精品解析：陕西西安市西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高一期中考试数学试卷

西工大附中2026-2027 学年第一学期期中考试·高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知集合， ，则 （　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 9. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. ，若是的充分条件，则 C. 若，则实数的可能取值集合为 D. 已知，则的取值范围是． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________． 13. 函数的定义域为，则的定义域为____________． 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 16. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 ，它的左、右两边都留有宽为 的空白，上、下两边都留有宽为 的空白．记纸张的面积为 ，排版矩形的长和宽分别为 ，． （1）用 表示 ； （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小？并求最小面积． 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）当时，求的值域； （3）解不等式：． 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“好集”． （1）直接写出一个元“好集”（无需写出求解过程）； （2）若，，，集合是一个元“好集”，求的最小值； （3）是否存在元素均为正整数的元“好集”？若存在，求出所有符合条件的元“好集”；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西工大附中2026-2027 学年第一学期期中考试·高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由有意义可得， 由 且 ， 解得且， 所以函数的定义域为． 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式解法计算即可求解. 【详解】不等式可化为，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 4. 已知集合， ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用集合的交集运算求解. 【详解】因为 ，所以 中每个元素都能写成 的形式，即 ，故 ． 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把带入求值即可. 【详解】由， 则. 又，所以. 故选：C 6. 已知实数，，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，和为方程的两个根，进而可得，结合的取值范围，可得，进而可得. 【详解】 如图，由题意可知，，， 和为方程即的两个根， 故，， 当时，，其对称轴为，故， 故，故，可得， ， 设， 则其对称轴为，故，因， 故， 故选：D 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 9. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. ，若是的充分条件，则 C. 若，则实数的可能取值集合为 D. 已知，则的取值范围是． 【答案】BD 【解析】 【分析】求得集合，分和，两种情况讨论，可判定A错误；根据是的充分条件，列出不等式组，可判定B正确；分类讨论，结合元素的互异性，可判定C不正确；根据不等式的基本性质，可判定D正确. 【详解】对于A，集合，且， 当时，集合，此时满足； 当时，集合， 若，则满足或，解得或， 综上可得，实数组成的集合为，所以A不正确； 对于B，由， 若是的充分条件，则满足，解得，所以B正确； 对于C，由， 当时，可得，此时，满足题意； 当时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，可得， 若，此时，满足题意； 若，此时，满足题意， 综上可得，实数的可能取值集合为，所以C不正确； 对于D，由不等式，可得，则 又由，则，所以，即的取值范围是，所以D正确． 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，对于AC由基本不等式即可判断，对于B，由 结合基本不等式可判断，通过乘“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故B正确； 对于C：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故C正确； 对于D：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 13. 函数的定义域为，则的定义域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或， 所以或. 16. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 ，它的左、右两边都留有宽为 的空白，上、下两边都留有宽为 的空白．记纸张的面积为 ，排版矩形的长和宽分别为 ，． （1）用 表示 ； （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小？并求最小面积． 【答案】（1） （2）排版矩形的长、宽分别为、，纸张尺寸为时纸张面积最小，最小面积为 【解析】 【分析】(1)分别求出长宽即可表示； (2)由基本不等式即可得. 【小问1详解】 由题意，即 纸张的长、宽分别为，，所以 即 （） 【小问2详解】 因为，所以 当且仅当，即 时取等号，此时 所以排版矩形的长、宽分别为、，纸张尺寸为时纸张面积最小，最小面积为 17. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 【解析】 【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可； (2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可. 【小问1详解】 设， 由，得 又 ，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由已知，即， 即， ①当时，原不等式即为：，解得； ②当时，解得； ③当时，解得 综上，当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：， 当时，不等式的解集为：. 18. 已知函数，且． （1）求的值； （2）当时，求的值域； （3）解不等式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，即求； （2）分段求值域，再求并集即得； （3）分情况讨论，转化为不等式组，最后求并集即得. 【小问1详解】 ∵， ∴解得， ∴， ∴ 【小问2详解】 当时， 当时，， 故时，的值域为. 【小问3详解】 ∵， ∴当时，不等式可化为，即， 由，解得， 当时，不等式可化为即， 由，解得， 当时，不等式可化为即， 由，解得， 综上所述，不等式的解集为. 19. 若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“好集”． （1）直接写出一个元“好集”（无需写出求解过程）； （2）若，，，集合是一个元“好集”，求的最小值； （3）是否存在元素均为正整数的元“好集”？若存在，求出所有符合条件的元“好集”；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一，如等满足的二元集合均可） （2） （3）存在且唯一，符合条件的3元“好集”为 【解析】 【分析】（1）让两个元素满足“和等于积”，取一组互异的实数解即可； （2）由推出，换元后用基本不等式； （3）排序后把“和”放缩到以内，得，再由整数性定出，回代求. 【小问1详解】 设该2元集合的两个元素为（），由“好集”定义得：， 取代入，得，解得， ，而，和与积相等，且两元素互异，所以是一个2元“好集”； 这类答案并不唯一，例如取，由解得，同样符合要求， 一般地，由可得，只要，取，并注意，就能批量构造出2元“好集”. 【小问2详解】 由是2元“好集”得，得 ，即， 因为、， 若，则，与矛盾；若，则，同样矛盾，故，同理得， 所以、， 令，，则，且，，即， ， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即，，时取等号， 所以的最小值为5. 【小问3详解】 存在，符合条件的3元“好集”为. 假设存在这样的3元“好集”，因其元素互异，可设三个正整数为，由定义得， 因为、，所以。代入上式得， 由于c是正整数，，两边同除以c，得， 由且二者为正整数，得，，故，结合且为整数，只能，即、， 把、代入，得， 解得，满足， 所以这样的3元“好集”存在，并且所有符合条件的3元“好集”只有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $