精品解析：四川乐山市五通桥区东辰外国语学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

乐山东辰外国语学校高2024级高三期上10月质量检测 数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；满分150分，考试时间×120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据集合的描述求出集合中的全部元素，再按交集定义找出同时属于集合的元素． 【详解】由，且，得可能取值为， 所以可能取值为，即， 所以． 2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，设，定义域为. ，，，所以不是奇函数，故A错误. 对于B，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，， 所以不是增函数，故B错误. 对于C，设，定义域为. ，所以是奇函数. 取，，满足，，，，所以不是增函数，故C错误. 对于D，设，定义域为，. ，所以是奇函数. 任取，且. ①若，. ，，所以，. ②若，，，所以. ③若，，所以. 综上所得，当时，总有，在上为增函数，故D正确. 3. “”是“关于的方程有两个负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】关于的方程有两个负根， 则，解得， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“关于的方程有两个负根”的必要不充分条件. 4. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式，结合因式分解、同角三角函数关系式中的商关系、正弦的诱导公式、两角和的正切公式进行求解即可. 【详解】 . . 5. 设，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，在上单调递增， 由，得， 则，可得，即， 又，所以. 6. 已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式变形为恒成立，利用基本不等式求出右侧表达式的最小值，即可得到的最大值. 【详解】已知，故，原不等式恒成立等价于恒成立. 设，展开得： ， 由基本不等式，对正实数，有，当且仅当即时等号成立. 因此的最小值为，故，解得，即的最大值为5. 7. 2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得，则最大理想速度为：，故D正确. 8. 已知函数，若在部分的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式、诱导公式、两角和的正弦公式把原函数解析式化成余弦型函数形式，再利用换元法，结合余弦函数性质进行求解即可. 【详解】 ， 令，，，所以， 问题转化为直线与函数，当时，有三个交点， 由， 于是有. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分． 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出通项公式，判定是等差数列，判断选项A、B；化简，求出的通项公式，判断选项C；找到数列正负分界点，分段去掉绝对值求和，计算结果判断选项D． 【详解】，则， 时，， 成立， 故，则是首项为，公差为2的等差数列，故A错误，B正确； ，，故数列是公差为1的等差数列，故C正确； ，故，故D错误． 10. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 若为的一条对称轴，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，根据余弦型函数的最小正周期、单调性、值域和对称性的求法依次判断各个选项即可. 【详解】； 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，当时，，此时单调递增， 在上单调递增，B正确； 对于C，，，即的值域为，C正确； 对于D，若为的一条对称轴，则或，D错误. 11. 已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断，结合赋值法判断A，根据导数运算结合赋值法求和周期后判断BCD. 【详解】由是奇函数，得，且的图象关于点中心对称， 即，由，知， 而，所以，A正确； 由，知，且， 从而，故，B正确； 已知，故（为常数）， 又由，得， 因为，所以，将其代入，得， 因此，由和， 得，即，结合， 得， 所以，即是周期为的周期函数. 因为，，，， 所以， 所以 ，故C错误； 也是周期为的周期函数， ，，，， 一个周期的和为， 所以 ，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得且，故函数定义域为 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则_________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将负自变量转化为正自变量，代入时的解析式，结合对数运算性质计算即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， ，当时，， 得 ， 因此. 14. 已知数列满足：，，，记数列的前项和为.若，则正整数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，进而可得及①，迭代一次得②，由两式得，进而累加可得，再由两式可得，估计的范围，进而可得所求结果. 【详解】已知当时，，即， 令，则，所以. 因此数列是公差为的等差数列， 又，，则首项，所以. 因此①，用替换得②， 对变形得， 所以，，，，， 上述式子累加得： ， 所以. 因为，所以. 再由得，所以数列均为正项递增数列， 因为， 若，则， ， 所以，可得，即， 又， 所以 ， 又， 所以 ， 所以，所以， 所以由对勾函数的性质可得， 所以， 因为，所以正整数的最大值为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】（1）拟合效果非常好，理由如下： 易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． （2）； 【解析】 【分析】（1）首先根据表格里面的数据求出的平均值，然后根据根据相关系数公式求出相关系数. （2）首先求出回归方程的表达式，然后将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． 16. 已知函数. （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值. 【答案】（1）和； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式结合两角和的正弦公式，将化为，进而可得，结合正弦函数的单调递增区间，即可求出在区间上的单调递增区间； （2）由已知条件化简可得，再利用同角三角函数平方和为1，将化简为，代入求值即可. 【小问1详解】 由题可得， ， 则将函数的图象向右平移个单位长度，得， 由，则， 又，所以的单调递增区间为和； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以. 17. 对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. （1）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （2）若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，将问题转化为方程在区间上有唯一解的问题，解含参的一元二次方程，讨论根的范围即可； （2）根据不动点的定义，方程有两个不相等的正根，利用韦达定理求出的范围，将所求式子化简，代入韦达定理，再通过换元法将式子化简，利用基本不等式即可求最值. 【小问1详解】 因为，即， 当时，有唯一的不动点，则方程有唯一的解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当时，即时，，解得或， 当时，，在上只有一个零点， 当时，，在上只有一个零点， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 令，整理可得， 则，解得， 则 ， 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为. 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 【答案】（1） （2）存在，与 （3）由得， 对，，时取等号，两边平方得， 故， 则， 故，命题得证． 【解析】 【分析】（1）利用前项和与作差，得到相邻项比值关系，累乘求通项，验证首项后得出通项公式； （2）对裂项相消求出，根据等差数列性质列式，结合正整数范围枚举得到； （3）先化简，放缩不等式对通项进行放大，转化为等比数列求和，证明和小于4． 【小问1详解】 已知，当时，，两式相减得： ，整理得，即， 故， 时，符合此式， 故． 【小问2详解】 ， 则， 若，，成等差数列，则， 故，化简整理得， 由为正数，且，得，即，结合： 当时，，满足； 当时，，满足； 故存在两组解，与． 【小问3详解】 略 19. （1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 【答案】 （1）令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 令，，则恒成立， 故在上单调递增，则， 即有在上恒成立； 综上可得：当时，； （2）（i），证明： 令，， 则， 令，， 则 ， 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 则当时，，即； （ii）当时，可令，，则， 当时，，且， 则，由在上单调递增，故， 即有，则，， ，，， 又， 故 ； 由（i）知，，则， 故，则， 故，即，则，，， 即， 即，又，故， 故， 故 ； 综上可得. 【解析】 【分析】（1）分别构造函数、，利用导数求出其在区间上单调性即可得； （2）（i）由帕德近似的定义，可得，计算可得的值，构造函数，利用导数研究函数单调性即可得证；（ii）结合（1）中所得，可得时，，从而可得，再利用，可得；结合（i）中所得，可得，即可得. 【详解】（1）略 （2）（i）根据帕德近似的定义，令，， 有，，， 令，可得，即有； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山东辰外国语学校高2024级高三期上10月质量检测 数学试题 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；满分150分，考试时间×120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“关于的方程有两个负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 设，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，，若不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. 5 B. 4 C. 20 D. 25 7. 2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空．在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为，其中为单级火箭的最大理想速度（单位：），为发动机的喷射速度（单位：），、分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量（单位：kg），二者的比值称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但受火箭可能的结构所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在部分的图象与直线恰有三个交点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分． 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 不是等差数列 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 值域为 D. 若为的一条对称轴，则 11. 已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________. 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则_________. 14. 已知数列满足：，，，记数列的前项和为.若，则正整数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 （1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． （2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 16. 已知函数. （1）若将函数的图象向右平移个单位得到，求在区间上的单调递增区间； （2）若，求的值. 17. 对于定义在上的函数 ，若 ，使得成立，则称为函数的不动点,已知二次函数. （1）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （2）若函数 有两个不相等的不动点 ，且 ，求 的最小值. 18. 已知数列的前n项和为，且，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前n项和为，是否存在正整数m，，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由； （3）记，证明：． 19. （1）证明：当时，； （2）在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足，，…，，其中 为函数的阶导数．对于给定的正整数，，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为． 例如，（为常数）． （i）求的值并证明当时，； （ii）若数列满足，，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $