江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期期中数学冲刺卷2

江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期期中数学冲刺卷2 班级：___________ 姓名：___________ 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知数列的前项和为，若，则（     ） A．32 B．64 C．128 D．256 2．在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．若直线与直线平行，则（   ） A． B．0 C．或0 D．或1 4．已知长度为4的线段的两个端点和均在圆：上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 5．数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 6．设圆：与圆：交于，两点，则（     ） A．1 B．2 C． D． 7．已知等差数列的首项，公差为正数，当子数列（）为等比数列，则的前10项和为（   ） A． B． C． D． 8．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（    ） A． B． C．10 D．5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离为3 B．直线与直线相互平行 C．直线与直线相互垂直 D．直线与直线相交 10．在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（    ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 11．已知圆：，：，两圆相交于，两点，，，为圆上的动点，则（     ） A． B．直线与圆相切 C．直线与圆相切 D．为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．过点的直线与圆相切于点，则的长为______． 13．已知直线：，：，：把平面分成六个部分，则实数的取值可能为________． 14．已知数列的前项和，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 16．已知直线与直线的交点为． (1)求点关于直线的对称点； (2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 17．已知圆：，点为，为坐标原点． (1)过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； (2)点在圆上运动，点满足，求的最小值． 18．已知圆：，点为直线上一动点，为坐标原点． (1)当时，过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； (2)当时，点在圆上运动，点满足，求的最小值； (3)过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线，与轴分别交于点，点，求线段长度的取值范围． 19．已知数列，满足且． (1)证明:为等比数列，并求数列的通项公式； (2)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如.设． （i）求数列的前2026项和; （ii）若存在使得不等式成立，求实数的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期期中数学冲刺卷2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A D B D C BD BCD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用数列前n项和与通项的关系推导数列为等比数列，求出通项后计算的值. 【详解】当时，，解得； 当且时，由可得， 两式作差得， 化简得，即， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，通项公式为， 故. 2．C 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 3．A 【分析】利用两直线平行的充要条件列方程求解即得. 【详解】因直线与直线平行， 则，解得. 4．A 【分析】利用圆的垂径定理，结合勾股定理求出AB中点到原圆圆心的距离为定值，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径， 设线段的中点为，根据垂径定理可得， 已知，故半弦长， 在中，由勾股定理得，其中， 代入数值可得，解得， 由于为点到圆心的距离，故， 因此中点的轨迹方程为. 5．D 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 6．B 【详解】由圆：，圆：，即， 将两圆方程相减，整理得直线的方程：， 而圆：的圆心为，半径为， 显然直线经过圆的圆心，则. 7．D 【分析】先利用等比中项性质求出等差数列的公差，再确定子数列的首项和公比，最后用等比数列前n项和公式计算前10项和. 【详解】由题意得等差数列的通项公式为，其中，. 由子数列为等比数列，且，取前三项得：， ，. 根据等比数列的等比中项性质，，代入得：， 展开整理得，解得（舍去）. 因此，， 即是首项为，公比为的等比数列. 根据等比数列前项和公式得. 8．C 【分析】先求出两个定点坐标，再根据两直线系数关系，易判断两直线垂直，由勾股定理可得，再设，则，最后令，转化为关于的一元二次方程，利用判别式法求出的最大值，即的最大值. 【详解】由题可知，，，则， 由，则，又直线的方程为， 易知，所以，因此是以为直角顶点的直角三角形， 则由勾股定理可得，设，又，所以， 因为，令，则，代入得， 化简整理得，则关于的一元二次方程有解，所以，即， 化简得，解得，又，所以，所以的最大值为10，即的最大值为10. 9．BD 【分析】对于选项BCD，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项BCD的正误；对于选项A，直接利用点到线的距离公式即可得到结果. 【详解】因为直线，斜率，纵截距为， 选项A，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故A错误； 选项B，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故B正确； 选项C，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故C错误； 选项D，由，解得，所以直线的交点为，故D正确． 10．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A错误，代入等差比数列公式可判断BCD说法正确 【详解】等差数列若为常数列，则，无意义， 所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误； 若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，， ，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确. 若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确； 若数列是等比数列，公比为，则， 所以数列等差比数列，故D选项正确 故选：BCD. 11．BCD 【分析】A选项，利用勾股定理求解； B、C选项，用点到直线的距离公式求解； D选项，用两点之间的距离公式求解. 【详解】 A选项，圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 因为，故两圆相交， 弦的直线方程为：，解得：， 所以，所以A选项错误； B选项，由A选项解析不妨设，所以直线方程为：， 所以到直线距离为：，所以， 所以直线与圆相切，所以B选项正确； C选项，由A选项不妨设，所以直线方程为：， 所以到直线距离为：，所以， 所以直线与圆相切，所以C选项正确； D选项，设，则，即：，则为定值，所以D选项正确. 12． 【详解】由题意得，，由两点间距离公式得， 而过点的直线与圆相切于点，可得，， 由勾股定理得. 13． ，， 【分析】根据三条直线将平面划分为6个部分的两类等价条件（有且仅有两条直线平行、三条直线共点），结合已知直线方程分类求解的取值. 【详解】三条直线把平面分成6个部分等价于三条直线无法构成三角形，包含两类情况：①有且仅有两条直线平行；②三条直线交于同一点； 易知直线的斜率，直线的斜率， 显然，故与相交，联立两直线方程 ，解得交点坐标为； 对直线分类讨论： 当与平行时，的斜率存在且，令，解得， 此时与不重合，满足条件； 当与平行时，的斜率存在，令，解得， 此时与不重合，满足条件； 当三条直线共点时，将交点代入的方程得，解得，满足条件； 综上，实数的取值为. 14．2 【分析】先根据计算得出，再代入结合数列的单调性得出最大值即可求解不等式. 【详解】当时，，得， 当时，， 又， 两式相减得，得， 所以． 又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ，即． 因为，所以不等式，等价于． 记， ， 当时，，当时，， 综上，， 所以，所以整数的最大值为2． 15．(1) (2) 【分析】(1)利用等差数列项与前项的和的基本量运算计算即得； （2）利用分组求和法与等比数列，等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 则，解得，， 则； （2）由（1）得，则， 于是数列的前项和为： . 16．(1) (2)， 【分析】（1）先根据的方程解得，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标； （2）先根据条件得到到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，最后确定方程. 【详解】（1）当，时，有 ，. 所以两直线的交点为. 由于关于直线对称，故直线和直线垂直. 而直线即的斜率为，从而直线的斜率为. 再由知直线的方程为，即. 将与联立，得 ，. 从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点. 最后由，即知. （2）若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过. 若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直. 而直线的斜率，故的斜率为. 再由经过，即知的方程为，即. 综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）计算圆心到直线的距离，使用点到直线的距离公式求解； （2）相关点法计算点的轨迹方程，使用坐标法求解. 【详解】（1）圆的圆心，半径，直线将圆分成两段弧，弧长比为， 得劣弧所对圆心角为，圆心到直线的距离为， ， 当直线的斜率不存在时，直线方程为：，此时圆心到直线的距离为3，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即， 则，解得或，所以直线的方程为：或. （2）设，，由，得，代入圆方程， 得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， ， 取中点为，则，，故， 因此的最小值为：. 18．(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由弧长比得到圆心角，再利用弦心距求解； （2）设出点坐标，转化为点到直线的距离小于等于半径求解； （3）设出切线方程，利用韦达定理和根的判别式求解. 【详解】（1）由弧长比为，可得圆心角比为，所以圆心角， 设直线方程为：，则弦心距为：， 而圆心到直线的距离为：，所以，解得：， 则或，所以直线的方程为：或. （2） 设，，则，，， 因为，所以，代入圆方程得， 化简得：①，即：的轨迹是圆心为，半径为的圆. ②， 将①式代入②式中，得：， 问题转变为求的最小值，令， 构建新的直线方程：， 因为直线和圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 即： ，解得：，即：，所以的最小值为. （3）设直线方程为：，因为直线与圆相切，所以弦心距为2，即：，整理合并化简得：， 因为必定有两条切线，所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，所以，解得：. 由韦达定理得：，，此时直线分别为：， 所以和轴交点坐标为，同理可得另一条直线和轴交点坐标为， 所以，而， 当且仅当时取等号，所以线段长度的取值范围. 19．(1)证明：，则， 当时，，又，解得；首项，所以是以为首项，为公比的等比数列； ； (2)（i）（ii） 【分析】（1）对递推式两边同除以构造等比数列，先求出首项，再利用等比通项推导出； （2）（i）利用二项展开分析按奇偶分段的表达式，将拆为奇数项、偶数项两组等比数列求和，再减去对应取整修正量进行计算； （ii）对存在型不等式参变分离转化为求的最小值，分奇、偶讨论单调性，比较奇偶项最小值得到的最小值. 【详解】（1）证明略 ，所以； （2）（ⅰ）由（1）知，， 因为 ， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以 ． （ⅱ）存在使得不等式成立， 将其参变分离，得：，令，等价于求． 当为奇数时：， 显然随着奇数的增大而单调递增，故； 当为偶数时：， ， 因为时，，所以，所以偶数项的最小值为． 由于，故的最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $