精品解析：上海市闵行区校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

上海市闵行区校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 时间100分钟 考生注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸或本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】根据二次函数的定义，可得答案． 解：A．是二次函数，故本选项符合题意； B．是二次函数，故本选项不符合题意； C．是一次函数，故本选项不符合题意； D．右边是分式，不是整式，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如（a．b．c为常数，）的函数，叫二次函数． 2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 3. 在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先运用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， A．，故此选项错误； B．，故此选项错误； C．，故此选项正确； D．，故此选项错误． 故选：C． 4. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，灵活运用正弦函数的定义是解题的关键．根据正弦函数的定义，结合直角三角形的边长关系，进而求出高的长度． 【详解】解：为仰角，米， 在中，， （米）． 故选：． 5. 如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 6. 如图，为的对角线，点E为的中点，点F在上，连接交于点G，过点E作交于点H，若与的面积比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，根据题意先证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知 则代数式 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 8. 计算：2（3）＝__ 【答案】33 【解析】 【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可. 【详解】解：原式＝2333． 故答案是：33． 【点睛】此题考查了平面向量，掌握平面向量的加减运算法则即可解题，属于基础计算题． 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】令抛物线中， 即， 解得， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值． 10. 若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线顶点在原点，不经过第二象限需满足当时，则抛物线开口应向下，开口方向由系数决定，解不等式即可； 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点为， 当时，开口向上，时，经过第二象限； 当时，开口向下，时，不经过第二象限； 故答案为：． 11. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质的性质是解题的关键． 根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，那么的长为_______cm． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，灵活运用平行线分线段成比例求线段的长度是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，代入数值可求得，再运用线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，解得： ∴． 故答案为：72． 13. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，坐标与图形，过点A作轴于B，则，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 15. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设交于点K，根据矩形的性质可推出，，结合已知设，，表示出，然后利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解“二倍点”的定义，并根据定义列方程求解． 根据“二倍点”的定义，点在函数上，代入函数可求出k的值．再令函数值等于，解方程得到另一个x值，进而求出y值，得到点B的坐标． 【详解】解：把点代入中得， 解得：， ， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点恰好落在边上，与相交于点，那么与的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，则，设，则有，又，所以，由旋转性质可知，，根据等腰三角形性质可得，所以，然后证明，最后根据相似三角形性质即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ， 设， ， ， ， 由旋转性质可知，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 18. 我们知道三角形三边的垂直平分线相交于一点，过这个交点作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么把这条直线叫做这个三角形的“外似线”，两个截点之间的线段叫做这个三角形的“外似线段”．如图，在中，分别在边、上，且是的“外似线段”，那么 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】设点为三边垂直平分线的交点（外心），连接，作交于点，作交于点，作交于点，在中结合和勾股定理可求出的长，进而可求出的长，由外心的性质得，，在中，利用可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长； 然后分别讨论和两种情况：当时，由正切值可求出的长，进而求出的长，通过相似三角形对应线段成比例即可求出的长；当时，由正切值可求出的长，进而求出的长，通过相似三角形对应线段成比例即可求出的长，． 【详解】解：设点为三边垂直平分线的交点，连接，作交于点，作交于点，作交于点， 则， ∴， ∵， ∴设，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等，熟练掌握垂直平分线和外心的性质，连接外心与顶点构建等腰三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键． 分别把特殊角的三角函数值代入进行计算求解． 【详解】 ． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． （1）求的值以及抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数图象的平移． （1）把原点代入抛物线，即可求出m的值，根据轴对称的性质即可求出抛物线的解析式； （2）根据二次函数图象的平移规律得到新抛物线的解析式为，将点代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为， ∵新拋物线恰好经过， ∴， 解得或． 21. 如图，已知平分．小明按照如下步骤作图： 序号 作图方法 图示 ① 分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于、两点． ② 作直线，分别交、于点、． ③ 连接，． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，用向量、表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的线性计算； （1）先证明四边形是菱形，进而可得，再根据平行线分线段成比例，列式计算，即可求解； （2）根据平行线分线段成比例得出，，再根据三角形法则，即可求解． 【小问1详解】 解：根据作图可得垂直平分， 则， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 同理可得 ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得四边形是菱形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点， 在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 如图，过作，垂足为点， ，， ， ， ， 在中，， ． 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为． ， 没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 23. 如图，在梯形中，，点在上，且，连接并延长交 的延长线于点．过点作垂直于点，连接，分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，则由三线合一定理可得，则，再结合，即可证明结论； （2）可证明；再证明是等腰直角三角形，得到则可证明；证明，得到；证明垂直平分，得到，则，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知：如图，各顶点的坐标分别是． （1）求的余切值； （2）若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； （3）已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点B作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P在y轴正半轴上， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：当点P的坐标为或时，与相似； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 此时点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，点在边上，，点为边上一动点（不与点A、B重合），与交于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）已知． ①如果，求和的长； ②小明发现在点E运动的过程中，与的比值随着的增大而减小，你认为他的发现是否正确？请判断并说明理由； 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①，； ②小明的发现正确，理由如下： 如图所示，过点D作交于N， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当x增大时，的值逐渐减小，即的值逐渐减小， ∴当增大时，的值逐渐减小． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，导角可证明，，则可证明，得到，即； （2）①过点A作于T，则，解直角三角形可求出；证明，求出，则；证明，得到；过点C作于M，则，设，则，可求出，则；证明；再证明，可得，解得，，，再根据（1）求出即可； ②过点D作交于N，证明，得到；设，则，证明，求出，得到，，则；根据，得到，则，据此可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，过点A作于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，过点C作于M，则， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴， 由（1）可得，即， ∴； ②略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市闵行区校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 时间100分钟 考生注意：答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸或本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从层直达层，“飞梯”的截面如图，已知的长为米，点处的仰角为，那么高是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的对角线，点E为的中点，点F在上，连接交于点G，过点E作交于点H，若与的面积比为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知 则代数式 的值为__________． 8. 计算：2（3）＝__ 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_________． 10. 若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 11. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是_____（用“>”连接）． 12. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，那么的长为_______cm． 13. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是________． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 15. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，如果满足，那么的长为_______． 16. 对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是______． 17. 如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点恰好落在边上，与相交于点，那么与的比值是______． 18. 我们知道三角形三边的垂直平分线相交于一点，过这个交点作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么把这条直线叫做这个三角形的“外似线”，两个截点之间的线段叫做这个三角形的“外似线段”．如图，在中，分别在边、上，且是的“外似线段”，那么 _____． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． （1）求的值以及抛物线的表达式； （2）将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 21. 如图，已知平分．小明按照如下步骤作图： 序号 作图方法 图示 ① 分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于、两点． ② 作直线，分别交、于点、． ③ 连接，． （1）如果，，，求的长； （2）如果，，，用向量、表示． 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 23. 如图，在梯形中，，点在上，且，连接并延长交 的延长线于点．过点作垂直于点，连接，分别交于点、． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知：如图，各顶点的坐标分别是． （1）求的余切值； （2）若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； （3）已知点在轴上，如果，求点的坐标． 25. 如图，在中，，点在边上，，点为边上一动点（不与点A、B重合），与交于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）已知． ①如果，求和的长； ②小明发现在点E运动的过程中，与的比值随着的增大而减小，你认为他的发现是否正确？请判断并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $