易错易混04 一元函数的导数及其应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦一元函数的导数及其应用，覆盖导数定义、几何意义、复合函数求导、单调性、极值、最值、零点及参数范围等高考核心考点，按概念理解-运算规则-综合应用的逻辑架构系统梳理，通过错点扫描夯实基础，易错归纳查漏补缺，实战检测提升能力，形成完整复习闭环。 讲义以易错点突破为特色，如辨析过某点与在某点的切线、极值点检验等关键陷阱，结合“数学思维”培养逻辑推理与转化能力，“数学语言”规范解题表达。设计分层练习（基础巩固、能力提升）和即时反馈，帮助学生高效攻克难点，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生应考能力。

易错易混04 一元函数的导数及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 3 易错归纳01 对导数的定义理解不到位(★★★) 4 易错归纳02 混淆复合函数的求导法则(★★★) 5 易错归纳03 混淆过某点的切线与在某点的切线(★★★★) 6 易错归纳04 研究单调性时忽略定义域(★★★★) 7 易错归纳05 单调函数与导函数间的关系理解不到位(★★★★) 7 易错归纳06 极值（点）问题忘记检验(★★★) 8 易错归纳07 解决函数零点问题考虑不周(★★★★★) 9 易错归纳08 求参数取值范围时未等价转化致错(★★★★★) 11 03 实战检测・易错通关验成效 12 错点扫描・易错建模夯基石 1．导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或即．称函数为的导函数． 【易错警示】代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且． 2．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为． 【易错警示】(1)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (2)要注意区分在某点处的切线与过某点的切线 ①在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. ②过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 4．导数的运算法则 （1）； （2）； （3）． 5.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量. (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝[f(φ(x))]'＝f'(u)φ'(x)，其中u＝φ(x). 【易错警示】(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.(2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 6.利用导数研究函数的单调性 (1)函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 (2)利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导函数f'(x)的零点； 第三步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【易错警示】(1)“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. (2)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 7．函数的极值 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 【易错警示】(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点. (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 8．函数的最值 (1)最值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). (2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值. 【易错警示】函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 对导数的定义理解不到位 【易错陷阱·避错攻略】 正确理解导数的极限定义 （1），要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； （2）的代数意义表示函数在处的瞬时变化率； （3）的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 2.（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 5．已知，则______． 易错归纳02 混淆复合函数的求导法则 【易错陷阱·避错攻略】 领悟复合函数的求导法则 （1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的导函数为，且，则（　　） A． B． C． D．1 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（26-27高三上·山西·开学考试）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 易错归纳03 混淆过某点的切线与在某点的切线 【易错陷阱·避错攻略】 求复合函数的单调性 1、利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 3、求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 1.（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 3．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 6．（2026高二·全国·专题练习）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 易错归纳04 研究单调性时忽略定义域 【易错陷阱·避错攻略】 （1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间； （2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 1．（25-26高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 3.（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 4．（25-26高二下·四川成都·期中）函数的单调递减区间是___________． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 易错归纳05 单调函数与导函数间的关系理解不到位 【易错陷阱·避错攻略】 函数对称与周期性常用思路 1、可导函数f(x)在某区间上单调 （1）可以转化为在给定区间上恒成立； （2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解 2、可导函数f(x)在某区间上不单调 （1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）； （2）可以通过求函数值域的方法解决. （3）可以利用根的分布方法解决. 3、可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题. 4、已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点： （1）熟悉基本函数的单调性. （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 易错归纳06 极值（点）问题忘记检验 【易错陷阱·避错攻略】 （1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 1.（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 3．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 易错归纳07 解决函数零点问题考虑不周 【易错陷阱·避错攻略】 函数对称与周期性常用思路 1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解． 1.（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高三上·山东淄博·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．若，，成等差数列，则 D．若，，成等比数列，则 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若关于的方程有三个不等实数根，，．且，则实数的取值范围是_________；______________． 易错归纳08 求参数取值范围时未等价转化致错 【易错陷阱·避错攻略】 1． 错误类型 (1)恒成立与存在性混淆 恒成立：全部 x 满足；存在性：有一个 x 满足，最值选取相反，直接混用参数范围出错. (2)分离参数不等价（分母正负未讨论） 除含参代数式不判断正负，不等号方向随意翻转，漏区间. (3)端点取等条件遗漏 最值在区间端点取得，忽略端点可取与否，范围少边界. (4)导数零点、极值点与定义域不匹配 求出极值点不在定义域内，仍代入求最值，转化失效. (5)二次含参函数判别式、开口方向漏讨论 导函数为二次式，不分类开口、判别式，单调区间推导不全. (6)数形转化不等价 图象相切临界、零点个数临界漏检验，多解、漏解. 2、避错攻略 (1)先区分恒成立、存在性，牢记：恒成立看最值，存在看相反最值. (2)分离参数必讨论分母正负，严格变号；不易分离则分类讨论参数. (3)求解后单独验证区间端点能否取等，补齐边界. (4)任何极值点先校验是否在函数定义域内，舍去域外临界点. (5)导函数为二次型，分开口向上、向下、判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0 三类讨论. (6)数形结合求出临界值后，代回原式检验，保证转化完全等价. 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·二轮复习）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 5.（24-25高二下·天津·阶段检测）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 6．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论零点的个数； (3)若，求实数的取值范围. 7．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）设函数，其中，． (1)若，求函数在处的切线方程（结果用参数a表示）； (2)若，恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a，使得当时，恒成立，求满足条件的k的值． 实战检测・易错通关验成效 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 12.（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的可导函数，满足，且，，则下列结论正确的有（     ） A．图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．的导函数为偶函数 D．的图象没有对称中心 19．（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．任意，函数一定存在极大值和极小值 B．当时，对任意，都有 C．存在，使函数在区间上单调递减 D．存在，使方程有三个不同的实数解 20．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 21．（25-26高二下·浙江金华·期末）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 22．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 23．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数与具有相同的单调递减区间，则实数__________． 24．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 25.(25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 26．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 27．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 28．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______. 29．（25-26高二下·河南郑州·期末）若函数有且仅有三个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 30．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 31．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 ，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性； (3)若在定义域上单调递增，求的取值范围. 32．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 33．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是的两个零点，证明：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错易混04 一元函数的导数及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 错点扫描・易错建模夯基石 1 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 3 易错归纳01 对导数的定义理解不到位(★★★) 4 易错归纳02 混淆复合函数的求导法则(★★★) 6 易错归纳03 混淆过某点的切线与在某点的切线(★★★★) 8 易错归纳04 研究单调性时忽略定义域(★★★★) 12 易错归纳05 单调函数与导函数间的关系理解不到位 14 易错归纳06 极值（点）问题忘记检验(★★★★) 17 易错归纳07 解决函数零点问题考虑不周(★★★★★) 20 易错归纳08 求参数取值范围时未等价转化致错(★★★★★) 26 03 实战检测・易错通关验成效 32 错点扫描・易错建模夯基石 1．导数的概念 一般地，函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或即．称函数为的导函数． 【易错警示】代表函数在处的导数值；是函数值的导数，且． 2．导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率．相应地，切线方程为． 【易错警示】(1)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (2)要注意区分在某点处的切线与过某点的切线 ①在某点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. ②过某点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 4．导数的运算法则 （1）； （2）； （3）． 5.复合函数的定义及其导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量. (2)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y'x＝[f(φ(x))]'＝f'(u)φ'(x)，其中u＝φ(x). 【易错警示】(1)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.(2)对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零. 6.利用导数研究函数的单调性 (1)函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f'(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f'(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f'(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 (2)利用导数判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第一步，确定函数的定义域； 第二步，求出导函数f'(x)的零点； 第三步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 【易错警示】(1)“f'(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件. (2)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 7．函数的极值 条件 f'(x0)＝0 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值 在包含x0的一个区间(a，b)上，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值 图象 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 【易错警示】(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点. (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系. 8．函数的最值 (1)最值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不超过f(x0). 最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都不小于f(x0). (2)最值：函数的最大值和最小值统称为最值. 【易错警示】函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 易错归纳・查漏补缺避陷阱 易错归纳01 对导数的定义理解不到位 【易错陷阱·避错攻略】 正确理解导数的极限定义 （1），要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应； （2）的代数意义表示函数在处的瞬时变化率； （3）的几何意义表示曲线在处切线的斜率． 1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以（易错点）． 要注意分母中x的改变量要与分子中x的改变量一致 故选：A． 2.（25-26高三上·河北·月考）已知函数在处可导，若，则（    ） A．27 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【解析】因为 ， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知是的导函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可. 【解析】由导数的定义得， 所以． 故选：D． 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【解析】由， 则. 故选：D. 5．已知，则______． 【答案】 【解析】 ． 易错归纳02 混淆复合函数的求导法则 【易错陷阱·避错攻略】 领悟复合函数的求导法则 （1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即； （2）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元. 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 .（易错点） 注意复合函数求导时内层函数也要求导 故选：D 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知函数的导函数为，且，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函数，求导得， 所以. 故选：C 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 4．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）已知，且是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以． 由于为偶函数，所以对任意x， 均有． 取，得，从而． 结合，得． 5．（多选）（26-27高三上·山西·开学考试）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A：这是复合函数求导，令，，代入， 所以，运算正确. 选项B：因为是常数，常数的导数为，因此，并非，运算错误. 选项C：根据商的求导法则， 所以，运算正确. 选项D：根据基本求导公式，，， 因此，并非 ​，运算错误. 6．(多选)（25-26高二下·福建南平·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数且，，则（     ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】AB 【解析】由题可知：，由得，对两边求导得：，即得， 所以关于中心对称，所以，因为为偶函数，所以， 根据关于中心对称得，所以，所以， ，所以A正确，B正确； 对于C，令，其导数为偶函数，且满足，，但是不是奇函数，C错误； 对于D，因为，所以，即， 的周期为8，考虑的前八项，其中，，， ， 因为可为任意实数，所以不一定为，所以D错误. 易错归纳03 混淆过某点的切线与在某点的切线 【易错陷阱·避错攻略】 求复合函数的单调性 1、利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： （1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． （2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． （3）曲线“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线在点处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为，是唯一的一条切线；曲线过点的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2、利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围． 3、求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 （1）注意曲线上横坐标的取值范围； （2）谨记切点既在切线上又在曲线上． 1.（24-25高三上·上海·开学考试）经过点可以作与曲线相切的不同直线共有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】D 【解析】设切点为（易错点）， 易错之处是误以为点P一定是切点 ， 则切线的斜率为， 又切线过点， 所以， 则，设， 则，令， 解得或， 当和时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 又，， ，， 所以存在,；；， 所以与轴有3个交点， 则经过有3条切线. 故选：D. 2.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 3．（25-26高二下·四川成都·期中）函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【解析】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 【答案】 【解析】若，则，所以， 设过点的切线与函数的切点为， 则， 所以切线方程为， 代入点得， 即， 解得， 故切线方程为 5．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【解析】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为： ， 将原点代入切线方程，得： 整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得： ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. 6．（2026高二·全国·专题练习）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 【答案】， 【解析】当时，， 设切点坐标为， 因为，所以切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，与的图像关于轴对称， 所以切线方程也关于轴对称，所以切线方程为； 曲线过坐标原点的两条切线的方程为，． 易错归纳04 研究单调性时忽略定义域 【易错陷阱·避错攻略】 （1）求函数的单调区间必须树立定义域优先的思想，即先求函数的定义域，然后再定义域上求函数的单调区间； （2）含参函数单调性讨论的分类标准：①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 1．（25-26高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为.（易错点） 注意此函数的定义域不是R 故选：D. 2．（25-26高二下·上海·期末）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 3.（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【解析】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 4．（25-26高二下·四川成都·期中）函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【解析】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 【答案】 【解析】利用导函数与函数单调性之间的关系，由导数求函数的单调区间． 【分析】由 ． 因为，故； 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 所以函数，则的单调递增区间为，单调递减区间为． 易错归纳05 单调函数与导函数间的关系理解不到位 【易错陷阱·避错攻略】 函数对称与周期性常用思路 1、可导函数f(x)在某区间上单调 （1）可以转化为在给定区间上恒成立； （2）给定的区间是原函数单调递增区间（或递减区间）的子区间，利用集合间关系求解 2、可导函数f(x)在某区间上不单调 （1）可转化为f'(x)在给定区间上有正有负，即在给定区间上有实根（必要条件），且有不等实根（充分条件）； （2）可以通过求函数值域的方法解决. （3）可以利用根的分布方法解决. 3、可导函数f(x)在某区间上存在单调区间，转化为（或）有解问题. 4、已知函数的单调性求参数时，要注意以下几点： （1）熟悉基本函数的单调性. （2）注意下列二者之间的区别：函数在区间I上单调递增（减）；函数的单调递增（减）区间是D. 注意：其中 . （3）首先明确已知函数的单调性；然后根据已知条件列出关于所求参数的不等式，正确解出含参数的不等式，结果要用集合或区间的形式表示出来. 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为（易错点）， 注意单调递减区间为（-1，1）与在区间（-1，10上递减是有区别的 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 3．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 4．（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 5．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 6．（25-26高二下·河北石家庄·期末）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】函数定义域，对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 易错归纳06 极值（点）问题忘记检验 【易错陷阱·避错攻略】 （1）①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号． ②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点． （2）①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 1.（25-26高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或（易错点）， 注意：可导函数在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去(易错点)； 需注意检验，极值点不一定是极大值点 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若函数在处取得极小值，则的值为（     ） A．1 B．3 C．1或3 D． 【答案】A 【解析】依题意， 所以， 所以，解得，或， 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 由，或，所以在，上单调递增； 由，所以在上单调递减； 所以在处取得极大值，不符合题意； 综上，的值为1. 3．（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 4．（25-26高二下·北京延庆·期末）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，. 所以. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以函数唯一的极小值点为. 由且为函数定义域的子集. 5.（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为. 易错归纳07 解决函数零点问题考虑不周 【易错陷阱·避错攻略】 函数对称与周期性常用思路 1、利用导数研究函数的图像变化时一定要区分图像趋向无穷时，是趋近无穷还是趋近于一个常数. 2、判断函数y=f（x）的零点个数时，常用以下方法： （1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，判断函数零点的个数； （2）根据函数的性质结合已知条件进行判断； （3）通过数形结合进行判断，画函数图象，观察图象与轴交点的个数来判断． 3、已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法： 方法1：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． 方法2：分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决． 方法3：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解． 1.（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，若有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个零点，则有两个解， 等价于有两个解，因为，，所以， 令，原式等价于有两个解， 因为，则当时，所以在上单调递增， 所以有两个大于零的解.（易错点） 注意定义域：x不能为负 解，可得，令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 的图象如图：（易错点） 当x趋近于正无穷大时，趋近于0，而不是趋近于负无穷大 所以当时，有两个交点，即有两个零点. 故选：A 2．（2026·江西新余·一模）已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故等式可变形为， 等式两边同时乘以可得， 若，对任意的，，则，故， 所以，但，等式不成立，不符合题意，所以， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 由可得， 所以，参变分离得， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又因为，，且，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：D. 3.（25-26高三上·山东淄博·期末）设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，由可得， 所以当时，与的图象必有一个交点， 由于， 当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图： 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：A. 4．（多选）（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数有三个零点，，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．若，，成等差数列，则 D．若，，成等比数列，则 【答案】BC 【解析】对于A，由题意，可得． 由于函数有三个零点，则至少有三个单调区间， 故有两个不等实根，则，解得，故A错误； 对于B，由题意，可知， 则， 故． 同理可得，． 故 ，故B正确； 对于C， ， 则，，． 若，，成等差数列，则， 则，故，，则， 故，即，故C正确； 对于D，若，，成等比数列，则，， 故，， 则，，由，可知，故D错误． 5．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若关于的方程有三个不等实数根，，．且，则实数的取值范围是_________；______________． 【答案】 1 【解析】已知方程， 因为，方程两边同时除以可得，， 令，则原方程可化为. 对求导得. 令，即，解得. 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，取得最大值. 又因为当时，；当时，，且. 因为关于的方程有三个不等实数根，，．且， 所以有两个不同的值（负的对应1个，正的对应2个）， 即关于的方程有两个不同的根，且. 令，则有. 解得. 由于，所以. 因为是方程的两个根， 根据韦达定理得. 所以. 易错归纳08 求参数取值范围时未等价转化致错 【易错陷阱·避错攻略】 1． 错误类型 (1)恒成立与存在性混淆 恒成立：全部 x 满足；存在性：有一个 x 满足，最值选取相反，直接混用参数范围出错. (2)分离参数不等价（分母正负未讨论） 除含参代数式不判断正负，不等号方向随意翻转，漏区间. (3)端点取等条件遗漏 最值在区间端点取得，忽略端点可取与否，范围少边界. (4)导数零点、极值点与定义域不匹配 求出极值点不在定义域内，仍代入求最值，转化失效. (5)二次含参函数判别式、开口方向漏讨论 导函数为二次式，不分类开口、判别式，单调区间推导不全. (6)数形转化不等价 图象相切临界、零点个数临界漏检验，多解、漏解. 2、避错攻略 (1)先区分恒成立、存在性，牢记：恒成立看最值，存在看相反最值. (2)分离参数必讨论分母正负，严格变号；不易分离则分类讨论参数. (3)求解后单独验证区间端点能否取等，补齐边界. (4)任何极值点先校验是否在函数定义域内，舍去域外临界点. (5)导函数为二次型，分开口向上、向下、判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0 三类讨论. (6)数形结合求出临界值后，代回原式检验，保证转化完全等价. 1．（25-26高二下·福建漳州·期中）已知函数，当时，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，即， 所以函数在单调递增，所以在上恒成立， 则在上恒成立，所以在上恒成立， 又，所以. 2．（25-26高二下·安徽芜湖·阶段检测）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式可整理为， 设函数， 令，解得：，，解得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 则实数的取值范围是. 3．（25-26高三·全国·二轮复习）若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 4．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 5.（24-25高二下·天津·阶段检测）已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用导数求解两个函数的值域，根据值域的包含关系可得答案. 【解析】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为. ，， 当时，，单调递增，由，可得的值域为. 因为若对，总，使成立，所以， 即，解得，故实数a的取值范围为. 6．（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论零点的个数； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，无零点；或时，有1个零点；当时，有2个零点. (3) 【分析】（1）先求出导数，再点斜式得出切线方程； （2）分时，或时，时，结合函数单调性得出零点个数； （3）分两种情况讨论，利用函数单调性计算求解即可. 【解析】（1）由已知，，， 所以切线方程为. （2）时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. （3）当时，由得， 所以，等价于对恒成立， 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又， 对恒成立， 所以，时成立， 当时，，显然成立. 当时， 等价于或， 即或 对于，取，得，与矛盾，故不成立， 对于，即，对恒成立， 令，则， 在内单调递减， ，所以，， 综上，实数的取值范围是. 7．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）设函数，其中，． (1)若，求函数在处的切线方程（结果用参数a表示）； (2)若，恒成立，求a的最大值； (3)若存在唯一的正数a，使得当时，恒成立，求满足条件的k的值． 【分析】（1）求切点与导数值，点斜式写出切线； （2）求导找到函数最大值，将恒成立转化为关于的不等式，构造函数分析单调性求出最大值； （3）先求出在的最大值表达式，转化为关于的函数，要满足存在唯一正数使，必须最小值恰好等于，解方程求出． 【解析】（1）由题可知，， ，则， 故函数在处的切线方程为； （2）当时，，，， 可知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则恒成立， 设，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，， 又，可知当时，， 所以的最大值为； （3），令，由题可知，故， 又，令，则， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， ， 设，， 欲存在唯一的正数a，使得， 可知只需使得（且取得最小值的a值唯一）， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，解得， 当时，，则在上单调递减， 欲使满足题意，则，即，解得，故； 若且给定，显然满足的a值不唯一； 若，则满足的a的值为1； 若不存在其他满足题意的a，即可保证时，有唯一的a满足题意，此时； 但当时，， 由（2）知，当时，均可使得，故a的值不唯一； 综上所述，时，可保证存在唯一的a满足题意． 实战检测・易错通关验成效 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 2．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】由导数的定义即可求解. 【解析】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 4．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 5．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求导得， 故， 又，可得切线方程为， 当时，；当时，， 因此所求三角形的面积． 6．（26-27高三上·山东日照·开学考试）若函数的单调递减区间为，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对求导，得. 已知的单调递减区间为，因此方程的两个实根为. 将代入，得，解得. 当时，，当时，，即恒成立，符合题意. 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. 8．（26-27高三上·安徽·阶段检测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数求导得，， 若函数在上是单调函数，则， 解得，故实数的取值范围是. 9．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当时，恒成立，即在定义域内单调递增，不合题意； 当时，或， 所以或时，单调递增， 时，单调递减， 所以在处取得极小值，所以，解得 . 10．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）函数在其定义域的一个子集内存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域是，， 令，得， 当，单调递减，当，单调递增， 所以是唯一的极值点，且是极小值点， 由题意得开区间里面要包含，则 ，得，所以. 11．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）若是函数的极小值点，则函数的极大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函数的定义域是， ， ， 所以在区间上单调递增， 在区间上，单调递减， 所以的极大值为. 12.（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【解析】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 13．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【解析】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 14．（26-27高三上·江西宜春·开学考试）若定义在上的函数存在极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 求导得：， 当时，，，，故的符号由决定， 即时，；时，． 因此在上单调递减，在上单调递增，故 是的唯一极值点（极小值点）， 函数在区间上存在极值点，等价于该区间包含， 即，解得， 又因为函数定义域为 ，区间必须在定义域内， 故， 综上，的取值范围为，即实数的取值范围是． 15．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是. 故选：A 16．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数，若有且仅有2个整数解，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 令，则， 当时，，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数. 由可得， 根据题意，存在2个整数解使得， 则函数与直线的图象有2个横坐标为整数的交点，直线必过点， 函数在处的导数，则切线方程为且经过点， 即此时直线与相切，此时，又因为， 分析图象可知，另一个交点只能在处，且此时直线斜率能取最大， 即可以取最大值，，当直线过点时，则，解得. 故选：C. 17．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C错误； D选项，根据复合函数求导法则可得，故D正确． 18．（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）定义在上的可导函数，满足，且，，则下列结论正确的有（     ） A．图象关于点中心对称 B．为奇函数 C．的导函数为偶函数 D．的图象没有对称中心 【答案】ABC 【解析】对于A， 由得，则有 代入，整理得. 则可得，即对任意，， 故 图象关于点中心对称，故A正确. 对于B， 由可得 ，代入得， 则有，两式相减得， 可得 ，故是以4为周期的周期函数. ∵ ，∴ ， 又，代入得， 又定义域为，故为奇函数. ∵ ，定义域为， ∴ ， 故为奇函数，B正确. 对于C， 由两边对求导得，即. 又是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，即， ∴ ，故的导函数为偶函数，C正确. 对于D，， ∵ ，∴ ， ∵ 关于点中心对称，即， ∴ ， ∴ 的图象关于点中心对称，故D错误. 19．（多选）（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．任意，函数一定存在极大值和极小值 B．当时，对任意，都有 C．存在，使函数在区间上单调递减 D．存在，使方程有三个不同的实数解 【答案】ABD 【解析】∵ ，定义域为， ∴ ， 分母恒成立，故的符号由分子决定. 选项A： ∵ 是开口向下的二次函数，判别式恒成立， ∴ 恒有两个不同的零点（）， ∴ 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故是极小值点，是极大值点，任意，一定存在极大值和极小值，A正确. 选项B： 当时，，，， ∵ ，， ∴ 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴ 在处取得最大值，等号仅在处取得. ∵ 对任意，恒成立， ∴ ， 当时，左侧，右侧，不等式仍成立， 故对任意，都有. 选项C： 若在上单调递减，则对任意恒成立， 代入得，与矛盾， 故不存在使在上单调递减，C错误. 选项D： 方程等价于，整理得. 令，，故在处取最小值，即恒成立， 则，令，. 对求导得 分母恒成立，令，则： ， 令，则. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ∴ ，即恒成立，故在上单调递减. 又∵ ，， ∴ 存在唯一，使得. ① 当时，，故，在上单调递减； ② 当时，，故，在上单调递增； ③ 当时，，，故，在上单调递减. ∴ 在处取极小值，在处取极大值. 当时，，故； 当时，增长速度远快于幂函数，故. ∴ 当时，直线与的图象有3个交点，分别位于、、上，即方程有三个不同实根，故存在满足条件的，D选项正确. 20．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【解析】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 21．（25-26高二下·浙江金华·期末）若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】设曲线上任意一点为，将问题转化为方程有解，据此可得答案. 【解析】设曲线上任意一点为，则. 因，则曲线在的切线方程为： . 因存在切线过原点，将代入切线方程，得方程有解. 因，则方程有解或. 22．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【解析】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 23．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）已知函数与具有相同的单调递减区间，则实数__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为 ， ， 令，即 ，，， 所以的单调递减区间是， 函数的定义域为， 因为恒成立，所以等价于， 已知与有相同的单调递减区间， 则当时，在恒成立，不符合题意，故， 此时，， 即的单调递减区间为 ， 因为两个函数的单调递减区间相同，所以，解得. 24．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，.当时，函数的单调递减区间为________；若与的图象在交点处的切线重合，则________. 【答案】 【解析】根据题意，当时，， , 令，解得， 所以函数的单调递减区间为； 设与的图象的交点为， ，， 所以交点处的切线斜率为，， 因为与的图象在交点处的切线重合， 所以，整理得，即， 再将代入得，即，解得 所以. 25.(25-26高三上·重庆·月考）已知函数有两条切线经过，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先设切点、写切线方程，然后代入定点得参数与切点的方程，转化为函数交点问题，最后构造函数，分析其单调性与极值. 【解析】设切点为，的导数，故切线斜率. 设切线方程为 将，代入切线方程得 化简得 令，，即与有两个交点. ，令得. 时，单调递减；时，单调递增. 所以极小值， 的图象如图， 要使与有两个交点，则 解得. 26．（24-25高二下·福建福州·期末）函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【解析】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 27．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】若使得， 则，， 时，，则在上单调递增， ， 又在单调递增，所以， ，解得， 则实数a的取值范围为． 28．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）已知函数在内存在个极值点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】函数，且，， 所以函数是偶函数，图像关于轴对称，因此是函数的一个极值点， 由对称性可知，只需函数在上有个极值点即可. 当时，函数简化为，， 若时，，所以， 因此无解，函数在上无极值点，故. 设，， 因为，所以函数在上单调递增，设，即.① 则函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 因为函数在上有个极值点，所以函数在有个变号零点， 所以. 由①得，，得.② 又由①式两边取对数得，解得③. 将③代入②得，因为，所以， ，由对数函数的性质得.④ 再由，得， 由函数，， 所以函数在上单调递增，且，所以.⑤ 综合④⑤，得. 检验：是否成立，由，， 因为，所以， 又因为，所以，故， 显然成立. 因此的取值范围为. 29．（25-26高二下·河南郑州·期末）若函数有且仅有三个不同的零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】∵ . 令，则或. 由解得，即是函数的1个零点. ∵ 函数有且仅有三个不同的零点， ∴ 方程有个不等于的不同正实根. 将方程变形为，设， 求导得. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴ 的最小值为. 又∵ 时，；时，， 且， 要使与有个不同的交点，且交点横坐标不等于， 则且， 即实数的取值范围为. 30．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【解析】（1）的定义域为，. 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 31．（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知函数 ，. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)设，讨论的单调性； (3)若在定义域上单调递增，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，则，所以，， 此时函数在处的切线方程，即. （2）因为，， 当时，对任意的恒成立，则在上递增； 当时，， ，， 此时，在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上递增； 当时，在上递减，上递增. （3）由题可得对一切恒成立. 当时，，此时可取任意实数； 当时，由题可得恒成立，则. 令，， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 故此时； 当时，由题可得恒成立， 对任意的，，则函数在上单调递增， 且当时，，且，故， 综上可得. 32．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. （2）存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. （3）由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 33．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论在上的单调性； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是的两个零点，证明：. 【详解】（1）因为，所以， 令，则，因为， 所以当时，单调递增；当时，单调递减， 故，即， 故在上单调递减. （2）对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，因为时， 故对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减. 又，且， 故，故. 令，则， 故，故. 综上，的取值范围为. （3）即，不妨设， 则，整理得， 要证，即证，即证， 即证在上单调递增， 又，令， 则， 当时，单调递减；当时，单调递增， 故，即，，即在上单调递增， 故 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $