天津市南开中学2026-2027学年第一学期质量监测（一）高一数学试卷

南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分. 第卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分， 共60分)· (1)已知全集U={x|x是小于9的正整数}，A=红，2,3}，B={3,4,5,6},则A⌒(C,B)=() A.3} B.{1,2,7,8} C.{4,5,6} D.{1,2 (2)设x>0,y∈R,则x>y”是“x>y”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (3)己知命题P:3r∈N,x2-2x+3>0,则命题P的否定是() A.3xEN,x2-2x+3≤0 B.xEN,x2-2x+3≤0 C.3x∈N,x2-2x+3≤0 D.x∈N,x2-2x+3≤0 (4)己知a,b,c,d∈R,则下列不等式一定成立的是() A.若ab,c>d,则a-c>b-d B.若a>b,则ac2>bc2 C.若>b,c>d,则ac>bd D.若日分0，则b x-1,x≤0 (5)已知函数f(x)= 则满足f(x+1)<4的实数x的取值范围为() x2,x>0 A.(-10) B.（-n,1) C.(-0,0)U(0,1D.(-m,4) (6)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x3+3x-1,则x>0时，f(x)=() A.-x-3x+1 B.x3+3x+1 C.-x3+3x+1 D.x3-3x-1 (7)已知幂函数y=(-m+1)x23m2是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，则满足条件的不同实数 m共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）第1页（共5页） (8)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-m,0]上单调递减，f(2)=0,则f(x)>0的解集为 () A.（-2,2) B.（-0,-2)U(2,+w) c.（-2,0)U(0,2) D.(-2,0)U(2,+∞) x2-m+5,x<2 (9)已知函数f(x)= ,对于任意实数玉，水2，当≠x2时，都有 5-0,x22 (:-)[f(:)-f(x)门<0成立，则实数α的取值范围是() A.[4,5) B.(4,5) c.号 D. (10)己知x>0,>0,且2xy-y+1=0,则1+y的最小值为() A.4 B.5 C.2+22 D.3+22 (41)设了=a+5-2a(a0),老对于f蓝=b小烧布在与=o小：使得 g()=f(x)成立，则a的取值范围是() A.[4,+∞) c D. (12)如果函数f)=m-2x2+0m-8)x+1(m≥0，≥0)在区间 22 上单调递减，则m的 最大值为() A.16 B.18 C.25 D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. (13)己知集合A={1,3,a2},B={1,a+2}，若B≤A,则a= (14)设全集U={x∈N|x≤10}，A⌒(CB)={0,1,8,9},B∩(CA)={2,4},(CuA)⌒(CuB)={5,7,10}, 则集合B= 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）第2页（共5页） (15)若f(g(x)=3x2+x+1,且8(x)=x+1,则f(x)=· (16)函数f(x)=(x-6)x的单调递减区间是 (17)己知p:x2-4m+3<0（心0)，q:x-54,且p是q的充分不必要条件，则实数a的 取值范围是 (18)已知函数了)=州++x,若正实数a,b满足了2a-)+fb-)=0,则2女+D+1的 a+1+b 最小值为 (19)函数f(x)=V8x-x-V14x-x2-48的值域为 (20)已知函数f(x)=r2+bx+c(>0),关于x的不等式1≤f(x)≤2的解集为[山，2]， 且关于x的不等式2+(b-5)x-2c-1≤0的解集中有且仅有7个整数，则满足条件的实数a的取值范 围是 三、解答题：本大题共4小题，共58分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.(14分)已知全集为R,集合A=x+3<0 2<0,B={x|x2-14x+40<0, x-70 C={x|2a-5≤x≤a+1}. (I)CRA)B,A(CB); (Ⅱ)若AOC=②，求实数a的取值范围. 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）第3页（共5页） 22.(14分)己知函数f(x)=2-x-a-1. (I)当a=3时，解不等式f(x)≤0： (Ⅱ)解关于x的不等式f(x)≥0： (Ⅲ)若{x|y=√f(x)}{x-2≤x≤-1)，求实数a的取值范围. 23.(15分)已知晒数f)=年华是定义域为R的函数 (I)求a的值： (Ⅱ)判断函数f(x)在区间[1，+∞)上的单调性，并用定义证明： (m)已知m心名，不等式f)+2x--9)≤0对x∈[24恒成立，求m的取值范国。 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）第4页（共5页） 24.(15分)已知二次函数f(x)=ar2+br+c,其中a,b,c∈R. (I)若y=f(x)满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=4x+5,求f(x): ()若a+b=2,c=2,存在心0使关于x的方程f)=m+1+2恰有四个不同的实根，求实数 a的取值范围； (Ⅲ)当>0，b=-2,c=0时，若对任意实数t,总存在x,x3∈[t,t+1, 使得f(x)-f(x≥2，求实数a的取值范围. 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）第5页（共5页）南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一） 高一数学参考答案与评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 0 D D B B A D C D C B 二、填空题（每小题4分，共32分） (13)2 (14){2,3,4,6 (15)3x2-5x+3 (16)[0,3] n(+) 18) (19)「0,2W5 2信+ 三、解答题（共58分） 2L,（14分)解：①由0得A=优-3K7:1分 由x2-14x+40<0得B={x|4<x<10}. 2分 所以CA={x|x≤-3或x≥7}，CB={x|x≤4或x≥10}. 4分 所以(C3A∩B={x|7≤x<10}, 5分 AU(CB)={x|x<7或x≥10. 7分 (Ⅱ)因为AOC=②，且A={x|-3<x<7}. 8分 当C=⑦时，2-5>a+1,即心6，符合题意；9分 当C≠0时，a≤6，需a+1≤-3或2a-5≥7， .11分 解得a≤-4或a=6. 13分 综上，实数a的取值范围为(-m,4[6,+∞) .14分 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）·参考答案第1页（共3页） 22.（14分)解：（)当a=3时，()=3x2-X-4,1分 由f(x)≤0得(3x-4)(x+1)≤0， 3分 解弱-15子即解集为 4 .4分 (Ⅱ)f(x)=x2-x-a-1=(x+1)(a-a-1). .5分 当a=0时，不等式化为-x-1≥0，解得x≤-1； .6分 当心0时，a+>0-1,解得x≤-1或x≥a+1 .7分 当4<0时，两根为-1与+1，需比较大小： 8分 a 若a=子则1)=+120，解得x=-1: 9分 若aK}则-1≤x≤：若0，则a生≤s-1.…10分 a 2 a (){xy=√f(x}即f(x)≥0的解集，由题意它应包含于【2，-1.11分 由()知，当心0或a=0时，解集含区间(-0，-1]，不合题意； 12分 当aK-号时解集为 不合题意：当a=5时，解集为{以符合题意： .13分 当-1<a0时， 解集为 a 所以α的取值范围为 「117 -2’3 14分 23.(15分)解：(I)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0,…2分 即a=0时)2，满是=-)， 3分 (Ⅱ)f(x)在[上，+∞)上单调递减. 4分 证明：设1≤x<x2,则 )c)-年11+0*) 2x22x12(x2-)1-x3) 。。。。。。。。。。。 7分 因为x2>x1≥1，所以为-x>0,x2>1，即1-xx2<0, 8分 所以f()-f()0,即f(x)f(x),故f(x)在[上，+∞）上单调递减.9分 ()因为f(x)为奇函数，所以f(x)≤-f(2x-2-9）=f(x2-2x+9）.10分 因为x[24,m所以ml:又-2x+9=(-+8291.11分 由f(x)在[1，+∞)上单调递减，得x≥x2-2x+9. 12分 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）·参考答案第2页（共3页） 即m≥X十号-2对任意X2,4恒成立.…3分 令8(y)=x+9-2,则g()在[2,3】上单调递减、在B,4上单调递增， .14分 且g()是8)=子所以8号故m号即0的取值能用为 -,+0 15分 24.(15分)解：(I)由f(0)=2得C=2;1分 由f(x+1)-f(x)=2x+a+b=4x+5得a=2,b=3, 3分 所以f(x)=2x2+3x+2.4分 （I)由a+b=2,c=2得f(x)=m2+(2-a)x+2.5分 设u=≥0，则原方程化为a㎡+(2-a)u+2-k=0,其中k=m++2≥4.…6分 原方程恰有四个不同的实根，等价于该关于的方程有2个不同的正根。7分 若>0，则h(0)=2-k<0,方程的两根异号，只有1个正根，不合题意；a=0时方程只有1个根，也 不合题意。 8分 若a<0,取m=1（此时k=4),方程化为am2+(2-a)-2=0,即(u-1)(al+2)=0,9分 得u=1或1=-20.当α≠-2时两根互异，符合题意；当4=-2时两根相同，不合题意。 所以a的取值范围为(-0，-2)U(-2,0).… 10分 (Ⅲ)此时∫(x)=m2-2x,其最小值在x=1处取得，为-1 11分 题意即：对任意实数t,f(x)在[t,t+1]上的最大值与最小值之差不小于2.…12分 老女小则米为am《分（号 13分 若是e+川则差为f+1)-fa(2+1)-≥a 14分 所以只需a≥2，即a≥8，故a的取值范围为[8+o). 15分 南开中学2026-2027学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）·参考答案第3页（共3页） 南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一） 高一数学　参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D D B B A D C D C B 二、填空题（每小题 4 分，共 32 分） （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） 三、解答题（共 58 分） 21．（14 分）解：（Ⅰ）由 得 ； 1 分 由 得 ． 2 分 所以 ，． 4 分 所以 ， 5 分 ． 7 分 （Ⅱ）因为 ，且 ． 8 分 当 时，，即 ，符合题意； 9 分 当 时，，需 或 ， 11 分 解得 或 ． 13 分 综上，实数 的取值范围为 ． 14 分 22．（14 分）解：（Ⅰ）当 时，， 1 分 由 得 ， 3 分 解得 ，即解集为 ． 4 分 （Ⅱ）． 5 分 当 时，不等式化为 ，解得 ； 6 分 当 时，，解得 或 ； 7 分 当 时，两根为 与 ，需比较大小： 8 分 若 ，则 ，解得 ； 9 分 若 ，则 ；若 ，则 ． 10 分 （Ⅲ） 即 的解集，由题意它应包含于 ． 11 分 由（Ⅱ）知，当 或 时，解集含区间 ，不合题意； 12 分 当 时，解集为 ，不合题意；当 时，解集为 ，符合题意； 13 分 当 时，解集为 ，需 ，即 ，得 ； 所以 的取值范围为 ． 14 分 23．（15 分）解：（Ⅰ）因为 是定义域为 的奇函数，所以 ， 2 分 即 （此时 ，满足 ）． 3 分 （Ⅱ） 在 上单调递减． 4 分 证明：设 ，则 ． 7 分 因为 ，所以 ，，即 ， 8 分 所以 ，即 ，故 在 上单调递减． 9 分 （Ⅲ）因为 为奇函数，所以 ． 10 分 因为 ，，所以 ；又 ． 11 分 由 在 上单调递减，得 ． 12 分 即 对任意 恒成立． 13 分 令 ，则 在 上单调递减、在 上单调递增， 14 分 且 ，，所以 ，故 ，即 的取值范围为 ． 15 分 24．（15 分）解：（Ⅰ）由 得 ； 1 分 由 得 ，， 3 分 所以 ． 4 分 （Ⅱ）由 ， 得 ． 5 分 设 ，则原方程化为 ，其中 ． 6 分 原方程恰有四个不同的实根，等价于该关于 的方程有 2 个不同的正根． 7 分 若 ，则 ，方程的两根异号，只有 1 个正根，不合题意； 时方程只有 1 个根，也不合题意． 8 分 若 ，取 （此时 ），方程化为 ，即 ， 9 分 得 或 ．当 时两根互异，符合题意；当 时两根相同，不合题意． 所以 的取值范围为 ． 10 分 （Ⅲ）此时 ，其最小值在 处取得，为 ． 11 分 题意即：对任意实数 ， 在 上的最大值与最小值之差不小于 ． 12 分 若 ，则差为 ； 13 分 若 ，则差为 ． 14 分 所以只需 ，即 ，故 的取值范围为 ． 15 分 南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一）（高一数学）·参考答案 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一） 高一数学试卷 考试时间：120 分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共 150 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）． （1）已知全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． （2）设 ，，则“”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 （3）已知命题 ：，，则命题 的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， （4）已知 ，，，，则下列不等式一定成立的是（　　） A．若 ，，则 B．若 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，则 （5）已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． （6）已知 为定义在 上的奇函数，当 时，，则 时，（　　） A． B． C． D． （7）已知幂函数 是奇函数，且在 上单调递增，则满足条件的不同实数 共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 （8）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则 的解集为（　　） A． B． C． D． （9）已知函数 ，对于任意实数 ，，当 时，都有 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． （10）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． （11）设 ，（），若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． （12）如果函数 （，）在区间 上单调递减，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分． （13）已知集合 ，，若 ，则 ________． （14）设全集 ，，，，则集合 ________． （15）若 ，且 ，则 ________． （16）函数 的单调递减区间是________． （17）已知 ：（），：，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________． （18）已知函数 ，若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________． （19）函数 的值域为________． （20）已知函数 （），关于 的不等式 的解集为 ， 且关于 的不等式 的解集中有且仅有 7 个整数，则满足条件的实数 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共 4 小题，共 58 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（14 分）已知全集为 ，集合 ，， ． （Ⅰ）求 ，； （Ⅱ）若 ，求实数 的取值范围． 22．（14 分）已知函数 ． （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）解关于 的不等式 ； （Ⅲ）若 ，求实数 的取值范围． 23．（15 分）已知函数 是定义域为 的奇函数． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）判断函数 在区间 上的单调性，并用定义证明； （Ⅲ）已知 ，不等式 对 恒成立，求 的取值范围． 24．（15 分）已知二次函数 ，其中 ，，． （Ⅰ）若 满足 ，，求 ； （Ⅱ）若 ，，存在 使关于 的方程 恰有四个不同的实根，求实数 的取值范围； （Ⅲ）当 ，， 时，若对任意实数 ，总存在 ，， 使得 ，求实数 的取值范围． 南开中学 2026-2027 学年度第一学期质量监测（一）（高一数学） 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $