大题07 导数及其应用讲义-2027届高三数学一轮复习

大题07 导数及其应用 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 3 2024/2025/2026高考真题 6 易错点速查清单 21 速记口诀 23 典例讲解之会一题通一类 25 解答题专项题组A（基础回归） 44 解答题专项题组B（能力提升） 52 解答题专项题组C（思维拓展） 66 公式定理汇总 一、导数的定义与几何意义 导数定义： 几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。 切线方程： 识别特征：题干出现“在点……处的切线”“过点……的切线”“切线斜率”“公切线”。 通法选择：“在点 处”说明 是切点，直接求 写切线方程；“过点 ”不说明 是切点，应设切点 ，写出切线方程后代入 的坐标求 。 书写要求：写“因为 ，所以 ，切线方程为 ”。过点求切线必须写“设切点为 ”，再列方程。 二、基本初等函数的导数公式 识别特征：求导的第一步，所有求导题都要用到。 通法选择：先识别函数结构，再逐项求导；含根号、分式先化为指数形式，如 ，。 书写要求：写“由求导公式得 ”；化指数形式时写清“因为 ，所以 ”。 三、导数的四则运算与复合函数求导 和差： 积： 商： 复合函数： 识别特征：函数由多个因子相乘、相除，或含 、、 等复合结构。 通法选择：先看结构——乘积用积法则，分式用商法则，复合用链式法则。含参数的函数求导后应整理为通分形式，便于因式分解和定符号。 书写要求：写清每一步求导对象，如“”；复合函数写“由复合函数求导法则，”。 四、导数与单调性 定理：设 在区间 上可导。 若 在 上恒成立，则 在 上单调递增； 若 在 上恒成立，则 在 上单调递减。 识别特征：题干要求“讨论单调性”“求单调区间”“已知单调性求参数范围”。 通法选择：先求定义域，再求导，通分、因式分解，确定 的符号。含参时，按导函数零点是否存在、零点是否在定义域内、零点大小关系分类讨论。 书写要求：写“函数的定义域为……，”。讨论单调性时写“①当 时，……；②当 时，令 ，得 ，……”。结论写成区间形式。 五、极值与最值 极值定义：若在 附近， 比两侧都大，则 为极大值；比两侧都小，则为极小值。 为极值点。 极值判定：若 ，且 在 两侧变号，则 为极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点。 闭区间最值：求 在 上的最值，比较所有极值与端点函数值 。 识别特征：题干要求“求极值”“求最值”“已知极值点求参数”“恒成立求参数范围”。 通法选择：极值先求导、解 ，再列表判断符号变化；闭区间最值在极值基础上加端点；含参极值需讨论参数范围。 书写要求：写“令 ，得 ，列表如下……，所以 在 处取得极大（小）值 ”。极值必须说明是极大还是极小，不能只写“极值”。 六、导数与不等式 证明 ：构造 ，证明 。 证明 ：求 的最小值，说明最小值非负。 恒成立问题：对任意 ， 恒成立 ； 恒成立 。 存在性问题：存在 ， ；存在 ， 。 识别特征：题干出现“证明不等式”“恒成立”“存在”“求参数范围”。 通法选择：能分离参数优先分离参数，转化为最值问题；不能分离参数时，构造函数求最值；含隐零点时，设零点 ，利用 降次。 书写要求：写“设 ，则 ，令 ，得……，所以 ，所以 ”。恒成立写“由题意，，所以 ”。 七、导数与零点 零点存在定理：若 在 上连续，且 ，则存在 ，使 。 零点个数判定：结合单调性和极值，画出函数草图，数图象与 轴交点个数。 识别特征：题干要求“讨论零点个数”“证明存在唯一零点”“已知零点个数求参数”。 通法选择：先求单调性和极值，再判断极值点与 轴的位置关系；含参时按参数分类讨论，或分离参数后转化为两函数图象交点问题。 书写要求：写“由 知 在……上单调递增，在……上单调递减， 的极大值为……，极小值为……，又 ，所以……”。零点存在性必须写端点函数值异号。 常用结论、二级结论归纳 结论1：常用切线不等式 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立。 识别特征：证明含 、 的不等式，或放缩比较大小。 使用条件： 对一切实数成立； 要求 。等号成立条件常用于取等或说明不可改进。 书写要求：写“由切线不等式 ，得……”，并注明等号成立条件。证明题中用切线不等式放缩时，应说明放缩方向与目标一致。 结论2：含参单调性讨论的分类标准 对 型或 型： 一次型：按 、、 分类。 二次型：先看 是否退化，再看 的符号，再看两根是否在定义域内，最后看两根大小。 识别特征：含参函数求单调性、极值。 使用条件：分类标准必须覆盖所有参数取值，且不重不漏。 书写要求：写“①当 时，……；②当 时，，……；③当 时，……”。每一类都要写出单调区间和极值情况。 结论3：分离参数法 若不等式可化为 对 恒成立，则 识别特征：参数容易分离，且分离后函数最值易求。 使用条件：分离后 在 上的最值存在；若 无最值但有上确界或下确界，需单独说明。 书写要求：写“由题意， 对 恒成立，所以 ”；再求 。分离时注意除以含 的式子要讨论符号。 结论4：隐零点法 若 的根 无法显式求出，但可确定 所在区间，则设 ，利用该式降次或消去超越项，再求 的符号或范围。 识别特征：导函数含 、 与多项式混合，零点不可解。 使用条件：能确定 的存在性和所在区间；能用 消去超越项。 书写要求：写“设 ，则 （或 ），所以 ”。必须说明 的存在性和范围。 结论5：极值点偏移的常用处理 若 在 处取得极值，且 （），要证 （或 ），常用对称构造： 令 ，判断 在 上的符号，再利用单调性转化。 识别特征：题干出现“，证明 ”或“”。 使用条件： 在极值点两侧单调性相反，且能构造对称函数。 书写要求：写“设 ，令 ，则 ，所以 在 上……，所以 （或 ），即 ，又 ，所以 ，由单调性得 ，即 ”。 结论6：三次函数的图象与性质 对 （）： 。 时有两个极值点； 时无极值点，函数单调。 识别特征：三次函数求单调性、极值、零点个数。 使用条件：；三次函数最多三个零点。 书写要求：写“，”。讨论 的符号，再列表判断单调性和极值。 结论7：构造函数比较大小 比较 与 的大小，可构造 ，或利用单调性把自变量转化到同一单调区间。 识别特征：比较两个函数值大小，或证明 。 使用条件：能构造出差函数且差函数单调性或符号易判断。 书写要求：写“设 ，则 ，所以 在……上单调……，又 ，所以……”。 结论8：对数平均不等式 对 ， 识别特征：题干出现 与 的比值，或双变量不等式。 使用条件： 且 。 书写要求：写“由对数平均不等式，”；若解答题中直接引用，应说明或简单证明。 结论9：双变量问题的消元与主元法 消元：若 满足某关系，可用一个变量表示另一个，转化为单变量问题。 主元法：把其中一个变量看作主元，另一个看作参数，构造关于主元的函数。 识别特征：题干出现两个变量 ，证明 或求最值。 使用条件：两变量之间有明确关系，或可固定一个变量讨论另一个。 书写要求：写“由条件得 ，代入目标式得 ”；主元法写“视 为参数，设 ”。 结论10：零点个数与参数范围 讨论 的零点个数，可转化为 的图象交点个数，或利用 的单调性和极值。 识别特征：题干要求“讨论零点个数”“已知零点个数求参数范围”。 使用条件：分离参数后 的图象易画；或 的极值易求。 书写要求：写“由 得 ，设 ，则 ，所以 在……上单调……，极大值为……，极小值为……，所以当 时有两个零点……”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合导数几何意义建立方程求解； （2）法一：构造差函数，结合导函数符号的变化分类讨论函数的单调性，进而由恒成立求解参数范围即可；法二：先由必要性探路分析界点，当，确定界点；再结合界点分类讨论即可； （3）法一：构造差函数，结合端点效应分析界点，再分类讨论可得；法二：分离参数，结合洛必达法则求解. 【详解】（1）， 由切点在直线上，也在函数图象上， 可知且，可得； 由，则切线的斜率为， 解得； 故. （2）由（1）知，， 则 ， 故题意可转化为对任意恒成立， 法一：令，， 则， 当时，由且， 则，即， 则在上单调递增，又， 要使对任意恒成立， 则，解得； 当时，不成立； 当时，，，且， 则， 即，则在上单调递减， 又当时，，不满足题意； 综上所述，的取值范围为. 法二： 不等式可转化为， 即对任意恒成立， 当时，不成立； 当时，设，， 当时，由，可知， ， 这与对任意恒成立矛盾； 当时，， ， 由，故在上单调递增， 故在上存在唯一零点，设为， 且当时，，即， 此时不等式不成立； 当时，， 则在上单调递增， 由，故， 故不等式，即恒成立， 综上所述，的取值范围为； （3）法一：设， 则 ， 令， 则， 其中，，. 当时，， 则在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，设 ， 由，可知且， 则，可知在上单调递增， 故，即， 故在上单调递增，故， 故在上单调递增，故， 即当时，恒成立，满足题意； 当时，此时，又， 则存在正实数，使得，， 则在上单调递减，则， 即当，，不满足题意； 综上所述，，即的最小值为. 法二：由可得 ， 则，即， 则， 由，可知，则， 故原不等式可转化为， 由， 设，， 则， 设，，令， 则，， 由， 再令， ，故在上单调递增， 故，则，故在上单调递增， 所以，即， 故在上单调递减， 又由洛必达法则可知， 故要使当时，恒成立，则， 即的最小值为. 2．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】【小问1】     【小问2】证明： 法1：设不存在使得， 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则对于存在整数使得且， 此时无解，故矛盾；故假设不成立； 故存在，使得， 即存在使得. 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立.     【小问3】 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）略； （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. (2)（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）略 （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 易错点速查清单 易错点1：求导后不写定义域 学生典型错误：求单调区间、极值时，没有先写函数定义域，导致区间超出定义域。 成因分析：含 的函数定义域为 ，含分母的函数需分母不为零。 纠正要求：求导前先写“函数的定义域为……”，单调区间、极值点都应在定义域内。 易错点2：“在点处”与“过点”切线混淆 学生典型错误：题目说“过点 的切线”，直接把 当作切点代入 。 成因分析：“在点 处”说明 是切点；“过点 ”只说明切线经过 ， 不一定是切点。 纠正要求：过点求切线必须设切点 ，写出切线方程后代入 的坐标求 ，可能有多解。 易错点3：含参讨论分类不全 学生典型错误：只讨论 ，漏掉 、；或二次型只讨论 ，漏掉 、。 成因分析：分类标准不完整，或没有按参数对导函数结构的影响分类。 纠正要求：按“最高次项系数是否为0—判别式符号—根是否在定义域内—根的大小”的顺序分类，确保不重不漏。 易错点4：极值点与导数为零的点混淆 学生典型错误：认为 的点一定是极值点。 成因分析： 只是必要条件，还需 在 两侧变号。如 在 处 ，但不是极值点。 纠正要求：写“令 ，得 ，当 时 ，当 时 ，所以 为极大值点”。 易错点5：恒成立与存在性最值对应混淆 学生典型错误：把“恒成立”转化为最大值，把“存在”转化为最小值。 成因分析：对任意 ， 恒成立，要求 不超过 的最小值；存在 ，，要求 不超过 的最大值。 纠正要求：写清“恒成立 ；存在 ”。画数轴或图象辅助判断。 易错点6：分离参数时除以含 的式子不讨论符号 学生典型错误：由 直接得 ，没有讨论 或 。 成因分析：除以含 的式子，不等号方向取决于 的符号。 纠正要求：分离参数前先确定 的范围；若 可正可负，应分情况讨论，或选择不分离参数的构造函数法。 易错点7：隐零点不说明存在性和范围 学生典型错误：设 后直接使用，没有说明 存在及所在区间。 成因分析：隐零点法需要先证明零点存在，才能设 。 纠正要求：写“因为 在……上单调，且 ，，所以存在唯一 ，使 ”。 易错点8：切线不等式放缩方向用反 学生典型错误：证明 时用了 ，或证明 时用了 。 成因分析：切线不等式的方向固定，放缩方向必须与目标一致。 纠正要求：证明“大于”时用下界放缩，证明“小于”时用上界放缩；写清“由 ，得……”。 易错点9：极值点偏移对称构造方向错 学生典型错误：要证 ，却构造 后判断错符号方向。 成因分析：对称构造后，需利用 在极值点两侧的单调性转化。 纠正要求：写清“设 ，则 ”，由 的符号推出 与 的大小，再结合 和单调性得结论。 易错点10：零点存在性不写端点异号 学生典型错误：只写“由图象可知有一个零点”，没有用零点存在定理说明。 成因分析：零点存在性需要连续性和端点函数值异号。 纠正要求：写“因为 在 上连续，且 ，所以存在 ，使 ”；唯一性由单调性说明。 易错点11：单调区间用并集连接 学生典型错误：把单调递增区间写成 。 成因分析：函数在 和 上分别递增，但不能用并集表示，因为中间有递减区间。 纠正要求：单调区间用“和”或逗号连接，写“单调递增区间为 和 ”；只有在整个区间上单调时才能用并集。 易错点12：最值比较漏端点 学生典型错误：求闭区间最值时只比较极值，忘记比较端点函数值。 成因分析：闭区间最值可能在端点取得。 纠正要求：写“比较 与各极值，最大者为最大值，最小者为最小值”。 速记口诀 口诀一：求导顺序 先看定义域，再求导；通分因式分解好； 定号列表下结论，单调极值都来到。 求导题固定流程：定义域—求导—通分因式分解—定符号—列表—结论。 口诀二：切线 在点处，点是切点，导数就是斜率现； 过点处，设切点，代入已知解方程。 “在点处”直接求导；“过点”设切点 。 口诀三：含参讨论 一次看系数，二次看判别； 根在定义域，大小再分辨。 含参单调性讨论顺序：最高次项系数—判别式—根是否在定义域—根的大小。 口诀四：极值判定 导数为零不是极值，左右变号才是极值； 左正右负极大值，左负右正极小值。 且变号才是极值点。 口诀五：恒成立与存在 恒成立找最小，存在找最大； 大于号取小，小于号取大，方向别弄差。 对任意 ， 恒成立 ；存在 ， 。 口诀六：切线不等式 的 方大于等于 加一， 小于等于 减一； 等号都在特殊点，放缩方向看目标。 口诀七：隐零点 零点不可求，设它 ； 导数等于零，代入降次求； 存在范围先说明，符号判断再下结论。 隐零点法：设 ，用该式消去超越项。 口诀八：零点个数 单调极值画草图，极值正负定交点； 端点函数看趋势，零点个数自然现。 先求单调性和极值，再结合端点函数值判断零点个数。 口诀九：极值点偏移 对称构造 ，比较 与 ； 利用单调转不等，和积关系自然出。 极值点偏移：构造 ，利用单调性转化。 口诀十：双变量 双变量，先消元，主元法来帮忙； 固定一个看另一个，单变量函数求最值。 双变量问题优先消元或主元法，转化为单变量问题。 口诀十一：单调区间书写 单调区间用“和”连，不能并集来相连； 中间有断不能并，分别写出才规范。 单调区间用“和”或逗号连接，不能用并集。 口诀十二：最值 闭区间求最值，极值端点比一比； 最大最小定结论，端点千万不能弃。 闭区间最值需比较极值和端点函数值。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)比较与的大小； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时，；当时，． (2) 【分析】（1）构造函数，即可利用导数求解函数的单调性求解， （2）构造函数，进而将问题转化为在上恒成立，解法1：根据（1）的结论，对进行讨论，判断满足，不满足，对时，对求导，结合二次函数的性质判断单调性，可得矛盾求解，解法2：对求导，结合，对进行讨论，结合导数的正负确定单调性求解，解法3：根据在单调递增时得在上恒成立，利用基本不等式求解，后续跟解法一相同，解法4：对求导，结合， ，所以，解得．进而得是原不等式成立的一个必要条件．   利用（1）的结论以及放缩法证明充分性即可. 【详解】（1）设，     则，在单调递增．     因为，所以当时，，即；     当时，，即； 当时，，即．     综上所述，当时，；当时，；当时，． （2）解法1：设， 则在上恒成立．     由（1）知当时，，因此．     若，当时，，显然成立；     若，当时，，，所以，不满足题意；     若，，     设，．     设的两根分别为，，则，因此． 当时，，即，因此在单调递减． 当时，，不满足题意． 综上，的取值范围是．     解法2：设， 则在上恒成立，且．     因为，所以．     若，当时，，在单调递减． 时，，不满足题意；     若，当时，，在单调递增． 时，，满足题意；     若，， 设，．     设的两根分别为，，则，因此． 当时，，即，因此在单调递减． 当时，，不满足题意． 综上，的取值范围是．     解法3：设，则在上恒成立．         因为，所以当在单调递增时，，满足题意．     当在单调递增时，在上恒成立． 因为，所以在上恒成立．     又因为，所以．     当时，，在单调递减，当时，，不满足题意；     若，，     设，． 设的两根分别为，，则，因此． 当时，，即，因此在单调递减． 当时，，不满足题意． 综上，的取值范围是．     解法4：设，则在上恒成立．         因为，所以．     又因为，所以，解得．因此是原不等式成立的一个必要条件．     下证充分性：当时，，     由（1）知当时，，因此，满足题意． 综上，的取值范围是． 8．（2026·吉林·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据切线的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线方程即可； （2）由恒成立，则且，求出在上的最小值和最大值，即可求出的最大值； （3）对不等式进行变形，利用同构函数，参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出的取值范围即可. 【详解】（1），在处切线斜率， ，∴切点为， ∴曲线在处切线方程为，即； （2）对任意恒成立，则且， 由（1）知，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，且， ． 且，，， 即当且时，实数的最大值为； （3）由题可知，对任意恒成立． ，，． 设，，，则在上单调递减， ，， ，即在上恒成立． 设（），则， ，令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， ，即正实数k的取值范围是． 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)极小值是，无极大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性即可求解； （2）将已知条件整理为对任意恒成立，令，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，定义域为，， 令，即，解得， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增； 因此函数的极小值为，无极大值. （2）将不等式整理为， 由于对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 而，， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以在处取得最小值，最小值为， 由于，所以， 要使恒成立，则，由于是整数，所以的最大值是. 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)证明：由题意得，满足， 即，且. . 要证，即证，即证. 设，则. 由可知，当时，单调递增，故，即， 因此. 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求解计算即可. （2）对函数求导，令，分和两种情况讨论函数的单调性. （3）先利用极值点性质转化待证不等式，然后构造辅助函数证明不等式即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 对函数求导得，所以. 所以切线方程为，整理得. （2）函数定义域为，. 令. ①当时，，恒成立，，在上单调递增； ②当时，的两根为， 且. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）略 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，． (1)记，讨论函数的单调性； (2)若，， ①求的取值集合； ②若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在区间 上单调递增，在区间上单调递减 (2)①；②. 【分析】（1）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间. （2）①问题转化为，分别讨论与的取值范围，可得的取值范围，再根据，可得的取值集合. ②先讨论的符号，把问题转化成：恒成立，求的取值范围.再分离参数，得恒成立，设，求该函数的最小值即可. 【详解】（1）因为，，则 由得. 当时，令，解得，令，解得， 故在区间 上单调递增，在区间上单调递减. （2）①因为，所以， 所以不等式等价于， 设，由（1）知，在区间 上单调递增，在区间上单调递减； 故； 设，则， 令，解得，令，解得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故， 因为恒成立， 所以，即． 因为，所以的取值集合为. ②由①知1或2. 因为，设， 当时，； 当时，，在区间上单调递增，所以. 所以，当时，，所以. 所以只需讨论当时，恒成立的情况. 对任意的，由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 故函数在上为增函数， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 所以，构造函数， 其中，则，所以函数在上为增函数， 因为，则，所以， 由可得，所以，可得， 当时，，则，即函数在上单调递减， 当时，，则，即函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，也是最小值， 即， 故，所以实数的取值范围是. 12．（2026·广东广州·模拟预测）已知． (1)证明：对，； (2)若对，，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对，总有． 【答案】(1)证明：先证 （），令 ，， 则 ，所以 在 上单调递减， 故 ，即 . 再令 ，，则 ， ， 所以在 上单调递增，故， 即，原不等式成立. (2)（或 ） (3)证明：由(2)知，当 ， 时，有 ， 即 . 由 知 ，取 ，得 ，即 . 对 求和，左端为 ， 右端为 ，故原不等式成立. 【分析】（1）先证常用不等式 ，再把差函数 求导，借该不等式放缩得 ，从而 递增得证. （2）直接考察 的导数与单调性：必要性用端点效应，由 且 知 ，即 ；充分性借 放缩为函数 ，由 证其在 上递增. （3）直接调用（2）中 时的结论 ，令 放缩为单点不等式，再利用 裂项求和. 【详解】（1）略 （2）由 ，. ，，. 当 时，. 因为 在 上连续， 所以 从的右侧充分小时仍有，即存在，当 时， 于是 在 上单调递减，从而 ，与题设 恒成立矛盾. 故 不合题意，必须有 . 当 时，由于 ，， 所以 . 设，， 则，， 当 时，，故， 所以 在 上单调递增，从而，即 . 综上，. （3）略 13．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)证明：曲线与轴有唯一交点； (2)记曲线与轴的交点为， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)当时，恒成立，所以在上与轴无交点．     当时，，所以在上递增， 所以曲线在上与轴至多有一个交点， 因为，， 且在上连续，由零点存在性定理可知，在上存在零点， 结合单调性可知，曲线与轴有唯一交点；     所以，当时，曲线与轴有唯一交点 (2)（ⅰ）由（1）知，即，且，     两边取自然对数，解得，     接下来证明：时，， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立．     由式知，，所以， 所以，得证. （ⅱ）证明： 由（i）得，所以， 所以； 证明： 在式中，令，得， 所以由式得， 所以，，     所以， 当时，在式中，令，得， 因为，所以时， ， 因为 所以当时， 所以当时，成立， 所以，得证． 【分析】（1）分别讨论在不同区间的零点，结合零点存在性定理以及函数的单调性证明即可； （2）（ⅰ）由已知条件，构造函数，得到，于是得到； （ⅱ）根据以及，不等式两边整体求和即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·四川南充·一模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； (3)已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 【答案】(1)切线方程为：； (2)实数的取值范围为； (3)证明：由题意得：， 极值点满足，即， 将代入，等式成立，所以是方程的根， 结合，得， 令，，则极值点满足， ， ， 设， ，在单调递增，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以在上仅有一个根，所以， 需证， 代入，，可得：， 又，所以只需证：，， 令，， 则， 分母，只需证分子小于零，设， 则，， 设，则， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 所以， 所以在上恒成立，故在上单调递增，故， 故在单调递减，故，故在上单调递增， 所以，故在上单调递减，， 故即. 【分析】（1）对函数求导，代入算出在处的导数（切线斜率）与函数值，直接写出水平切线方程，属于基础导数切线问题； （2）利用局部保号性可求参数的取值范围； （3）先观察得到是极值点方程的根，利用构造函数的对偶对称性得到两根互为倒数，换元后多次求导逐层分析单调性，证明目标不等式. 【详解】（1）已知，定义域为， ， 当时，， ， 切点为，斜率为， 所以切线方程为. （2）已知在单调递增，则，故， 设，则， 若即，则存在，使得，， 故，总有，矛盾； 故，此时， 设，则， 故在为增函数，故，故此时恒成立， 综上，的取值范围是. （3）略. 15．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，，判断曲线和的公共点个数； (3)若曲线和有公共点，求证：． 【答案】(1) (2)个 (3)设两曲线公共点的横坐标为，则， 若，则，，不符，故； 且有，即， 设向量，向量， 则由，可得， 故， 即有，即， 令，则， 则在上单调递增，又，故， 又，故，则， 故， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即有，则， 故. 【分析】（1）求导后计算函数单调性即可得； （2），求导后结合零点的存在性定理可得该函数单调性及其导函数零点，再利用其导函数零点代入计算可得恒成立，即可得解； （3）设两曲线公共点的横坐标为，可得及，借助向量数量积公式及其性质计算可得，再构造函数证明，可得，最后构造函数，证明即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 故在上单调递增， 故； （2）令，则， 令，则， 由，则，故恒成立， 故在上单调递增，又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，故， 则， 令，， 则， 故在上单调递减，故， 故，则，故无解， 即曲线和的公共点个数为； （3）略 16．（2026·河南信阳·一模）函数，． (1)时，讨论函数的零点的个数； (2)若时，，求实数的取值范围； (3)求证：对任意正整数， 【答案】(1)2个 (2) (3)当时，左边，右边，左边右边； 由（2）知时，即，对恒成立. 设，，在上单调递增， 恒成立，即对于恒成立. 时，， ， 时，. 综上，对任意正整数，. 【分析】（1）先分析的单调性，再取特殊值根据零点存在定理确定零点所在区间及总个数； （2）先由端点值得到的范围，再证明此范围能使对恒成立； （3）先说明时不等式成立，当时，待证不等式等价于 ，不等式右边可看成这项之和，联想到，不等式左边也能分解成项之和. 若能证明左边的每一项都不小于右边的对应项即，便能证明原式成立，该式的证明需结合（2）中对恒成立和常用放缩. 【详解】（1）时，，. 令，得；令，得. 在上单调递减，在上单调递增，至多2个零点. 又，，， 在和内各有一个零点，共2个零点. （2）时，，，得. 当时，， 在此基础上，当时，，， 在上单调递增，恒成立. 实数的取值范围为. （3）略 解答题专项题组A（基础回归） 17．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值，且最大值大于0，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）对函数求导并分类讨论参数，即可得出的单调性； （2）根据（1）中的结论得出极大值的表达式，解不等式即可得的取值范围． 【详解】（1）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）因为有最大值，且最大值大于0， 故，且在处取最大值， ，即，解得. 因此的取值范围是． 18．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 19．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入计算切点坐标和切线斜率，利用点斜式推导切线方程； （2）先求导，结合极值点处导数为得到的候选值，再通过导数的符号变化验证极大值条件，最终确定的取值 【详解】（1）当时，，所以，即切点为； 又， 所以； 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）定义域为，， 由为极值点得，代入得，解得或； 若，则由得或， 当时，时， 故处为极小值，不符合题意，舍去； 若，则由得或， 当时，时， 故处左增右减，为极大值，符合题意； 综上，. 20．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 21．（2026·四川成都·二模）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【详解】（1）由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. （2）由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 22．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 23．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 24．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是函数的一个极值点． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为． 【详解】（1）函数，定义域为． 求导得：， 因为是的一个极值点，所以， 代入得：，解得， 将代入导函数：， 令，解得或． 当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是极小值点，所以． （2）由（1）可知：当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得上最大值，即． 又，， ， 即，所以在上最小值为． 综上：函数在上最大值为，最小值为． 25．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1)， (2)增区间是，减区间是和，极大值为，极小值为 【详解】（1）对求导，可得． 而切线方程的斜率为， 则，即， 又点在切线上，则， 所以，即， 解方程组，可得，． （2）由（1）知， 则． 令，得，故的增区间是， 令，得，故的减区间是和， 故的极大值为，的极小值为． 26．（2026·四川巴中·模拟预测）已知函数，． (1)求证：；； (2)解不等式； (3)当时，求证：． 【答案】(1)由题意可得：，所以，， 所以，又因为，所以，，所以 (2) (3) 要证，转化为证， 两边同乘2（不等号方向不变），即证， 整理得，令， 求导得： ，令，解得： ， 当时，，故， 因此，即在上单调递增， 又，因此对任意，都有， 原不等式成立 【分析】（1）先根据、表达式求出、，再分别化简、并与、比较. （2）先对不等式进行变形，通过换元将指数不等式转化为二次不等式求解，最后回代并取对数得到原不等式的解集. （3）将不等式变形为，设求导分析单调性，结合证明. 【详解】（1）略 （2） 由题意得，两边同乘得： ，即， 令，不等式变为， 因式分解得，解得， 即，取自然对数可得：， 不等式解集为. （3）略 解答题专项题组B（能力提升） 27．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增． (2)1个，且零点在内． 【分析】（1）求出，根据与的大小关系及的单调性讨论的符号，从而确定单调区间． （2）利用（1）确定函数的两个临界点，比较临界点处的函数值，并结合函数在两端的极限和单调性判断零点个数． 【详解】（1）函数的定义域为，且． 当时，恒成立，所以（），（），故在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得． 由可得（），（）， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 当时，． 当时，且； 当时，且，故除外均有，所以在上单调递减． 当时，． 由可得（），（）， 所以在和上单调递减，在上单调递增． （2）由知，结合小问1，在上递减，在上递增，在上递减． 又． 因为，所以； 再由，得． 此外，． 当时，且，故； 当时，的负值绝对值超过二次项，故． 因此在上恒成立； 在上，连续且单调递减，并由、知有且只有一个零点． 28．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的值； (3)当时，若函数有两个极值点，求证：. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) (3)当时，，则， 因为有两个极值点，所以在上有两个不相等的实根， 令，即， 设，要使对应的方程在上有两个不等的实根， 需或，对称轴，端点值， 综上，只需满足， 由韦达定理可知是方程的两根，所以，所以，得证. 【分析】（1）利用导数及分类讨论研究函数的单调性； （2）根据已知分析得出且，再构造函数研究不等式恒成立求参数值即可； （3）问题化为在上有两个不相等的实根，结合一元二次函数的性质及对应方程根的个数列不等式求参数范围，最后由韦达定理即可证. 【详解】（1）已知，定义域为， 求导， 当时：因为，因此，在上单调递增， 当时：令，解得， 当时，，所以，在上单调递减， 当时，，所以，在上单调递增， 综上所述： 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，若，在上单调递增， 当时，，不满足恒成立， 因此必须有，此时在处取得极小值，也是最小值， 所以， 要使恒成立，只需， 令，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得最大值，即， 因此，要使恒成立，只能，解得； （3）略 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 30．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）将“不等式无解”等价转化为“在上恒成立”，分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【详解】（1）对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上无解， 等价于不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 31．（26-27高三上·北京·期中）已知函数． (1)当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； (2)若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 【答案】(1)①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； (2). 【分析】（1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数 ，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. 【详解】（1）① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）依题意，，不等式 恒成立， 令 ，求导得， 令 ，求导得 ，函数在上单调递增， 而 ，则存在，使得， 即， 当时，，即；当时，，即， 函数在 上单调递减，在上单调递增， ， 因此，而， 令，由，得， 由对勾函数性质得 在单调递减， 则，所以整数的最大值为. 32．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 【答案】(1)单调增区间为和,单调减区间为. (2)当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 【分析】（1）利用导数的正负判断的单调区间即可； （2）将讨论方程的实数根的个数转化为讨论的零点个数问题，再利用导数研究的极大值与极小值以及单调性，分类讨论在不同范围时，的零点个数情况即可. 【详解】（1）由题意得，， 令，解得或2. + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递增区间为和，的单调递减区间为. （2）令，解得或. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极小值为. 当时，，， 所以时，即，此时无实根. 时，即，此时有且仅有一个实根. 时，即，此时有两个实根. 当时，则，为增根，所以此时有一个实根. 当时，则在单调递减，在单调递增， 所以极大值为，极小值为. 以下讨论的正负， ，设， 则对恒成立，所以在单调递增. 所以在恒成立， 所以在单调递减，因为，所以. 于是在有一个实根. 当时，在单调递增，此时有一个实根. 当时，在单调递增，在单调递减， 所以极小值为，极大值为. 此时，在有一个实根. 综上所述，当时，无实根. 当或时，有一个实根. 当时，有两个实根. 33．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 【答案】(1)（i） （ii）极大值为，无极小值 (2)当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点 【分析】（1）（i）结合题意与导数的几何意义求解切线方程即可，（ii）结合题意求出，再结合导数研究单调性，进而求解极值即可. （2）对进行求导得到的单调性，进而结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）（i）由题意得，则切点为， 又，所以， 所以切线方程为，即. （ii）由题意得， 所以，令，解得， 当变化时，的变化情况，如下表所示， 1 0 单调递增 单调递减 当时，有极大值，极大值为，无极小值. （2）由题意得，令， 则，令，解得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为； ①当，即时，恒成立，所以无零点； ②当，即时，，所以有1个零点； ③当，即时，； 当时，；当时，， 所以在和上各有一个零点，即有2个零点. 综上：当时，无零点； 当时，有1个零点；当时，有2个零点. 34．（2026·陕西·三模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可； （2）根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以的最大值为. 35．（2026·湖北武汉·三模）已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 【答案】(1)1 (2)，，，， 令，即， 因为函数有两个极值点、，， 故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则， 所以，，单调递减； ，，单调递增． 故，即． 【分析】（1）求导判断单调性，结合零点存在定理判断 （2）利用导数零点与极值点的关系，结合二次函数判别式与韦达定理化简构造函数证明不等式 【详解】（1）时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； （2）略 36．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用单调性与导数的关系把问题转化为恒成立问题，再分离参数，利用导数求出函数最大值，进而求出取值范围即可. （2）利用分离参数法求出的取值范围，进而得到最大值即可. 【详解】（1）因为在上单调递减， 所以，即在上恒成立． 令，则． 令，则，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的最大值为，所以的取值范围是． （2）由题意得, ①当时，，不等式恒成立，; ②当时，分参得， 设,不等式变为,设, 所以，令，可得， 当时，恒成立，则在上单调递增， 而，则，即， 得到函数在上单调递增，所以， 又题意可知，令,则， 当时，,所以 ， 令，由导数的定义得， 故，所以,即的最大值是1. 解答题专项题组C（思维拓展） 37．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 【答案】(1) (2)法一：不妨设，要证，只要证， 因为、，函数在单调递减， 只要证，只要证． 令，， 则 所以在单调递减，即， 所以成立，即成立． 法二：由题意知，则， 不妨设，要证，只要证，只要证， 只要证， 只要证，只要证，令， 只要证，令，，， 所以在单调递增，所以， 即，所以． (3)先证明左边：由（1）知，等号成立当且仅当， 令为，可得，等号成立当且仅当． 令，则， 从而有，，…，． 根据不等式同向可加性得，左边得证． 下面证明右边：由（2）的方法二知：，，令，可得 ． 从而，，…，． 根据不等式同向可加性得，右边得证； 法二：以证明右边为例：因为数列的前项和为， 所以要证， 只要证 只要证，只要证 只要证，令，只要，，证毕． 【分析】（1）利用极值点的必要条件进行求解； （2）极值点偏移问题，利用函数的单调性构造对称函数即可求解； （3）根据对数恒等式，利用裂项相消与放缩。 【详解】（1）因为为函数的最大值点， 即为函数的极大值点， 求导得，，解得． 当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减，所以． 即符合题意． （2）略 （3）略 38．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调性； (2)若，证明：仅有和两个零点； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)当时，， ， 令，则， 令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 又，， 则有2个零点，设为， 则 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 时，，时，， 故仅有和两个零点； (3) 【分析】（1）把代入得，再利用导数确定函数单调性即可； （2）代入得，求导并令，求导，然后根据函数单调性推导即可证明； （3）分、、三种情况，结合（2）的结论讨论求解． 【详解】（1）当时，，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在上单调递增，在上单调递减； （2）略 （3）①当时，，，又，则， 当时，，故不符合题意； ②当时，， 令，，， 则的解为， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 又，， 时，， 此时， 则， 故时，不符合题意； ③当时， 由②可知， 由（2）知，时，函数 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则时，恒成立， 即时，， 综上，实数的取值范围是． 39．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)​ (2)为比较与，令，其中，则． 故在上单调递减，在上单调递增，所以，等号当且仅当时成立． 取，得，等号当且仅当时成立． 当时，，，且仅在时取等号，因此在上严格单调递增． 所以当时，，即所证结论成立． (3)​ 【分析】（1）求出切点坐标和该点处的导数，利用点斜式写出切线方程． （2）先利用对数函数的不等式得到，再由导数符号和证明结论． （3）注意恒为零点，按、、、分类．当时，将与的大小比较转化为研究的符号，确定的单调性，再结合连续性判断其余零点的个数． 【详解】（1）当时，，则，从而，， 故所求切线方程为，即． （2）略 （3）由题意，，． ①当时，由第（2）问证明中的（），得（），故只有零点，不符合题意． 当时，记，，为判断与的大小，令，定义域为． 则，所以在上单调递增，在上单调递减，且． 当从右侧趋近时，，当时，． 当时，，故，当时，由指数函数的单调性，、、分别等价于、、． ②当时，，由在上单调递减及知，结合连续性及上述单调性，在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为正，连同，恰有两个零点，符合题意． ③当时，由第（2）问证明可知在上严格单调递增，又，所以只有一个零点，不符合题意． ④当时，，由在上单调递增及知，结合连续性及（），在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为负，连同，恰有两个零点，符合题意． 综上，的取值范围为． 40．（2026·江苏南通·一模）已知，曲线在点处切线的倾斜角为． (1)若， （i）求； （ii）当时，证明：； (2)当时，，求整数的最小值． 【答案】(1)（i） （ii）若，则， 当时，． 当时，令， 则． 设，则，， 根据零点存在定理，． 当 时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以，所以当时，单调递增． 因为，所以当时，． (2)3 【分析】（1）（i）求导，根据导数的几何意义及斜率与倾斜角的关系计算求解；（ii）求导，当时，，当时，令，求导，根据隐零点计算可得，进而计算可证； （2）由题意可得在区间上恒成立，方法一：由结合（1）（ii）计算可解；方法二：分离参数，根据导数与单调性的关系计算求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． （i）若，则． 因为， 所以． （ii）略 （2）方法一：当时，，所以， 即． 当时，， 所以．因为为整数，所以． 由（ii）得，时，． 所以整数的最小值为3． 方法二：当时，恒成立． 所以． 令， 因为，令 ， 所以在上单调递减． 因为， ， 所以存在使，即． 所以在上单调递增，上单调递减． 所以当时，取得最大值， ． 所以． 所以整数a的最小值为3． 41．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1) (2) 当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2. (3)①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以.     ②当时，令，所以单调递增， 所以，即.又因为， 令， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以．所以，即． 综上可得，. 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性可得； （2）令，分离参数可得，构造函数，将的零点个数转化为与的图象交点的个数，利用导数分析函数的单调性及取值情况，即可得到的零点个数；将转化为，构造函数，利用导数分析的单调性，从而求得的极小值为，讨论其正负，即可得到的零点个数； （3）分和两种情况，构造新函数，利用导数分析新函数的单调性，即可证得. 【详解】（1）当时，函数，定义域为. 可得. 令，得到， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以函数在处取得最小值，最小值为， 所以恒成立，所以函数是增函数， 所以函数的单调递增区间为. （2）解法一：因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图，作出符合题意的图象， 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2.   解法二：因为， 设，当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值， 令，所以单调递减， 所以，即，有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）略 42．（2026·四川遂宁·一模）设，，函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：； (3)讨论方程解的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：当时，函数的定义域为， 方程，令函数， 则是方程的两个实根，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，，而，又直线 与函数图象的两个交点横坐标为，则， 令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，即，因此，又， 于是，又，且函数在上单调递减， 则，所以. (3)单调增函数与其反函数的图象若有交点，则该交点必在直线上， 令单调递增函数与其反函数的图象有交点，则，且， 假设，若，由是单调递增函数，得，则，矛盾； 若，由是单调递增函数，得，则，矛盾，因此假设错误，， 当时，是增函数，函数与互为反函数， 若函数与的图象有交点，则该交点必在直线上， 因此方程解的个数等价于方程的根的个数， 令，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当，即时，函数有2个零点，方程有2个解； 当，即时，函数有1个零点，方程有1个解； 当，即时，函数没有零点，方程有0个解； 当时，若，则，即，因此方程在上无解， 当时，方程，令函数， 求导得， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0或从小于1的方向趋近于1时，， 当，即时，，则，函数在上单调递减， 而当从大于0的方向趋近于0时， ，当从小于1的方向趋近于1时，， 因此函数在上存在唯一零点，即方程有1个解； 当，即时，存在，，使得， 当或时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 由，得， 则， 同理，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 又，因此， ，则函数在上有3个零点，即方程有3个解， 所以当时，方程解的个数为3； 当或时，方程解的个数为1； 当时，方程解的个数为2； 当时，方程解的个数为0. 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）变形方程并构造函数，利用导数确定的范围，再利用极值点偏移推理证明不等式. （3）按分类，在时，由反函数的性质并利用导数确定方程解的情况；在时，利用导数确定方程解的情况. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）略 （3）略 43．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若，且1是的极值点，请根据的取值范围讨论的单调区间； (3)若，且，证明：． 【答案】(1)， (2)当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，在上单调递减，无极值点，不符合题意； 当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为和． (3)证明：由， 可得， 则， 令，则， 所以，， 因此， 要证， 需证， 即证， 即证， 由（2）可知，当时，在上单调递减， 所以当时，，即， 故得证． 【分析】（1）先求函数的导函数，结合切线的性质：切点在曲线上、切线斜率等于切点处的导数值，列方程组求解，的值； （2）先利用极值点的性质得到与的关系，代入导函数后因式分解，再根据的不同取值范围，判断导函数的正负，进而确定函数的单调区间； （3）先对已知等式取自然对数变形，构造辅助函数分析其单调性，将待证不等式转化为函数值大小比较问题，再构造新函数通过导数证明不等式成立． 【详解】（1），则， 又， 解得，． （2）因为1是的极值点，则， 所以， ， 若， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 若， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和； 若，， 所以在上单调递减，无极值点，不符合题意； 若， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）略 44．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，． (1)当时，令函数，求函数的最小值； (2)当时，若方程有两个不同实根，求实数的取值范围； (3)当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)无最小值 (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到的单调性，进而求解； （2）当时，求得，得到的单调性，求得其最小值为，结合方程有两个不同的实根，即可求得的取值范围； （3）令，把不等式转化为，令，转化为在上恒成立，利用分离参数，得到，再设，利用导数求得的单调性与最大值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，可得，所以，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数无最小值. （2）解：当时，，可得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处，函数取得极小值，也是最小值， 当时，；当时，， 要使得方程有两个不同的实根，则满足， 所以实数的取值范围为. （3）解：当时，，可得， 所以函数在上单调递增， 设，可得在上单调递增， 不妨设，则不等式， 即为，即， 即 设，则在上单调递减， 所以在上恒成立， 由 ，可得， 设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，所以， 所以实数的取值范围为. 45．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点、、，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ） （ⅱ）由（ⅰ）可知，，，， 要证明，即证明， 即证明， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递减， 所以，即成立，所以. 【分析】（1）求导，根据点斜式方程求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，根据有三个零点得到导数的分析有两个不同的正根，建立不等式组求出的取值范围，再进行验证：根据韦达定理得到两个正根的取值范围，根据导数的正负判断函数的单调性，结合及零点存在定理确定的取值范围； （ⅱ）由（ⅰ）得、的关系，及的值，构造，判断其在上的单调性，进而证明. 【详解】（1）当时，，所以， 又， 所以， 所以曲线在处的切线方程为：，即； （2）（ⅰ）的定义域为， ， 因为有三个零点、、， 所以有两个不相等的正根、， 所以，解得， 当时，，， 当时，或，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，，， 令，则， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以， 所以，即. 令，， 则，所以， 由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点， 又， 从而在上存在唯一零点，故在上有个零点， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 46．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数． (1)当时，证明：． (2)讨论的零点个数． (3)设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 【答案】(1)证明：当时，，则． 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，得证． (2)当时，零点个数为2；当或时，零点个数为1；当时，零点个数为0． (3)证明：当存在两个零点，时，可得，不妨令，则． 由题可得则． 令，则由，可得， 则整理得则． ①要证，即证． 因为，所以需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递增，则，故，得证． ②，因为，所以要证，需证，需证． 由可得． 因为，所以要证，需证． 令，，则需证，需证． 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，从而，故，得证． 【分析】(1)求导找到极小值点，算出最小值，直接证明；(2)分离参数，构造函数，用单调性与图像，按的范围分类讨论零点个数；(3)双零点用比值换元，把用t表达，再构造单变量函数证明两个不等式. 【详解】（1）略 （2）显然不是的零点． 当时，由，得． 令，则． 当和时，，单调递减，当时，，单调递增． 当时，，当时，，且． 由，可知当且时，，当时，． 当时，关于的方程有两解，则的零点个数为2； 当或时，关于的方程有一解，则的零点个数为1； 当时，关于的方程无解，则的零点个数为0． （3）①略 ②略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题07 导数及其应用 2027年高考数学（解答题满分冲刺） 公式定理汇总 1 常用结论、二级结论归纳 4 2024/2025/2026高考真题 6 易错点速查清单 7 速记口诀 10 典例讲解之会一题通一类 12 解答题专项题组A（基础回归） 14 解答题专项题组B（能力提升） 15 解答题专项题组C（思维拓展） 17 公式定理汇总 一、导数的定义与几何意义 导数定义： 几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。 切线方程： 识别特征：题干出现“在点……处的切线”“过点……的切线”“切线斜率”“公切线”。 通法选择：“在点 处”说明 是切点，直接求 写切线方程；“过点 ”不说明 是切点，应设切点 ，写出切线方程后代入 的坐标求 。 书写要求：写“因为 ，所以 ，切线方程为 ”。过点求切线必须写“设切点为 ”，再列方程。 二、基本初等函数的导数公式 识别特征：求导的第一步，所有求导题都要用到。 通法选择：先识别函数结构，再逐项求导；含根号、分式先化为指数形式，如 ，。 书写要求：写“由求导公式得 ”；化指数形式时写清“因为 ，所以 ”。 三、导数的四则运算与复合函数求导 和差： 积： 商： 复合函数： 识别特征：函数由多个因子相乘、相除，或含 、、 等复合结构。 通法选择：先看结构——乘积用积法则，分式用商法则，复合用链式法则。含参数的函数求导后应整理为通分形式，便于因式分解和定符号。 书写要求：写清每一步求导对象，如“”；复合函数写“由复合函数求导法则，”。 四、导数与单调性 定理：设 在区间 上可导。 若 在 上恒成立，则 在 上单调递增； 若 在 上恒成立，则 在 上单调递减。 识别特征：题干要求“讨论单调性”“求单调区间”“已知单调性求参数范围”。 通法选择：先求定义域，再求导，通分、因式分解，确定 的符号。含参时，按导函数零点是否存在、零点是否在定义域内、零点大小关系分类讨论。 书写要求：写“函数的定义域为……，”。讨论单调性时写“①当 时，……；②当 时，令 ，得 ，……”。结论写成区间形式。 五、极值与最值 极值定义：若在 附近， 比两侧都大，则 为极大值；比两侧都小，则为极小值。 为极值点。 极值判定：若 ，且 在 两侧变号，则 为极值点；左正右负为极大值点，左负右正为极小值点。 闭区间最值：求 在 上的最值，比较所有极值与端点函数值 。 识别特征：题干要求“求极值”“求最值”“已知极值点求参数”“恒成立求参数范围”。 通法选择：极值先求导、解 ，再列表判断符号变化；闭区间最值在极值基础上加端点；含参极值需讨论参数范围。 书写要求：写“令 ，得 ，列表如下……，所以 在 处取得极大（小）值 ”。极值必须说明是极大还是极小，不能只写“极值”。 六、导数与不等式 证明 ：构造 ，证明 。 证明 ：求 的最小值，说明最小值非负。 恒成立问题：对任意 ， 恒成立 ； 恒成立 。 存在性问题：存在 ， ；存在 ， 。 识别特征：题干出现“证明不等式”“恒成立”“存在”“求参数范围”。 通法选择：能分离参数优先分离参数，转化为最值问题；不能分离参数时，构造函数求最值；含隐零点时，设零点 ，利用 降次。 书写要求：写“设 ，则 ，令 ，得……，所以 ，所以 ”。恒成立写“由题意，，所以 ”。 七、导数与零点 零点存在定理：若 在 上连续，且 ，则存在 ，使 。 零点个数判定：结合单调性和极值，画出函数草图，数图象与 轴交点个数。 识别特征：题干要求“讨论零点个数”“证明存在唯一零点”“已知零点个数求参数”。 通法选择：先求单调性和极值，再判断极值点与 轴的位置关系；含参时按参数分类讨论，或分离参数后转化为两函数图象交点问题。 书写要求：写“由 知 在……上单调递增，在……上单调递减， 的极大值为……，极小值为……，又 ，所以……”。零点存在性必须写端点函数值异号。 常用结论、二级结论归纳 结论1：常用切线不等式 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立； 等号当且仅当 时成立。 识别特征：证明含 、 的不等式，或放缩比较大小。 使用条件： 对一切实数成立； 要求 。等号成立条件常用于取等或说明不可改进。 书写要求：写“由切线不等式 ，得……”，并注明等号成立条件。证明题中用切线不等式放缩时，应说明放缩方向与目标一致。 结论2：含参单调性讨论的分类标准 对 型或 型： 一次型：按 、、 分类。 二次型：先看 是否退化，再看 的符号，再看两根是否在定义域内，最后看两根大小。 识别特征：含参函数求单调性、极值。 使用条件：分类标准必须覆盖所有参数取值，且不重不漏。 书写要求：写“①当 时，……；②当 时，，……；③当 时，……”。每一类都要写出单调区间和极值情况。 结论3：分离参数法 若不等式可化为 对 恒成立，则 识别特征：参数容易分离，且分离后函数最值易求。 使用条件：分离后 在 上的最值存在；若 无最值但有上确界或下确界，需单独说明。 书写要求：写“由题意， 对 恒成立，所以 ”；再求 。分离时注意除以含 的式子要讨论符号。 结论4：隐零点法 若 的根 无法显式求出，但可确定 所在区间，则设 ，利用该式降次或消去超越项，再求 的符号或范围。 识别特征：导函数含 、 与多项式混合，零点不可解。 使用条件：能确定 的存在性和所在区间；能用 消去超越项。 书写要求：写“设 ，则 （或 ），所以 ”。必须说明 的存在性和范围。 结论5：极值点偏移的常用处理 若 在 处取得极值，且 （），要证 （或 ），常用对称构造： 令 ，判断 在 上的符号，再利用单调性转化。 识别特征：题干出现“，证明 ”或“”。 使用条件： 在极值点两侧单调性相反，且能构造对称函数。 书写要求：写“设 ，令 ，则 ，所以 在 上……，所以 （或 ），即 ，又 ，所以 ，由单调性得 ，即 ”。 结论6：三次函数的图象与性质 对 （）： 。 时有两个极值点； 时无极值点，函数单调。 识别特征：三次函数求单调性、极值、零点个数。 使用条件：；三次函数最多三个零点。 书写要求：写“，”。讨论 的符号，再列表判断单调性和极值。 结论7：构造函数比较大小 比较 与 的大小，可构造 ，或利用单调性把自变量转化到同一单调区间。 识别特征：比较两个函数值大小，或证明 。 使用条件：能构造出差函数且差函数单调性或符号易判断。 书写要求：写“设 ，则 ，所以 在……上单调……，又 ，所以……”。 结论8：对数平均不等式 对 ， 识别特征：题干出现 与 的比值，或双变量不等式。 使用条件： 且 。 书写要求：写“由对数平均不等式，”；若解答题中直接引用，应说明或简单证明。 结论9：双变量问题的消元与主元法 消元：若 满足某关系，可用一个变量表示另一个，转化为单变量问题。 主元法：把其中一个变量看作主元，另一个看作参数，构造关于主元的函数。 识别特征：题干出现两个变量 ，证明 或求最值。 使用条件：两变量之间有明确关系，或可固定一个变量讨论另一个。 书写要求：写“由条件得 ，代入目标式得 ”；主元法写“视 为参数，设 ”。 结论10：零点个数与参数范围 讨论 的零点个数，可转化为 的图象交点个数，或利用 的单调性和极值。 识别特征：题干要求“讨论零点个数”“已知零点个数求参数范围”。 使用条件：分离参数后 的图象易画；或 的极值易求。 书写要求：写“由 得 ，设 ，则 ，所以 在……上单调……，极大值为……，极小值为……，所以当 时有两个零点……”。 2024/2025/2026高考真题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，； (2)当时，，求的取值范围； (3)当时，，求的最小值． 2．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 易错点速查清单 易错点1：求导后不写定义域 学生典型错误：求单调区间、极值时，没有先写函数定义域，导致区间超出定义域。 成因分析：含 的函数定义域为 ，含分母的函数需分母不为零。 纠正要求：求导前先写“函数的定义域为……”，单调区间、极值点都应在定义域内。 易错点2：“在点处”与“过点”切线混淆 学生典型错误：题目说“过点 的切线”，直接把 当作切点代入 。 成因分析：“在点 处”说明 是切点；“过点 ”只说明切线经过 ， 不一定是切点。 纠正要求：过点求切线必须设切点 ，写出切线方程后代入 的坐标求 ，可能有多解。 易错点3：含参讨论分类不全 学生典型错误：只讨论 ，漏掉 、；或二次型只讨论 ，漏掉 、。 成因分析：分类标准不完整，或没有按参数对导函数结构的影响分类。 纠正要求：按“最高次项系数是否为0—判别式符号—根是否在定义域内—根的大小”的顺序分类，确保不重不漏。 易错点4：极值点与导数为零的点混淆 学生典型错误：认为 的点一定是极值点。 成因分析： 只是必要条件，还需 在 两侧变号。如 在 处 ，但不是极值点。 纠正要求：写“令 ，得 ，当 时 ，当 时 ，所以 为极大值点”。 易错点5：恒成立与存在性最值对应混淆 学生典型错误：把“恒成立”转化为最大值，把“存在”转化为最小值。 成因分析：对任意 ， 恒成立，要求 不超过 的最小值；存在 ，，要求 不超过 的最大值。 纠正要求：写清“恒成立 ；存在 ”。画数轴或图象辅助判断。 易错点6：分离参数时除以含 的式子不讨论符号 学生典型错误：由 直接得 ，没有讨论 或 。 成因分析：除以含 的式子，不等号方向取决于 的符号。 纠正要求：分离参数前先确定 的范围；若 可正可负，应分情况讨论，或选择不分离参数的构造函数法。 易错点7：隐零点不说明存在性和范围 学生典型错误：设 后直接使用，没有说明 存在及所在区间。 成因分析：隐零点法需要先证明零点存在，才能设 。 纠正要求：写“因为 在……上单调，且 ，，所以存在唯一 ，使 ”。 易错点8：切线不等式放缩方向用反 学生典型错误：证明 时用了 ，或证明 时用了 。 成因分析：切线不等式的方向固定，放缩方向必须与目标一致。 纠正要求：证明“大于”时用下界放缩，证明“小于”时用上界放缩；写清“由 ，得……”。 易错点9：极值点偏移对称构造方向错 学生典型错误：要证 ，却构造 后判断错符号方向。 成因分析：对称构造后，需利用 在极值点两侧的单调性转化。 纠正要求：写清“设 ，则 ”，由 的符号推出 与 的大小，再结合 和单调性得结论。 易错点10：零点存在性不写端点异号 学生典型错误：只写“由图象可知有一个零点”，没有用零点存在定理说明。 成因分析：零点存在性需要连续性和端点函数值异号。 纠正要求：写“因为 在 上连续，且 ，所以存在 ，使 ”；唯一性由单调性说明。 易错点11：单调区间用并集连接 学生典型错误：把单调递增区间写成 。 成因分析：函数在 和 上分别递增，但不能用并集表示，因为中间有递减区间。 纠正要求：单调区间用“和”或逗号连接，写“单调递增区间为 和 ”；只有在整个区间上单调时才能用并集。 易错点12：最值比较漏端点 学生典型错误：求闭区间最值时只比较极值，忘记比较端点函数值。 成因分析：闭区间最值可能在端点取得。 纠正要求：写“比较 与各极值，最大者为最大值，最小者为最小值”。 速记口诀 口诀一：求导顺序 先看定义域，再求导；通分因式分解好； 定号列表下结论，单调极值都来到。 求导题固定流程：定义域—求导—通分因式分解—定符号—列表—结论。 口诀二：切线 在点处，点是切点，导数就是斜率现； 过点处，设切点，代入已知解方程。 “在点处”直接求导；“过点”设切点 。 口诀三：含参讨论 一次看系数，二次看判别； 根在定义域，大小再分辨。 含参单调性讨论顺序：最高次项系数—判别式—根是否在定义域—根的大小。 口诀四：极值判定 导数为零不是极值，左右变号才是极值； 左正右负极大值，左负右正极小值。 且变号才是极值点。 口诀五：恒成立与存在 恒成立找最小，存在找最大； 大于号取小，小于号取大，方向别弄差。 对任意 ， 恒成立 ；存在 ， 。 口诀六：切线不等式 的 方大于等于 加一， 小于等于 减一； 等号都在特殊点，放缩方向看目标。 口诀七：隐零点 零点不可求，设它 ； 导数等于零，代入降次求； 存在范围先说明，符号判断再下结论。 隐零点法：设 ，用该式消去超越项。 口诀八：零点个数 单调极值画草图，极值正负定交点； 端点函数看趋势，零点个数自然现。 先求单调性和极值，再结合端点函数值判断零点个数。 口诀九：极值点偏移 对称构造 ，比较 与 ； 利用单调转不等，和积关系自然出。 极值点偏移：构造 ，利用单调性转化。 口诀十：双变量 双变量，先消元，主元法来帮忙； 固定一个看另一个，单变量函数求最值。 双变量问题优先消元或主元法，转化为单变量问题。 口诀十一：单调区间书写 单调区间用“和”连，不能并集来相连； 中间有断不能并，分别写出才规范。 单调区间用“和”或逗号连接，不能用并集。 口诀十二：最值 闭区间求最值，极值端点比一比； 最大最小定结论，端点千万不能弃。 闭区间最值需比较极值和端点函数值。 典例讲解之会一题通一类 7．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)比较与的大小； (2)当时，，求的取值范围． 8．（2026·吉林·一模）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的最大值； (3)若对任意恒成立，求正实数的取值范围． 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若对任意恒成立，求整数的最大值． 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，且，证明：． 11．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，． (1)记，讨论函数的单调性； (2)若，， ①求的取值集合； ②若恒成立，求实数的取值范围． 12．（2026·广东广州·模拟预测）已知． (1)证明：对，； (2)若对，，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对，总有． 13．（2026·陕西榆林·一模）已知函数，． (1)证明：曲线与轴有唯一交点； (2)记曲线与轴的交点为， （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：． 14．（2026·四川南充·一模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围； (3)已知函数有3个极值点，，，且，证明：． 15．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，，判断曲线和的公共点个数； (3)若曲线和有公共点，求证：． 16．（2026·河南信阳·一模）函数，． (1)时，讨论函数的零点的个数； (2)若时，，求实数的取值范围； (3)求证：对任意正整数， 解答题专项题组A（基础回归） 17．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值，且最大值大于0，求的取值范围． 18．（2026·宁夏吴忠·三模）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 19．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 20．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 21．（2026·四川成都·二模）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 22．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 23．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 24．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知是函数的一个极值点． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 25．（2026·重庆永川·模拟预测）已知函数，其中，，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值． 26．（2026·四川巴中·模拟预测）已知函数，． (1)求证：；； (2)解不等式； (3)当时，求证：． 解答题专项题组B（能力提升） 27．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，，判断函数的零点个数，并说明理由． 28．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的值； (3)当时，若函数有两个极值点，求证：. 29．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 30．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上无解，求实数的取值范围． 31．（26-27高三上·北京·期中）已知函数． (1)当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； (2)若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 32．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数，其中． (1)若，求函数的单调区间； (2)讨论方程的实数根的个数． 33．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，其导函数为. (1)当时， （i）求曲线在处的切线方程； （ii）若函数，求的极值； (2)讨论零点的个数. 34．（2026·陕西·三模）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数的最大值． 35．（2026·湖北武汉·三模）已知函数． (1)当时，判断函数的零点个数； (2)设，若函数有两个极值点、，求证：． 36．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知函数． (1)若是减函数，求的取值范围； (2)当时，，求的最大值； 解答题专项题组C（思维拓展） 37．（2026·广东汕头·一模）已知函数在处取得极大值． (1)求的值． (2)如果且，证明：． (3)，求证：． 38．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知函数． (1)若，求的单调性； (2)若，证明：仅有和两个零点； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 39．（26-27高三上·陕西商洛·阶段检测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：当时，； (3)若有两个零点，求的取值范围． 40．（2026·江苏南通·一模）已知，曲线在点处切线的倾斜角为． (1)若， （i）求； （ii）当时，证明：； (2)当时，，求整数的最小值． 41．（2026·江西南昌·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 42．（2026·四川遂宁·一模）设，，函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：； (3)讨论方程解的个数，并说明理由． 43．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求，的值； (2)若，且1是的极值点，请根据的取值范围讨论的单调区间； (3)若，且，证明：． 44．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，． (1)当时，令函数，求函数的最小值； (2)当时，若方程有两个不同实根，求实数的取值范围； (3)当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 45．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有三个零点、、，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 46．（26-27高三上·河北·阶段检测）已知函数． (1)当时，证明：． (2)讨论的零点个数． (3)设存在两个零点，． ①证明：． ②证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $