精品解析：云南省昆明市第一中学2027届高三上学期第三次月考数学试题

昆明市第一中学2027届高三第三次月考 数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据62，70，74，78，82，84，88，90，94，96的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 【答案】C 【解析】 【详解】共10个样本数据，因为，所以第60百分位数为. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，从而. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】不等式等价于不等式，即不等式， 即不等式，解得或. 故选：B 5. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数，再利用正弦函数的性质判断. 【详解】函数 ， 所以函数的最小正周期为 ，故A正确； 因为 ，所以函数的一个对称中心为 ，故B错误； 因为 ，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故D正确. 故选：B 6. 已知为坐标原点，抛物线，，若与交于点和点，且与的准线交于点，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线与的准线分别为，交于点， 而与的准线交于点，则，由，解得或， 即，所以. 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 【答案】D 【解析】 【分析】将字相同的卡片看成一组，从5组中选出一组，再从剩下4组，选出1组，且从中取一张，得到3张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选1组，从该组选一张卡片有种. 第三步：把选出的3张卡片，分给3位同学有种. 所以不同的分配方案有种. 8. 若，，，则的最小值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，且， 所以， 又由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值等于. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，因 ，则 与不是互斥事件，故 A 错误； 对于B，因，故 B 正确； 对于C，由，得，则， 而，故M与N相互独立，故 C 正确； 对于D，，而，显然 ，故 D 正确. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出并确定单调性及极值点判断ABC；构造函数，进而求出不等式的解集判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数在处取得极值，得，， 当或时，；当时，，因此是的极值点， 对于A，，A错误； 对于B，函数在处取得极大值，B正确； 对于C，的单调递减区间为，，是的单调递增区间，C错误； 对于D，令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， ，当且仅当时取等号，不等式， 解得或，因此不等式的解集为，D正确. 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为，．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过定点，即可求解；B选项，根据条件，借助图形，即可求解；C选项，利用勾股定理及双曲线的定义，即可求解；D选项，利用余弦定理及双曲线的定义，再结合等面积即可求解. 【详解】对于A选项，因为双曲线为等轴双曲线，所以设方程为， 又因为双曲线过点，所以，所以，故A选项正确. 对于B选项，如图， 由题意可知，， 若，则，故B选项正确. 对于C选项，若，则， 所以，所以， 因为， 所以， 所以，故C选项错误. 对于D选项，若， 则， 所以， 所以， ， 即，解得，故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】若两个非零向量互相垂直，则它们的数量积为0. 因为向量，，， 所以，解得. 将代入得，根据向量加法的坐标运算规则， 得. 根据平面向量模长公式：若向量，则， 代入得：. 13. 函数在区间上的零点个数有______个. 【答案】5 【解析】 【分析】把函数分解为，，利用导数，三角函数判断即可． 【详解】设，， 恒成立，即为单调递增函数， 又，,故有一个零点在; 由求的个数，由得，， 又,，，，，为零点 所以有4个零点， 又， 可以判断函数在区间上的零点的个数为5个 故答案为：5. 14. 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为_________（取） 【答案】10 【解析】 【分析】在圆锥的轴截面中求出大球、小球半径及正三角形边长的关系，然后再根据空隙处放入个小球相切的关系，利用三角函数性质求出小球最多的个数. 【详解】由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，设边长为. 设实心球半径为，由得：， ，，，. 设小球的半径为，同理，，，， 到直线的距离为. 空隙处放入个小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为的圆上，如下图所示： 为相邻两球的切点，，分别为球心， 设，则，， 由三角函数性质可知：，， ，，又，， 故小球个数最多为10个,即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列及等比中项性质即可求出和，即可求出通项公式； （2）利用裂项思维得到，然后将每一项相加即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得， 由，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 在三棱台中，． （1）求证：； （2）若平面平面，求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接. 因为，，所以. 因为，，所以四边形是平行四边形. 所以，又. 所以. 所以. 又，平面，平面， 所以平面.又平面， 所以，因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，可通过证明线面垂直得出线线垂直，即证明平面. （2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后将每个点的坐标列出来，根据空间向量的垂直关系，求出平面与平面的法向量的坐标，进而根据空间向量夹角的余弦公式即可求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， 由（1）知，，平面，所以平面. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为. 则. 即，. 令，则；令，则. 所以，. 所以. 所以平面与平面的所成的二面角的正弦值为： . 17. 已知椭圆，为上位于第一象限的动点，，两点也在上，交轴于点，交轴于点． （1）求椭圆的离心率； （2）探究四边形的面积是否为定值，说明理由； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）设，四边形的面积为定值，证明如下： 的方程为，则，故． 的方程为，则，故． 所以四边形的面积为 ， ， 所以四边形的面积为2. （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆与坐标轴的交点，可得出长半轴、短半轴长，即可得出离心率. （2）先设点，再根据点斜式分别写出两条直线方程，求出交点坐标，四边形两条对角线垂直，求出长度，再求面积. （3）用基本不等式可求出面积的最大值，由第（2）问可知，四边形面积是定值，即可求出所求面积的最大值. 【小问1详解】 由于，两点在上，所以， 因此椭圆的离心率． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可得， 直线方程为：，， 点到的距离为． 由（2）可知，当且仅当的面积最大时，的面积最大． 所以当d取最大值时，的面积最大． 由于在上，又因为，由基本不等式，． 所以，． 当且仅当时，即，时，等号成立，有最大值， 此时，有最大值． 的面积最大为. 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）点在边上，记． （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）如图所示，由， 在中，根据正弦定理得：， 在中，根据正弦定理得：， 所以， 在中，根据正弦定理得：， 所以 ， 即. （ⅱ）面积的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及诱导公式分析求解即可； （2）（ⅰ）利用正弦定理分析证明即可；（ⅱ）利用三角函数的定义，两角差的正弦公式，三角形的面积公式以及基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由，根据正弦定理得：， 即，在中，由， 所以，即， 在中，因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）过点作分别交于点，如图所示： 则点到的距离为，点到的距离为，且， 由，所以在直角与直角中有：， 所以， 由（1）知，所以， 所以， 即， 又，所以，所以， 由以及得：，即， 由， 当且仅当即时等号成立， 所以，即当时，面积的最小值为. 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数． （1）求的解析式； （2）已知函数有且只有一个零点，证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）由题意，且， 所以， 所以． 令，因为，所以， 又，则， 所以， 因为，所以，即． （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶性联立方程组，可得的解析式； （2）利用的零点条件，把用三角函数表达式替换，再利用换元法将式子最后变成关于的二次函数，可求证； （3）化简恒成立条件后通过导数分类讨论，经过验证可得出m的取值范围. 【小问1详解】 因为是偶函数，可得到，即， 因为是奇函数，可得到， 即， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设， 所以，， 设，所以， 设，所以． 当时，， 所以在上单调递增，， 所以，则在上单调递增， 又因为，所以恒成立． 当时，此时， 矛盾，所以不成立． 当时，令，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，在上单调递减． 即，所以在上单调递减，矛盾，所以不成立． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第一中学2027届高三第三次月考 数学试题 总分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据62，70，74，78，82，84，88，90，94，96的第60百分位数为（ ） A. 82 B. 84 C. 86 D. 88 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 是函数图象的一个对称中心 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象 6. 已知为坐标原点，抛物线，，若与交于点和点，且与的准线交于点，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让.现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取3张卡片分给另外3位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 40种 B. 120种 C. 200种 D. 240种 8. 若，，，则的最小值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 与互斥事件 B. C. 与相互独立事件 D. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为，．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______. 13. 函数在区间上的零点个数有______个. 14. 在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后，再在该圆锥内的空隙处放入个小球，这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切，则的最大值为_________（取） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为等差数列的前项和，已知公差，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求． 16. 在三棱台中，． （1）求证：； （2）若平面平面，求面与面所成的二面角的正弦值． 17. 已知椭圆，为上位于第一象限的动点，，两点也在上，交轴于点，交轴于点． （1）求椭圆的离心率； （2）探究四边形的面积是否为定值，说明理由； （3）求面积的最大值． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）点在边上，记． （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值． 19. 已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数． （1）求的解析式； （2）已知函数有且只有一个零点，证明：； （3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $