数列 专题 第1讲 数列的新定义与信息迁移讲义-2027届高三数学一轮复习

数列的新定义与信息迁移 数列 · 专题篇 新定义的读题与验证 新定义题的第一步永远是把定义翻译成一串能算的条件。定义里出现的每个名词 —— 「差」「积」「和」「整数」「递增」——都要落到式子上，一个不漏。翻译完之后，题目就变回了一道普通的数列题。 要特别看清定义里的量词：「存在某个 」与「对任意 都有」是完全不同的两件事。前者举一个例子就够，后者要证明，但只要举出一个反例就能推翻。很多新定义给出的正是「存在 使……」这种弱条件，读题时把这一点圈出来，后面的判断会轻松很多。 验证一个具体的数列是否满足定义，走的是逐项代入：先把前几项写出来，再按定义式逐项核对。要注意定义里要求的是「每一项都满足」还是「存在一项满足」——前者只要有一项不合格就否掉，后者找到一个合格项就够了。 条件里若出现「整数」二字，它往往就是取值的下界。比如「差分为严格递增的整数列」，就意味着每个差分至少比前一个大 ——这一步把「不等式」升级成了「可以逐项估的界」，是后面求最值的关键。看到「整数」「正整数」这类词，先想想它能给出什么量化的限制。 最后学会用定义去构造极端情形。求某个下标的最大值或最小值时，让相关的量取到「刚刚满足定义」的极端值，往往能直接给出界的等式。构造完还要回代检查定义是否仍然满足，尤其是取等号的那一项有没有被破坏。 例1（单选·★★★★☆） 如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”。若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 【切入点】条件 移项得 ，即差分严格递增。问的是 时 的最大值 ——要让 大，就得让差分尽量小。 【关键】记 ，则 ，且 。题设 ，所以 也是整数，「严格递增的整数列」每次至少加 ，于是 。 【关键】累加得 。要 ，只需这个下界不超过 ：。 时 ； 时 。所以 的最大值为 。故选 B。 【易错】把「差分严格递增」翻译成「」时，靠的是整数条件 —— 每个差分至少比前一个大 。漏掉「」，就只能写 ，下界会松半格， 的答案也会差 。另外不等式方向不要写反：求 的最大值，用的是「下界不超过 」。 【答案】B 变式1-1（多选·★★★☆☆） 若数列满足为常数，则称数列为"调和数列".已知数列为"调和数列"，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 【切入点】定义 （ 为常数）说的是倒数构成等差数列。所以整道题的抓手是 是等差数列，四个选项都往它上面靠。 【关键】A 项：等差数列的前 项和 ，所以 ，通分得 ，与选项里的 差一个系数，A 项错误。 【关键】B 项：由 得 ，由 得 ，于是 ，，即 。B 项正确。 【关键】C 项： 等差，故 ，解得 。各项为正数，由基本不等式 ，C 项正确。 【关键】D 项：由 、 得 ，所以 ，。待证式左边为 。用对数不等式 （）放缩：。再由 得 ，于是 。D 项正确。故选 BCD。 【易错】A 项错在系数：等差中项公式给出的是「两项之和等于中项的两倍」，所以通分后应当出现 ，题干里写的是等号，少了一半。C 项用的是基本不等式的方向 —— 是调和平均的两倍倒数，它不超过算术平均 ，方向别弄反。D 项的关键是两次放缩的尺度：先用 把对数去掉，再用 把分母统一 ——第二次放缩之后求和恰好是等差数列求和，落到 ，与右边严丝合缝。 【答案】BCD 变式1-2（解答·★★★★★） 若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”。（1）判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由；（2）若是“平方等差数列”。（ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立；（ⅱ）证明：存在正整数，使得。 【切入点】定义 （非零常数）说的是平方之后的差分为常数。第一问逐项代入即可；第二问的两个结论都只要证明「存在」，所以关键是找到一个合适的 ，而不是对一切 都推。 【关键】（1）对 ：，，恒为常数 ，故它是平方等差数列。对 ：，随 变化、不是常数，故它不是平方等差数列。所以 是， 不是。 【关键】（2）先定 的符号：数列是正项无穷数列，而由定义累加得 。若 ，当 足够大时右端会成为负数，与 矛盾，故必有 。 【关键】（ⅰ）由平方差公式 ，得 。 时 递增，故 ，分母 ，于是 。差趋于零，自然存在正整数 使它小于 ，即 。 【关键】（ⅱ）由 （两边开方即可验证）得 ，所以 。当 充分大时右端与 同量级，而 随 无限增大，所以只要 取得足够大，就有 。 【易错】这道题的两小问都只要求「存在」，所以不必求出具体的 ，只要说明「当 充分大时……」即可 ——把「存在」误读成「对一切」会白做很多功。（ⅰ）的关键是把 写成 ，这样「差分趋于零」就变成「分母趋于无穷」；（ⅱ）用 把 控制在 量级，再说明倒数和发散。★ 另外别忘了开头那句 的判定 ——正项无穷数列这个前提把 的情形直接排除了，两小问都因此少讨论一半。 【答案】 是， 不是；证明见解析 例2（填空·★★★★☆） 若数列满足（，当且仅当为奇数时取等号），则称为“数列”。设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 【切入点】条件 移项就是 ——它说的是差分逐项不减。记 ，条件就变成 。 【关键】再看取等号的时机： 为奇数时 ， 为偶数时 。由 、 得 ，于是，，，……即把差分两两成对，每一对严格大于前一对。 【关键】第一问：。 说明差分也是整数，而 ，所以 ，，取 时取到。故填 。 【关键】第二问：要让 的 尽量大，就得让每一对差分只比前一对多 1（这是增长最慢的取法），即 、、……、。若 为奇数，记 ，则 ，由它 得 ，即 。若 为偶数，记 ，则 ， 时 可以， 时超出。所以 的最大值为 。 【易错】三个地方：一是取等号的时机要看清 —— 条件说「当且仅当 为奇数时取等号」，所以差分的严格增大只发生在偶数下标处，两两成对；二是「」用在了差分上，没有整数条件就只能写 而得不到 ；三是 的奇偶要分开算，本题奇数的上界是 85、偶数是 86。 【答案】； 例3（填空·★★★★☆） 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为。如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列。若数列满足，则 = ______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则 = ______． 【切入点】定义把「差分数列」一层层叠起来：一阶差是相邻两项之差，二阶差是一阶差的相邻两项之差，依此类推。第一问只需把前几项算出来再作差；第二问要从「二阶差成等比」反推原数列的通项。 【关键】第一问：，，逐项算得 、、。一阶差 ：、、。故填 。 【关键】第二问：前 5 项 、、、、，作差得 、、、；再作差得 、、 —— 公比为 的等比数列，故 。 【关键】由 累加（）得 。再由 累加（）得 。而 ，所以 。 【易错】两次累加的下标起点最容易错：从 到 中间只加了 项，求和区间是 到 ；第二处同理。另外等比求和 要算准，最好用「首项 、公比 」的等比求和公式单独写一遍。验算方式是把 代回 ，看是否得到 、、。 【答案】； 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”。记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 【切入点】定义 其实就是用二进制表示 ，但权重从 起（没有 那一位）。于是「 数列」由 唯一决定， 就是 的二进展开里 的个数。 【关键】A 项：，所以 、其余为 ，数列为 。A 项正确。 【关键】B 项：，也就是需要连续 项全为 ，此时 。B 项错误。 【关键】C 项： 表示二进展开里恰有 个 ，设最高位为 （末项为 保证最高位是 ），则 （）。由 得： 时 ，，； 时 ，，； 时 ，。全部相加得 。C 项正确。 【关键】D 项： 就是 的二进展开里 的个数。逐项列出 到 ：，于是 。D 项正确。故选 ACD。 【易错】这道题的核心是把定义读成二进制：权重从 起而不是 ，所以 数的是 的个数，而 与数列是一一对应的。B 项错在项数 —— 展开要 项，不是 项；选项里给的 也就差了一项。C 项要按最高位 分类枚举，漏掉 那一支会少算 。 【答案】ACD 变式3-2（填空·★★★★☆） 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”。已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【切入点】定义同时给了三个等式：首项等于末项、也等于全体各项之和。把这三个条件一起去掉已知项，剩下的就是一个计数问题。 【关键】「 和谐数列」意味着 、，即 。由 知首末两项已经定为 ，条件中的「总和为 」于是化为 。 【关键】，中间四项各自独立取值，只要和为 。分类计数：四项全为 —— 种；恰有一个 与一个 、其余两个为 ——先在 个位置里选 的位置、再从剩下 个里选 的位置，共 种；两个 与两个 —— 只需选出两个放 的位置，共 种。合计 。故填 。 【易错】两个地方：一是首末两项已经固定为 ，它们不参与计数，只把条件从「六项和为 」简化成「中间四项和为 」；二是分类要不重不漏 ——「和为 」按正数个数分三档（ 个、 个、 个），三档互斥且穷尽。漏掉「全 」或把「一正一负」与「两正两负」算重都会出错。 【答案】 新定义下的通项与求和 新定义一旦读懂，接下来就是把它翻译成熟悉的递推。定义里给的多是「相邻三项」的关系（三项成等差、两个乘积相等），而求通项需要的是「相邻两项」的关系 ——所以中间往往要做一次降阶。 降阶有两条常用的路。一条是作差：把三项关系写成 这类形态，说明差分恒定或成等差，再用累加求通项。另一条是开方或取对数：出现平方、乘积时，先开方把它降次、或取对数把它变成加法，「 为常数」这类条件就是把平方数列化归成等差数列。 新定义题里常有一类条件只对某个特定的量成立（如「存在 使……」）。处理办法是先算前几项，从具体数值里看出规律，再把「存在」翻译成方程：把待定的量设为未知数，用前几项列方程解出它，最后回代验证后面的项也满足。猜出形式之后一定要回代 —— 否则只是猜想，不是证明。 求和的路线由通项的形状决定。通项是 的多项式就分组求和；是「等差 等比」就错位相减；是分式就看分母能不能分解成相邻因式、从而裂项。看到 、 这类形状，先想裂项，别急着硬加。 最后提醒一句：新定义的条件常常只从某一项之后才成立。由递推解出的通项对首项未必成立，所以求出通项之后要把首项代进去验一次，不符就分开写。这个动作在新定义题里比在普通题里更必要 ——因为定义本身就可能把首项排除在外。 例4（解答·★★★★★） 若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”。（1）若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式。（2）已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为。（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”。 【切入点】两个定义一个管「三项之和的关系」，一个管「三项之积的关系」。第一问两条同时成立，联立即可；第二问要证的是「存在某个 」，所以先算前几项、把 试出来。 【关键】（1）「-拟等差数列」即 ，说明 本身是等差数列，设公差为 。「-拟等比数列」即 。由等差性质，，与条件对照得 ，所以 。 【关键】又 ，而 ，故 。 时 ，； 时 ，。两支都满足条件，故通项为 或 。 【关键】（2）由 、 与 取 ：，解得 。于是递推式为 。逐项算下去：由 得 ，；由 得 ，；由 得 ，。 【关键】看数列 ——从第 项起，绝对值 成等差数列（公差 ），符号隔项相反，即 。把它代回 检验：左边为 ，两项合并得 ；右边为 。两边约去 后 对 恒成立，当 时两边相等。所以存在 ，使 是「-拟等差数列」，证明见解析。 【易错】（1）里 给出两支，两支都要保留 ——条件里没有任何一句话能排除其中一支。（2）的思路是先算项、再猜形式、最后回代核验 ——直接由递推式解通项很难，但算出前六项就能看出「绝对值成等差、符号隔项相反」。猜出形式之后必须代回定义式验证，否则只是猜想不是证明。注意「从第 项起绝对值成等差」这个观察只对 成立（ 时 ，绝对值为 ），但通项式本身在 时给出的正是 ，所以它对一切 都成立，回代可以从 起。 【答案】 或 ；证明见解析 变式4-1（解答·★★★★★） 若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”。已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，。（1）求数列，的通项公式；（2）设是数列的前项的和，求数列的前项的和。 【切入点】「 型」说的是相邻三项的线性关系 。认出它对应哪种熟悉的递推，就能直接写通项。 【关键】（1） 型即 ，移项得 ——差分恒定，所以 是等差数列。由 、 得公差 ，故 。 型即 ——相邻两项之比恒为 ，所以 是等比数列，由 得 。 【关键】（2），所以 。把前 项两两配成一组，第 组的两项是 与 ：。所以 。 【易错】两个定义式的识别是关键：系数写成 时 就是「二阶差分为零」，也就是等差数列； 时 ，退化成「后项是前项的两倍」，就是等比。（2）里符号交错，直接按 逐项加会很乱，两两配对之后每组恰好是一个奇数，求和立刻变成 ；配对要从 起，因为符号在第 、 项之间变一次。 【答案】，； 例5（解答·★★★★☆） 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列。（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足，，。①求数列的通项公式。 【切入点】定义说「 构成的数列是等差数列」，也就是差分的差分是常数。验证与求通项都只要把 写出来。 【关键】（1），于是 。 是公差为 的等差数列，所以 是二阶等差数列。 【关键】（2）① 由 、、 得 、。 是等差数列，公差为 ，所以 。 【关键】用累加求通项：，而 ，所以 。代 检验：、、，与题设相符。 【易错】二阶等差数列的两步不能省：先用前两项之差定出 的首项与公差，再用累加回到 。只做第一步会停在 ，忘了累加；累加时上限是 （从 加到 中间有 项），写成 会把最后一项多加一次。（1）的判断依据是「 是不是 的一次式」——算出 即可下结论，不必再算二阶差分。 【答案】是，理由见解析； 变式5-1（解答·★★★★★） 已知无穷数列，构造新数列满足，满足，，满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，，，若为常数数列，则称为阶等比数列。已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式。 【切入点】定义把「差分的差分」一层层叠上去，与二阶等差数列是同一路数，只是层数可以更高。由 往回推两层即可。 【关键】由 知 是公差为 的等差数列。而它的首项 ，所以 。 【关键】再用一次累加：。而 ，所以 ，即 。 【易错】关键是差分数列的首项：，不是 ；两次累加的上限都是 （从第 项加到第 项中间有 项）。展开 时， 那一部分用等差数列求和，常数项 要乘 ——这两处合起来才是 。 【答案】 例6（解答·★★★★★） 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”。（1）若等比数列为“A数列”，求的公比q；（2）若数列为“A数列”，且，。①求证：。 【切入点】定义是 ，注意它管的是开方之后的差。把 看成一个新数列，条件说的就是这个新数列成等差数列 —— 这是本题的降次通道。 【关键】（1）设等比数列 （、）。它是「 数列」意味着 对一切 都是同一个常数。若 ，右端随 变化，不可能恒为常数；所以 。 【关键】（2）① 由 、 得 ，所以 是首项为 、公差为 的等差数列，，即 。 【关键】于是 。对 用 裂项：。所以 ，证明见解析。 【易错】（1）的判断靠的是「常数」二字： 是等比数列（公比 ），它要成为等差数列，只有公比为 这一种可能。（2）① 的化归是本题的灵魂 ——把 当新数列，条件立刻变成「等差」，通项随手写出。（2）② 裂项时前两项要单独留下： 只在 时成立，且 时右边为 而左边是 差得较多，所以把 与 提出来单独加，从 起才裂项。 【答案】；证明见解析 变式6-1（解答·★★★★★） 若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”。（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由。 【切入点】定义给的是一串不等式：「前 项的平均值」随 增大而递减。把它写成 ，就得到一个可以逐项化简的不等式。 【关键】（1）由 去分母（两边乘 ，方向不变）：，展开得 ，两边减去 即得 。证明见解析。 【关键】（2）由（1）知，「均值递减」等价于 对一切 成立，所以只需检验这个不等式。把 展开为 ，得 ；同法展开 ，故 。 【关键】再用 、、 逐项求和，得 。 【关键】两式相减：。右边每一项对 都是正的（四次项与二次项、一次项为正，三次项为负但被四次项压住：， 时为正， 时可直接验算剩余的项），所以 恒成立， 是「均值递减数列」。 【易错】（1）的思路是把定义的不等式翻译成 与 的关系 ——这一步是整道题的枢纽，有了它，（2）的判断就变成「验证 」，不必再去比 与 。（2）里合并同类项时三次项、二次项、一次项与常数项要分开处理，漏掉任何一项都会让最后的符号判断失效。 【答案】证明见解析；是，理由见解析 变式6-2（解答·★★★★★） 设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为。（1）若对任意都成立，且。①求数列的通项公式；②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和。现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值。 【切入点】两个条件分工明确：乘积关系定「是什么数列」，和式的递推定「公比是多少」。先把定性结论拿到手，再求定量。 【关键】（1）① 由 两边平方得 ——这是等比数列的特征式，所以 是等比数列，设公比为 。 【关键】再看 。把 换成 得 ，两式相减：，故 。代回 的情形：，而 ，所以 ，解得 。于是 。 【关键】（1）② 从 中抽取部分项构成无穷等比数列 时，抽出的下标依次相差同一个间隔 ，所以 的公比为 。设 ，各项和为 。由它不超过 得 。取 时右端恰为 ，而 只能取 这些值，下一个更大的取值是 ，远超所有 所允许的上界（ 时上界趋于 ）。所以 。 【易错】第一问两步分工要清楚：乘积条件给出「等比」这个定性结论，和式条件给出公比这个定量结论，缺一不可；相减时要把 换成 再写一遍，直接对 求差是求不出来的。第二问容易被「 越大越好」误导 ——上界确实随 变大，但 是离散取值，真正决定答案的是「不超过上界的最大那一档」。 【答案】； 新定义下的存在性与最值 这一类的题目光都在「存在」与「最值」上：「是否存在某一项满足……」「求下标的最大值」「求参数的最小值」。它们与「证明对一切 成立」恰好相反 ——只要找到一个就够，不必对所有的都验证。读题时先把这一点圈出来，能省掉大量无效劳动。 求下标或参数的最值，标准做法是把条件翻译成一个不等式，再解这个不等式。比如「数列递增且每项是整数」，就意味着差分的下界是 ，累加后得到关于 的不等式 ——要哪个量的最大（小）值，就把那个量解出来取边界。 新定义里的「存在」命题常常要构造：找到那个满足条件的下标或数列，就算证完。构造时先让相关的量取到极端值（刚好满足定义的那一档），往往能直接给出界的等式。构造完要回代检查定义是否仍然满足，尤其是取等号的那一项有没有被破坏。 还有一类是「不存在」的证明，比如「这样的三项一定找不到」。这时要把条件化成一个方程，再说明这个方程没有符合范围的正整数解。常用手段是两边约去公因式后比较因式、或者用整除性把取值范围逼到一个矛盾。 最后是计数型的存在性问题：「满足条件的数列有多少个」。做法是先把定义化简成一个等价的简单条件（例如「和为 」「前缀和恰为 」），再按情况分类枚举。分类要做到不重不漏，每类的边界（全 、全取等号）都要单独看一眼。 例7（解答·★★★★★） 若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”。（1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；（2）设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值。 【切入点】「倍增数列」的定义是 ——相邻两项的比值逐项增大。验证就代具体数值，求最值就把「比值递增」翻译成下界。 【关键】（1）对 ：比值依次为 、、，严格递增，所以它是倍增数列。对 ：比值依次为 、、， 不满足严格递增，所以它不是倍增数列。 【关键】（2）记 ，则 是严格递增的正整数列（题设「比值为整数」）。由 得 ，故 ，且 。又 （），要它等于 。 【关键】因为 是奇数，所有 都必须是奇数。若 ，则需要五个严格递增的奇数 满足 ，而它们至少是 ，乘积已达 ，不可能。若 ，需要四个严格递增的奇数满足乘积为 ： 正好，对应的数列是 ，满足全部条件。所以 的最大值为 。 【易错】三个关节：一是「比值是整数」这句话给了取值只能跳档的强限制，少了它就得不到「」；二是 （因为 ），这个 不参与乘积；三是 是奇数，把「找四个递增整数」缩小成「找四个递增奇数」，否则会误以为 可行。确定 的上界靠的是「最小乘积超过目标」，确定可行性靠的是具体分解（）。 【答案】 是， 不是； 变式7-1（解答·★★★★★） 给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”。（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列。 【切入点】定义 说的是「和变积」——令 立得 ，所以这实际上就是公比为 的等比数列，即 。抓住这一点，三个小问都好办。 【关键】（1）由定义取 得 ，所以 、。 【关键】（2）由 得 ，取倒数：。记 ，则 。而 ，所以 。验证 ，故 是指数型数列。 【关键】（3）指数型数列满足 。设其中存在三项 、、（）成等差数列，则 ，两边同除以 ：。记 、，则要 。 【关键】而 （），由基本不等式 。等号成立需要 ，即 ，与 矛盾，所以等号取不到， 且等号不成立。特别地当 时右端为 ，左边严格大于 ，也不可能等于 。故任意三项都不能构成等差数列，证明见解析。 【易错】（2）的方向是取倒数：原递推是分式，取倒数后变成 ，这是「一阶线性」，再配常数就成等比。注意题目要求的是 而非 ，配的常数正是 。（3）的关键是先把「指数型」翻译成 ，再把「成等差」写成指数方程，最后用基本不等式的取等条件说明它无解 ——注意 这个范围来自 ，少了它就无法排除 。 【答案】，；是，证明见解析；证明见解析 变式7-2（解答·★★★★★） 已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列。（1）求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列；（2）证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列。 【切入点】「完美子列」是三项：其中一项等于另两项之和。第一问在小范围内枚举即可；第二问要证明「整数公比的等比数列不存在完美子列」，就把三项写成 、、 再比。 【关键】（1）在 中取三个递增的数 ，要求 。逐一枚举：和为 的只有 ，得子列 ；和为 的只有 ，得 ；和为 的有 、，得 与 ；和为 的有 （但 不在数列中）等，均不成。所以所有完美子列为 ；；；。 【关键】（2）设等比数列的通项为 ，公比 为整数。若存在完美子列，即存在下标 使某一项等于另两项之和。不妨设最大的一项是 （三项的大小关系由 的符号决定，但和式总可以写成 的形式，否则把三项重新编号）。 【关键】代入通项并约去 、再除以 （）：。记 、，则 。 【关键】右边是 ，所以左边两个因式的绝对值都必须是 ，特别地 ，由 得 。而 为整数且等比数列的公比不能为 ，所以 。 时各项都等于 ，要 只能 ，此时三项全为 ，不构成「一项等于另两项之和」的不同三项； 时各项在 与 之间交替，任取三项只能得到 或 ，都不等于项本身（除 ）。故整数公比的等比数列不存在完美子列，证明见解析。 【易错】（1）枚举时要固定和再找拆法，逐个和试过去最不容易漏。（2）的关键是约去 与 之后比较因式 —— 这个式子直接把 逼到 ，是整道题的枢纽。 这两种特殊情形必须单独交代：它们不满足 ，用因式分析得不出矛盾，只能逐一代回去看。 【答案】；；；；证明见解析 变式7-3（填空·★★★★☆） 如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”。若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______。 【切入点】「自然速增数列」给了三条：各项是自然数、严格递增、且 。第三条移项就是差分严格递增，所以从「差分」下手。 【关键】记 ，则 。由 、 得 。又 说明 也是整数，所以 。 【关键】累加得 。要 ，只需这个下界不超过 ：。 时 ； 时 。所以 的最大值为 。故填 。 【易错】这道题与「速增数列」是同一套推理：先把「三项不等式」翻译成「差分递增」，再用「整数」把它升级成「」，最后累加求界。三个条件缺一不可 ——少了「」就得不到差分的整数性，下界会松一档，答案就变成 。另外 （而不是 ）来自 ，这个起点也要用准。 【答案】 例8（解答·★★★★★） 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”。（1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由；（2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值；（3）若，且。证明：数列是“上界1数列”。 【切入点】定义是一对夹逼不等式 ，拆开就是「数列递增」+「每一项都小于 」。所以判断一个数列是不是「上界 数列」，只要看这两件事。 【关键】（1），当 很大时自变量趋于 ，而 说明 ，所以 的极限在 内、是正数。但 不单调（正弦在这个区间上先增后减），存在 使 ，所以 不是「上界 数列」。 【关键】（2）设 ，它随 单调递增、且恒小于 ，所以 恒成立。另一侧要求 即 对一切 成立，故 （ 递增趋于 但取不到）。所以 的最小值为 。 【关键】（3）由 知 ，所以 自动成立。剩下只需证 。对递推式取倒数：。 【关键】用 （）放缩：。对 累加得 。 【关键】估右边的和：把前三项单列，从 起裂项，。又 ，所以 。于是 ，即 。两个条件都满足，故 是「上界 数列」，证明见解析。 【易错】（2）的关键是上确界取不到： 对一切 成立但 ，所以 必须 ，最小值就是 （能取到）。（3）的思路是取倒数把递推线性化：原式是分式递推，取倒数后变成「减法」，累加即得界。估计 时不能只用「」这种粗界（那样算出 不够用），前几项单列、后面裂项才能把界压到 ，刚好够。 【答案】不是；；证明见解析 变式8-1（解答·★★★★★） 设为正数，若以为首项的等比数列满足：，，也构成等比数列，则称为所对应的一个型数列。（1）若型数列存在并且唯一，求的值；（2）若，，其中，是一个型数列。（i）求的值；（ii）令，，探究，，之间的关系，并求的值。 【切入点】「 型数列」的定义是：等比数列本身取 之后各加上 ，得到的三数仍成等比。所以条件就是一个等式，把三个数按等比中项写开即可。 【关键】（1）设 ，则 、、 成等比，即 。展开整理：，即 ，也就是 。 【关键】由 得 ，即 或 ，这两个区间上 关于 都单调，所以一般都有两个解。要「存在且唯一」，只能是其中一个解被排除 ——能使 同时 或 的 不存在，所以被排除的应当是 （公比为零时后续项全为 ，不是等比数列）。令 与 ：，解得 。此时另一个解 给出唯一合法的等比数列。故 。 【关键】（2）（ⅰ），故 、、，条件成为 。展开整理得 。设 满足 （即 ，它的确落在 内），则 、，代入得 ，确为方程的根。故 。 【关键】（ⅱ）由（ⅰ）知 ，记 、，则 、，且 。由 可推出 （因为 ，而 ），所以 ，于是 （这需要 与 同时成立，后者由前者两边除以 得到），即 。 【关键】再由这个递推式计算：把 、、 代入并展开：，。两式相减，含 的项全部相消，剩下 ，与 无关。由 得 ，，故 。 【易错】（1）的「唯一」要弄清楚谁唯一：方程给出两个 ，但其中一个（）不构成等比数列，所以真正合法的只有一支。（2）（ⅱ）的关键是用 把高次幂降下来 —— 这条恒等式（等价于 ）是 的来源；而 展开后与 无关，说明它是常数，再代入 的值即得 。 【答案】；；， 例9（解答·★★★★★） 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”。如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为。（1）求和；（2）求和。（3）求数列的前项积。 【切入点】「积扩充」是在每相邻两项之间插入它们的积。项数会翻倍，而所有项的积有一个漂亮的递推 ——这两件事各自独立，分开处理。 【关键】（1）数列 第一次扩充得 （在相邻两项间插入 、），共 项；第二次扩充后共 项，所以 。积方面：原积为 ，第一次扩充后积为 ，第二次扩充后为 ，故 。 【关键】（2）项数：每次扩充相邻两项之间多出一项，项数由 变 ，所以 。由 解这个递推：，，故 。 【关键】积方面：设某一步的数列有 项、所有项之积为 。扩充时插入的 个数依次是相邻两项之积，它们的乘积为 。所以新积为 。本题首项恒为 、末项恒为 ，故 。由 解得 、，通式为 。 【关键】（3）。而 ，所以指数为 ，即 。 【易错】（2）的两个递推要分开推：项数递推 是「一阶线性」，配常数 后成等比；积的递推 的关键是插入项之积要算对 ——用 化成 ，这一步把「相邻积的乘积」与「所有项之积」挂上了钩。本题首末项始终不变（ 与 ），才使递推保持简单形式；换成别的初始数列，首末项也要跟着扩充。 【答案】，；，； 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的新定义与信息迁移 数列 · 专题篇 新定义的读题与验证 新定义题的第一步永远是把定义翻译成一串能算的条件。定义里出现的每个名词 —— 「差」「积」「和」「整数」「递增」——都要落到式子上，一个不漏。翻译完之后，题目就变回了一道普通的数列题。 要特别看清定义里的量词：「存在某个 」与「对任意 都有」是完全不同的两件事。前者举一个例子就够，后者要证明，但只要举出一个反例就能推翻。很多新定义给出的正是「存在 使……」这种弱条件，读题时把这一点圈出来，后面的判断会轻松很多。 验证一个具体的数列是否满足定义，走的是逐项代入：先把前几项写出来，再按定义式逐项核对。要注意定义里要求的是「每一项都满足」还是「存在一项满足」——前者只要有一项不合格就否掉，后者找到一个合格项就够了。 条件里若出现「整数」二字，它往往就是取值的下界。比如「差分为严格递增的整数列」，就意味着每个差分至少比前一个大 ——这一步把「不等式」升级成了「可以逐项估的界」，是后面求最值的关键。看到「整数」「正整数」这类词，先想想它能给出什么量化的限制。 最后学会用定义去构造极端情形。求某个下标的最大值或最小值时，让相关的量取到「刚刚满足定义」的极端值，往往能直接给出界的等式。构造完还要回代检查定义是否仍然满足，尤其是取等号的那一项有没有被破坏。 例1（单选·★★★★☆） 如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”。若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 变式1-1（多选·★★★☆☆） 若数列满足为常数，则称数列为"调和数列".已知数列为"调和数列"，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，，则 C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则 变式1-2（解答·★★★★★） 若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”。（1）判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由；（2）若是“平方等差数列”。（ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立；（ⅱ）证明：存在正整数，使得。 例2（填空·★★★★☆） 若数列满足（，当且仅当为奇数时取等号），则称为“数列”。设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 例3（填空·★★★★☆） 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为。如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列。若数列满足，则 = ______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则 = ______． 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”。记“数列”的所有项的和为，则（ ） A. 若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B. 若为“数列”且，则 C. 若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D. 若为“2k数列”，则 变式3-2（填空·★★★★☆） 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”。已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 新定义下的通项与求和 新定义一旦读懂，接下来就是把它翻译成熟悉的递推。定义里给的多是「相邻三项」的关系（三项成等差、两个乘积相等），而求通项需要的是「相邻两项」的关系 ——所以中间往往要做一次降阶。 降阶有两条常用的路。一条是作差：把三项关系写成 这类形态，说明差分恒定或成等差，再用累加求通项。另一条是开方或取对数：出现平方、乘积时，先开方把它降次、或取对数把它变成加法，「 为常数」这类条件就是把平方数列化归成等差数列。 新定义题里常有一类条件只对某个特定的量成立（如「存在 使……」）。处理办法是先算前几项，从具体数值里看出规律，再把「存在」翻译成方程：把待定的量设为未知数，用前几项列方程解出它，最后回代验证后面的项也满足。猜出形式之后一定要回代 —— 否则只是猜想，不是证明。 求和的路线由通项的形状决定。通项是 的多项式就分组求和；是「等差 等比」就错位相减；是分式就看分母能不能分解成相邻因式、从而裂项。看到 、 这类形状，先想裂项，别急着硬加。 最后提醒一句：新定义的条件常常只从某一项之后才成立。由递推解出的通项对首项未必成立，所以求出通项之后要把首项代进去验一次，不符就分开写。这个动作在新定义题里比在普通题里更必要 ——因为定义本身就可能把首项排除在外。 例4（解答·★★★★★） 若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”。（1）若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式。（2）已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为。（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”。 变式4-1（解答·★★★★★） 若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”。已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，。（1）求数列，的通项公式；（2）设是数列的前项的和，求数列的前项的和。 例5（解答·★★★★☆） 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列。（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足，，。①求数列的通项公式。 变式5-1（解答·★★★★★） 已知无穷数列，构造新数列满足，满足，，满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，，，若为常数数列，则称为阶等比数列。已知为二阶等差数列，且，，，求的通项公式。 例6（解答·★★★★★） 若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”。（1）若等比数列为“A数列”，求的公比q；（2）若数列为“A数列”，且，。①求证：。 变式6-1（解答·★★★★★） 若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”。（1）已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，；（2）若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由。 变式6-2（解答·★★★★★） 设是各项均为正数的无穷数列，其前项和为。（1）若对任意都成立，且。①求数列的通项公式；②已知首项为，公比满足的无穷等比数列，当无限增大时，其前项和无限趋近于常数，则称该常数为无穷等比数列的各项和。现从数列中抽取部分项构成无穷等比数列，且的各项和不大于，求的最大值。 新定义下的存在性与最值 这一类的题目光都在「存在」与「最值」上：「是否存在某一项满足……」「求下标的最大值」「求参数的最小值」。它们与「证明对一切 成立」恰好相反 ——只要找到一个就够，不必对所有的都验证。读题时先把这一点圈出来，能省掉大量无效劳动。 求下标或参数的最值，标准做法是把条件翻译成一个不等式，再解这个不等式。比如「数列递增且每项是整数」，就意味着差分的下界是 ，累加后得到关于 的不等式 ——要哪个量的最大（小）值，就把那个量解出来取边界。 新定义里的「存在」命题常常要构造：找到那个满足条件的下标或数列，就算证完。构造时先让相关的量取到极端值（刚好满足定义的那一档），往往能直接给出界的等式。构造完要回代检查定义是否仍然满足，尤其是取等号的那一项有没有被破坏。 还有一类是「不存在」的证明，比如「这样的三项一定找不到」。这时要把条件化成一个方程，再说明这个方程没有符合范围的正整数解。常用手段是两边约去公因式后比较因式、或者用整除性把取值范围逼到一个矛盾。 最后是计数型的存在性问题：「满足条件的数列有多少个」。做法是先把定义化简成一个等价的简单条件（例如「和为 」「前缀和恰为 」），再按情况分类枚举。分类要做到不重不漏，每类的边界（全 、全取等号）都要单独看一眼。 例7（解答·★★★★★） 若正项数列满足对任意，都有成立，则称数列为“倍增数列”。（1）试判断数列1，2，5，13和数列1，3，8，21是否为“倍增数列”；（2）设数列为“倍增数列”，若为整数，，，，求正整数k的最大值。 变式7-1（解答·★★★★★） 给定数列且，若对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”。（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列。 变式7-2（解答·★★★★★） 已知数列中至少含有5项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，构成的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列的完美子列。（1）求数列2，3，4，5，6，7的所有完美子列；（2）证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列。 变式7-3（填空·★★★★☆） 如果数列满足：，对任意，都有，，则称为“自然速增数列”。若数列为“自然速增数列”（，，，…，），且，，，则正整数的最大值为______。 例8（解答·★★★★★） 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”。（1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由；（2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值；（3）若，且。证明：数列是“上界1数列”。 变式8-1（解答·★★★★★） 设为正数，若以为首项的等比数列满足：，，也构成等比数列，则称为所对应的一个型数列。（1）若型数列存在并且唯一，求的值；（2）若，，其中，是一个型数列。（i）求的值；（ii）令，，探究，，之间的关系，并求的值。 例9（解答·★★★★★） 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”。如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为。（1）求和；（2）求和。（3）求数列的前项积。 学科网（北京）股份有限公司 $