5.3 概率的应用——抽签方法合理吗（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“概率的应用——抽签方法合理吗？”核心知识点，以班级联欢会抽签为情境导入，探究不放回抽取的等可能结果，通过树状图衔接已学概率概念，构建从理论到实际应用的学习支架。 此资料亮点在于用生活情境激活探究，通过树状图列举结果、对比放回与不放回培养推理意识和数据观念，如3人抽1签分析及游戏公平性判断，提升学生用数学思维解决问题的能力，为教师提供分层教学资源，夯实概率基础。

5.3 概率的应用——抽签方法合理吗？ 教学设计 1.教学内容 本课依据苏科版九年级上册第五章 等可能条件下的概率5.3　概率的应用——抽签方法合理吗？ 2.内容解析 本节以“班级联欢会抽签”为情境，探究先后抽签是否公平，核心在于“等可能结果”与“不放回抽取”的概率模型。通过树状图依序分支，可列出 种全排列结果；若仅一张签中标记，则每位同学对应的“中签排列数”均为 ，从而 ，概率与顺序无关，体现公平性。这一结论具有普适价值：凡满足①随机搅匀；②一次仅取一签；③取后不放回；④各签物理相同 的抽签（抽球、抽卡片）均公平。教学重点放在让学生会构建树状图并用结果数比求概率；难点在于区分“放回”与“不放回”导致的分支数变化，以及理解“等可能”的前提。通过“扑克牌游戏”等对比例，引导学生评价规则是否公平，培养用概率观点审视生活现象的数学素养。 1.教学目标 •理解抽签问题的概率模型，能运用树状图列举“不放回抽取”试验的所有等可能结果。 •能正确计算抽签问题中每个抽签者中签的概率，并能用概率解释“抽签方法合理”的数学原理。 •能区分“有放回抽取”与“不放回抽取”两种不同情境，并能正确计算相应的概率。 2.目标解析 • 会画树状图——描点、分支、标注结果；列出 个等可能序列，达标标准：能给出3人抽1签的6种结果。 • 能统计符合事件的结果数并求 值；用 说明公平；达标标准：说出甲、乙、丙中签概率均为 并给出理由。 •在“放回”情景下，认识各次抽取独立、分支数不变；在“不放回”情景下，分支数逐次减1。 3.重点难点 • 教学重点： 树状图列举等可能结果并用比值公式求概率。 • 教学难点：①放回与不放回的本质区别；②“公平”概念的概率判定。 九年级学生已掌握分数、小数运算及排列组合雏形，具备阅读简单树状图能力；对“等可能”理解初步，但容易把“结果数相等”误认为“概率一定相等”。他们能在指导下列举3～4层分支，但对“”化简与证明仍感陌生；对“有放回”与“不放回”区分不敏感，往往将两次摸球事件等同处理。故教学需通过对比实验、动手绘制树状图与频率模拟，帮助学生抽象出模型，突破“不放回”概率计算及“公平”判定两个难点。 创设情景，引入新课 问题情景： 在班级联欢会上，需要从3名学生中选1名参加游戏．为了公平，大家决定用抽签的方法：准备3张相同的纸条，其中1张画有记号，放入盒子中搅匀，3名学生依次各抽1张（抽出的不放回），抽到有记号纸条的学生参加游戏． 抽签有先有后，先抽的人与后抽的人中签的概率一样吗？ 【设计意图】以学生熟悉的联欢会抽签为切入口，既贴近生活又承载完整的概率模型，引发“公平”与“先后”的自然冲突，激活探究欲望，明确本课学习方向。 探究点：抽签方法的合理性 1.新知探究 小明：我觉得先抽的人中签的可能性大一些． 小丽：假如先抽的人没有抽到，后抽的人中签的可能性更大一些． 小亮：抽签是公平的，概率应该相同． 你认为谁的说法正确呢？ 假设甲、乙、丙3名学生抽签的顺序依次为：甲第一，乙第二，丙第三；3张纸条中，画有记号的纸条记作A，其余2张纸条分别记作和． 　　你能用树状图列出所有可能出现的结果吗？ 从上图可以看出，甲、乙、丙依次抽签，一共有6种可能出现的结果，并且它们是等可能的．其中， 和这两种结果为甲中签，P（甲中签）＝ ； 和这两种结果为乙中签，P（乙中签）＝ ； 和这两种结果为丙中签，P（丙中签）＝． 2.新知归纳 抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的概率是相同的，这样的抽签方法是合理的． 因为在抽签过程中，只要不放回且抽签规则公平，每个人抽中的概率都等于中签的结果数除以总签数，和抽签的顺序无关． 3.例题讲解 例 班级联欢会游戏环节准备了精美奖品，甲、乙两位同学获得了抽奖资格．主持人拿出 4 张完全相同的卡片，其中 2 张标注“中奖”，2 张标注“谢谢参与”，甲、乙两人按先后顺序从中任意抽取 1 张卡片，且抽出的卡片不放回，这种抽奖方式是否公平？请说明理由． 解：设2 张“中奖”卡片分别记为，2 张“谢谢参与”卡片分别记为． 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，甲中奖的结果有6种，乙中奖的结果有6种． P(甲中奖)＝，P(乙中奖)＝． ∵ ＝，∴ 这种抽奖方式公平． 【设计意图】对照计算使学生敏锐感受“放回”对概率模型的本质影响，为后续更复杂抽样问题奠基。 1.小慧为班级策划联欢会，其中有一个抽奖环节：准备一个不透明的盒子和若干 个除颜色外都相同的小球，凡是参加联欢会的同学都可以参加抽奖． （1）如何设计抽奖方案可以使每个人获奖的可能性相同？ （2）如果要求设置两个奖项：一等奖和二等奖，那么应如何设计抽奖方案？ 解：（1）准备 n 个除颜色外完全相同的小球，其中：用 m (m＜n)个红球表示“中奖”，其余(n－m)个白球表示“未中奖”．把球放入不透明盒子中摇匀，每位同学依次摸出一个球，摸后不放回．摸到红球的人中奖． （2）在盒子中放入三种颜色的小球，如红色(表示一等奖)、蓝色(表示二等奖)、白色(表示无奖)，设定一等奖和二等奖的球数比例． 2.一只不透明的袋子中装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除颜色外都相同． (1) 将球搅匀，从中任意摸出 1 个球，记下颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出 1 个球，求 2 次都摸到红球的概率； 解：(1) 画树状图得 共有 9 种结果，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2 次都摸到红球”的有 4 种，所以 P(2 次都摸到红球)＝． (2) 将球搅匀，从中任意摸出 2 个球(相当于第一次摸出的球不放回，第二次再从余下的球中任意摸出 1 个球)，求摸到 2 个红球的概率． 解：(2) 画树状图得 共有 6 种结果，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2 次都摸到红球”的有 2 种，所以 P(2 次都摸到红球)＝＝． 能力提升 1．做做看，这个游戏对甲、乙双方公平吗？ 解：公平．理由如下： 同时抛瓶盖，可能出现两种结果：盖面朝上、盖面朝下，且两种结果出现的可能性相同，都是，所以游戏规则公平． 以上解答过程正确吗？如不正确，请改正过来． 解：不正确，由于啤酒瓶盖的形状不规则，掷出瓶盖后，盖面朝上和盖面朝下的 可能性不同，所以游戏对甲、乙双方不公平． 2．小明和小华想利用抽取扑克牌游戏决定谁去参加市里举办的“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，游戏规则是：将 4 张除了数字 2、3、4、5 不同外，其余均相同的扑克牌，数字朝下随机平铺于桌面，一人先从中随机取出1 张，另一人再从剩下的3张扑克牌中随机取出一张，若取出的 2张扑克牌上数字和为偶数，则小明去参赛，否则小华去参赛． （1）用列表法或画树状图法，求小明参赛的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 解：（1）列表如下： 数字之和为：5，6，7，5，7，8，6，7，9，7，8，9，共12种，其中偶数有4种． ∴ P（小明参赛）＝＝；    （2）游戏不公平，理由： ∵ P（小明参赛）＝， ∴ P（小华参赛）＝1－＝， ∵ ， ∴ 这个游戏不公平． 【设计意图】让学生在真题语境中重新经历“列举—判断等可能—求概率—评价方法”的全过程；题目难度逐层加码，既检验课堂所得，又提示中考命题的拓展方向。 主板书 5.3 概率的应用——抽签方法合理吗？ 探究点 抽签方法的合理性 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $