大题03 数列讲义-2027届高三数学一轮复习
|
2份
|
87页
|
276人阅读
|
6人下载
普通
内容正文：
大题03 数列
2027年高考数学（解答题满分冲刺）
公式定理汇总 1
常用结论、二级结论归纳 5
2024/2025/2026高考真题 8
易错点速查清单 9
速记口诀 12
典例讲解之会一题通一类 14
解答题专项题组A（基础回归） 16
解答题专项题组B（能力提升） 17
解答题专项题组C（思维拓展） 19
公式定理汇总
一、数列基本概念与 与 的关系
数列 的前 项和记为
则
识别特征：题干给出 的表达式，或给出含 与 的关系式。
通法选择：先由 得 ，再由 得 ，最后检验 是否符合 时的表达式。若不符合，应分段写出通项。
书写要求：必须写“当 时”和“当 时”两段，最后写“经检验， 时……”。不能直接用 求 。
二、等差数列
定义：
其中 为公差。
通项公式：
前 项和：
常用性质：
若 ，则
特别地，
识别特征：题干出现相邻两项之差为常数，或出现 的下标和结构，或 为关于 的二次式且无常数项。
通法选择：基本量法，即把条件全部化为 与 的方程；涉及下标和时用性质简化；涉及 最值时，看 的符号变化或转化为二次函数。
书写要求：证明等差数列必须回到定义，写“（常数）”，不能只写通项公式。
三、等比数列
定义：
其中 为公比。
通项公式：
前 项和：
常用性质：
若 ，则
特别地，
识别特征：题干出现相邻两项之比为常数，或出现 的下标和结构，或出现 型通项。
通法选择：基本量法，把条件化为 与 的方程；求和前必须先判断 是否可能；涉及下标和时用性质简化。
书写要求：证明等比数列必须写“（常数）”，并注明 。求和时必须分 与 讨论。
四、等差、等比数列的判定与证明
等差数列判定：
1. 定义法：（常数）；
1. 中项法：；
1. 通项法：；
1. 前 项和法：。
等比数列判定：
1. 定义法：（常数，且 ）；
1. 中项法：（且各项非零）；
1. 通项法：；
1. 前 项和法： 型。
识别特征：题干要求“证明 是等差数列/等比数列”，或要求判断某数列是否为等差、等比数列。
通法选择：证明优先用定义法，判断可用定义法或中项法。通项法和前 项和法多用于选择题、填空题，解答题证明必须回到定义。
书写要求：证明时写“因为 （与 无关的常数），所以 是等差数列”。等比证明要注明分母不为零。
五、通项公式的常用求法
1. 公式法：已知等差或等比，直接代通项公式。
2. 累加法：若
则
3. 累乘法：若
则
4. 构造法：若
则设
解得
从而 为等比数列。
5. 取倒数法：若
则两边取倒数，化为 的等差或等比型。
6. 法：由 求通项，注意检验 。
识别特征：题干给出递推关系，要求求通项公式。
通法选择：差为 用累加；比为 用累乘； 用构造；分式递推用取倒数；含 用 法。
书写要求：累加、累乘要写清起始项和项数；构造法要写出待定系数 的求解过程；取倒数要注明 。
六、前 项和的常用求法
1. 公式法：等差、等比直接用求和公式。
2. 分组求和法：若数列可拆为几个等差、等比或可求和数列的和，分别求和再相加。
3. 裂项相消法：若通项可化为
的形式，则求和后中间项相消，只剩首尾若干项。
4. 错位相减法：若数列为“等差 等比”型，即
则用错位相减法求和。
5. 倒序相加法：若数列满足 为常数，则可用倒序相加。
6. 奇偶讨论法：若通项含 或需按 的奇偶分类，则分奇偶求和。
识别特征：题干要求求 ，或求数列前 项和。
通法选择：先看通项结构——等差、等比用公式；分式且分母为乘积用裂项；等差乘等比用错位相减；含 用奇偶讨论；通项为几部分之和用分组求和。
书写要求：裂项要写清裂项系数；错位相减要写清两式相减后等比部分的项数和符号；奇偶讨论要分别写出 为奇数、偶数时的结果，并检验统一形式。
七、数列不等式与放缩
基本思路：证明 或 ，常将通项放缩为可求和的形式，再求和比较。
常用放缩：
识别特征：题干要求证明数列不等式，或求参数范围使不等式恒成立。
通法选择：先尝试求和后比较；若不能直接求和，将通项放缩为裂项型或等比型，再求和。放缩方向由目标不等式决定，证明“小于”时放大通项，证明“大于”时缩小通项。
书写要求：每一步放缩都要写清依据，并注意放缩后是否仍能推出目标；放缩起点 与 是否需单独验证。
八、数列单调性与最值
数列单调性：
** 最值**：对等差数列，若 ，则 在 且 处取得最大值；若 ，则 在 且 处取得最小值。
识别特征：题干求数列最大项、最小项，或求 的最大值、最小值。
通法选择：作差比较相邻项，或利用等差、等比数列的单调性； 最值转化为 的符号变化，或利用二次函数对称轴。
书写要求：写清“由 解得 的范围”，再写最值；不能只写结论。
常用结论、二级结论归纳
结论1：等差中项与等比中项
若 成等差数列，则
若 成等比数列，则
且 同号或 （各项非零时同号）。
识别特征：题干出现三项成等差、等比，或出现 的关系。
使用条件：等比中项中 只说明 是 的等比中项，不保证 同号；若题干要求三项成等比数列，还需检验符号。
书写要求：由 求 时，应写 ，再结合条件取舍。
结论2：下标和性质
等差数列中，若 ，则
等比数列中，若 ，则
识别特征：题干出现 、 等下标和相等的结构，或求 的配对和。
使用条件：必须是等差或等比数列，且下标均为正整数。等比数列中各项不为零。
书写要求：写“由等差数列下标和性质得”，再列等式；不能对非等差、等比数列使用。
结论3：片段和性质
等差数列中，
仍成等差数列，公差为 。
等比数列中（ 且各项非零），
仍成等比数列，公比为 。
识别特征：题干给出 、、 的部分值，求其余值。
使用条件：等差数列无额外条件；等比数列需注意 且 为偶数时片段和可能为零，不能直接作等比处理。
书写要求：写清“由片段和性质， 成等差（比）数列”，再列方程。
结论4： 的函数特征
等差数列的前 项和
即 为关于 的二次式，且常数项为零。
等比数列的前 项和（）
即 型。
识别特征：题干给出 的表达式，判断是否为等差或等比数列，或求参数。
使用条件：等差数列 无常数项；若给出 且 ，则从第二项起为等差，但整体不是等差数列。
书写要求：由 判断数列类型时，先用 求通项，再检验 。
结论5：裂项公式汇总
识别特征：通项为分式，分母为乘积或根式和差。
使用条件：裂项后中间项能相消；裂项系数不能漏乘。
书写要求：写清“因为 ，所以 ”，并写出相消后剩余的项。
结论6：错位相减的结果形式
若
则
型，即结果可整理为
识别特征：通项为“等差 等比”型。
使用条件：；若 ，则退化为等差求和。
书写要求：错位相减时写清
两式相减后，等比部分的项数和符号要写清。最后整理为 的形式。
结论7：构造法待定系数
若
设
则
若
可设
再待定 。
识别特征：递推式为线性递推或含 的递推式。
使用条件：；若 ，则退化为累加。
书写要求：写出“设 ，展开比较系数得 ”，再写“所以 是等比数列”。
结论8：奇偶项处理
若通项含 ，求和时按 的奇偶分类：
识别特征：通项含 ，或递推式分奇偶给出。
使用条件：必须先写出 与 的表达式，再分组求和。
书写要求：分别写出 为奇数、偶数时的 ，最后检验能否统一为一个表达式。
结论9：数列不等式放缩的常用方向
证明 时，放大通项：
证明 时，缩小通项：
识别特征：数列不等式证明，通项为分式、根式或含 的结构。
使用条件：放缩后必须能求和，且放缩方向与目标一致；起点 与 是否需单独验证。
书写要求：每一步放缩写清依据，最后写“综上，”。
结论10：数列单调性与最值的判定
数列 递增的充要条件是
等差数列 最值：若 ，则 最大时 满足
若 ，则 最小时 满足
识别特征：求最大项、最小项、 最值。
使用条件：等差数列；等比数列最值需结合 的范围讨论。
书写要求：写清不等式组的解法，再写“所以当 时， 取得最大值”。
2024/2025/2026高考真题
1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
易错点速查清单
易错点1：由 求 漏检验
学生典型错误：直接用 得到通项，不检验 ，导致 与通项公式不符。
成因分析： 只对 成立， 需单独计算。
纠正要求：固定写“当 时，；当 时，；经检验， 时……”。若不符合，写分段通项。
易错点2：等比数列求和漏讨论
学生典型错误：直接用 ，没有讨论 。
成因分析：等比求和公式在 时分母为零，不适用。
纠正要求：求和前先判断 是否可能为 。若题干未说明，分 与 讨论；若由条件可推出 ，写明“因为 ”。
易错点3：错位相减项数与符号出错
学生典型错误：两式相减后等比部分的项数数错，或最后一项符号写反。
成因分析：错位相减后，中间等比部分的项数为 项，首项为 ，末项为 ，容易数错。
纠正要求：写清
相减后逐项对齐，最后一项为 。再用等比求和公式，项数为 。
易错点4：裂项系数漏乘
学生典型错误：把
直接写成 ，漏掉系数 。
成因分析：裂项后差值与原分式相差一个常数因子。
纠正要求：裂项后回乘检验。一般地，
易错点5：下标和性质使用前提不清
学生典型错误：对非等差、非等比数列使用 ，或等比数列中忽略各项非零。
成因分析：下标和性质是等差、等比数列的特有性质，不能随意推广。
纠正要求：使用前确认数列类型；等比数列使用 时，注明各项不为零。
易错点6：等比中项漏负根
学生典型错误：由 只取 ，漏掉 。
成因分析：平方根有正负两个，等比中项需结合符号条件取舍。
纠正要求：写 ，再根据 同号或题干条件取舍。
易错点7：累乘法起始项与项数出错
学生典型错误：由 累乘时，乘积从 到 ，或漏掉 。
成因分析：累乘得到的是 ，项数为 。
纠正要求：写
再写 ，最后检验 。
易错点8：构造法待定系数算错
学生典型错误：设 后，展开比较系数出错，或忘记写“所以 是等比数列”。
纠正要求：展开得
与 比较，得
再写“所以 是以 为首项、 为公比的等比数列”。
易错点9：证明等差、等比只用通项公式，不用定义
学生典型错误：证明 是等差数列时，只写出 ，没有回到 。
成因分析：解答题证明必须用定义，通项公式法多用于判断。
纠正要求：证明写“因为 （常数），所以 是等差数列”。等比证明写“因为 （常数），且 ，所以……”。
易错点10：放缩过度或不足
学生典型错误：证明 时放缩过大，导致求和后仍大于 ；或放缩不足，无法求和。
成因分析：放缩方向与目标不一致，或放缩后不可求和。
纠正要求：证明“小于”时放大通项，证明“大于”时缩小通项；放缩后必须能裂项或等比求和。放缩起点 时， 单独验证。
易错点11：奇偶项讨论漏项
学生典型错误：求 时只写 ，没有写 ，或最后没有统一表达式。
纠正要求：分别写出
再检验能否统一为关于 的表达式。
易错点12：数列最值只看二次函数对称轴，忽略 为正整数
学生典型错误：由 的二次函数对称轴 直接取 ，没有取整数。
纠正要求：二次函数对称轴附近取正整数，比较相邻两个整数对应的 ；或用 的符号变化确定最值点。
速记口诀
口诀一： 与
一算首项，二算差，三段检验不能落；
单独看，符合合并不合分。
由 求 ：先算 ，再算 时的 ，最后检验 是否符合。
口诀二：等差等比基本量
等差首项加公差，等比首项乘公比；
条件全部化基本，解出 和 （或 ）。
等差、等比基本量法：把题干条件全部化为 与 （或 ）的方程。
口诀三：等比求和
等比求和先看 ， 等一，直接 ；
不等一，一减 的 次方，除以一减 。
等比数列求和必须先讨论 。
口诀四：裂项
分母乘积拆两项，系数回乘不能忘；
相差几，除几，裂完相消看首尾。
口诀五：错位相减
等差乘等比，错位来相减；
对齐写两行，减完等比和；
项数 减一，末项符号负。
错位相减后中间为等比部分，项数 ，末项为 。
口诀六：构造法
线性递推设平移，加上 成等比；
等于 除 减一，首项公比写仔细。
口诀七：下标和
等差下标和相等，对应项和也相等；
等比下标和相等，对应项积也相等。
若 ，等差有 ，等比有 。
口诀八：片段和
等差片段仍等差，等比片段仍等比；
等差公差 方 ，等比公比 的 次方。
等差公差为 ，等比公比为 。
口诀九：数列不等式放缩
证小放大，证大缩小；
放缩之后能求和，起点 单独瞧。
证明 放大通项，证明 缩小通项；放缩后要能裂项或等比求和。
口诀十：最值
等差求和看符号，正变负时最大到；
负变正时最小取，二次函数取整数。
等差数列 最值： 由正变负时 最大，由负变正时 最小；二次函数对称轴附近取正整数。
典例讲解之会一题通一类
6．（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
7．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求；
(3)设数列的前项和为，求．
8．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，求．
9．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，.
(1)证明:数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
10．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)设数列，的前项和，证明：．
11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和的值.
12．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
13．（2026·河南信阳·一模）已知数列的通项公式为，的前项和为．
(1)判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(2)若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小；
(3)求满足的最小整数．
14．（2026·广西南宁·一模）已知数列满足，．
(1)若，求中所有元素之和；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)证明：．
15．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，．
(1)求曲线的离心率；
(2)记的面积为，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：．
解答题专项题组A（基础回归）
16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
18．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知数列，首项，点是抛物线上一点．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项积．
19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，求的通项公式．
20．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，求．
22．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：.
23．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：.
24．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值.
25．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的前项和；
(2)记，数列的前项积为，求的最小值.
解答题专项题组B（能力提升）
26．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
27．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式，并证明为等差数列；
(2)若，求．
28．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数．
（i）写出；
（ii）求数列的前项和．
29．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
30．（2026·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，
(1)若为等差数列，求的取值范围；
(2)若为等比数列，其公比为，求的取值范围．
31．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
32．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
33．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，．
(1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
(2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．
34．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前40项和．
35．（2026·湖南永州·三模）抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)设的面积为，，求证：．
解答题专项题组C（思维拓展）
36．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为．
(1)证明：；
(2)若，证明：当为偶数时，；
(3)若，证明：当时，．
37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项．
(1)求的通项公式及；
(2)记为在区间内项的个数为数列的前项和．
（i）若，求的最大值；
（ii）设，证明：．
38．（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)数列满足，，其中，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
39．（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：；
(3)表示不超过的最大整数，；求.
40．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，.
(1)求；
(2)求数列的前n项和，并证明：.
41．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列满足，求数列的最大项和最小项．
42．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和
①求；
②对于恒成立，求实数的最大值．
43．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；
(3)若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．
44．（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
45．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，
(1)已知数列满足，求证：是等比数列；
(2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数．
1 / 2
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
大题03 数列
2027年高考数学（解答题满分冲刺）
公式定理汇总 1
常用结论、二级结论归纳 5
2024/2025/2026高考真题 8
易错点速查清单 15
速记口诀 17
典例讲解之会一题通一类 19
解答题专项题组A（基础回归） 30
解答题专项题组B（能力提升） 37
解答题专项题组C（思维拓展） 48
公式定理汇总
一、数列基本概念与 与 的关系
数列 的前 项和记为
则
识别特征：题干给出 的表达式，或给出含 与 的关系式。
通法选择：先由 得 ，再由 得 ，最后检验 是否符合 时的表达式。若不符合，应分段写出通项。
书写要求：必须写“当 时”和“当 时”两段，最后写“经检验， 时……”。不能直接用 求 。
二、等差数列
定义：
其中 为公差。
通项公式：
前 项和：
常用性质：
若 ，则
特别地，
识别特征：题干出现相邻两项之差为常数，或出现 的下标和结构，或 为关于 的二次式且无常数项。
通法选择：基本量法，即把条件全部化为 与 的方程；涉及下标和时用性质简化；涉及 最值时，看 的符号变化或转化为二次函数。
书写要求：证明等差数列必须回到定义，写“（常数）”，不能只写通项公式。
三、等比数列
定义：
其中 为公比。
通项公式：
前 项和：
常用性质：
若 ，则
特别地，
识别特征：题干出现相邻两项之比为常数，或出现 的下标和结构，或出现 型通项。
通法选择：基本量法，把条件化为 与 的方程；求和前必须先判断 是否可能；涉及下标和时用性质简化。
书写要求：证明等比数列必须写“（常数）”，并注明 。求和时必须分 与 讨论。
四、等差、等比数列的判定与证明
等差数列判定：
1. 定义法：（常数）；
1. 中项法：；
1. 通项法：；
1. 前 项和法：。
等比数列判定：
1. 定义法：（常数，且 ）；
1. 中项法：（且各项非零）；
1. 通项法：；
1. 前 项和法： 型。
识别特征：题干要求“证明 是等差数列/等比数列”，或要求判断某数列是否为等差、等比数列。
通法选择：证明优先用定义法，判断可用定义法或中项法。通项法和前 项和法多用于选择题、填空题，解答题证明必须回到定义。
书写要求：证明时写“因为 （与 无关的常数），所以 是等差数列”。等比证明要注明分母不为零。
五、通项公式的常用求法
1. 公式法：已知等差或等比，直接代通项公式。
2. 累加法：若
则
3. 累乘法：若
则
4. 构造法：若
则设
解得
从而 为等比数列。
5. 取倒数法：若
则两边取倒数，化为 的等差或等比型。
6. 法：由 求通项，注意检验 。
识别特征：题干给出递推关系，要求求通项公式。
通法选择：差为 用累加；比为 用累乘； 用构造；分式递推用取倒数；含 用 法。
书写要求：累加、累乘要写清起始项和项数；构造法要写出待定系数 的求解过程；取倒数要注明 。
六、前 项和的常用求法
1. 公式法：等差、等比直接用求和公式。
2. 分组求和法：若数列可拆为几个等差、等比或可求和数列的和，分别求和再相加。
3. 裂项相消法：若通项可化为
的形式，则求和后中间项相消，只剩首尾若干项。
4. 错位相减法：若数列为“等差 等比”型，即
则用错位相减法求和。
5. 倒序相加法：若数列满足 为常数，则可用倒序相加。
6. 奇偶讨论法：若通项含 或需按 的奇偶分类，则分奇偶求和。
识别特征：题干要求求 ，或求数列前 项和。
通法选择：先看通项结构——等差、等比用公式；分式且分母为乘积用裂项；等差乘等比用错位相减；含 用奇偶讨论；通项为几部分之和用分组求和。
书写要求：裂项要写清裂项系数；错位相减要写清两式相减后等比部分的项数和符号；奇偶讨论要分别写出 为奇数、偶数时的结果，并检验统一形式。
七、数列不等式与放缩
基本思路：证明 或 ，常将通项放缩为可求和的形式，再求和比较。
常用放缩：
识别特征：题干要求证明数列不等式，或求参数范围使不等式恒成立。
通法选择：先尝试求和后比较；若不能直接求和，将通项放缩为裂项型或等比型，再求和。放缩方向由目标不等式决定，证明“小于”时放大通项，证明“大于”时缩小通项。
书写要求：每一步放缩都要写清依据，并注意放缩后是否仍能推出目标；放缩起点 与 是否需单独验证。
八、数列单调性与最值
数列单调性：
** 最值**：对等差数列，若 ，则 在 且 处取得最大值；若 ，则 在 且 处取得最小值。
识别特征：题干求数列最大项、最小项，或求 的最大值、最小值。
通法选择：作差比较相邻项，或利用等差、等比数列的单调性； 最值转化为 的符号变化，或利用二次函数对称轴。
书写要求：写清“由 解得 的范围”，再写最值；不能只写结论。
常用结论、二级结论归纳
结论1：等差中项与等比中项
若 成等差数列，则
若 成等比数列，则
且 同号或 （各项非零时同号）。
识别特征：题干出现三项成等差、等比，或出现 的关系。
使用条件：等比中项中 只说明 是 的等比中项，不保证 同号；若题干要求三项成等比数列，还需检验符号。
书写要求：由 求 时，应写 ，再结合条件取舍。
结论2：下标和性质
等差数列中，若 ，则
等比数列中，若 ，则
识别特征：题干出现 、 等下标和相等的结构，或求 的配对和。
使用条件：必须是等差或等比数列，且下标均为正整数。等比数列中各项不为零。
书写要求：写“由等差数列下标和性质得”，再列等式；不能对非等差、等比数列使用。
结论3：片段和性质
等差数列中，
仍成等差数列，公差为 。
等比数列中（ 且各项非零），
仍成等比数列，公比为 。
识别特征：题干给出 、、 的部分值，求其余值。
使用条件：等差数列无额外条件；等比数列需注意 且 为偶数时片段和可能为零，不能直接作等比处理。
书写要求：写清“由片段和性质， 成等差（比）数列”，再列方程。
结论4： 的函数特征
等差数列的前 项和
即 为关于 的二次式，且常数项为零。
等比数列的前 项和（）
即 型。
识别特征：题干给出 的表达式，判断是否为等差或等比数列，或求参数。
使用条件：等差数列 无常数项；若给出 且 ，则从第二项起为等差，但整体不是等差数列。
书写要求：由 判断数列类型时，先用 求通项，再检验 。
结论5：裂项公式汇总
识别特征：通项为分式，分母为乘积或根式和差。
使用条件：裂项后中间项能相消；裂项系数不能漏乘。
书写要求：写清“因为 ，所以 ”，并写出相消后剩余的项。
结论6：错位相减的结果形式
若
则
型，即结果可整理为
识别特征：通项为“等差 等比”型。
使用条件：；若 ，则退化为等差求和。
书写要求：错位相减时写清
两式相减后，等比部分的项数和符号要写清。最后整理为 的形式。
结论7：构造法待定系数
若
设
则
若
可设
再待定 。
识别特征：递推式为线性递推或含 的递推式。
使用条件：；若 ，则退化为累加。
书写要求：写出“设 ，展开比较系数得 ”，再写“所以 是等比数列”。
结论8：奇偶项处理
若通项含 ，求和时按 的奇偶分类：
识别特征：通项含 ，或递推式分奇偶给出。
使用条件：必须先写出 与 的表达式，再分组求和。
书写要求：分别写出 为奇数、偶数时的 ，最后检验能否统一为一个表达式。
结论9：数列不等式放缩的常用方向
证明 时，放大通项：
证明 时，缩小通项：
识别特征：数列不等式证明，通项为分式、根式或含 的结构。
使用条件：放缩后必须能求和，且放缩方向与目标一致；起点 与 是否需单独验证。
书写要求：每一步放缩写清依据，最后写“综上，”。
结论10：数列单调性与最值的判定
数列 递增的充要条件是
等差数列 最值：若 ，则 最大时 满足
若 ，则 最小时 满足
识别特征：求最大项、最小项、 最值。
使用条件：等差数列；等比数列最值需结合 的范围讨论。
书写要求：写清不等式组的解法，再写“所以当 时， 取得最大值”。
2024/2025/2026高考真题
1．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，，或，记为中的元素个数．
（i）求；
（ii）求．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；
（2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以，即，解得或（公比不能为0，舍去），
所以
（2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，
根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，
小于的正偶数有个，由得，，
所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，
所以.
（ii）当时，中小于等于的项有个，
又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，
所以，
所以，
从到共有项，
又为奇数时，
所以
，
所以
令①，
则②，
①-②得
，
所以，
所以
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】(1)证明：由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）略
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
5．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)
(2)①
由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
②
【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）略
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得.
易错点速查清单
易错点1：由 求 漏检验
学生典型错误：直接用 得到通项，不检验 ，导致 与通项公式不符。
成因分析： 只对 成立， 需单独计算。
纠正要求：固定写“当 时，；当 时，；经检验， 时……”。若不符合，写分段通项。
易错点2：等比数列求和漏讨论
学生典型错误：直接用 ，没有讨论 。
成因分析：等比求和公式在 时分母为零，不适用。
纠正要求：求和前先判断 是否可能为 。若题干未说明，分 与 讨论；若由条件可推出 ，写明“因为 ”。
易错点3：错位相减项数与符号出错
学生典型错误：两式相减后等比部分的项数数错，或最后一项符号写反。
成因分析：错位相减后，中间等比部分的项数为 项，首项为 ，末项为 ，容易数错。
纠正要求：写清
相减后逐项对齐，最后一项为 。再用等比求和公式，项数为 。
易错点4：裂项系数漏乘
学生典型错误：把
直接写成 ，漏掉系数 。
成因分析：裂项后差值与原分式相差一个常数因子。
纠正要求：裂项后回乘检验。一般地，
易错点5：下标和性质使用前提不清
学生典型错误：对非等差、非等比数列使用 ，或等比数列中忽略各项非零。
成因分析：下标和性质是等差、等比数列的特有性质，不能随意推广。
纠正要求：使用前确认数列类型；等比数列使用 时，注明各项不为零。
易错点6：等比中项漏负根
学生典型错误：由 只取 ，漏掉 。
成因分析：平方根有正负两个，等比中项需结合符号条件取舍。
纠正要求：写 ，再根据 同号或题干条件取舍。
易错点7：累乘法起始项与项数出错
学生典型错误：由 累乘时，乘积从 到 ，或漏掉 。
成因分析：累乘得到的是 ，项数为 。
纠正要求：写
再写 ，最后检验 。
易错点8：构造法待定系数算错
学生典型错误：设 后，展开比较系数出错，或忘记写“所以 是等比数列”。
纠正要求：展开得
与 比较，得
再写“所以 是以 为首项、 为公比的等比数列”。
易错点9：证明等差、等比只用通项公式，不用定义
学生典型错误：证明 是等差数列时，只写出 ，没有回到 。
成因分析：解答题证明必须用定义，通项公式法多用于判断。
纠正要求：证明写“因为 （常数），所以 是等差数列”。等比证明写“因为 （常数），且 ，所以……”。
易错点10：放缩过度或不足
学生典型错误：证明 时放缩过大，导致求和后仍大于 ；或放缩不足，无法求和。
成因分析：放缩方向与目标不一致，或放缩后不可求和。
纠正要求：证明“小于”时放大通项，证明“大于”时缩小通项；放缩后必须能裂项或等比求和。放缩起点 时， 单独验证。
易错点11：奇偶项讨论漏项
学生典型错误：求 时只写 ，没有写 ，或最后没有统一表达式。
纠正要求：分别写出
再检验能否统一为关于 的表达式。
易错点12：数列最值只看二次函数对称轴，忽略 为正整数
学生典型错误：由 的二次函数对称轴 直接取 ，没有取整数。
纠正要求：二次函数对称轴附近取正整数，比较相邻两个整数对应的 ；或用 的符号变化确定最值点。
速记口诀
口诀一： 与
一算首项，二算差，三段检验不能落；
单独看，符合合并不合分。
由 求 ：先算 ，再算 时的 ，最后检验 是否符合。
口诀二：等差等比基本量
等差首项加公差，等比首项乘公比；
条件全部化基本，解出 和 （或 ）。
等差、等比基本量法：把题干条件全部化为 与 （或 ）的方程。
口诀三：等比求和
等比求和先看 ， 等一，直接 ；
不等一，一减 的 次方，除以一减 。
等比数列求和必须先讨论 。
口诀四：裂项
分母乘积拆两项，系数回乘不能忘；
相差几，除几，裂完相消看首尾。
口诀五：错位相减
等差乘等比，错位来相减；
对齐写两行，减完等比和；
项数 减一，末项符号负。
错位相减后中间为等比部分，项数 ，末项为 。
口诀六：构造法
线性递推设平移，加上 成等比；
等于 除 减一，首项公比写仔细。
口诀七：下标和
等差下标和相等，对应项和也相等；
等比下标和相等，对应项积也相等。
若 ，等差有 ，等比有 。
口诀八：片段和
等差片段仍等差，等比片段仍等比；
等差公差 方 ，等比公比 的 次方。
等差公差为 ，等比公比为 。
口诀九：数列不等式放缩
证小放大，证大缩小；
放缩之后能求和，起点 单独瞧。
证明 放大通项，证明 缩小通项；放缩后要能裂项或等比求和。
口诀十：最值
等差求和看符号，正变负时最大到；
负变正时最小取，二次函数取整数。
等差数列 最值： 由正变负时 最大，由负变正时 最小；二次函数对称轴附近取正整数。
典例讲解之会一题通一类
6．（2026·广东·模拟预测）已知等比数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知分式变形求出公比q，再求出首项，代入等比数列通项公式得到；
（2）由列出前n项和，使用错位相减法，两式相减后借助等比求和公式化简求解．
【详解】（1）设的公比为，
则，所以，
，所以，
所以．
（2）由（1）得，
所以，，
以上两式相减得
，
所以．
7．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求；
(3)设数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设公差为，由，得，，解得，
∴；
（2）由得，
∴；
（3），
.
8．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解；
（2）使用裂项相消法求解.
【详解】（1），即，，
则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
，当时，；
当时，，；
综上，.
（2），
.
9．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列{an}的前n项和为，.
(1)证明:数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
当时，，解得：
当时，，
，
所以，即：，，，
所以是首项为，公比为的等比数列.
(2)
【分析】（1）利用递推公式即可证明；
（2）利用裂项相消的方法求解.
【详解】（1）略
（2）由（1）可知，则，
所以，
则.
10．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和满足．
(1)证明：是等比数列；
(2)设数列，的前项和，证明：．
【答案】(1)证明：当时，，即，所以.
当时，.
作差得，即，
整理得，即.
所以是以为首项，为公比的等比数列.
(2)证明：由（1）得，，则.
满足上式，故.
所以.
，，
所以.
所以.
因为，所以，故.
【分析】（1）根据与的关系及等比数列的定义证明即可.
（2）根据等比数列的定义求出，进而求出，，再根据错位相减法及等比数列的前项和公式求出，结合不等式性质证明即可.
【详解】（1）略
（2）略
11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和的值.
【答案】(1)
(2)440
【分析】（1）求出，由求出，验证即可求得答案；
（2）讨论的取值，得到数列通项公式，然后分组求和求得答案.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
所以数列的通项公式为
（2）令，则，
所以当时，，当时，，
所以
.
12．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明：由（1）知，所以．
所以．
因为，所以，．
【分析】（1）利用平方差公式因式分解，两边约去正数，构造新数列求通项；
（2）对进行裂项，利用裂项相消法，求出前n项和，再利用放缩证明不等式.
【详解】（1）由，
得，
又，所以．
又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列．
所以，即．
（2）略
13．（2026·河南信阳·一模）已知数列的通项公式为，的前项和为．
(1)判断是否存在使为整数，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
(2)若数列共有项，其奇数项的和记为，记，数列的前项和记为，比较和的大小；
(3)求满足的最小整数．
【答案】(1)由题意可得，数列的奇数项构成首项为，
公差为的等差数列；偶数项构成首项为，公比为的等比数列
设，则前项和为.
设，则前项和为.
(1)当为偶数时，设.
若为整数，则必为整数.
因为，所以是整数，且，故不为整数，从而不为整数.
当为奇数时，设.
若为整数，则必为整数.
当时，，，不为整数；
当时，，故不为整数，从而不为整数.
综上所述，不存在使为整数.
(2)
(3)45
【分析】（1）根据数列的特征判断即可得出结果；
（2）利用等差数列的通项公式和求和公式计算化简可得答案；
（3）利用等差数列和等比数列的求和公式计算化简即可.
【详解】（1）略
（2）由题意知，
，
，即
（3）数列的前项中偶数项的和为，
数列的前项中奇数项的和为，要么为整数，要么小数部分为或，
偶数项的和恒小于，的前项和的整数部分完全由奇数项决定，
在判断首次超过时只需考虑奇数项的和，
当时，，可解得：，
即前项的和首次大于（通过求出及再比对也正确）
即满足的最小整数为45．
14．（2026·广西南宁·一模）已知数列满足，．
(1)若，求中所有元素之和；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)证明：．
【答案】(1)6；
(2)证明：，
故，而，
所以为公比为2的等比数列，首项为，
所以，所以；
(3)证明：令，，
则，故在上单调递减，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
令得，即，
故，
，
设，，则，
其中，故，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以当时，，又时，，
故时，，
又，故.
【分析】（1）解不等式可得，因为，所以，从而可得元素之和；
（2）推导出，得到为等比数列，并求出通项公式；
（3）先构造函数，求导，求出单调性和最值，得到，令得，结合等比数列求和公式证明出结论.
【详解】（1）因为，，
所以令，
去分母得，，
解得，因为，所以，故中所有元素之和为；
（2）略；
（3）略；
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
15．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）现有一系列曲线，的方程为，从原点出发的射线（，）与曲线交于点，过作曲线的切线与曲线交于点，．
(1)求曲线的离心率；
(2)记的面积为，
（i）求数列的通项公式；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)（i）；
（ii）
，
由得，
所以
【分析】（1）由条件求出，即得离心率；
（2）（i）由题意设直线的方程为，与方程联立后利用韦达定理得，联立直线与曲线的方程，韦达定理，利用弦长公式求得，结合点O到直线的距离可得的面积为；
（ii）先利用放缩法得，然后利用裂项相消法求和即可证明.
【详解】（1）由曲线的方程为，即，
所以，所以曲线的离心率为；
（2）（i）由于，故直线的斜率一定存在，设直线的方程为，
联立 ，消去y可得，
由于直线与曲线相切，故，
化简得，
联立 ，消去y可得，
所以，
所以
，
又点O到直线的距离为，
所以的面积为
；
（ii）略
解答题专项题组A（基础回归）
16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，，
经检验，时符合上式，
所以，．
由上可知，，
设的公差为，则，
所以，，
即．
（2）由(1)得，
则数列的前项和为：
，
，
，
，
所以，数列的前项和．
17．（2026·四川成都·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列的定义即可得证；
（2）利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由，所以，
所以，
所以数列是以为公差，首项为的等差数列；
（2）由（1）有，所以，
所以，
所以.
18．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）已知数列，首项，点是抛物线上一点．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在抛物线上得到递推关系，再通过取对数构造等比数列求通项；
（2）再利用指数运算性质结合等比数列求和公式计算的前项积.
【详解】（1）由点是抛物线上一点，可得，
由，可知对任意，
对两边取对数得，
令，则，变形得，
因为，
故是首项为，公比为2的等比数列，
因此，即，
所以；
（2）由（1）知，
则，
由，
则.
19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，，求的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项；
（2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得：
解得，，
所以数列的通项公式．
（2）由可得：
，
，
…
，
通过累加可得，
又，所以，
当时，符合，故．
20．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解；
（2）可得，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为，则，即，
且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以.
（2）因为，则，
可得数列为等差数列，
所以数列的前项和.
21．（2026·海南海口·模拟预测）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和，求．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式，要注意分和讨论.
（2）先明确数列的通项公式，探索为定值，再用分组求和法求.
【详解】（1）当时，；
当时，.
时，上式亦成立.
所以，.
（2）由题意，
所以.
所以.
22．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，证明：.
【答案】(1)
(2)证明：，故，
所以.
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式；
（2）求出的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式.
【详解】（1）设公比为，则，故，
故.
（2）略
23．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)由，
所以
.
【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解;
（2）由,进行裂项相消求和得证.
【详解】（1）由题意得
解得
所以.
（2）略
24．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值.
【答案】(1)；
(2)6.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得，化简得，
解得，，所以.
（2）由（1）可知.
由，得，即，
即，解得或.
因为，所以n的最小值是6.
即使成立的n的最小值为6.
25．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的前项和；
(2)记，数列的前项积为，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程：
由得： ，
由得： ，
联立解得：，，
则由等差数列前项和公式可得 ；
（2）由，，可得等差数列的通项公式为：，
则，即数列的前项积为：
，
因此： ，
令，，
因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值，
因为的最小值在时取得，即，
代入可得： ,
即的最小值为.
解答题专项题组B（能力提升）
26．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，满足，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)由（1）得，.
所以，
所以
因为，
所以，
所以.
又和均随的增大而增大，
所以随的增大而增大，
所以当时，取得最小值，最小值为.
所以．
【分析】（1）由与的关系求得；
（2）由题意求得，从而求得，再根据裂项相消法求得的表达式，从而证明．
【详解】（1）因为，
所以，所以.
当时，，
所以，.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（2）略
27．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式，并证明为等差数列；
(2)若，求．
【答案】(1)，
证明：令，所以，
由的通项公式可得：，
由通项公式可知：，所以为等差数列.
(2)
【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可.
【详解】（1）令可得：，即.
当时，由，可得，
两式相减可得，
不满足，所以的通项公式为.
（2）由（1）知，当时，
，
所以.
28．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数．
（i）写出；
（ii）求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）利用等比数列的性质即可求出的通项公式；
（2）（i）根据定义：为在区间中的项的个数可直接写出；（ii）根据定义可知，当时，，共有个，则
【详解】（1）由于数列是公比大于1的等比数列，
设首项为，公比为，
依题意有，
解得：或（舍）.
所以.
（2）（i）由题意，，即，
当时，，
当时，；
（ii）当时，，共有个，
则
.
29．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明：因为，所以，
即，
所以，
所以数列是公差为4的等差数列．
(2)
【详解】（1）略
（2）因为，所以，，
所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
30．（2026·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，
(1)若为等差数列，求的取值范围；
(2)若为等比数列，其公比为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式可得，由求解即可；
（2）由等比数列的通项公式及求和公式可得，从而可得，再检验即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
则，．
又，
所以，
化简并整理得：．
视作关于的一元二次方程，
则，
整理得，解得或．
故．
（2）设等比数列的公比为q，
则，．
又，
即．
又，，
故，故．
对任意的，取满足题意．
故．
31．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式；
（2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和．
【详解】（1）由题意知，所以
当时，，
作差得，
所以，即；
当时，，符合上式.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则，
所以，
.
32．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出；
（2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解．
【详解】（1）由题意，
令，
则，
又，，
，
即，
计算得，
，
，
．
（2）由，
得，
，
由（1）知，故，
，
，
整理得．
33．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，．
(1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式；
(2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)，，，
相减得，即，又，
所以数列是以4为公比的等比数列，
所以．
(2)
【分析】（1）利用和的关系结合等比数列的定义即可证明；
（2）先求出的导数，再利用错位相减求解即可.
【详解】（1）略
（2），，
，
，
，
相减得
，
整理得．
34．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前40项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式；
（2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意可知，∴公比，
∴，
∴数列的通项.
∴数列的通项公式.
（2）由题意可知，
∴，
，
，
.
35．（2026·湖南永州·三模）抛物线（）上有一系列点，，…，…，对于所有正整数n，以点为圆心的与y轴相切，且与又彼此外切．若，点到C的焦点的距离为，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)设的面积为，，求证：．
【答案】(1)
(2)依题意的半径为，的半径为，又和两圆相外切，
则，即，
两边平方整理得，
所以，
又，所以，即，
因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(3)由（2）得，即，
又，所以，
所以①当时，成立；
②当时，因为，
所以
，
综上，得证．
【分析】（1）通过抛物线的定义求解抛物线方程；
（2）寻找 的关系，从而判断数列是等差数列；
（3）进行不等式放缩，再通过裂项相消求和求解.
【详解】（1）由题意，设抛物线C的焦点为F，有，
解得或2，又，所以取，故抛物线C的方程为．
（2）略
（3）略
解答题专项题组C（思维拓展）
36．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为．
(1)证明：；
(2)若，证明：当为偶数时，；
(3)若，证明：当时，．
【答案】(1)证明：由题意，有，即．
记，则，
求导得，于是在上单调递增．
而，，
由零点存在定理，得，即．
(2)证明：易知在单调递减．
因为，所以，即，于是，即．
依次反复操作，易推得，，①．
证明如下：假设，则，即，
于是，即，于是结论①得证．
记，则，
于是在上单调递增．
因为，所以，即，
于是，，
于是当为偶数时，．
(3)先证明，，②．
由已知可得，假设，，
易知在单调递减，于是，即，
于是，即，于是结论②成立．
由（1）可知，在上单调递增，
又，于是，结合（1）可知．
由（2）知，在上单调递增，
因为，，所以，即，即．
因为，所以，即，即．
当且为偶数时，
，
；
当且n为奇数时，
，
．
综上，当时，．
【分析】（1）构造单调函数，利用零点存在与单调性锁定零点区间，快速证得;
（2）先归纳得到数列奇偶项分处两侧，再构造递增函数证相邻两项和小于，偶数项求和放缩即得结论；
（3）根据(2)问结论，构造函数，借助函数的单调性得到相邻两项和上下界，再分奇偶对分类放缩求和，结合的范围完成不等式证明.
【详解】（1）略.
（2）略.
（3）略.
37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是与的等比中项．
(1)求的通项公式及；
(2)记为在区间内项的个数为数列的前项和．
（i）若，求的最大值；
（ii）设，证明：．
【答案】(1)
(2)（i）5;
（ii）由（i）知，则，所以．
注意到，,
则，
设，则①，
②，
①-②得，
所以．所以．综上，．
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由，，结合等差数列通项公式，等差数列前n项和公式可得答案；
（2）（i）由（1）结合题设可得，结合，可得，然后由分组求和法可得，，据此可得答案；
（ii）由，可得，然后注意到，，可得，令，由错位相减法可得：，据此可完成证明.
【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，
即①．，即②，
将①代入②得，因为，解得，
所以；
（2）（i）令，即，解得，
因，则，，即的通项公式为，
所以，又，所以．
由，得，注意到，所以的最大值为5．
（ii）略
38．（2026·天津河西·三模）已知数列是公差为的等差数列，其前n项和为，数列是公比为的等比数列，其中，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)数列满足，，其中，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）直接计算等差等比数列的基本量，进而可能通项公式；
（2）（ⅰ）当时，此时数列是公差为的等差数列，故得，当时，，进而可得，再通过待定系数法构造等比数列，从而可得；（ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，先求第段和，再对进行分组并项求和可得.
【详解】（1）因为是公差为的等差数列，，由得： ，
即，解得，因此： .
对于等比数列，公比，，由得：，
得，结合，解得，因此： .
综上，，.
（2）因为，由上分析知，，所以，.
（ⅰ）当时，，此时数列是公差为的等差数列，共有项，
因此，①.
当时，，将①代入得.
因此②.
用待定系数法构造等比数列：设，
则，与②比较得，解得,
所以，
故数列是公比为的等比数列，且首项.
所以，即，
又因为，所以，，
因此.
（ⅱ）将区间按划分为个互不重叠的子区间，每个区间内是公差为的等差数列，
即第段：，项数；第段：，项数；
第段：，项数；；第段：，项数；
记第组和为，首项为，公差为，项数为的等差数列，
所以
，
对求和，
，
因此，.
【点睛】本题关键由等差等比数列可得递推关系，进而再待定系数法构造等比数列，从而可得；对求和采用分成段求和，最后再用分组并项求和.
39．（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：；
(3)表示不超过的最大整数，；求.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用等差数列和等比数列公式求解通项即可；
（2）利用放缩思想，结合裂项相消法求和即可；
（3）利用分类讨论，求解，然后利用分组求和、错位相减法求和即可.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，
得，解得或（舍去）；
故，；
（2）由（1）知，，，则
所以
则；
（3）因为，
所以，
，
，
所以.
则①，
则②，
由①②得：
，
所以.
40．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列中，，.
(1)求；
(2)求数列的前n项和，并证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得，化简得，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得，利用等比数列的求和公式，求得，根据 ，得到，结合等比数列的求和公式，即可得证.
【详解】（1）解：由数列满足，
因为，
所以，
设，即，
所以，解得，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
即数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知：，
所以 ，
下面证明：，
因为，当为奇数时，；
当为偶数时，，所以，
又因为当时，；
当且时， ，则，所以，
若，可得，此时满足，
若且，可得，
因为，所以，
综上可得：对于任意，都有.
41．（2026·天津河西·三模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设数列满足，求数列的最大项和最小项．
【答案】(1)；．
(2)
(3)最大项为，最小项为．
【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解；
（2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．求出奇数项，利用错位相减法求出，求出偶数项，利用裂项相消法求出，从而得到.
（3）求出，由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．①记偶数项为．计算，得到偶数项子数列是严格递减数列．则在所有偶数项中最大值为；②记奇数项为，判断奇数项子数列单调性，从而得到所有奇数项中的最小值为；进而即得．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由题意得方程组：，
得：即，
因为，解得，此时．
所以；．
（2）前项和可以分为奇数项之和与偶数项之和．
因为奇数项．
，
，
，
，
所以．
偶数项
．
，
，
．
所以.
（3），
由于数列中交替出现正负项，将其分为偶数项子数列与奇数项子数列进行探讨．
①记偶数项为．
．
因为，所以．
故，即偶数项子数列是严格递减数列．
因此，在所有偶数项中，最大值为．
②记奇数项为．
．
当时，，所以，即．
当时，，所以，
即从第三项起，奇数项子数列严格递增，有
因此，在所有奇数项中，最小值为．
因为所有偶数项为正，所有奇数项为负，
所以数列最大项为，最小项为．
42．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和
①求；
②对于恒成立，求实数的最大值．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解；
（2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】（1）因为数列是等差数列，，，
所以，
解得，则.
则，则 ，，，
因为，所以 ，
则 ，.
（2）①由（1）得，代入数列通项：，
因此数列前项和为：，
将上式两边同乘公比：，
用错位相减法，作差：
，
.
②将代入恒成立不等式：，
解得： ，即：对恒成立，
设，问题转化为求,
,
当时， ， ，数列单调递减；
当时， ，，数列单调递增，
因此数列在处取得最小值，，
因此的最大值为.
43．（2026·江苏淮安·模拟预测）已知数列的前项和为，且，数列为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和．若恒成立，求的最小值；
(3)若从数列的前项中任取两项，记这两项之和能被4整除的概率为，证明：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意得到，结合，两式相减即可求解；
（2）由（1）得的表达式，裂项相消即可求出，从而求出的最小值；
（3）根据数列的奇数项和偶数项的特点，即可求出，由于即可求解.
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，所以，
设等差数列的公差为，则，
因此数列的通项为：，所以，
当时，，符合题意；
当时，，则，
整理得，得，所以，
即数列是常数列，首项为，即，解得，
经检验，当时也满足，
因此数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，所以：
，
即，又因为恒成立，则，所以的最小值为．
（3）显然数列各项均为奇数，奇数项，即被除余．
偶数项，即被除余．
在数列的前项中，奇数项和偶数项各有个．若从这项中任取两项，要求“和能被整除”，则两项必一个余、另一个余．
总取法数：种，满足条件的取法数：种．
所以，
所以．即成立．
44．（2026·天津南开·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差以及等比数列的公比，根据题意列出方程组，再利用等差数列和等比数列的通项公式求解即可.
（2）根据（1）得到表达式，再根据组合数的性质以及二项式定理求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
已知，且 ， ，所以，
解得，.
因此，.
（2）当为奇数时，设（ ），则；
当为偶数时，设（ ），则.
故前项和为
.
.
因此.
45．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，，
(1)已知数列满足，求证：是等比数列；
(2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数．
【答案】(1)证明见解析
(2)1．
【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列；
（2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数.
【详解】（1）证明：，
，
又
是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列
故，
即，
由，得，
，
，
显然当时，单调递减，
又当时，，当时，，
∴当时，；
综上，满足的所有正整数为1．
1 / 2
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
