精品解析：天津市红桥区2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

天津市红桥区2026~2027学年高一上学期期中数学试卷 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 12 题，每题 3 分，共 36 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的个数是（ ） ①；②；③；④． A. B. C. D. 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 3. 若，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数为奇函数，当时，，则（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 7. 下列函数是偶函数且在 上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 8. 若 ，，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 若一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 18 11. 设 ，且 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，（）是方程 （）的两根，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分． 13. 不等式 的解集为________． 14. 已知集合，若，则______ 15. 设集合 ，，则 ________． 16. 已知函数，若，则__________. 17. 若，则的最小值是__________. 18. 函数的定义域为______． 19. 已知满足，则_________. 20. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 22. 已知p：实数x满足，其中，q：实数x满足． （1）若，则p是q的什么条件？ （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 23. 已知函数对任意实数a，b，都有成立． （1）求的值； （2）若（p，q为常数），求的值． 24. 已知f(x)＝x2－x＋1. （1）当a＝时，解不等式f(x)≤0； （2）若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0. 25. 已知函数． （1）求的值域； （2）解不等式：； （3）若直线与的图象无交点，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市红桥区2026~2027学年高一上学期期中数学试卷 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 12 题，每题 3 分，共 36 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系正确的个数是（ ） ①；②；③；④． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【详解】对于①，是一个有理数，是有理数集，所以，故①正确； 对于②，是一个实数，是实数集，所以，故②正确； 对于③，是正整数集，不包括，所以，故③错误； 对于④，不是整数，是整数集，所以，故④错误； 综上：正确的个数是2. 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 3. 若，则下列命题正确的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B、C，利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A：当，时满足，但是，故A错误； 对于B：当，时满足，但是，故B错误； 对于C：当，时满足，但是，故C错误； 对于D：若，则，所以，则，故D正确； 故选：D 4. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解. 【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误； 对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误， 故选：. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后根据集合的包含关系即可判断. 【详解】解：因为的解集为，的解集为或， 所以或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A. 6. 设函数为奇函数，当时，，则（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先计算，再利用奇函数定义计算． 【详解】函数为奇函数，，. 故选：C． 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值，属于基础题． 7. 下列函数是偶函数且在 上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A、函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以该函数为奇函数，不符合偶函数要求，选项A错误； 选项B、函数的定义域为，关于原点对称， 因为 所以该函数为偶函数。 当时，，即， 指数函数在上单调递增，选项B正确； 选项C、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合要求，选项C错误； 选项D、函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以该函数为奇函数，不符合偶函数要求，选项D错误． 8. 若 ，，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察代数式的结构，通过“分组”或“拆分项”的方法，构造出积为定值的形式，从而利用基本不等式进行求解． 【详解】已知，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 综上，当时，取得最小值． 9. 若一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以. 又因为不等式的解集为， 所以. 所以实数的取值范围是. 10. 设，，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 9 C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法利用基本不等式即可求解. 【详解】，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号，故的最小值为9. 故选：B. 11. 设 ，且 ，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将变形成等价的形式，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，可知，，， ，两边同乘，可得， 即， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即. 12. 已知，（）是方程 （）的两根，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数向上平移两个单位长度，得到，利用图象分别得到两个函数与轴的交点即可. 【详解】设，与轴的交点分别为，， 将函数向上平移两个单位长度，得到， 函数与轴的交点分别为，，： 如图所示： 则. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分． 13. 不等式 的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式的对应方程， 的两根为， 由于二次函数开口向上，函数值小于等于零的部分位于两根之间， 因此解集为. 14. 已知集合，若，则______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果. 【详解】由，得，则或， 当时，得，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 当时，解得或， 若，则，，合题意； 若，则，集合中元素不满足互异性，舍去； 综上，. 故答案为：2. 15. 设集合 ，，则 ________． 【答案】 【解析】 【详解】由，所以. 所以. 16. 已知函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分、解方程，综合可得出实数的值. 【详解】当时，由可得； 当时，由，此时无解. 综上所述，. 故答案为：. 17. 若，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由可将表达式整合再利用基本不等式即可求得最小值是. 【详解】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 18. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得． 【详解】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 19. 已知满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】用换元法，用表示，得到方程组，解出即可． 【详解】①， 用表示，则②； ②得：， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查求函数的解析式的问题，解题时的关键是利用换元法，列出方程组，是基础题． 20. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围． 【详解】解： 可得函数图象如下所示 由图可知，当时，存在，使得， 不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以； 对于、满足方程，即，所以，则有， ， 其中，则， 即 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题． 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 由，，4所组成的集合记为A. （1）是否存在实数a，使得A中只含有一个元素？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由； （2）若A中只含有两个元素，求a的值. 【答案】（1）存在，（2）或 【解析】 【分析】(1)由题意可利用即可求得满足条件的实数； (2)由题意可得，或，或，分别解得即可得出答案. 【详解】(1)存在，理由如下：由题意知若A中只含有一个元素，则这三个数相等，即， 由解得. 此时，所以符合条件. 故当时，A中只有一个元素. （2）由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有，或，或 若，解得； 若，解得； 若，无解； 综上可得，当或时，集合A中只含有两个元素. 【点睛】本题考查了集合元素性质的应用，属于一般难度的题. 22. 已知p：实数x满足，其中，q：实数x满足． （1）若，则p是q的什么条件？ （2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）必要不充分条件 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，p，q均确定，直接判断即可。（2）通过若q是p的充分不必要条件，用不等式表示集合间的包含关系，再解不等式. 【详解】（1）因为，所以当时，，因为 所以p是q的必要不充分条件． （2）由q是p的充分不必要条件可知，， 因此 所以或 即， 所以实数a的取值范围是． 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的基本性质，属于基础题. 23. 已知函数对任意实数a，b，都有成立． （1）求的值； （2）若（p，q为常数），求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）分别令和,代入求解即可； （2）因为,则,再次利用求解即可 【详解】解：（1）令,得,解得； 令,得,解得 （2）因为,所以 【点睛】本题考查抽象函数求函数值,考查赋值法的应用 24. 已知f(x)＝x2－x＋1. （1）当a＝时，解不等式f(x)≤0； （2）若a>0，解关于x的不等式f(x)≤0. 【答案】（1）； （2）当0<a<1时，有，所以不等式的解集为； 当a>1时，有，所以不等式的解集为 ； 当a=1时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）当a＝时，分解因式即可求解； （2）分解因式得，分类讨论与的大小关系即可. 【详解】（1）当a＝时，不等式为f(x)＝x2－x＋1≤0， ∴(x－2)≤0， ∴不等式的解集为； （2）， 当0<a<1时，有，所以不等式的解集为； 当a>1时，有，所以不等式的解集为 ； 当a=1时，不等式的解集为 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法（含参与不含参），遇含参问题常采用分类讨论法，属于基础题. 25. 已知函数． （1）求的值域； （2）解不等式：； （3）若直线与的图象无交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当时，； 当时，； 当时，. 综上，的值域为. 【小问2详解】 由详解（1）可知，时，恒等于，小于0，不符合题意； 时，恒等于4，大于0，符合题意； 当时，， 要求，解得. 综上，的解集为. 【小问3详解】 如图，的图象的顶端为，底端为，且是连续不间断的， 所以直线与的图象无交点，即， 故或，即a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $