上海市普陀区2026－2027学年九年级第一学期期中阶段学情检测数学试卷

2026学年第一学期九年级数学学科期中考试卷 2026.11 参考答案及评分说明 一、选择题：（本大题共5题，每题4分，满分20分》 1.B: 2.C: 3.D; 4.D: 5.A. 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 6.100: 7.1: 8.（-1,3): 9.有两个交点： 10.5√5-5： 11.6: 12.∠CAB=∠DME:(答案不唯一) 13.4: 14.24: 15. v15 6 16.10 4 三、解答题： (本大题共7题，其中第17、18题每题10分，第19、20题每题12分，第21题13分，第22题14分， 第23题15分，满分86分) 17.解：，抛物线的顶点为M(-1,4), 设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4(a≠0). (2分) ,该抛物线经过点4(-2,6)， .6=a(-2+1)2+4,… e。e。.eeessse.e0。ee。...0。ee。00ee。e (3分) 解得Q=2.… (3分) 这个抛物线的表达式为y=2(x+1)+4.… (2分) 18.解：A(0,-4),B(2,-6,C(4,4).… （2+2+2分) 作图正确。… (3分) 所得的△AB,C,与△ABC关于原点位似，且位似比为-2，… (1分) 9,解：()~抛物线y=)+3-mx+m+1的顶点在y抽上 .抛物线的对称轴为y轴，… (2分) .3-m=0, 解得=3。… (2分) 当m=3时，m+1=4,符合图像与y轴交于正半轴， 1 ∴这个抛物线的表达式为y= 万x2+4、 (2分) 第！页共4页 (2)直线1平行于x轴，与该抛物线交于A、B两点，且对称轴为y轴， ∴.当AB=4时，点A、B的横纵标分别为-2、2， (2分) ∴此时点A、B的纵坐标n=2.… (2分) ,图像开口向下， .当AB>4时，n<2. (2分) 说明：其它方法均酌情给分 20.解：(1)AC是AD、BC的比例中项，：4C=BC (2分) AD AC ∠BAC=∠ADC=90°，.Rt△4BCRt△DCA.… (2分) ∴.∠ACB=∠DAC.… (1分) ,∠ACD+∠DAC=90°， ∴.∠ACD+∠ACB-90°，即∠BCD-90°· ∴DC⊥BC.… (1分) (2)c=4,Sac=4 (2分) S四边我MBCD 7 ,'Rt△ABCRt△DCA, =( (2分) SADCA AC .BC=2,AC=√3.… (2分) 说明：其它方法均酌情给分、 21.证明：(1)，∠ACB=90°，DE⊥B, ∴.∠BED=∠BCA=90°. (1分) ∠B=∠B, ∴.△BDE∽△BAC. (2分) BD BE (2分) BA BC ∴.BE.BA=BD-BC.… (1分) 因“留器…照脸 ·Bz=BC (1分) ∠B=∠B,△BD∽△BCE. (1分) ∴∠BAD=∠BCE.… (1分) .∠ArE=∠CFD,∴.△AEF∽△CDF.… (1分) ∴.∠AEF=∠CDR, AC=CD,∠ACB=90°，∴∠C4F=∠CDA=45°.∴.∠AEF-45°.… (2分) DE⊥AB,∴.∠CED=45°. .∠ADC=∠CED.… (1分) 说明：其它方法均的情给分. 第2页共4页 2,解：（①①抛物线的表达式为y=, “11 20a3解得卫=2。……… (2分) ∴焦点F的坐标是(0,1). (2分) ②将x=-1代入y=,解得y=4· 1 (1分) 设经过焦点的光线表达式为y=a+b(k≠0)， 光线经过(0，、(-1宁， 「b=1, k=3 1 解得 41 -k+b=4 b=1. 经过焦点的光线的表达式为y= *+1. (2分) 3 设交点坐标为m,m+),代入y=4x 解得%=4，m2=-1.… (1分) ∴直线表达式为直线x=4.… (1分) (2)不存在 ,改变焦点后的抛物线表达式为y=m2（a≠0)， 六焦点F的坐标是(0名， … (1分) 由题愈得，(-3,9a）、(0,)、39三点共线， (1分) Aa 1 9a=a,解得a=6 （1分) 又：(-1，a)、(0,)、416a)三点共线， 4a .过(-l,a)、(4,16a)的直线表达式为y=3ax+4a, ∴将(0，)代入解得，2= Aa -16 (1分) 满足条件的☑不存在、… (1分) 说明：其它方法均酌情给分. 23.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.∠A=∠B=90°.… (1分) 第3页共4页 EF⊥CE,∴.∠CEF=∠A=90°. .∠CEF+∠CEB=∠A+∠AFE,∠AFE=∠BED.… (1分) .△AEF∽△BCE.… (1分) .AF AE ………0004* (1分) BE BC (2)①四边形ABCD是矩形，AD∥BC,AC=BD..∠ADB=∠DBC. 记4C与BD交于点0，则0C=4C,OB=BD.可得OB=0C, 2 2 ∴.∠DBC=∠ACB. LADB=-2LECB,LACE=LBCE=5∠ACB.… (1分) 2 ,△AEF∽△BCE,.∠AEF=∠BCE,.∠AEF=∠ACE. .∠E=∠CME,∴.△AEM∽△ACE. （1分) :但=AM=EM AC AE CE .AC-4M,∴设M=n,AC=4n, 则AE=2m.·E4=1.」 (2分) CE 2 :∠B=∠CEM=90°，∠BCE=LECM,△BCE∽△ECM. BC BE ..BE=EM=1 ECEM'…BCCE2 BEm BC=2m.... (1分) ②连接AC交BD于点O. 由①得，∠ACE-∠BCE. ·点E到边AC、BC的距腐相等，：=4C SABCE BC AACE,△BCE同商，：ac=4但 ..A8 AC (1分) SABCE BE BE BC “AB=3BE,∴AC-2BC..OC=BC.… (1分) ,∠ACE=∠BCE,.CP⊥BD. EFLCE,∴EF∥BD.DF-8E=1 (1分) AD AB 3 AD/BC,AD-Bc,DrDDo=D.. (1分) BC BO 3 同理BP=BD (1分) 4 P≌1 (1分) BD 2 说明：其它方法均的情给分。 第4页共4页 2026学年第一学期_______学校九年级数学学科期中考试试卷 （时间：100分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 【下列】各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知，那么的值是 A．； B．； C．； D．． 2．下列两个图形一定相似的是 A．四个内角对应相等的两个四边形； B．四条边对应成比例的两个四边形； C．一个内角对应相等的两个菱形； D．一条边对应相等的两个矩形． 3．如图1，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是 A．； B．； C．； D．． 4．在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是 A．抛物线与轴交点的坐标为； B．顶点是抛物线的最低点； C．对称轴为直线； D．在对称轴左侧，图像上升． 5．已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是 A．； B．； C．； D．． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 6．在比例尺是1∶5000000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是 ▲ 千米． 7．已知抛物线经过点，那么的值是 ▲ ． 8．将抛物线向左平移1个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是 ▲ ． 9．抛物线与轴交点个数的情况是 ▲ ． 10．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．如图2，实验发现当水面高度上升至点处时，此时将瓶高分为和两部分，可以敲击出音阶“sol”．其中点为瓶高的黄金分割点，如果瓶高为10厘米，那么液面高度为 ▲ 厘米． 11．如图3，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是 ▲ ． 12．如图4，在与中，，要使与一定相似，还需添加一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一种情况即可） 13．在中，，是边上的高．如果，，那么的长是 ▲ ． 14．如图5，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为12，高为8，且，那么矩形的面积为 ▲ ． 15．如图6，在中，点、分别在边、上，，，为中点，那么的值为 ▲ ． 16．如果平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．已知一个平行四边形的“中直三角形”的两条直角边之比为2∶3，且直角顶点在平行四边形的顶点上，那么这个平行四边形的较短边与较长边的比值为 ▲ ． 三、解答题（本大题共7题，满分86分） 17．（本题满分10分） 已知抛物线的顶点为，且经过点，求这个抛物线的表达式． 18．（本题满分10分） 如图7，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为-2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为 ▲ ，点的坐标为 ▲ ，点的坐标为 ▲ ．（不用写画图过程，但要写出结论） 19．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 已知抛物线的顶点在轴的正半轴上． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知直线l平行于轴，且与该抛物线交于、两点，点在点的左侧，如果线段的长度大于4，求点的纵坐标的取值范围． 20．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 如图8，在四边形中，，是、的比例中项． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 21．（本题满分13分，第（1）小题6分，第（2）小题7分） 如图9，在中，，点在边上，过点作于点，连接、交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 22．（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分） 在学习了课本上抛物线的性质后，小普在课外查询了抛物线的其他性质，他收集到的材料如下： 材料一：一般地，平面上到一个定点和到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线． 抛物线的焦点是． 材料二：如图10-1，抛物线有一条重要性质：从焦点射出的光线，入射到抛物线上的一点并发生反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，如图10-2，一束平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后，反射光线必定经过抛物线的焦点，并反射到抛物线上． 利用这个性质，既可以将平行光汇聚到焦点，也可以把焦点处光源发出的光转化为平行光． 小普准备了一支激光笔和一条用反光材料做成形如图10-1的抛物线的一部分． （1）以抛物线的顶点为原点，垂直于抛物线对称轴的直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（如图10-3），这条抛物线的表达式为． ①根据材料一，求该抛物线焦点的坐标； ②小普用激光笔射出一束平行于轴的光线，沿直线入射到抛物线上．根据材料二，反射光线经过抛物线的焦点射到抛物线上，再沿直线反射，求直线的表达式． （2）小普进一步思考：能否调整抛物线的焦点位置，实现从指定位置的平行光入射，再从另一个指定位置平行射出，以此来实现一种加密方式．设改变焦点后的抛物线表达式为，当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出；当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出．满足上述条件的是否存在，请说明理由． 23．（本题满分15分，第（1）小题4分，第（2）①小题5分，第（2）②小题6分） 如图11，在矩形中，过边上的点作交边于点． （1）求证：； （2）连接交于点，． ①如图12，连接与交于点，如果，设，用含字母的代数式表示； ②如图13，连接交于点，如果，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $