方法一：分类讨论结合求和公式计算证明即可；方法二：构造函数分段计算结合新定义计算证明. 【详解】（1）（i）5、7、11、13 （ii）略 （2）略 45．（2026·河北衡水·模拟预测）设是正整数，有穷整数列：. 若存在正整数满足：，恒成立，则称为数列，数列的所有项之和记为. (1)数列：1，，3，，1是否为数列？是否为数列？请说明理由. (2)若，是数列，且，求的最小值. (3)若，是数列，且，将各项重新排列后能构成等差数列，求的最小值. 【答案】(1)不是数列，是数列，理由如下： 对于数列，取 ，有，不满足条件，故不是数列； 取 ，有，取 ，有， 均满足条件，故是数列. (2) (3) 【分析】（1）按照定义检验是否满足条件即可； （2）是数列则意味着相邻两项之和均为正，将两两分组并累加，除去首尾项的和即可得到中间部分的和的范围，进而得到的范围，最后构造一个能取到最小值的数列； （3）先根据性质和等差数列求和得到可能的最小值，然后验证哪些值是不可能达到的，最后构造一个满足条件的数列 【详解】（1）略 （2）是数列，则依定义有对都有，又，所以， 从而可得即， 同样考虑到可知，所以， 考虑数列，它满足且对都有， 其和为，因此的最小值为. （3）设排好的等差数列为，公差， 因为是数列，对都有， 所以①， 因为是中的最小项，所以②， 又因为是中的一项，所以存在整数使得即③， 同时根据等差数列前项和公式有④， 综合②③④可得整理得， 因为均为非负整数，所以得， 若,，此时 ，；若 ,，不等式恒成立， 此时；若,， 此时 或， 时，时， 接下来验证能否为或，由上述分析可知，若，则，，， 即等差数列为，根据性质有 即， 即， 同时根据①有，而中只有两个元素不超过，矛盾，因此不可能为； 对于，取为即可，显然满足条件， 综上所述，的最小值为. 【点睛】对于并无明确优化路径的最值问题，可以先分析判断出其可能的最值，再证明最值可以取到. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $