精品解析：上海交通大学附属第二中学2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学试卷

2026学年第一学期期中考九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、选择题（本题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 在中，已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在中，，如图： 由图可得，的对边为，邻边为，斜边为， ∴，，． 3. 如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 【详解】解：如图：∵直线， ∴，，， ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称 ∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 5. 如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A. ∠BAC＝∠ADC B. ∠B＝∠ACD C. AC2＝AD•BC D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可． 【详解】解： A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA； B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA； C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为，则△ABC∽△DCA； D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA． 故选择：D． 【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键． 6. 如图1为生活中常见的一个大瓷碗截面图，碗体外轮廓呈抛物线状（碗体、底部厚度均不计），碗口直径为，碗底最大深度为，现在若在碗中放置一个正方体的大豆腐块（豆腐块不露出碗口），如图2为侧面图，则可放置的豆腐块最大的边长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设以碗底为顶点建立平面直角坐标系，正方形的边长为，当正方体上边刚好对齐碗口（临界最大），，代入解析式即可求解． 【详解】解：如图，设以碗底为顶点建立平面直角坐标系，正方形的边长为， 设，由题意得经过， ， 解得， ， 当正方体上边刚好对齐碗口（临界最大）， ， ， 解得：，（舍去）， 故可放置的豆腐块最大的边长为. 二、填空题（本题共11题，每题4分，满分44分） 7. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据，得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴设， 则， ∴， 故答案为：． 8. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为． 点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键． 9. 如图，在中，已知，，，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出斜边的长，再根据余弦函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 10. 二次函数的图像与轴的交点坐标为_____ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，令x=0，则y=3，所以二次函数的图像与轴的交点坐标为（0,3）. 考点：抛物线与轴的交点坐标. 11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且，AC与DE相交于点F，若，则＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BCAD，BC=AD，而CE：BC=2：3，由此，即可得到△AFD△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， BCAD，BC=AD， CE：BC=2：3， △AFD△CFE，它们的相似比为3：2， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，首先利用平行四边形，找到判定两个三角形相似的条件，然后利用其性质即可求解． 12. 请你写出一个b的值，使得函数在时，y的值随x的增大而增大，则b可以是________． 【答案】0(答案不唯一) 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴其对称轴为，开口向上， ∴当时，在时，y的值随x的增大而增大， ∴，可取b为0． 13. 在中，，，点在上，且，若要在上找一点，使，则的长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由公共角与已知等角，可判定，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解的长度． 【详解】解：如图： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 解得． 14. 如果将抛物线向上平移1个单位、向右平移2个单位，则平移后得的新抛物线的表达式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位、向右平移2个单位，则平移后得到新抛物线的表达式是． 15. 如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么到的距离为，到的距离为，则的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出、的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一定理证明，即可解决问题． 【详解】解：由图可得，， 同理可得， ， ， ， ． 16. 为了测建筑物高度的长，某同学在点处测得建筑物顶部的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，若点，，在同一水平线上，斜坡的坡度为（仰角指水平线上方的视线与水平线的夹角，坡度指斜坡上升的垂直距离与水平距离之比），则建筑物的高度约是____________米．（参考数据） 【答案】 13 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用坡度求出和的长，设，利用 表示出，进而表示出和，最后在中利用建立方程求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点， 斜坡的坡度， 在 中，， 设，则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 四边形是矩形， ， 设 ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， 建筑物的高度约是米． 17. 如图，梯形中，，，，，，，将该梯形绕着点旋转至四边形，若点恰好在线段上，则线段的长度是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】当在的下方时，如图，过作于，过作于，而，记旋转后，与的交点分别为，可得四边形是矩形，进一步求解，，，证明，可得，，同理可得：，求解，，进一步可得答案；当在的上方时，如图，过作于，延长交于，过作于，记与的交点为，证明，可得，，，同理可得：，再进一步求解即可. 【详解】解：当在的下方时，如图，过作于，过作于，而，记旋转后，与的交点分别为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵梯形，，， ∴，， ∴，，， 由旋转可得：，， ∵， ∴结合三角形的内角和可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当在的上方时，如图，过作于，延长交于，过作于，记与的交点为， 同理可得：，，，， ∵， ∴，而，， ∴， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上：的长度为或. 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，牢记常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可． 【详解】解： ． 19. 如图，中，，，点、分别在边、上，，． （1）若，求的长． （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求解，然后通过求解即可； （2）先由平行线分线段成比例定理求解，即可求解，再由正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵中，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)．这组抛物线的一般形式为． （1）若抛物线的顶点横坐标为，求抛物线的解析式； （2）如图3，若在轴上，抛物线上点、，且，与轴负半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由顶点在上，设顶点为写出顶点式，再用抛物线过原点定出与的关系，最后代入； （2）、的纵坐标就是它们到轴的距离，把、用、表示，再由写出的面积，相乘后斜边整体约去． 【小问1详解】 解：由抛物线的顶点在直线上，可设顶点为，解析式为． ∵抛物线过原点， ∴，即． ∵， ∴． ∵顶点的横坐标为， ∴， ∴． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵在轴上，， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为． ∵与轴负半轴的夹角为， ∴， ∴． ∵与轴正半轴的夹角为， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 21. 如图，在中，为上一点，在右侧，，． （1）求证：． （2）若，且为与的比例中项，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵为与的比例中项， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）先证明，然后导角证明，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 将一个多边形经过放大后得到另一个与它相似的多边形，如果所得多边形在原多边形的外部，且这两个多边形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个多边形叫做“等距多边形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”． （1）如图1，四边形与是“等距多边形”，根据四边形的性质，下列选项中，四边形可能的形状是____________(单选题) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 （2）如图2，中，，与是“等距多边形”，，那么这两个三角形的“等距”是_____________． A． B． C． （3）如图3，四边形与是“等距多边形”，且它们的“等距”为，已知四边形周长为，面积为，且内一点到各边距离均相等，设相等的距离为，试用的式子表示、用的式子表示四边形的周长、面积． 【答案】（1）C （2）A （3），四边形的周长为，面积为． 【解析】 【分析】（1）把“各对应边平行且距离相等”翻译成“各边同时向外平移相同距离”，看哪种四边形的四条边外移后仍与原四边形相似； （2）相似比就是对应边之比，再把两个相似三角形之间的部分拆成三个高为“等距”的梯形，用面积差求“等距”； （3）由到各边距离相等，用面积的两种算法求；再由外移得相似比，写出周长与面积即可． 【小问1详解】 解：设“等距”为．把四边形的四条边同时向外平移，所得四边形的各边与的对应边平行，且对应边之间的距离都是，它与相似． 若是平行四边形，相邻两边长分别为、，夹角为，则平移后这两条边的长分别变为与，两边的增量相同而原长不一定相同，只有时才相似； 若是矩形，只有在它是正方形时才相似； ∵菱形的四条边相等，平移后四条边仍相等、各角不变， ∴一定与原来的菱形相似． ∴四边形的形状可能是菱形，选项C符合题意； 【小问2详解】 解：∵与是等距多边形， ∴与相似，且对应边互相平行． ∵， ∴相似比为． ∵， ∴中边上的高为， ∴的周长为，面积为． ∴的周长为，面积为． 把两组对应顶点相连，两个三角形之间的部分被分成三个梯形，每个梯形的高都等于“等距”， ∴面积之差周长之和的一半， ∴周长之和的一半为，面积之差为， ∴， ∴． ∴这两个三角形的“等距”是，应选A． 【小问3详解】 解：∵点到四边形各边的距离都为， ∴四边形的面积， ∴，即． ∵四边形的各边由的各边向外平移得到，而在内部， ∴到各边的距离都是， ∴四边形与是以为位似中心的位似图形，相似比为． ∴四边形的周长． ∴四边形的面积． 23. 如图，开口向下的抛物线与轴交于、，抛物线与轴交于，顶点为 （1）试用含的式子表示点、的坐标 （2）把抛物线向左或向右平移个单位，平移后的新抛物线的顶点为； ①过作轴，交线段于、交轴于，若，求平移距离的值． ②若在轴上，上方的直线交轴于，过原点的直线，直线交抛物线于、，联结、，若，求平移后的新抛物线的解析式． 【答案】（1）． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由、设交点式，取得点，取对称轴得顶点； （2）①平移后顶点的横坐标为，先用、的坐标写出的解析式，把与都用、表示后列方程； ②由在轴上定出，写出，再把直线与联立，用两根之和与两根之积表示的条件． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、， ∴设． ∵抛物线与轴交于， ∴令得． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴令得，即． 【小问2详解】 解：①平移后抛物线的顶点为，而，故的横坐标为或，纵坐标仍为． ∵， ∴直线的解析式为． ∵轴，交线段于， ∴的横坐标与相同，纵坐标为， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴(若，则，不合题意)． ∴平移距离的值为． ②若在轴上，则，即，此时， ∴的解析式为． ∵直线过原点且， ∴直线的解析式为． ∵直线与轴交于， ∴． 设、，则、是方程即的两根， ∴． ∴，不妨设，即、分别在轴的两侧． 过作轴于，过作轴于， ∵，且、都在轴上，这两个角都是锐角， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． ∴平移后的新抛物线的解析式为． 24. 如图1，中，在上，且，、分别在、上，交于，联结，． （1）如图2，，求证：． （2）若，，求的值． （3）若，为中点，，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，再列出比例式，进行转化证明即可； （2）先证明，再证明，再列出比例式，进行转化证明即可； （3）延长交于点，过点作交直线于点，根据平行得到，然后证明，最后通过勾股定理以及正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长交于点，过点作交直线于点， ∴， ∵，为的中点，， ∴，， ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴，， 解得， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 考生注意：请将所有答案写在答题纸上，写在试卷上不计分 一、选择题（本题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中，二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，点坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（　　） A. ∠BAC＝∠ADC B. ∠B＝∠ACD C. AC2＝AD•BC D. 6. 如图1为生活中常见的一个大瓷碗截面图，碗体外轮廓呈抛物线状（碗体、底部厚度均不计），碗口直径为，碗底最大深度为，现在若在碗中放置一个正方体的大豆腐块（豆腐块不露出碗口），如图2为侧面图，则可放置的豆腐块最大的边长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本题共11题，每题4分，满分44分） 7. 已知，则的值是__________． 8. 点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________． 9. 如图，在中，已知，，，则的值是____________． 10. 二次函数的图像与轴的交点坐标为_____ 11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且，AC与DE相交于点F，若，则＝___． 12. 请你写出一个b的值，使得函数在时，y的值随x的增大而增大，则b可以是________． 13. 在中，，，点在上，且，若要在上找一点，使，则的长为_____________． 14. 如果将抛物线向上平移1个单位、向右平移2个单位，则平移后得的新抛物线的表达式是_____________． 15. 如图，如果与都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么到的距离为，到的距离为，则的值为_____________． 16. 为了测建筑物高度的长，某同学在点处测得建筑物顶部的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得建筑物顶部的仰角为，若点，，在同一水平线上，斜坡的坡度为（仰角指水平线上方的视线与水平线的夹角，坡度指斜坡上升的垂直距离与水平距离之比），则建筑物的高度约是____________米．（参考数据） 17. 如图，梯形中，，，，，，，将该梯形绕着点旋转至四边形，若点恰好在线段上，则线段的长度是_____________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 计算：． 19. 如图，中，，，点、分别在边、上，，． （1）若，求的长． （2）求的正切值． 20. 音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)．这组抛物线的一般形式为． （1）若抛物线的顶点横坐标为，求抛物线的解析式； （2）如图3，若在轴上，抛物线上点、，且，与轴负半轴夹角为，与轴正半轴夹角为，若的面积为，求的值． 21. 如图，在中，为上一点，在右侧，，． （1）求证：． （2）若，且为与的比例中项，求证：四边形为平行四边形． 22. 将一个多边形经过放大后得到另一个与它相似的多边形，如果所得多边形在原多边形的外部，且这两个多边形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个多边形叫做“等距多边形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”． （1）如图1，四边形与是“等距多边形”，根据四边形的性质，下列选项中，四边形可能的形状是____________(单选题) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 （2）如图2，中，，与是“等距多边形”，，那么这两个三角形的“等距”是_____________． A． B． C． （3）如图3，四边形与是“等距多边形”，且它们的“等距”为，已知四边形周长为，面积为，且内一点到各边距离均相等，设相等的距离为，试用的式子表示、用的式子表示四边形的周长、面积． 23. 如图，开口向下的抛物线与轴交于、，抛物线与轴交于，顶点为 （1）试用含的式子表示点、的坐标 （2）把抛物线向左或向右平移个单位，平移后的新抛物线的顶点为； ①过作轴，交线段于、交轴于，若，求平移距离的值． ②若在轴上，上方的直线交轴于，过原点的直线，直线交抛物线于、，联结、，若，求平移后的新抛物线的解析式． 24. 如图1，中，在上，且，、分别在、上，交于，联结，． （1）如图2，，求证：． （2）若，，求的值． （3）若，为中点，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $