第5讲数列之新定义与信息迁移讲义-2027届高三数学一轮复习

数列之新定义与信息迁移 高三数学专题复习 · 数列第五讲 0 题型概说 新定义数列题在题面给出一个课本没有的规则（一个新的数列类、一次变换、一个计数对象），设问按规则计算、判断或证明。这类题不考查陌生的知识，考查的是把规则读成数学动作的能力：定义怎么说，就怎么做；定义能翻译成等差、等比、递推，就化归为旧方法。信息迁移是它的姊妹形态——把数列放进集合、数阵、同余、函数方程等语境中，先翻译语境再回到数列主线。 识别信号总览表 题面形态 主线动作 落点 定义一个新概念（ “ 数列”“伴随”“ 时刻” ），设问判断或求值 按定义逐条直译，代具体值找规律 单元一 定义一种操作（插入、扩充、变换），设问求 次操作后的量 写第 次与第 次的关系，化归为递推 单元二 数列进入集合、数阵、同余、整除语境 先翻译语境（公共项、排序、剩余类），再回数列主线 单元三 操作 + 存在性 / 最值性证明 不变量判不存在，构造与放缩证存在 单元四 单元一 新定义的读题与直译 1.1 识别特征 题面定义一个新的数列类（ “满足某某条件则称……” ）或一个映射规则，设问为判断命题真假、求特定项或计数。多见于小题，选项往往逐条给出”若……则……“式命题。 1.2 结论与推导 结论 1.1（定义即规则，代入先行）　新定义的每一步运算都由题面规定，直译就是按定义的顺序执行。拿到定义先代入 算出前几项：具体值最能暴露规律，也能最快否定错误选项——判断型命题中，找一个反例即可否定。 结论 1.2（剥包装，见旧结构）　多数新定义是旧结构的包装：把定义式移项、取倒数、取对数或因式分解后，露出等差、等比、一阶线性或分段递推的本来面目（如” 为常数”即倒数成等差）。带绝对值、取整、 的定义按分段讨论直译，不跳步。翻译出的旧结构确定后，旧结论照常使用。 1.3 方法决策表 信号 走法 依据 判断型命题 代具体值找反例；找不到再用定义推一般 结论 1.1 定义式可整理 移项、取倒数、取对数，剥出等差等比 结论 1.2 定义含 、取整、绝对值 分段直译，逐支讨论 结论 1.2 例题精讲 例 1（多选题） 已知有穷数列 ，每一项均为 或 ，且末项为 。若存在正整数 ，则称数列 为” 数列”。记” 数列”的所有项的和为 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 为” 数列”，则此数列为 ，，， B．若 为” 数列”且 ，则 C．若 为” 数列”且 （其中  ），则所有 的和为 D．若 为” 数列”，则 ●解析 A 项:,对应数列 ,正确。 B 项:,即前 个数位全部为 , 不是 ,错误。 C 项: 说明恰有两个 ； 限定数列至多 项。两个 的位置从 中选 个，共 种；每个 在其中出现 次，故所有 的和为 ，正确。 D 项: 给 。：设 出现在位置集合 （  ），则 ，。按 汇总，对固定的 ，每个位置在 元位置集合中出现 次（其余 个位置从剩余 个中选取），，正确。 【答案】ACD 变式训练 变 1（单选题） 将正整数 分解为两个正整数 ， 的积，即 ，当 ， 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解。当 ， 是 的最优分解时，定义 ，则数列 的前 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 时， 差最小，; 时，最优分解为 ，。前 项和为 （裂项相消）。 【答案】C 变 2（多选题） 已知无穷数列 ，，若对 ，都有 ，则称 与 “伴随”。则下列选项正确的是（  ） A．若 ，，则 与 “伴随” B．若 ， 的前 项和为 ，则 与 “伴随” C．若 的前 项为 ， 与 “伴随”，设集合 ，则 中元素的个数为 或 D．若 是公差为 的等差数列，且对任意与 “伴随”的数列 ， 都递增，则 ●解析 A 项: 时 ,不伴随,错误。 B 项:,,正确。 C 项:伴随给出 ,即 ,,,,。 与 可能相等、 与 可能相等但三者不能同时相等, 与前面的取值不相交,故 中元素个数为 或 ,正确。 D 项: 时 ,即区间 与 分离且后者整体在后,任意伴随数列满足 ,必递增; 时取 ,则 伴随且 ,不递增。故命题正确。 【答案】BCD 变 3（多选题） 已知数列 中 ，，当 时，，则下列说法正确的是（  ） A． B．满足 ，且 的所有 的和为 C．满足 的 的取值集合为 D．若 ，则 ●解析 取 :,故 。由 逐层得 ;再取 ，:,结合 得 ,。 A 项: 为偶数,,正确。 B 项: 当且仅当 或 ; 时 ,所有 的和为 ,不是 ,错误。 C 项: 在奇数项为 、偶数项为 ,前 项和为 ;,需奇数项个数 ,即 或 ,正确。 D 项: 为偶数时 ; 为奇数时 ,故 ,正确。 【答案】ACD 变 4（填空题） 已知欧拉函数 （  ）的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，例如 ，。记集合 中元素个数为 ，则数列 的前 项和为 ________。 ●解析 为质数，，故 。 时集合为 ，; 时为 ，; 时 ，。故 ，。错位相减得前 项和 （检验 :，满足）。 【答案】 变 5（单选题） 已知数列 是首项和公比均为 的等比数列，在数列 的任意相邻两项 与 （其中  ）之间插入 个 ，使它们和原数列的项构成一个新数列 ，则数列 的前 项和 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ， 至 之间共插入 个 ，故前 项为 加 个 ，再加 之后插入的 个 中的前 个。。 【答案】C 单元二 新定义的递推化归 2.1 识别特征 题面定义一种操作：在相邻项之间插入新项（插入常数、插入乘积、插入和）、对数列做变换、按规则扩充。设问求操作 次后的项数、和、积或特定项。 2.2 结论与推导 结论 2.1(操作类定义翻译成相邻关系)　操作类问题的核心是写出”第 次的结果由第 次的结果经一次操作得到”的关系式：项数满足 型（每相邻两项之间插入一项，插入数为项数减一）；和满足 由 与边界项表示（插入项之和用原项表出，注意首尾项只参与一次插乘）；积满足” 为 “型（相邻乘积的连乘等于 除以首尾两项之积）。初始状态 （或  ）单独计算，再解递推。 结论 2.2(积结构取对数)　操作作用于”积”时，令 ，乘法关系” 为 “化为线性关系 ，平移后成等比；所求积 的对数即 ，化为等差与等比的混合求和。取对数前必须交代真数为正。 2.3 方法决策表 操作类型 走法 依据 插入一项（项数问题） ，平移成等比 结论 2.1 插入”两项之和”（和的问题） 用原项表出插入项，写 与 关系 结论 2.1 插入”两项之积”（积的问题） 取对数化加法，或相邻乘积总式” 除以首尾两项之积” 结论 2.2 变换不改变某结构 剥出被包装的旧递推，回旧方法 结论 1.2、2.1 例题精讲 例 2（解答题） 数列 为等差数列，数列 为各项不为零的等比数列，公比为 ，，。（1）证明：；（2）求集合 中元素的个数；（3）当 时，将数列 的每相邻两项 ， 之间插入一个数 ，构造新数列 （ ，，，， ），记其前 项和为 ，求 及满足 的最小正整数 。 ●解析（1）设 ，。由 移项得 。由 移项得 ，即 ；由 移项得 ，即 。两式相减得 ，回代得 ，即 。 （2），。 即 ，故 。 给 ，，元素个数为 。 （3） 时 ，。，其中 错位相减得 ，故 。单调递增，，最小正整数 。 【答案】（1）见解析；（2） 个；（3），最小正整数 变式训练 变 6（填空题） 已知正项数列 的前 项和为 ，，且 （ ， ）。若在 和 （  ）中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 （即  ），记其前 项和为 ，则 的值为 ________。 ●解析 时 ，与 比较得 ，又 ，故 ，，。新数列中到 为止共 项； 时 项、 时 项，故 等于 加上插入项之和（前 组全部），再加 个 ，即 。 【答案】 变 7（填空题） 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列。扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和。已知初始数列 ，经过 次扩充后项数记为 ，所有项的和记为 ，则 的值为 ________； 的值为 ________。 ●解析 每次扩充增加 项：，即 ，，故 ，。对和：扩充后 ，而首项 、末项 经扩充不变，首尾项之和恒为 ，故 ；又 ，故 。 【答案】； 变 8（解答题） 某学习小组收集到了类似于数列的”向量列”： 满足 ，且 ，。（1）求 ，， 的值，判断数列 是否为等比数列，若是，请加以证明。（2）求数列 的前 项和 。 ●解析（1）;;。一般地 ，故 是首项 、公比 的等比数列（结论 1.2 剥包装：点积翻译出一阶线性递推）。 （2），错位相减 （检验 :，满足）。 【答案】（1），，；是首项 、公比 的等比数列；（2） 变 9（解答题） 已知 是等差数列，其前 项和为 ，，； 是各项均为正数的等比数列，，。（1）求 和 的通项公式。（2）对任意正整数 ，设 ，求数列 的前 项和。 ●解析（1），，；，，公比为 ，。 （2） 为奇数时 ，拆分（通分可验：右端分子为  ）： 。 奇数项和 ；偶数项和 。故 。 【答案】（1），；（2） 变 10（解答题） 已知函数 定义在区间 内，，对任意 ，，恒有 。（1）证明： 为奇函数。（2）若数列 满足 ，，。（i）证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；（ii）设 ，若 对任意正整数 恒成立，求 的取值范围。 ●解析（1）令 :，；令 :，故 ，奇函数。 （2）（i）在定义式中取 :，故 是公比 的等比数列（结论 1.2）。，由奇性 ，故 ，。 （ii），错位相减得 ，故 。恒成立条件即 对一切 成立。 满足 ,单调递增。 为奇数时 对奇 成立,只需 ,即 ; 为偶数时 对偶 成立,只需 (题干为严格不等式,故端点取不到)。故 的取值范围为 。 【答案】（1）见解析；（2）（i）；（ii） 单元三 信息迁移与计数 3.1 识别特征 数列被放进另一个语境：集合（两个数列的公共项、并集重新排序）、整除与同余（满足被 整除的项）、数阵与表格（按行列规律排列的正整数）、排列与位数字特征。先翻译语境，再回到数列主线。 3.2 结论与推导 结论 3.1(公共项与并集排序)　两个数列的公共项：写出各自通项 、，联立 ，用整除性与奇偶性刻画公共项的下标特征，公共项子列自身常成等差或等比。并集重新排序：先枚举两个数列的前若干项，逐段比较大小确定穿插顺序，再按段计数求和；重复元素只计一次。 结论 3.2(整除条件化为剩余类)　“某和被 整除”的条件，把和用末项表示、化为关于末项的剩余类枚举；计数时按剩余类分类，要求不重不漏。数阵问题先把”第几行第几个”翻译为通项（第 行末项的值或项数公式），行、列定位用整除与不等式估计。 3.3 方法决策表 语境 走法 依据 公共项 联立通项，整除刻画下标 结论 3.1 并集排序 枚举前若干项，逐段穿插计数 结论 3.1 整除 / 同余条件 化为末项的剩余类枚举 结论 3.2 数阵定位 行末项公式 + 整除定位 结论 3.2 例题精讲 例 3（解答题） 记 为等差数列 的前 项和。已知 ，。（1）求数列 的通项公式。（2）记集合 ，，将 中的元素从小到大依次排列，得到新数列 ，求 的前 项和。 ●解析（1） 且 ，解得 ，，。 （2），。逐一核对 中元素是否属于 （即是否为 型）：、 属于 ， 不属于。故 的前 项由 的前 项与 三个元素穿插组成：，其和为 的前 项和加 ，即 。 【答案】（1）；（2） 变式训练 变 11（解答题） 已知等比数列 满足 ，，。（1）求数列 的通项公式。（2）记数列 的前 项和为 ，，将数列 与 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，求 的前 项和。 ●解析（1），；，公比为 ，，。 （2）；， 时 ，，故 。公共项： 给 ，公共项 ； 即 ， 为偶数，令 ，公共项 。故 ，前 项和为 。 【答案】（1）；（2） 变 12（单选题） 已知数列 ， 的通项公式分别为 ，，将数列 ， 的公共项从小到大排列得到数列 ，设数列 的前 项和为 ，则 的表达式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 是首项 、公差 的等差数列， 是首项 、公差 的等差数列。公共项 同时满足 ？由 得 ，故 为 的倍数，公共项为 ，是首项 、公差 的等差数列，。 【答案】B 变 13（填空题） 已知数列 共有 项，且 是整数 的一种排列，设 ，当 取 ，，， 中的任意值时， 总能被 整除，则 的所有可能取值为 ________。 ●解析 总和 。： 被 整除，;： 被 整除。 时 为 的倍数给 （重复，舍）; 时 为 的倍数给 ; 时 为 的倍数给 。四种情形 均有具体排列实现（如 等），故 的所有可能取值为 。 【答案】，， 变 14（解答题） 将所有正整数按照如下规律形成数阵：第 行为 ，第 行为 ，第 行为 ，第 行为 ，以此类推（第 行为所有 位正整数）。（1）将数列 与数列 的公共项按从小到大的顺序排列得到数列 ，确定 在该数阵中的位置。（2）将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 行中正整数的个数为 。（i）求 ，，；（ii）求 。 ●解析（1）： 按二项式展开除以 的余数为 ，故 有正整数解当且仅当 为偶数，公共项 ，。前 行共 个数， 在第 行，是第 个数。 （2）（i）;（仅  ）;（百位十位为 的 个，十位个位为 的 个）。 （ii）递推 自 起成立。 时， 位数分两类：个位数字不为 的有 个；个位为 的 个中去掉十位为 的 个，剩 个。故 ，即 。设 ，比对系数得 ，，即 ，。取 ，： 是首项 、公比 的等比数列； 是首项 、公比 的等比数列。两式相减消去 ，解得 （  回代满足）。 【答案】（1），是数阵第 行第 个数；（2）（i），，；（ii） 变 15（填空题） 如果数列 满足：，对任意 ，都有 ，，则称 为”自然速增数列”。若数列 为”自然速增数列”（  ），且 ，，，则正整数 的最大值为 ________，使 取得最大值的数列有 ________ 个。 ●解析 记 ：条件即 ，且 ，故 是首项 的严格递增正整数列，最小形态为 ，总和 ， 时 、 时 ，故 。此时 ，比最小和 多 ，把增量 分配到递增正整数列等价于将 做正整数无序分拆，共 种（按拆成 到 项逐一枚举），故数列有 个。 【答案】； 单元四 操作变换与存在性证明 4.1 识别特征 题面定义一串变换（对数列某些项加常数、交换、重排），设问为”能否经若干次变换达到某状态”“求某量的最大 / 最小值”或”证明某不等式”。多为解答压轴，需要构造与论证并举。 4.2 结论与推导 结论 4.1(不变量判不存在)　判定”不存在一系列变换”时，找操作下保持不变的量：各项和的奇偶性、各项和的模、相邻项差的某种组合。若目标状态要求该量取某值而初始状态的值不同，则目标不可达。证明不变量的关键是验证”每一次变换都不改变它”。 结论 4.2(存在性靠构造，最值靠双向夹逼)　存在性证明给出具体构造即可（一组变换序列、一个满足条件的数列），小规模实验（  ）是找构造的手段。最值性证明是双向的：先给出达到该值的实例（下界可行），再证明任意情形都不超过它（上界放缩），两边夹逼定值。 结论 4.3(重排列的极值原理)　形如”重排后 的最大值”：相邻差之和的每一个 按大小端点计数，最大值由”最大数尽量多出现在差中、最小数尽量少出现”决定，排序后逐段放缩；对应的和式 用放缩压缩到常数。 4.3 方法决策表 设问 走法 依据 能否达到目标状态 找不变量，与目标矛盾即不存在 结论 4.1 存在性 小规模实验找规律，给出构造 结论 4.2 最大 / 最小值 构造达界 + 任意情形放缩，双向夹逼 结论 4.2 重排列最值 端点计数逐段放缩 结论 4.3 例题精讲 例 4（解答题） 已知数列 ：，，…， 的各项均为正整数，且 （  ）。定义变换 ： 将数列 变换为数列 ：，，…，，其中 ， 为数列 中不小于 的项的个数。（1）若数列 ：，求 ，并求一个数列 ，满足 。（2）记 为数列 的各项之和，若 ，。（i）求 的最小值；（ii）求 的最大值。 ●解析（1）： 中不小于 的项个数依次为 ，故 ：。由 ： 知 的首项为 ； 中不小于 的项有 个、不小于 与不小于 的项各有 个、不小于 的项有 个，且 非递增各项为正整数，得 ：。 （2）（i） 时 的最大项为项数 ，而 是最大项，故 。，又 ，故 ，。构造 ：（  个  ），：和为 ，且逐条验证 ，故 的最小值为 。 （ii）设 ，（  ）。数列共有 项、恰有 项不小于 ，故 ，由 得 。 可以达到：， 时，剩余 项中末项取 ，其余 项之和为 ，逐项不小于 且不大于 ，取 ，，数列 ：（  个  ）， 满足全部条件。故 的最大值为 。 【答案】（1）：；：；（2）（i） 的最小值为 ；（ii） 的最大值为 变式训练 变 16（解答题） 对于给定的 项整数数列 ：（  ），定义变换 ：若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变；若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变；若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变。（1）找出一系列变换，使得数列 经过这系列变换后成为常数列。（2）是否能找出一系列变换，使得数列 经过这系列变换后成为常数列？若存在，请给出具体的变换。 ●解析（1），三个变换的顺序可调换。 （2）存在。变换序列 ，逐次执行：；（  加 ， 各加  ）；；；，已成常数列。 【答案】（1）；（2）存在，变换序列如解析所示 变 17（解答题） 对于有限正整数数列 ：，若存在连续子列 和符号序列 ，使得 ，其中 ，则称数列 存在平衡连续子列。（1）写出数列 的一个平衡连续子列。（2）设对任意正整数 ，定义函数 为满足 的非负整数 （  为奇数），令 （  ）。证明：数列 不存在平衡连续子列。 ●解析（1），故 是一个平衡连续子列（  亦然）。 （2），，，故数列为 。任一连续子列的带号和与普通和的奇偶性相同（  不改变奇偶）。含 的子列中其余各项均为偶数，普通和为奇数，带号和也为奇数，不为 ；不含 的子列只在左段 或右段 内，其普通和为 、 或 之一，因 为奇数，括号内均为奇数，乘 后不为 。 【答案】（1）（或  ）；（2）证明见解析 变 18（解答题） 同余的定义为：设 ，， 为正整数，其中 ，若存在正整数 ，使得 ，则称 同余于 模 ，记作 。（1）证明：数列 中的每一项都是同余方程 的解。（2）已知同余方程 。（i）求该同余方程所有的正整数解；（ii）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列 ，求数列 的前 项和 。 ●解析（1），是 的倍数，得证。 （2）（i）按 三类代入： 时 ，除以 余 ，与 不同余，不是解; 时差为 ，是解; 时差为 ，是解。故所有正整数解为 或 （  ）。 （ii）解按 除以 的余数分类： 时 ，不是 的倍数，舍去； 时 是 的倍数，是解； 时 是 的倍数，是解。故解序列为 ，第 项为 、第 项为 。 时 ，代入 得 ； 时 ，代入 整理得 。综上 。 【答案】（1）见解析；（2）（i） 或 （  ）；（ii） 变 19（解答题） 数列 ：（  ）满足：，， 或 （  ）。对任意 ，，都存在 ，，使得 ，其中 且两两不相等。（1）若 ，判断数列① ；② ；③ 中哪些符合题目条件。（2）若 ，求 的最小值。 ●解析（1）①中 ，不存在四个两两不等的下标使和为 （只能取两个 ，而两个 的下标只有两个），不符合；②③中每个和值都能由两组不同下标实现，符合。故为②③。 （2）和条件要求每个可能的和值至少有两组下标互不相同的实现方式。构造数列形态：，即 与 各出现 次、 与 各出现 次、 各出现 次，此时 。验证：和为 或 时由重复的 或 实现，取法有两组以上；和为 时 有两组下标；和 且 时由 与 两组实现；和 时由 与 两组实现；和为 时 有 个、 有 个，可得两组不同下标。故该形态满足全部条件。另一方面，和为 与 的两组实现要求 与 各至少出现 次，和为 与 的两组实现要求 与 各至少出现 次，这 个冗余位置是必需的，故 ， 的最小值为 。 【答案】（1）②③；（2） 的最小值为 变 20（解答题） 若数列 对于任意的 （  ），满足 （ ， 为非零常数），则称数列 为” 型数列”。已知数列 是” 型数列”，数列 是” 型数列”，且 ，。（1）求数列 ， 的通项公式。（2）设 是数列 的前 项的和，求数列 的前 项的和 。 ●解析（1） 型即 （  ），即 ， 为等差数列，公差 ，; 型即 （  ），结合 对 一致， 为等比数列，。 （2），。相邻两项并项：。故 。 【答案】（1），；（2） 变 21（解答题） 已知数列 是等差数列，前 项和为 ，数列 是递增等比数列，且 ，，。（1）求数列 、 的通项公式。（2）求 。 ●解析（1）联立 与 ，得 或 ，由 递增取前者，，。 （2）相邻两项并项：。记 ，错位相减：，整理得 。故原式为 。检验 ：原式为 ，公式给 ，满足。 【答案】（1），；（2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列之新定义与信息迁移 高三数学专题复习 · 数列第五讲 0 题型概说 新定义数列题在题面给出一个课本没有的规则（一个新的数列类、一次变换、一个计数对象），设问按规则计算、判断或证明。这类题不考查陌生的知识，考查的是把规则读成数学动作的能力：定义怎么说，就怎么做；定义能翻译成等差、等比、递推，就化归为旧方法。信息迁移是它的姊妹形态——把数列放进集合、数阵、同余、函数方程等语境中，先翻译语境再回到数列主线。 识别信号总览表 题面形态 主线动作 落点 定义一个新概念（ “ 数列”“伴随”“ 时刻” ），设问判断或求值 按定义逐条直译，代具体值找规律 单元一 定义一种操作（插入、扩充、变换），设问求 次操作后的量 写第 次与第 次的关系，化归为递推 单元二 数列进入集合、数阵、同余、整除语境 先翻译语境（公共项、排序、剩余类），再回数列主线 单元三 操作 + 存在性 / 最值性证明 不变量判不存在，构造与放缩证存在 单元四 单元一 新定义的读题与直译 1.1 识别特征 题面定义一个新的数列类（ “满足某某条件则称……” ）或一个映射规则，设问为判断命题真假、求特定项或计数。多见于小题，选项往往逐条给出”若……则……“式命题。 1.2 结论与推导 结论 1.1（定义即规则，代入先行）　新定义的每一步运算都由题面规定，直译就是按定义的顺序执行。拿到定义先代入 算出前几项：具体值最能暴露规律，也能最快否定错误选项——判断型命题中，找一个反例即可否定。 结论 1.2（剥包装，见旧结构）　多数新定义是旧结构的包装：把定义式移项、取倒数、取对数或因式分解后，露出等差、等比、一阶线性或分段递推的本来面目（如” 为常数”即倒数成等差）。带绝对值、取整、 的定义按分段讨论直译，不跳步。翻译出的旧结构确定后，旧结论照常使用。 1.3 方法决策表 信号 走法 依据 判断型命题 代具体值找反例；找不到再用定义推一般 结论 1.1 定义式可整理 移项、取倒数、取对数，剥出等差等比 结论 1.2 定义含 、取整、绝对值 分段直译，逐支讨论 结论 1.2 例题精讲 例 1（多选题） 已知有穷数列 ，每一项均为 或 ，且末项为 。若存在正整数 ，则称数列 为” 数列”。记” 数列”的所有项的和为 ，则下列说法正确的是（  ） A．若 为” 数列”，则此数列为 ，，， B．若 为” 数列”且 ，则 C．若 为” 数列”且 （其中  ），则所有 的和为 D．若 为” 数列”，则 ●解析 A 项:,对应数列 ,正确。 B 项:,即前 个数位全部为 , 不是 ,错误。 C 项: 说明恰有两个 ； 限定数列至多 项。两个 的位置从 中选 个，共 种；每个 在其中出现 次，故所有 的和为 ，正确。 D 项: 给 。：设 出现在位置集合 （  ），则 ，。按 汇总，对固定的 ，每个位置在 元位置集合中出现 次（其余 个位置从剩余 个中选取），，正确。 变式训练 变 1（单选题） 将正整数 分解为两个正整数 ， 的积，即 ，当 ， 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解。当 ， 是 的最优分解时，定义 ，则数列 的前 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 2（多选题） 已知无穷数列 ，，若对 ，都有 ，则称 与 “伴随”。则下列选项正确的是（  ） A．若 ，，则 与 “伴随” B．若 ， 的前 项和为 ，则 与 “伴随” C．若 的前 项为 ， 与 “伴随”，设集合 ，则 中元素的个数为 或 D．若 是公差为 的等差数列，且对任意与 “伴随”的数列 ， 都递增，则 变 3（多选题） 已知数列 中 ，，当 时，，则下列说法正确的是（  ） A． B．满足 ，且 的所有 的和为 C．满足 的 的取值集合为 D．若 ，则 变 4（填空题） 已知欧拉函数 （  ）的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，例如 ，。记集合 中元素个数为 ，则数列 的前 项和为 ________。 变 5（单选题） 已知数列 是首项和公比均为 的等比数列，在数列 的任意相邻两项 与 （其中  ）之间插入 个 ，使它们和原数列的项构成一个新数列 ，则数列 的前 项和 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 新定义的递推化归 2.1 识别特征 题面定义一种操作：在相邻项之间插入新项（插入常数、插入乘积、插入和）、对数列做变换、按规则扩充。设问求操作 次后的项数、和、积或特定项。 2.2 结论与推导 结论 2.1(操作类定义翻译成相邻关系)　操作类问题的核心是写出”第 次的结果由第 次的结果经一次操作得到”的关系式：项数满足 型（每相邻两项之间插入一项，插入数为项数减一）；和满足 由 与边界项表示（插入项之和用原项表出，注意首尾项只参与一次插乘）；积满足” 为 “型（相邻乘积的连乘等于 除以首尾两项之积）。初始状态 （或  ）单独计算，再解递推。 结论 2.2(积结构取对数)　操作作用于”积”时，令 ，乘法关系” 为 “化为线性关系 ，平移后成等比；所求积 的对数即 ，化为等差与等比的混合求和。取对数前必须交代真数为正。 2.3 方法决策表 操作类型 走法 依据 插入一项（项数问题） ，平移成等比 结论 2.1 插入”两项之和”（和的问题） 用原项表出插入项，写 与 关系 结论 2.1 插入”两项之积”（积的问题） 取对数化加法，或相邻乘积总式” 除以首尾两项之积” 结论 2.2 变换不改变某结构 剥出被包装的旧递推，回旧方法 结论 1.2、2.1 例题精讲 例 2（解答题） 数列 为等差数列，数列 为各项不为零的等比数列，公比为 ，，。（1）证明：；（2）求集合 中元素的个数；（3）当 时，将数列 的每相邻两项 ， 之间插入一个数 ，构造新数列 （ ，，，， ），记其前 项和为 ，求 及满足 的最小正整数 。 ●解析（1）设 ，。由 移项得 。由 移项得 ，即 ；由 移项得 ，即 。两式相减得 ，回代得 ，即 。 （2），。 即 ，故 。 给 ，，元素个数为 。 （3） 时 ，。，其中 错位相减得 ，故 。单调递增，，最小正整数 。 变式训练 变 6（填空题） 已知正项数列 的前 项和为 ，，且 （ ， ）。若在 和 （  ）中插入 个相同的数 ，构成一个新数列 （即  ），记其前 项和为 ，则 的值为 ________。 变 7（填空题） 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列。扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和。已知初始数列 ，经过 次扩充后项数记为 ，所有项的和记为 ，则 的值为 ________； 的值为 ________。 变 8（解答题） 某学习小组收集到了类似于数列的”向量列”： 满足 ，且 ，。（1）求 ，， 的值，判断数列 是否为等比数列，若是，请加以证明。（2）求数列 的前 项和 。 变 9（解答题） 已知 是等差数列，其前 项和为 ，，； 是各项均为正数的等比数列，，。（1）求 和 的通项公式。（2）对任意正整数 ，设 ，求数列 的前 项和。 变 10（解答题） 已知函数 定义在区间 内，，对任意 ，，恒有 。（1）证明： 为奇函数。（2）若数列 满足 ，，。（i）证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；（ii）设 ，若 对任意正整数 恒成立，求 的取值范围。 单元三 信息迁移与计数 3.1 识别特征 数列被放进另一个语境：集合（两个数列的公共项、并集重新排序）、整除与同余（满足被 整除的项）、数阵与表格（按行列规律排列的正整数）、排列与位数字特征。先翻译语境，再回到数列主线。 3.2 结论与推导 结论 3.1(公共项与并集排序)　两个数列的公共项：写出各自通项 、，联立 ，用整除性与奇偶性刻画公共项的下标特征，公共项子列自身常成等差或等比。并集重新排序：先枚举两个数列的前若干项，逐段比较大小确定穿插顺序，再按段计数求和；重复元素只计一次。 结论 3.2(整除条件化为剩余类)　“某和被 整除”的条件，把和用末项表示、化为关于末项的剩余类枚举；计数时按剩余类分类，要求不重不漏。数阵问题先把”第几行第几个”翻译为通项（第 行末项的值或项数公式），行、列定位用整除与不等式估计。 3.3 方法决策表 语境 走法 依据 公共项 联立通项，整除刻画下标 结论 3.1 并集排序 枚举前若干项，逐段穿插计数 结论 3.1 整除 / 同余条件 化为末项的剩余类枚举 结论 3.2 数阵定位 行末项公式 + 整除定位 结论 3.2 例题精讲 例 3（解答题） 记 为等差数列 的前 项和。已知 ，。（1）求数列 的通项公式。（2）记集合 ，，将 中的元素从小到大依次排列，得到新数列 ，求 的前 项和。 ●解析（1） 且 ，解得 ，，。 （2），。逐一核对 中元素是否属于 （即是否为 型）：、 属于 ， 不属于。故 的前 项由 的前 项与 三个元素穿插组成：，其和为 的前 项和加 ，即 。 变式训练 变 11（解答题） 已知等比数列 满足 ，，。（1）求数列 的通项公式。（2）记数列 的前 项和为 ，，将数列 与 的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 ，求 的前 项和。 变 12（单选题） 已知数列 ， 的通项公式分别为 ，，将数列 ， 的公共项从小到大排列得到数列 ，设数列 的前 项和为 ，则 的表达式为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 13（填空题） 已知数列 共有 项，且 是整数 的一种排列，设 ，当 取 ，，， 中的任意值时， 总能被 整除，则 的所有可能取值为 ________。 变 14（解答题） 将所有正整数按照如下规律形成数阵：第 行为 ，第 行为 ，第 行为 ，第 行为 ，以此类推（第 行为所有 位正整数）。（1）将数列 与数列 的公共项按从小到大的顺序排列得到数列 ，确定 在该数阵中的位置。（2）将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现 的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 行中正整数的个数为 。（i）求 ，，；（ii）求 。 变 15（填空题） 如果数列 满足：，对任意 ，都有 ，，则称 为”自然速增数列”。若数列 为”自然速增数列”（  ），且 ，，，则正整数 的最大值为 ________，使 取得最大值的数列有 ________ 个。 单元四 操作变换与存在性证明 4.1 识别特征 题面定义一串变换（对数列某些项加常数、交换、重排），设问为”能否经若干次变换达到某状态”“求某量的最大 / 最小值”或”证明某不等式”。多为解答压轴，需要构造与论证并举。 4.2 结论与推导 结论 4.1(不变量判不存在)　判定”不存在一系列变换”时，找操作下保持不变的量：各项和的奇偶性、各项和的模、相邻项差的某种组合。若目标状态要求该量取某值而初始状态的值不同，则目标不可达。证明不变量的关键是验证”每一次变换都不改变它”。 结论 4.2(存在性靠构造，最值靠双向夹逼)　存在性证明给出具体构造即可（一组变换序列、一个满足条件的数列），小规模实验（  ）是找构造的手段。最值性证明是双向的：先给出达到该值的实例（下界可行），再证明任意情形都不超过它（上界放缩），两边夹逼定值。 结论 4.3(重排列的极值原理)　形如”重排后 的最大值”：相邻差之和的每一个 按大小端点计数，最大值由”最大数尽量多出现在差中、最小数尽量少出现”决定，排序后逐段放缩；对应的和式 用放缩压缩到常数。 4.3 方法决策表 设问 走法 依据 能否达到目标状态 找不变量，与目标矛盾即不存在 结论 4.1 存在性 小规模实验找规律，给出构造 结论 4.2 最大 / 最小值 构造达界 + 任意情形放缩，双向夹逼 结论 4.2 重排列最值 端点计数逐段放缩 结论 4.3 例题精讲 例 4（解答题） 已知数列 ：，，…， 的各项均为正整数，且 （  ）。定义变换 ： 将数列 变换为数列 ：，，…，，其中 ， 为数列 中不小于 的项的个数。（1）若数列 ：，求 ，并求一个数列 ，满足 。（2）记 为数列 的各项之和，若 ，。（i）求 的最小值；（ii）求 的最大值。 ●解析（1）： 中不小于 的项个数依次为 ，故 ：。由 ： 知 的首项为 ； 中不小于 的项有 个、不小于 与不小于 的项各有 个、不小于 的项有 个，且 非递增各项为正整数，得 ：。 （2）（i） 时 的最大项为项数 ，而 是最大项，故 。，又 ，故 ，。构造 ：（  个  ），：和为 ，且逐条验证 ，故 的最小值为 。 （ii）设 ，（  ）。数列共有 项、恰有 项不小于 ，故 ，由 得 。 可以达到：， 时，剩余 项中末项取 ，其余 项之和为 ，逐项不小于 且不大于 ，取 ，，数列 ：（  个  ）， 满足全部条件。故 的最大值为 。 变式训练 变 16（解答题） 对于给定的 项整数数列 ：（  ），定义变换 ：若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变；若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变；若 ，则 加 ， 均加 ，其余项不变。（1）找出一系列变换，使得数列 经过这系列变换后成为常数列。（2）是否能找出一系列变换，使得数列 经过这系列变换后成为常数列？若存在，请给出具体的变换。 变 17（解答题） 对于有限正整数数列 ：，若存在连续子列 和符号序列 ，使得 ，其中 ，则称数列 存在平衡连续子列。（1）写出数列 的一个平衡连续子列。（2）设对任意正整数 ，定义函数 为满足 的非负整数 （  为奇数），令 （  ）。证明：数列 不存在平衡连续子列。 变 18（解答题） 同余的定义为：设 ，， 为正整数，其中 ，若存在正整数 ，使得 ，则称 同余于 模 ，记作 。（1）证明：数列 中的每一项都是同余方程 的解。（2）已知同余方程 。（i）求该同余方程所有的正整数解；（ii）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列 ，求数列 的前 项和 。 变 19（解答题） 数列 ：（  ）满足：，， 或 （  ）。对任意 ，，都存在 ，，使得 ，其中 且两两不相等。（1）若 ，判断数列① ；② ；③ 中哪些符合题目条件。（2）若 ，求 的最小值。 变 20（解答题） 若数列 对于任意的 （  ），满足 （ ， 为非零常数），则称数列 为” 型数列”。已知数列 是” 型数列”，数列 是” 型数列”，且 ，。（1）求数列 ， 的通项公式。（2）设 是数列 的前 项的和，求数列 的前 项的和 。 变 21（解答题） 已知数列 是等差数列，前 项和为 ，数列 是递增等比数列，且 ，，。（1）求数列 、 的通项公式。（2）求 。 学科网（北京）股份有限公司 $