专题6.5 数列求和【知识概要+8大题型+巩固训练】讲义-2027届高考数学一轮复习核心考点讲与练
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内容正文：
专题6.5 数列求和
知识点1：数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设的前项和为，求
(3)设，求的前项和．
题型一：公式法
题型二：倒序相加法
题型三：错位相减法
题型四：分组求和法
题型五：并项求和法
题型六：裂项相消法求
题型七：奇偶性求和法
题型八：公共项与插入项的问题
题型一：公式法
1．（26-27高三上·甘肃白银·期中）已知数列是等差数列，，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足等式的n的值．
2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和.
3．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）等比数列 中，，．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 及 ．
4．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，，，则________．
题型二：倒序相加法
5．（26-27高三上·全国·期中）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足（，），则 = ______．
7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式；
8．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（ ）
A．6322 B． C．6321 D．
题型三：错位相减法
9．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
10．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)令，求数列的前n项和．
11．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）设数列的前n项和为，已知．若．
(1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，求．
12．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和．
题型四：分组求和法
13．（26-27高三上·全国·期中）已知数列满足，．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（26-27高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为.
(1)求，的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值.
15．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)已知数列满足，求数列的前项和．
16．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）等差数列的前项和，等比数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型五：并项求和法
17．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的公差，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
18．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列中，且，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求.
20．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
题型六：裂项相消法求
21．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，求．
22．（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式以及；
(2)记数列的前项和为，求满足的的最小值；
23．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围．
24．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列的前n项和为，若，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型七：奇偶性求和法
25．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
26．（25-26高三下·江西景德镇·阶段检测）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若求数列的前项和.
27．（25-26高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求的通项公式．
(3)已知求数列的前2n项和．
28．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设（），求数列的前项和；
题型八：公共项与插入项的问题
29．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：．
30．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
31．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A． B． C． D．
32．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知等差数列满足，，数列满足，且．
(1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：
(2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．
1．（25-26高三下·河南·期末）已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（ ）
A．402 B．404 C．408 D．412
3．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（ ）
A．2548 B．2550 C．2648 D．2650
4．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（ ）
A．5100 B．4999 C．5202 D．5000
6．（2027高三·全国·专题练习）数列中，，若的前n项和为，则项数n为（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
7．（25-26高三上·江西南昌·期中）设，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2026·山东济南·模拟预测）已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ）
A． B． C． D．
9．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）在等比数列中，，，则（ ）
A．的前项积为 B．的前8项和为
C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为
10．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．存在正整数，，（），使，，成等差数列
B．数列的前100项和为100
C．数列的前100项和为4950
D．数列的前100项和为
11．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知数列满足，，，则（ ）
A． B．当是偶数时，是奇数
C． D．的前项和为
12．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，且，则___________．
13．（25-26高三下·福建泉州·期中）已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________．
14．（25-26高三下·上海·期末）已知数列中，，，为的前n项和，则________
15．（26-27高三上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
16．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求的前项和；
(3)若，求的前项和．
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专题6.5 数列求和
知识点1：数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
【跟踪训练】
1．（25-26高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设的前项和为，求
(3)设，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）分别设等差数列的首项、公差和等比数列的公比，利用基本量运算即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得到，用错位相减法求前项和；
（3）先由（1）求得，化简并裂项，再利用裂项相消求．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为．
由，得，即
由，得，即，解得，，
故
设递增等比数列的公比为，因，则．
由成等差数列，得，即，
解得或，因，则．
故
（2）由（1）得
于是
得
两式相减得.
又，
代入可得
从而
（3）由（1）可知，所以
又，故
因此
所以
题型一：公式法
题型二：倒序相加法
题型三：错位相减法
题型四：分组求和法
题型五：并项求和法
题型六：裂项相消法求
题型七：奇偶性求和法
题型八：公共项与插入项的问题
题型一：公式法
1．（26-27高三上·甘肃白银·期中）已知数列是等差数列，，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足等式的n的值．
【答案】(1)()
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为．
由得
，即．
代入，得，解得．
所以．
（2）由（1）知，所以.
由得，
即，整理得，
即，解得或．
又，所以不合题意，舍去，故．
2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前项和.
【答案】(1)（）.
(2)（）.
【分析】（1）求等差数列通项，可将题目条件转化为关于首项和公差d的方程组，解出基本量后代入通项公式即可；（2）含绝对值的等差数列求和，先确定通项正负的分界项，再分区间去掉绝对值，分别用等差数列求和公式计算分段结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意，
解得，，
所以（）.
（2）设，
所以，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
再设（）.
当，时，
；
当，时，
．
所以 （）.
3．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）等比数列 中，，．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 及 ．
【答案】(1)，
(2)，；．
【分析】（1）直接利用等比数列的定义求出公比，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）根据可知，数列是由一个等比数列和一个常数列相加而成的，因此用分组法求的前项和，即等比数列的前项和加上即可求得，再将代入即可求得．
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为，
由等比数列的定义可知：，所以，
故数列的通项公式为，；
（2）设等比数列的前项和为，则，，
所以数列的前项和
，
当时，．
4．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，，，则________．
【答案】
【详解】因为为正项等比数列，所以公比，且对任意，.
根据等比数列的性质得，又，所以.
因为，所以公比，首项.
故由等比数列前项和公式得.
题型二：倒序相加法
5．（26-27高三上·全国·期中）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ... 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先探究函数的性质，推导出自变量互为倒数时函数值之和为；再利用等比数列下标和性质，得到首尾对称两项乘积为，即互为倒数，据此两两分组配对，每组函数值的和为，统计组数即可求出总和.
【详解】由等比数列的下表和性质可知， ...，
又∵ ，则 ，
∴ ，
同理 ，共 组，每组和为 ，
故原式.
6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，数列满足（，），则 = ______．
【答案】10
【分析】根据的解析式，写出的解析式，然后证明，再用倒序相加法（首尾配对）求和．
【详解】由得，
所以，
设，将各项倒序得，
两式相加，首尾配成对，每对的和均为1，所以，即，
所以．
7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式；
【答案】，由题意得
，
则，
得到，
两式相加得，即.
【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式.
【详解】略
8．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（ ）
A．6322 B． C．6321 D．
【答案】D
【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可.
【详解】令，则，
所以，
则，
所以，
令，
则，两式相加得，
所以.
题型三：错位相减法
9．（26-27高三上·甘肃兰州·期中）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)证明：对于①，
当时，.
当时，可得②，
由①-②：.
所以是以1为首项，2为公比的等比数列.
(2)
【分析】（1）利用与的关系，结合等比数列的定义，可证明结论.
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）略
（2）由（1）得，所以，
所以，
，
两式相减得：，
所以.
10．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）已知数列中，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)由，去分母化简得，又，
所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列；
，解得，
所以数列的通项公式为.
(2)
(3)
【分析】（1）对条件去分母变形，结合等差数列的定义判断，再根据等差数列的通项公式求得数列的通项，进而求得；
（2）由（1）求得，利用裂项相消法求和；
（3）由（1）可得，利用分组求和法和错位相减法求和.
【详解】（1）略
（2）由（1），所以，
.
（3）因为，
令，，数列的前项和为，数列的前项和为，
所以，
，
，
两式相减得，即，
所以；
又；
所以.
11．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）设数列的前n项和为，已知．若．
(1)计算，，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(3)设，数列的前n项和为，求．
【答案】(1)；
(2)证明：当时，，则.
当时，，即，
即，而，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.
因为，所以.
(3)
【分析】（1）利用递推关系式求出的值，根据前3项即可猜出通项公式.
（2）根据与之间的关系求出，从而可得，利用等比数列的定义即可证明，再由等比数列的通项公式即可求解.
（3）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1），
，
即，，，猜想
（2）略.
（3），用错位相减法求和法得：
，①
，②
①-②得： =
12．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式与前项和；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用二项式定理，令， 得到的二项展开式，通过对比直接得到的通项公式，再代入等比数列求和公式计算前n项和；(2)采用错位相减法，通过乘公比、两式错位相减、合并等比项后化简，最终得到前n项和.
【详解】（1）由，令， ，
得，
因为，
所以恰好是 的二项展开式，即，
故 是首项为 4、公比为 4 的等比数列，
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以 ①
②
由①−②得：
化简得数列的前项和.
题型四：分组求和法
13．（26-27高三上·全国·期中）已知数列满足，．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)由，两边同加得：
；
故是以为首项、为公比的等比数列，
，即．
(2)．
【分析】（1）两边同加构造等比，利用等比数列的证明方法即可得证，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）根据分组求和法，代入等比数列前项和公式计算．
【详解】（1）略
（2）由（1）知，根据分组求和法可知，
．
14．（26-27高三上·江苏镇江·阶段检测）已知正项数列的前项和为，且；数列是单调递增的等比数列，公比为，且的等差中项为；的等比中项为.
(1)求，的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，若存在使得成立，求实数的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】(1)利用与的关系可得，利用等比数列性质及等差中项、等比中项性质可得.
(2)分组求和可得，可将原不等式转化为，可得到的最大值.
【详解】（1）当时，由，得，解得，
当时，由，可得，，
两式相减得，
所以，
即，因为，
所以，
即可得是且公差为的等差数列.
即.
由题意得，即，解得或，
因为是递增的等比数列，
所以，所以，得，
所以，
即，.
（2）由(1)得，，，
所以.
若存在使得成立，即能成立，
设，则，
所以是递减数列，故的最大值为，
因此的最大值为.
15．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)已知数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)，所以，
又因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，
(3)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得首项和公差，即可由通项公式求解，
（2）根据等比数列的定义即可求证，
（3）利用分组求和，结合等比等差数列的求和公式即可求解.
【详解】（1）由，可得，，解得，
故
（2）略
（3）所以，所以．可得，
所以
16．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）等差数列的前项和，等比数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据已知条件及与的关系求出，再利用等比数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，再利用分组求和、裂项相消法求解即可.
【详解】（1）由，当时，，
当时，，
显然满足上式，则.
设等比数列的公比为，
因为，所以，解得，
所以.
（2）由，
则
.
题型五：并项求和法
17．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的公差，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比中项性质建立关于的方程并求解，再根据等差数列通项公式求解；
（2）根据通项公式确定，再并项求和即可.
【详解】（1）因为 成等比数列，所以.
即 ，代入，得.
化简得 ，因为，所以，
所以的通项公式为；
（2）由（1）知，故，
，
.
18．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知数列中，且，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)由可得，
所以，即．
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列定义构造递推式即可得证；
（2）利用等差数列的通项公式求出，进而代入求出的通项公式；
（3）由题意，运用并项求和的方法计算即得.
【详解】（1）略
（2）由（1）知，所以．
所以．
（3）因，
取为奇数，可得．
则
．
19．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助与的关系计算即可得；
（2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可.
【详解】（1）因为，所以当时，；
当时，，
又因为，满足上式，
所以的通项公式为；
（2）由（1）知，，所以，
所以
．
20．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期末）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可；
（2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由题意可得，解得，，
则．
（2）由（1）可知，，
故
题型六：裂项相消法求
21．（2026·湖北·模拟预测）已知数列的前项和为，且（，），．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解；
（2）使用裂项相消法求解.
【详解】（1），即，，
则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
，当时，；
当时，，；
综上，.
（2），
.
22．（26-27高三上·陕西宝鸡·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式以及；
(2)记数列的前项和为，求满足的的最小值；
【答案】(1)，
(2)8
【分析】（1）设等差数列首项与公差，根据已知条件列方程组求出，再代入公式写出通项与前n项和；
（2）对裂项，用裂项相消求出，再解不等式得到n的最小值．
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则
，解得，
故，
．
（2），则，故，
，
解不等式得，，
由得的最小值为8．
23．（26-27高三上·天津东丽·阶段检测）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项和为64．数列是等比数列，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)设，数列的前n项和为，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用等差数列前项和公式求出首项得到，再算出得到公比，写出通项.
（2）根据的形式采用错位相减法，两式相减整理求出前项和.
（3）对裂项相消求出，分析单调性，分奇偶讨论恒成立条件得到范围.
【详解】（1）等差数列中，已知公差，前项和，
由等差数列求和公式可得：，
解得，因此，
计算得，，故，
，等比数列公比，
由得，因此.
（2）由题可知，
，
，
两式相减可得：，
其中等比数列和为，
所以，
.
（3）由（1）可知，，，，
，，
化简可得：，
所以，
，因为，随增大单调递减，
所以单调递增，，，
所以，不等式对恒成立，
当为偶数时，，在偶数项最小值为，
，，
当为奇数时，，，最大值在，
，解得，综上所述，实数的取值范围为.
24．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列的前n项和为，若，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】将通项裂项，利用裂项相消求出前项和，再解关于正整数的不等式，比较最小满足值．
【详解】由，
得．
因为为正整数，故．
当时，；
当时，，且随正整数增大而增大，所以满足条件的最小值为．
题型七：奇偶性求和法
25．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式；
（2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，满足上式，所以；
由得，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）
.
26．（25-26高三下·江西景德镇·阶段检测）若正项数列满足，则称数列是的平方差数列.已知数列是的平方差数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）将变形后可得，据此可求的通项，再结合累加法可求的通项；
（2）利用分组求和法可求；
（3）利用错位相减法可求.
【详解】（1）因为，故，
故，所以为常数列，
而，故，故即.
故，所以，
由累加法可得，而，
故，而，故.
（2）,
当为偶数时，.
当为奇数时，.
故.
（3）当为奇数时，，当为偶数时，，
而，
令，
则，
故，
故
，
故.
而，则，
故，
故，
故.
27．（25-26高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，且．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求的通项公式．
(3)已知求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明：
当时，，解得＝6，
当时，由，可得，
两式相减得，所以，
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)
(3)
【分析】（1）由与的关系式，得到与的关系式，再利用等比数列定义证明即可；
（2）由（1）得出数列的通项公式；
（3）利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和公式求解.
【详解】（1）略；
（2）由（1）可知，即．
（3）当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
故
．
28．（25-26高三上·江苏常州·阶段检测）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设（），求数列的前项和；
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据题意可列方程组，解方程组即可求解通项公式；
（2）将分为奇数项之和与偶数项之和，利用求和公式分别进行求和再相加即可求得.
【详解】（1）设的公差为，的公比为（），
因为，所以，又，所以，
，解得；
所以，；
（2）当为奇数时，，
数列的前项中所有奇数项之和
；
当为偶数时，，
数列的前项中所有偶数项之和
，①
，②
①-②得
.
；
.
题型八：公共项与插入项的问题
29．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)或．
(2)证明：因为，所以，所以，
由题意得，则，
，①
，②
得，
得．
因为，所以．
【分析】（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可.
（2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明.
【详解】（1）设的公比为，由，得，因为，所以，
因为，所以或，
故或．
（2）略
30．（25-26高三下·天津·阶段检测）已知数列是等差数列，，其前5项和为15；数列是等比数列，且，，，成等差数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
(3)若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：
，，，，，，，，，，，…，与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前211项的和．
【答案】(1)，.
(2)
(3)21216
【分析】（1）根据题意结合等差数列和等比数列的通项公式可求出和的通项公式；
（2）由（1）得，分别利用错位相减法和裂项求和计算；
（3）根据题意求得的前211项中有中的前203项和中的前8项，再分别求和.
【详解】（1）由得公差，
又因为，
得，
化简得，解得，
所以.
由，，成等差数列，得
由是等比数列，设代入，
得，消去，
得，化简并解得，
.
（2）由（1）得，
，
第一部分为，
令，
，
两式相减：
，
，
，
第二部分利用裂项求和：
，
合并：；
（3）由题可知新数列中，前有项，
令，得前有项，
令，得前有项，
恰好位于与之间，所以前项中包含的前八项，
剩下的全是中的项，，即的前项，
.
31．（2026·湖南长沙·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据与之间的关系求得，可得，则，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】因为，
当时，则，
两式相减得，
整理可得，
且，则，可得，即，
可知等差数列的公差，
当时，则，解得；
所以，可知数列为正奇数列，
对于数列，
当时，可得为偶数；
当时，可得为奇数；
所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，
则，
所以.
故选：A.
32．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知等差数列满足，，数列满足，且．
(1)证明：是等比数列，并求数列和的通项公式：
(2)将数列和的公共项从小到大排成的数列记为，求的前项和．
【答案】(1)
由题可知，，
所以，，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以（常数），
所以是等比数列，
所以，即．
(2)
【分析】（1）根据等差数列公式确定，计算得到，得到证明.
（2）确定，再根据分组求和法结合等比数列求和公式计算得到答案.
【详解】（1）略
（2）为从开始的奇数，当为奇数时，为奇数，，
故．
．
1．（25-26高三下·河南·期末）已知，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分类讨论的奇偶性，求出数列的通项，再利用利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列等价于，
当为奇数时，设，则为奇数；
当为偶数时，设，则为偶数，
所以，
所以.
故选：B．
2．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（ ）
A．402 B．404 C．408 D．412
【答案】C
【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和．
【详解】因为，，，，，
，，，，，
由题意前5项共插入项，
则数列的前50项的和
．
3．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知公差不为0的等差数列的首项为3，且，，成等比数列，，则（ ）
A．2548 B．2550 C．2648 D．2650
【答案】C
【分析】设数列的公差为，列式解得，则再分组求和即可．
【详解】设数列的公差为，
因为成等比数列，所以，解得，
可得
所以
设数列的前项和为，
当n为偶数时，
，
所以．
4．（26-27高三上·甘肃白银·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由递推关系可得数列是首项为、公差为的等差数列，进而可得，再通过裂项相消求和可得.
【详解】已知递推式，两边同时取倒数得：，
即， 结合初值，即 ，
所以数列是首项为、公差为的等差数列.
根据等差数列通项公式得：，
所以，
所以.
因此数列的前项和为.
5．（2026·浙江·模拟预测）已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（ ）
A．5100 B．4999 C．5202 D．5000
【答案】A
【详解】由题意得，对，，
可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为，
前项中，奇数项为，共项。首项，公差，
奇数项的和为，
偶数项为，共项，首项，公差，
偶数项的和为，
数列前项和为.
6．（2027高三·全国·专题练习）数列中，，若的前n项和为，则项数n为（ ）
A．2027 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】A
【详解】由，
所以，
解得．
7．（25-26高三上·江西南昌·期中）设，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】分析与关系可以得出即可算出答案.
【详解】由.
又.
原式.
8．（2026·山东济南·模拟预测）已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助等比数列的性质，利用裂项相消法进行求和运算.
【详解】已知正项等比数列满足，
当时，根据等比数列的性质，若，则，
所以，即，
因为数列为正项数列，所以，
因为，所以，即
设数列的前项和为，则.
9．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）（多选）在等比数列中，，，则（ ）
A．的前项积为 B．的前8项和为
C．是公比为4的等比数列 D．的前n项和为
【答案】ABC
【分析】先求出公比与通项，利用等比数列对称项乘积相等的性质分组，算出前项的乘积，判断选项A；推导出仍是等比数列，确定首项和公比，代入等比求和公式算出前8项和，判断选项B；写出的表达式，通过后项比前项得到定值4，证明该数列为公比4的等比数列，判断选项C；求出的首项、公比，写出它的前n项和公式，判断选项D．
【详解】，，故，
，故的前项积为：，故A正确；
，是首项为2，公比为的等比数列，故，故B正确；
，相邻两项之比，故是公比为4的等比数列，故C正确；
，故首项是，公比是2，
故前n项和为：，故D错误．
10．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）（多选）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．存在正整数，，（），使，，成等差数列
B．数列的前100项和为100
C．数列的前100项和为4950
D．数列的前100项和为
【答案】AB
【分析】先求出等差数列的通项，前项和，
选项A：由已知可得，举出特例即可；
选项B：利用并项求和法求出数列的前100项和；
选项C：求出数列的通项，再用等差数列前项和公式求解；
选项D：求出数列的通项，再用裂项相消法求出数列的前100项和.
【详解】等差数列中，，，得：，即，，
又，得到：，
.
选项A：假设存在正整数，，（），使，，成等差数列，
即，即，
令，则有，
即，
取，则有，即，解得：，所以舍去；
取，则有，即，解得：，所以舍去；
取，则有，即，解得：，此时，
满足，验证：，，，，
即，即，，成等差数列.选项A正确.
选项B：数列的前100项和为，
，
因为，所以.选项B正确.
选项C：数列中，，
故数列是以-1为首项，以1为公差的等差数列.
令，则，
数列的前100项和为.选项C错误.
选项D：数列中，
数列的前100项和为
.选项D错误.
11．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知数列满足，，，则（ ）
A． B．当是偶数时，是奇数
C． D．的前项和为
【答案】CD
【分析】选项A、首先根据递推公式计算前几项，进而求出的值；选项B、取偶数，验证偶数项的奇偶性；选项C、先推导奇数项的递推关系，再构造等比数列求奇数项通项，最后代入计算；选项D、推导偶数项的通项，分组计算前2n项和，最后合并求和结果．
【详解】已知，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
选项A、，A选项错误；
选项B、取偶数，为偶数，与当是偶数时，是奇数矛盾，B选项错误；
选项C、当是奇数时，是偶数，是奇数，
因此，，
联立得，
则，
即数列（为正整数）是首项为，公比为2的等比数列
因此，即，
令，解得，
因此，C选项正确；
选项D、当是偶数时，是奇数，是偶数，
因此，，
联立得，
则，
即数列（为正整数）是首项为，公比为2的等比数列
因此，即，
前项和．
奇数项和为：，
偶数项和为：，
所以，
故的前项和为，D选项正确．
12．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若数列的前项和为，且，则___________．
【答案】682
【详解】，
.
13．（25-26高三下·福建泉州·期中）已知为数列的前n项和，且，则数列的前20项和为________．
【答案】
【分析】先求出数列的通项公式，再利用裂项相消求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
满足，
所以，
设为数列的前项和，
所以
，
所以.
14．（25-26高三下·上海·期末）已知数列中，，，为的前n项和，则________
【答案】
【分析】根据递推公式求出数列前几项，确定数列周期为4，利用周期性计算前50项和即可.
【详解】因为，，
所以，
，
，
，
，
所以数列是周期为4的数列.
所以
.
15．（26-27高三上·全国·期中）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式；
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据与 的关系，结合等比数列的定义及通项公式求解即可.
（2）两边同除以 构造等差数列，结合等差数列的通项公式求解即可.
（3）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当时， ，所以.
当时， ，即 ，
故 是首项为 、公比为 的等比数列，所以.
（2）由，得 ，
故 是公差为 的等差数列，
所以，即 .
（3），
所以
.
故 .
16．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为公比大于0的等比数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求的前项和；
(3)若，求的前项和．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程求解即可；
（2）根据分组求和法，结合等差数列及等比数列的求和公式求解；
（3）根据错位相减法求和即可.
【详解】（1）令的公比为，则，令的公差为，
由，整理，解得，或（舍去），
故，
又由可得，
即，解得，
故；
（2）
∴
；
（3）由（1）可得，
则①
②
①-②，得，
所以.
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