精品解析：江苏省南京市玄武区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键步骤是加上一次项系数一半的平方．使用配方法解一元二次方程，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：C． 3. 已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数，掌握相关的概念和计算方法是解题的关键． 通过计算数据的平均数和众数，并令它们相等，求解x的值．众数为出现次数最多的数，需根据x的取值讨论． 【详解】解：数据的平均数为． ∵平均数和众数相等， ∴需使众数等于平均数． 当时，数据为6,8,8,10，众数为8，平均数为，两者相等． 当时，众数为6，平均数为7.5，不相等． 当时，众数为10，平均数为8.5，不相等． 当时，数据无众数或众数不唯一，平均数为9，与任何数都不等． ∴． 故选：B． 4. 如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 5. 如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 6. 在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆、外接圆，等腰三角形等知识，利用图形去观察分析是解题的关键．画一个固定的圆作为的内切圆，再分别画出几个等腰三角形，度数依次增大，观察图形即可得解． 【详解】解：如图 根据图形我们可以发现，当的内切圆的半径确定时，在增大的过程中，的外接圆的半径先减小，后增大； 故选D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 某市5日的每日平均气温分别为17，15，19，21，16，这五天气温的极差是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的极差，根据极差是一组数据中最大值与最小值的差，该组数据中最大值为21，最小值为15，因此极差为21与15的差． 【详解】解：这五天气温的极差是：． 故答案为：6． 8. 如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，求出蓝色扇形的圆心角的度数，进而根据概率公式计算即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵红色扇形的圆心角的度数为， ∴蓝色扇形的圆心角的度数为， ∴转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为， 故答案为：． 9. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入式子求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留π） 【答案】6π 【解析】 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积＝×3×2π×2＝6π． 故答案为：6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式． 11. 某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据平均增长率模型，从第一周到第三周经过两周增长，利用增长公式列出方程即可． 【详解】解：设周平均增长率为，则第二周人数为，第三周人数为， 根据题意，第三周接待游客8470人， 故列方程为， 故答案为：． 12. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，由于点，，根据垂径定理得，而，，则，由勾股定理得，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】：连接， 是的直径，是的弦，且于点，， ， ，， ， ， ， 解得， ， ， 故答案为： 13. 如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 连接，，根据圆内接四边形的性质证得，,进而证得，根据三角形内角和定理证得，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可． 【详解】解：连接，， 四边形是的内接四边形， ，, 是中点， ， , , 四边形是的内接四边形， , 故答案为：． 14. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线性质的应用，连接，，根据题意得到，则根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，计算即可． 【详解】解：连接，， 由题意得，， 圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B， ，， ∴ ∴ ∴，即圆形玉佩的半径为， 故答案为： 15. 若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 16. 如图，，O为射线上一点，以O为圆心，作半径为2的，，为上的点，且。若射线上存在点P，使得，且点P在外，则线段长度的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作，有，即取得最大值时也取得最大值，然后由圆周角定理和，可得点P在以为弦，圆心角的上运动，连接，，，，，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，，接着根据得到的最大值，进而根据，得到的最大值，据此计算线段长度的最大值即可． 【详解】解：如图，作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当取得最大值时也取得最大值； ∵， ∴点P在以为弦，圆心角的上运动， 连接，，，，，与交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，，， 在中，，， ∴，, ∴， 解得， ∴， ， 在中，，， ∴， ∵， ∴当O、E、P三点共线时，取得最大值，最大值为， 又∵， ∴当时，此时取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、两点间线段最短，垂线段最短等，根据圆周角定理得到点P的轨迹，从而求得的最大值是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 ， ， 或， 解得． 18. 一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． （1）从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； （2）从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）从袋中随机摸出1个球共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种，据此计算概率即可； （2）通过列表法计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，从袋中随机摸出1个球的情况有， 红球、绿球、黄球、黄球， 共有4种等可能的结果，其中恰好是黄球的结果有2种， 因此，从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 红 绿 黄 黄 红 红，绿 红，黄 红，黄 绿 绿，红 绿，黄 绿，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 黄 黄，红 黄，绿 黄，黄 共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的结果有4种， 因此，两次摸出的球恰好是1个红球和1个黄球的概率为． 19. 某平台需在甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作．从两家公司在相同区域配送记录中，分别随机抽取了10次数据作为样本进行分析，并绘制如下统计图． 根据以上信息，解决下列问题． （1）填空： 快递公司 平均数/天 中位数/天 众数/天 方差/天 甲 ①_____ ②______ 9 乙 8 8 8 ③______ （2）你认为平台应在甲、乙两家快递公司中选择哪一家进行合作？并说明理由． 【答案】（1）8，， （2）选择乙快递公司更好答案不唯一，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计量（平均数、中位数、方差）的计算与统计量的实际应用，解题的关键是从扇形统计图、折线统计图中提取数据，计算对应的统计量，再根据统计量的意义分析选择合作公司． （1）先根据扇形统计图确定甲公司各配送天数的次数，计算平均数、中位数；再根据折线统计图提取乙公司的数据，结合平均数计算方差； （2）比较两家公司的统计量（平均数、方差），根据稳定性选择合作公司． 【小问1详解】 解：甲公司配送天数从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 平均数为， 一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8，9， 所以中位数为； 乙公司配送天数从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10， 方差为， 故答案为：8，，； 【小问2详解】 解：选择乙快递公司更好答案不唯一，理由如下： 配送天数甲和乙的平均数相同，但乙的方差小于甲的方差， 乙更稳定， 选择乙快递公司更好． 20. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 【答案】这两条直角边为，． 【解析】 【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可． 【详解】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，得： x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8． 当x1=6时，14﹣x=8； 当x2=8时，14﹣x=6； 答：两条直角边的长分别为，． 21. 如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦的关系得，再根据垂径定理得和，即可得出结论； （2）连接，根据垂径定理得，由勾股定理求得，进而求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 故答案为：2 ． 22. 某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 23. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，设交于点， 是的直径，是的中点， ，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 24. 已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） （1）若，求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据判别式，结合，进行证明即可； （2）根据根与系数的关系得，，再结合，进行证明即可． 【小问1详解】 证明： 因此，该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 证明：根据根与系数的关系得， 解得 则 即． 25. 已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，角平分线，切线的判定和性质； （1）构造正方形，作直线，即可； （2）连接，过点作的垂线，作的角平分线，分别交于点，延长交于点，则，根据圆的对称性可得，则弦，，即为所求． 【小问1详解】 如图，点即为所求； 【小问2详解】 如图，线段，即为所求． 26. 如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线性质、圆周角定理、等腰三角形性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键． （1）连接，，延长交于点，根据线段垂直平分线的性质可证得垂直平分，进而证得，从而得出结论； （2）连接、，根据等腰三角形的性质，结合圆周角定理证得，进而证得，从而得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，，延长交于点， 点A在的垂直平分线上． 点O在的垂直平分线上 垂直平分 即 即 ； 【小问2详解】 证明：连接、，如图： ， ， ． 27. 如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥底面圆的半径为______cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）5 （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 解得 故答案为：； 【小问2详解】 （i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（） A. B. C. D. 3. 已知一组数据6，8，10，x的平均数和众数相等，则x的值为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 如图，为直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，当的内切圆的半径确定时，随着的度数增大，的外接圆的半径（ ） A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大再减小 D. 先减小再增大 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 某市5日的每日平均气温分别为17，15，19，21，16，这五天气温的极差是_________ 8. 如图，一个可以自由转动的转盘分为红色、蓝色两个扇形区域，红色扇形的圆心角的度数为．转动转盘一次，指针恰好落在蓝色扇形区域的概率为______． 9. 设，是方程的两个根，则________． 10. 已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为2，则该圆锥的侧面积为_____．（结果保留π） 11. 某游乐场第一周接待游客7000人，第三周接待游客8470人．设该游乐场游客人数的周平均增长率为x，可列方程为________． 12. 如图，在中，直径弦，垂足为，若，，则________． 13. 如图，是五边形的外接圆，C是的中点，若，，则的度数为________ 14. 将圆形玉佩，直角三角板和刻度尺按如图所示的方式摆放，且圆形玉佩与两边都相切，切点分别为B，测得，则圆形玉佩的半径为________ 15. 若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为________． 16. 如图，，O为射线上一点，以O为圆心，作半径为2的，，为上的点，且。若射线上存在点P，使得，且点P在外，则线段长度的最大值为________． 三、解答题：本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18 一个不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外都完全相同． （1）从袋中随机摸出1个球，恰好是黄球的概率为______； （2）从袋中随机摸出1个球，记录下颜色后不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出球恰好是1个红球和1个黄球的概率． 19. 某平台需在甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作．从两家公司在相同区域配送记录中，分别随机抽取了10次数据作为样本进行分析，并绘制如下统计图． 根据以上信息，解决下列问题． （1）填空： 快递公司 平均数/天 中位数/天 众数/天 方差/天 甲 ①_____ ②______ 9 乙 8 8 8 ③______ （2）你认为平台应在甲、乙两家快递公司中选择哪一家进行合作？并说明理由． 20. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．求两条直角边的长． 21. 如图，在中，，半径，，垂足为D，． （1）求证：； （2）若的半径为5，，则______． 22. 某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 23. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 （1）求证：是的切线； （2）若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 24. 已知关于x的一元二次方程（b、c为常数） （1）若，求证：该方程总有两个不相等实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求证：． 25. 已知，按下列要求完成尺规作图要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明 （1）在图①中，求作一点，使经过点的的两条切线互相垂直； （2）点的位置如图②所示．求作弦，，使，且，垂足为 26. 如图，是的外接圆，．过点B作，垂足为F，与交于点D，连接并延长，与交于点 （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 27. 如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． （1）该圆锥的底面圆的半径为______cm； （2）已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $