2026-2027学年苏科版数学九年级上学期期中考前模拟（江苏省南京市）

2026~2027学年第一学期江苏南京九年级数学期中模拟卷 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若 是关于 的方程 的一个根，则该方程的另一个根是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．已知点 ，， 均在反比例函数 的图象上，若 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．如图， 是 内接四边形 的一个外角，若 ，那么 的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．如图，已知 是双曲线 （）上一点，过点 作 轴，交双曲线 （）于点 ，则 的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心作 ，使其经过原点 和点 ，若点 是 上异于 的一点，点 是弦 的中点，则 长度的最小值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．方程 的解是＿＿＿＿＿＿． 8．若关于 的一元二次方程 有两个实数根，其中一根 ，则另一根 ＿＿＿＿＿＿． 9．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ＿＿＿＿＿＿． 10．若关于 的一元二次方程 的两个实数根互为倒数，则 的值是＿＿＿＿＿＿． 11．若方程 有增根，则 的值为＿＿＿＿＿＿． 12．某蓄电池的电压为 48V，使用此蓄电池时，电流 （单位：A）与电阻 （单位：Ω）的函数表达式为 ．当 时， 的值为＿＿＿＿＿＿A． 13．已知 的半径是 9，当 时，则点 与 的位置关系是点 在＿＿＿＿＿＿．（填”圆内”“圆外”或”圆上”） 14．若点 ，点 均在反比例函数 的图象上，且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 15．如图，某市城南快速路在某个转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点 行驶至终点 ，过点 ， 的两条切线相交于点 ，机动车在从点 到点 行驶过程中的转角为 ．若这段圆弧的半径 ，，则图中危险区（阴影部分）的面积为＿＿＿＿＿＿． 16．如图，点 为坐标原点，菱形 的边 在 轴的正半轴上，对角线 、 交于点 ，反比例函数 （）的图象经过点 和点 ，若菱形 的面积为 ，则点 的坐标为＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（6 分）已知关于 的方程 ． （1）求证：不论 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为 ，求 的值及该方程的另一个根． 19．（8 分）已知关于 的方程 有两个实数根． （1）求 的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为 ，，且 ，求实数 的值． 20．（6 分）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为”邻根方程”．例如：一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是”邻根方程”． （1）通过计算，判断下面的方程是不是”邻根方程”： ① ；　　② ． （2）已知关于 的一元二次方程 （ 是常数）是”邻根方程”，求 的值． 21．（8 分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，连接 ，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式 的解集． 22．（8 分）如图， 的顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 （）的图象过点 和 的中点 ． （1）点 的坐标为＿＿＿＿＿＿；（用含 的代数式表示） （2）若 ，求 的值及点 的坐标． 23．（8 分）如图， 平分 ， 与 相切于点 ，连接 ，延长 交 于点 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为 4，，求 的长． 24．（8 分）矩形 中， 在线段 上． （1）请在图①中利用尺规画出点 ，使得 （不写作法，保留作图痕迹）； （2）请在图②中利用尺规画出点 ，使得 （不写作法，保留作图痕迹）． 　　 25．（8 分）某旅游景区 2024 年”十一”接待游客 1000 万人次，2026 年”十一”接待游客 1690 万人次，该景区内一家小吃店售卖特色小吃，经测算知，每份成本 7 元，当售价为 25 元时，平均每天将销售 300 份，价格每降低 1 元，平均每天多销售 30 份． （1）求出 2024 年至 2026 年”十一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员认为，通过降价，店铺每天至少能获利 6000 元；你认为该想法对吗？如果不对，求店家每天可获得的最大利润． 26．（8 分）如图，在 中，， 是 上一点，以 为半径的 与 相切，切点为 ，连接 ， 与 相交于点 ． （1）求证： 是 的角平分线； （2）若 ，． ① 求 的半径； ② 求线段 、 与劣弧 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和 ） 27．（12 分）如图 1，边长为 的等边 中， 是高，点 以 的速度从点 向 运动，以点 为圆心， 为半径作 ，设点 的运动时间为 ． （1）当 与边 相切时，求 的值； （2）如图 2，若在点 出发的同一时刻，点 以 的速度从点 向点 运动，一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．过点 作 的平行线，交 于点 ．当 与 相切时，求 的值； （3）在运动过程中，当 与 的边共有两个公共点时，直接写出 的取值范围． 　　 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期九年级数学阶段检测卷（解析版） 一、选择题 1．【答案】C 【解析】一元二次方程是只含一个未知数、且未知数的最高次数是 2 的整式方程．A 含有两个未知数，是二元二次方程；B 中含分式 ，是分式方程；D 中未知数最高次数是 1；只有 C 符合定义．故选 C． 2．【答案】C 【解析】设方程的另一根为 ．由根与系数的关系得 ，即 ，解得 ．故选 C． 3．【答案】D 【解析】因为 恒成立，所以反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内 随 的增大而增大．由 知点 在第二象限，；由 知点 、 都在第四象限，．所以 ．故选 D． 4．【答案】B 【解析】因为四边形 内接于 ，由”圆内接四边形的外角等于它的内对角”得 ．又 与 是同弧（弧 ）所对的圆心角与圆周角，所以 ．故选 B． 5．【答案】C 【解析】设 （），则 ．因为 轴，所以点 的纵坐标为 ，代入 得 ，所以 ．点 到直线 的距离为 ，故 ．故选 C． 6．【答案】C 【解析】由 ， 得 的半径 ．令 ，得 ，解得 或 ，故 ．因为点 是弦 的中点，所以 ，即 ，所以点 在以 为直径的圆上运动．设 的中点为 ，则 ，该圆的半径为 ．所以 的最小值为 ．故选 C． 二、填空题 7．【答案】， 【解析】 移项得 ，因式分解得 ，所以 ，． 8．【答案】 【解析】由根与系数的关系得 ，因为 ，所以 ． 9．【答案】 【解析】由题意得 ，解得 ． 10．【答案】 【解析】两根互为倒数，则 ，即 ，．当 时，，方程无实数根，舍去；当 时，，符合题意．所以 ． 11．【答案】 【解析】方程两边同乘 ，得整式方程 ，其解为 ．若原方程有增根，则增根为 ，所以 ，解得 ． 12．【答案】 【解析】当 时，． 13．【答案】圆内 【解析】因为 的半径 ，，即 ，所以点 在 内． 14．【答案】 【解析】当 时，图象在第一、三象限，点 、 同在第三象限，在每一象限内 随 的增大而减小，由 得 ，符合题意；当 时，点 、 同在第二象限， 随 的增大而增大，由 得 ，不符合题意；当 时，，也不符合题意．所以 ． 15．【答案】（） 16．【答案】 【解析】设 ，（），则 ．因为菱形的对角线互相平分，且 是 的中点，所以 ．菱形面积 ．因为 、 都在 的图象上，所以 ，得 ，代入得 ，即 ．又菱形四边相等，，即 ，得 ，（）．代入 得 ，，，．所以 ． 三、解答题 17．【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【解析】 （1），开方得 ，所以 ，（直接开平方法）． （2），因式分解得 ，所以 ，（因式分解法）． （3），，即 ，（公式法）． （4），移项得 ，提取公因式得 ，即 ，所以 ，（因式分解法）． 18．【答案】（2），方程的另一个根为 【解析】 （1）．因为 ，所以 ，即 恒成立，所以不论 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）把 代入方程得 ，解得 ．此时方程为 ，即 ，解得 ，，所以该方程的另一个根为 ． 19．【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）因为方程有两个实数根，所以 ，解得 ． （2）由根与系数的关系得 ，．所以 ．由题意得 ．设 ，则 ，解得 或 ，即 或 ．因为 ，所以 舍去，故 ． 20．【答案】（1）①不是”邻根方程”，②是”邻根方程”；（2） 或 【解析】 （1）① ，即 ，两根为 ，，，所以不是”邻根方程”． ② ，，，两根之差为 ，所以是”邻根方程”． （2） 因式分解得 ，所以方程的两根为 ，．因为是”邻根方程”，所以 ，即 ，解得 或 ． 21．【答案】（1），；（2）8；（3） 或 【解析】 （1）把 代入 得 ，所以反比例函数的解析式为 ．把 代入 得 ，，所以 ．把 ， 代入 得 ，解得 ，所以一次函数的解析式为 ． （2）直线 与 轴交于点 ，所以 ． （3）不等式 即 ，也就是直线 的图象在双曲线 上方（含交点）时 的取值范围．由两图象交点的横坐标为 和 ，结合图象可得解集为 或 ． 22．【答案】（1）；（2）， 【解析】 （1）设 （）．因为 ， 是 的中点，所以 ．因为 、 都在 的图象上，所以 ，且 ．由 得 ，，所以 ． （2）由 得 ，解得 ．因为点 在第一象限，所以 ，，点 的坐标为 ． 23．【答案】（2） 【解析】 （1）过点 作 ，垂足为 ．因为 与 相切于点 ，所以 ，即 ．因为 平分 ，所以 ．又 ，所以 （AAS），所以 ，即 等于 的半径，所以 是 的切线． （2）由（1）知 ，且由切线长定理得 ．在 Rt 中，．因为 、、 共线，所以 ，且 ．设 ，则 ． 在 Rt 中，，即 ，解得 ，所以 ． 24．【答案】见解析 【解析】 （1）作线段 的垂直平分线，垂足为 ；以 为圆心、 长为半径作圆，该圆与边 的交点即为所求的点 （点 在线段 上）．理由：因为 在以 为直径的 上，由”直径所对的圆周角是直角”得 ． （2）作法一：先作等边三角形确定 角——分别以 、 为圆心、 长为半径画弧，两弧交于点 （与点 在 的同侧），则 ；再作 的平分线 ，则 ；射线 与线段 的垂直平分线交于点 ，以 为圆心、 长为半径画弧，该弧与边 的交点即为所求的点 ．理由： 中， 在 的垂直平分线上，且 ，所以 ，故优弧上的圆周角 ． 25．【答案】（1）年平均增长率为 ；（2）该想法不对，店家每天可获得的最大利润为 5880 元 【解析】 （1）设 2024 年至 2026 年”十一”期间游客人次的年平均增长率为 ．由题意得 ，即 ，开方得 ，所以 ，（不符合题意，舍去）．答：年平均增长率为 ． （2）设每份降价 元，每天获利 元．由题意得 ．因为 ，所以当 （即售价为 21 元）时， 取得最大值 5880 元．因为 ，所以店员的认为不对，店家每天可获得的最大利润为 5880 元． 26．【答案】（2）① 的半径为 2；② 【解析】 （1）连接 ．因为 与 相切于点 ，所以 ．又因为 ，即 ，所以 ，得 ．因为 ，所以 ，所以 ，即 是 的角平分线． （2）① 在 Rt 中，，，，所以 ．在 Rt 中，，，所以 ．由 ，得 ，即 的半径为 2． ② 由①得 ，，在 Rt 中，，．因为点 在 上且 ，所以 ，．所以阴影部分的面积 ． 27．【答案】（1）；（2） 或 ； （3） 或 或 【解析】以点 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，则 ，，，，，其中 ． （1） 与边 相切时，点 到 的距离等于 1．因为 ，所以 ，得 ．由 ，解得 ． （2），，．因为 ，所以 是等边三角形，边长 ，点 的坐标为 ．直线 （即直线 的平行线）的解析式为 ，即 ．当 与 相切时，点 到直线 的距离等于 1，即 ，所以 ，解得 或 ．经检验，两个 值均满足 ，且切点均在线段 上，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $