精品解析：四川省部分学校2026-2027学年高三上学期11月学情检测数学试题

数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或或，所以.又，所以. 2. 设命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】原命题是全称量词命题：，则否定为存在量词命题：. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义结合不等式的性质求解即可. 【详解】充分性：若，两边同除以负数，不等号反向，得，故充分性成立. 必要性：若，则. 当时，； 当时，，即由，不能确定，故必要性不成立. 4. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用奇偶性定义及单调性判断各个选项即可. 【详解】，定义域为，是非奇非偶函数，故A错误； ，是偶函数，故B错误； 是奇函数，在上单调递减，但在定义域内不单调递减，故C错误； 的定义域为，是奇函数. 又，所以当时单调递减，所以在定义域内单调递减，故D正确. 5. 为研究青年熬夜与肥胖是否有关联，某科研团队调查了名高中生的熬夜情况与肥胖情况.零假设：熬夜与肥胖相互独立，根据收集到的数据计算得到，依据独立性检验，下列说法正确的是（参考数据：独立性检验临界值，）（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 B. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 C. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 D. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以依据的独立性检验拒绝，认为熬夜与肥胖有关联，此结论犯错误的概率不大于0.05，故A正确，B错误； 因为，所以依据的独立性检验不拒绝，没有理由认为熬夜与肥胖有关联，故C，D错误. 6. 为推进“海绵城市”建设，某城市修建了雨水收集调蓄池.降雨时，调蓄池的蓄水量（单位：）与降雨时间（单位：）的关系为，其中为调蓄池最大蓄水量，为大于零的常数.已知降雨后，蓄水量达到最大蓄水量的一半，则当蓄水量达到最大蓄水量的时，降雨大约的时间为（四舍五入保留整数，参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知降雨时长与对应蓄水量确定指数模型的参数关系，再代入目标蓄水量，通过指数幂变形与对数运算求解对应的降雨时长. 【详解】当时，，则，即.当蓄水量达到最大蓄水量的时，， 所以，即，所以，即，即，即， 解得，约为7h. 7. 已知为第四象限的角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由,得, 即. 因为为第四象限的角,所以,从而. 由,,得,即,所以. 因为为第四象限的角,所以,. 所以. 8. 已知且，函数，，下列说法正确的是（ ） A. 在上有极大值 B. 在处取得极大值 C. 若的极值小于的极值，则或 D. 当变化时，的极值有最大值 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，根据以及对的单调性讨论，再根据的单调性，判断函数的极值以及最值情况，对每个选项进行逐一分析即可. 【详解】对A：； 当时，，令，解得，故在上单调递减， 令，解得，故在上单调递增； 当时，，令，解得，故在上单调递减， 令，解得，故在上单调递增； 综上所述，有极小值，无极大值，且极小值为，故A错误； 对B：因为，令，解得，故在上单调递减； 令，解得，故在单调递增； 即有极小值，无极大值，且极小值为，故B错误； 对C：由A、B选项可知，若存在极值，则极值为，的极值为， 故，即，解得或，故C正确； 对D：的极值为， 因为，所以在单调递增，在单调递减， 故当时，取得极大值，但，故无最大值，故D错误. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 的递减区间为 D. 函数的图象关于点中心对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出函数在上的解析式，然后结合奇偶性和周期性逐一判断即可。 【详解】由可知，函数的周期为2.又是偶函数，所以当时， .又时，，所以时，， 所以，，A正确； 当时，，由周期性及上的函数值可知，的值域为［1，2］，B正确； 因为在上单调递减，且周期为，所以的递减区间为，C错误； 当时，， ，，， 当时，令，，， ，，， ， ， ， 又函数的周期为，对,都有， 函数的图象关于点中心对称，D正确. 10. 已知等比数列，公比，，且.记的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则数列的前项之积有最大值 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式求出公比，再逐个分析四个选项的正误. 【详解】选项A，由，，得. 因为，所以，解得或. 又，所以，故A正确； 选项B，，符号随的奇偶性交替变换，故B错误； 选项C，，符号随的奇偶性交替变换，故C错误； 选项D，当时，，前三项依次为32，8，2，第四项为，其后各项均小于1， 所以前项之积在时取得最大值，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象关于直线对称 B. 当时，的最小正周期为 C. 对任意实数，的最大值为 D. 存在实数，使得在区间上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】由，得，可进行判断A；当时，，判断B；令，则，可得，但仅当时最大值才能取得，可判断C；根据复合函数的单调性判断D. 【详解】. 令，则. 当时，若是对称轴，需满足. 当时，由，得，故A错误； 当时，， 即最小正周期，故B正确； ，但仅当时最大值才能取得，故C错误； 当时，，则单调递增，且. 要使单调递增，需在上单调递增. 因为的图象开口向下，所以，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和.若，，则______. 【答案】## 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由得，两边同除以，得， 由得，两边同除以，得， 将两边乘，得， 用减去，得，即， 将代回，得， 所以. 13. 已知，且关于的不等式有解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得有解，利用基本不等式求出的最小值，继而可求解. 【详解】关于的不等式有解，则有解. 因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即. 14. 已知，函数若时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】在单调递减，在单调递增，要满足题意，只需，且即可. 【详解】当时，因为，故在单调递增，在单调递增，则； 当，因为，故在单调递减，则； 故当时，恒成立，则，即，也即， 又，故解得，即的取值范围为. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 近年来，我国新能源汽车产业蓬勃发展.某新能源车企记录了品牌出海后连续个月的运营时间（月）（）与海外月销售额（千万元），统计数据如下： 运营时间（月） 销售额（千万元） 已知关于的线性回归模型可用模型①与模型②进行拟合.若用模型①，其决定系数. （1）根据决定系数判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由； （2）若选用模型②刻画，的关系，求关于的回归方程，并估计出海运营第个月时海外销售额.（结果保留整数） 参考公式：经验回归方程中，. 决定系数：. 参考数据：；令，，，； 模型对应的残差平方和；. 【答案】（1）模型②，模型②的决定系数为. 因为，所以模型②拟合效果更好； （2），17千万元. 【解析】 【分析】（1）将模型②的决定系数与模型①的决定系数进行比较即可； （2）令，模型②化为，代入相关数据计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 令，模型②化为. 由题意，得. 又， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为，即关于的回归方程为. 当时，. 故出海运营第6个月时海外销售额估计为17千万元. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求，的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若，求函数的最大值及取得最大值时的集合. 【答案】（1）； （2）最大值为，. 【解析】 【分析】（1）由图象可知半个周期大小，即可求得，再代入即可求得； （2）首先得到，再化简的解析式即可. 【小问1详解】 由图象可知，函数的两个相邻零点为和， 所以半个周期，即， 所以，所以， 将点代入，得. 又，所以. 综上所述，； 【小问2详解】 由（1）可得，. 将的图象向右平移个单位长度，得， 所以，所以 ， 所以当，即时，函数取到最大值为， 所以函数的最大值为，取得最大值时的集合为. 17. 已知数列的首项，且前项和为满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：. （i）求，； （ii）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （i） （ii）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由等差数列定义可知为等差数列，进而求出通项公式，利用与关系即可求； （2）（i）记，由（1）可得取，，结合，可求结论； （ii）由条件可得，由此可求，再求，结合可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即. 当时，； 当时，也满足. 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，，即. （ⅰ）记，则. 当时，，解得； 当时，， 即，解得. 故. （ⅱ）由与作差， 得， 所以，即， 所以当时，；当时，. 故. 18. 已知函数. （1）若，证明； （2）讨论的单调性； （3）若有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，证明：. 【答案】（1）因为， 所以， ， 两式相减，得； （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）由(2)的单调性结论可知， 当时，在上单调递增，至多1个零点，不符合“三个不同零点”； 当时，在上单调递增，在上单调递减；极大值，极小值， 当可知仅在有1个零点，不符合“三个不同零点”； 综上，时，至多有1个零点，不符合“三个不同零点”的条件，因此必有. 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 极大值为，极小值为. 有三个不同零点的充要条件是极小值小于0（极大值已恒为正），即 ， 时，且，故存在满足； ，，，故存在满足； ，，故存在满足， 因此三个零点满足：. 设，由可得，此时， 根据第(1)问已证结论，变形得， 因为是函数零点，即，代入上式得， 由可知，而，因此， 由得，又已知，即与同属单调递减区间， 因此可得，将代入上式，得，化简后即得，证毕. 另解：要证，等价于证明， 由可推得；又，因此与同属单调递减区间， 根据减函数的性质，要证，只需证明， 因为是零点，，因此只需证， 结合，将0替换为，等价于证明， 构造辅助函数， ， 代入展开化简得 ， 当时，，故，即在上单调递增， 因此对任意，都有， 因为，所以，即， 回代到等价条件可得，结合上的单调递减性，最终推得，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）代入、展开化简，作差消去含的项即可验证等式； （2）求导分解因式，按与0的大小关系分类，由导数符号确定单调区间； （3）解法一（利用前问引理）：借助第（1）问的对称差结论，将右侧零点向左做对称平移，通过比较函数值大小，结合减函数的性质直接推导零点和的不等式；解法二（构造对称差函数）：将待证不等式转化为单侧自变量的大小比较，构造"原函数与对称点函数的差"作为辅助函数，通过导数证明其恒正，结合单调性完成极值点偏移证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，令，得或. 当时，，即在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 即在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， 即在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点横坐标为，数列是公差为的等差数列. （1）求函数的解析式； （2）若. （i），求实数的值； （ii）证明：当时，. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）的结论，对任意，恒成立，将不等式中的替换为，可得， 当时，，两边同时除以，得到放缩关系， 要证，由上述放缩可知，因此只需证明即可. 构造辅助函数，，易知， ，设，， 当时，，，，故，因此在区间上单调递增， ，， 由零点存在定理，存在唯一的，使得，当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此在闭区间上先减后增，其最大值必在区间端点处取得，即， ， 由于余弦函数在上单调递减，且，因此，得， 代入得，由于，故，即，因此， 结合，可得，即，因此， 原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义写出切线方程，求解切线横截距得到数列递推关系，结合等差数列公差建立方程求解参数； （2）（i）抓住的特殊性质，将恒成立问题转化为“是全局最大值点”，利用极值点必要条件求参数，再验证充分性；（ii）借助前一问的指数不等式放缩降维，构造辅助函数后通过二阶导数研判单调性，结合端点放缩完成不等式证明. 【小问1详解】 由，得 由导数的几何意义，曲线在点处的切线方程由点斜式可得， 令，得，由于，两边同时除以，整理得数列的递推关系为， 已知数列是公差为的等差数列，即，因此， 故函数解析式为； 【小问2详解】 （i）由（1）得， ，代入可得， 因为对任意，恒成立，说明是在全体实数域上的最大值点，又是可导函数，因此， ， 当时，，， 当时，，，故，单调递增； 当时，，，故，单调递减； 因此在处取得最大值，即对任意，恒成立，符合题意， 综上，实数的值为； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后将答题卡收回. 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数是奇函数，且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 为研究青年熬夜与肥胖是否有关联，某科研团队调查了名高中生的熬夜情况与肥胖情况.零假设：熬夜与肥胖相互独立，根据收集到的数据计算得到，依据独立性检验，下列说法正确的是（参考数据：独立性检验临界值，）（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 B. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 C. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖有关联，这个结论犯错误的概率不大于 D. 根据小概率值的独立性检验，认为熬夜与肥胖没有关联，这个结论犯错误的概率不大于 6. 为推进“海绵城市”建设，某城市修建了雨水收集调蓄池.降雨时，调蓄池的蓄水量（单位：）与降雨时间（单位：）的关系为，其中为调蓄池最大蓄水量，为大于零的常数.已知降雨后，蓄水量达到最大蓄水量的一半，则当蓄水量达到最大蓄水量的时，降雨大约的时间为（四舍五入保留整数，参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 已知为第四象限的角，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，函数，，下列说法正确的是（ ） A. 在上有极大值 B. 在处取得极大值 C. 若的极值小于的极值，则或 D. 当变化时，的极值有最大值 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. 的递减区间为 D. 函数的图象关于点中心对称 10. 已知等比数列，公比，，且.记的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则数列的前项之积有最大值 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象关于直线对称 B. 当时，的最小正周期为 C. 对任意实数，的最大值为 D. 存在实数，使得在区间上单调递增 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和.若，，则______. 13. 已知，且关于的不等式有解，则实数的取值范围是______. 14. 已知，函数若时，恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 近年来，我国新能源汽车产业蓬勃发展.某新能源车企记录了品牌出海后连续个月的运营时间（月）（）与海外月销售额（千万元），统计数据如下： 运营时间（月） 销售额（千万元） 已知关于的线性回归模型可用模型①与模型②进行拟合.若用模型①，其决定系数. （1）根据决定系数判断哪个模型拟合效果更好，并说明理由； （2）若选用模型②刻画，的关系，求关于的回归方程，并估计出海运营第个月时海外销售额.（结果保留整数） 参考公式：经验回归方程中，. 决定系数：. 参考数据：；令，，，； 模型对应的残差平方和；. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求，的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若，求函数的最大值及取得最大值时的集合. 17. 已知数列的首项，且前项和为满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：. （i）求，； （ii）求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）若，证明； （2）讨论的单调性； （3）若有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，证明：. 19. 已知函数，设是函数图象上一点，在点处的切线为，且与轴的交点横坐标为，数列是公差为的等差数列. （1）求函数的解析式； （2）若. （i），求实数的值； （ii）证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $