云南师范大学附属中学2027届高三上学期高考适应性测试（四）数学试题

云南师大附中2027届高考适应性月考卷（四） 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．已知随机变量服从正态分布，且，则 A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．函数的图象如图所示，则的解析式可能为 A． B． C． D． 4．在中，点为上一点，，点为的中点，若，则 A． B． C． D． 5．甘肃民勤县为治理荒漠化，每年春季在腾格里沙漠种树基地种植梭梭树，科研团队发现：某片梭梭树林的土地固沙量Q（吨/年）与种植年限t（年，）满足关系，其中a，b为常数，已知种植3年后固沙量为3吨/年，种植7年后固沙量为4吨/年，若要求该片梭梭树林的固沙量首次达到6吨/年，则至少需要种植 A．25年 B．27年 C．29年 D．31年 6．已知数列的前n项和为，若，则使得成立的n的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5 7．定义在上的函数的导函数为，满足且，则的解集为 A． B． C． D． 8．已知椭圆：，过坐标原点的直线交于、两点，其中点在第一象限，直线交于点，交轴正半轴于点，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则 A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 A． B．的单调递增区间为 C．将的图象上各点横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数的图象 D．方程在区间上恰有2个不相等的实数根，则取值范围为 11．有6张相同的卡片，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中有放回地随机抽取3次，每次取1张．记为前两次取出的卡片上数字的平均值，为三次取出的卡片上数字的平均值．则下列说法正确的有 A．事件“”的概率为 B．事件“”与事件“第三次取出的卡片上数字为偶数”相互独立 C．在的条件下，第三次取出的卡片上数字为奇数的概率为 D．事件“、均为偶数”的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该棱台的体积为________． 13．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则双曲线的离心率为________． 14．在锐角中，，，点为的中点，为的中点．若，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 2026年世界杯由美国、加拿大、墨西哥联合举办，参赛队伍从32支扩军至48支，小组赛阶段共有32支球队出线（每组前两名个成绩最好的小组第三）．为研究“世界排名”与“小组赛出线能力”的关系，某研究团队以2022年卡塔尔世界杯32支参赛球队为样本，以抽签前世界排名为依据，将球队分为“世界排名前16名”与“16名以后”两组，统计其小组出线情况如下： 小组赛出线 小组赛未出线 合计 世界排名前16名 12 4 16 世界排名16名以后 4 12 16 合计 16 16 32 （1）2026年世界杯48支参赛球队中“世界排名16名以后”的球队共32支，记2022年世界杯“世界排名16名以后”的球队出线率为，用估计2026年世界杯“世界排名16名以后”的球队出线率．求的值，并估计2026年世界杯“世界排名16名以后”球队的出线数量； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为“世界排名”与“小组赛出线”有关？ 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（本小题满分15分） 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两，点在轴上方，且满足． （1）求直线的方程； （2）设点，在抛物线上，且，求直线所过定点的坐标． 17．（本小题满分15分） 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，，点为下底面圆周上异于，的点． （1）在线段上是否存在一点，使得面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由； （2）若面与面所成的夹角为，求点到面的距离． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，证明：． 19．（本小题满分17分） 已知阶方阵中每一行成等差数列，每一列都是公比为2的等比数列，已知第一行的前项和为． （1）求和的值； （2）记． （ⅰ）求； （ⅱ）设，若数列为递减数列，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■■■口■■口■ 数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的 题号 2 3 5 6 7 8 答案 A C D B B C 【解析】 1.命题“Hx≥0，sinx≤x”的否定为“3x≥0，sinx>x”,故选A. 2.因为随机变量X服从正态分布N(8,o2),且P(6≤X≤8)=0.2，则P(X<6)=0.5-0.2=0.3, 故选C. 3.由题图可知f(π)=0，排除选项C、D:又知f(x)为偶函数，而选项B中的函数为奇函数， 排除选项B,故选A. 4.如图1所示，西=CA+正=-Ac+号A而，因为D=3Dc,所以 而c+,故正-c+c+}西-c, 从而天=元+=分选C 图 5.由题知 Q3)=log2(3+a)+b=3① 07=10g,7+@+b=4②}②-0得o823+ ,7+0=1三7+a=2,解得a=1,代入 3+a ①得1og,(3+1)+b=3→b=1,则该片梭梭树林的土地固沙量Q与种植年限1满足关系 2(0)=log2(+1)+1.要求该片梭梭树林的固沙量首次达到6吨/年，则1og21+1)+1≥6→ 1og2(1+1)≥5，故1+1≥2=32，所以≥31，即至少需要种植31年，故选D. 11 1 6.由题知an= 1 2n(n+1)(n+10n+2)」 则= 22 (n+1(n+2) 42(n+10(n+2) 因为5>则7 1 2(n+10(n+2)32 →m+1Xn+2)>16,当n=2时，3×4=12<16：当n=3 时，4x5=20>16,所以使S>7成立的最小正整数m=3,故选B. 数学参考答案·第1页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ 7.令g(x)=x2f(x),注意到g'(x)=2f(x)+x2f'(x),因为2f(x)+xf'(x)>x2且x<0,所以 g'(x)=2xf(x)+x2f"(x)<x3<0,故g(x)在(-o,0)上单调递减.因为x2f(x)-4≤0，且 f(-2)=1,所以x2f(x)≤4=(-2)2f(-2),即g(x)≤g(-2),所以x∈[-2,0)，故选B. 8.设P(,),点2是P关于原点的对称点，则Q(-o-为).设kw=k=Y”-,kv=k Xv-Xo =十，则kw…kow=安-兰 因为从P两点在椭圆上，所以为=8-龙，乃=8-公， xy+Xo X-X0 2 2 从而kw·k2w= -(-)1·因为∠PNQ是NP,NQ的夹角，所以 2 -号 2 tan∠PWg= ki-k2 1+kk2 将=号代入，得am∠PN0=216-名1、因为名<0,6>0， ,则tan∠PNg=2k,+ k2k3 名25（当且仅首瑞名，甲与9时等号皮立）， 故(tan∠PNg)n=22,故选C. 二、选择 ,，有多项 符合题目要，生 题号 9 10 11 答案 AC BD ACD 【解析】 9.复数2=26+02”7=-1-i，A正确：1z上√-12+(-1=V2,B错误： z·z=(-1-i)(-1+i)=2,C正确：z2=(-1-i)2=2ieR,D错误，故选AC 10.由图象可知A=2,所以f)=2sin@x+),将点0，V同)代入f可得snp=5,则 2 =子+2ke乙或0=于+2a(eZ),因为1p水号，所以=号由图象得 +3=π+2k(k∈)，从而0=2+6k(k∈)，因为0<0<8，所以0=2 3 f(x)=2sinx+ 选项A错误：令受+2a≤2x+号≤受+2m,则当径+≤x≤ 32 12 数学参考答案·第2页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ 13π+kk∈Z)时，f()单调递增，选项B正确；将f)的图象上所有点的横坐标伸长 12 为原来的5倍（纵坐标不变)得y=2sin 后x+引，向右平移晋个单位得 =2m-哥引引2sm后x+引 选项C错误： yfo的图象，如图2所示，若1非红在区间[引 y=|f() y=kxc 3 恰有2个不相等的实数根，即y=|f(x)川与y=x的函数图象 恰有2个交点，当xe[0引时，1e1≥0，故>0考虑监 10 图2 界情况，当y=x过点（径5时恰有2个交点，此时k=2 ,当k>25时，yr 与y=x的函数图象恰有1个交点，当k<25时，yf与y=x的函数图象恰有2 π 个交点，综上， 2 选项D正确，故选BD, 11.从标有数字1、2、3、4、5、6的相同卡片中有放回地随机抽取3次，共有6=216种， 设三次取出的数字依次为a,b,c，则m=a+b,m 22=a十b十。选项A：▣ 3 m=n一a+也=a+b+C,得a+b=2c,若c=1,则a+b=2,则(a,b)为，)，若c=2, 2 3 则a+b=4,则(a,b)为(1,3)，(2,2，(3，)，若c=3,则a+b=6,则(a,b)为 (1,5)(2,4),(3,3)(4,2),(5,1)，若c=4，则a+b=8，则(a,b)为 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),若c=5,则a+b=10,则(a,b)为 (4,6),(5,5),(6,4),若c=6,则a+b=12,则(a,b)为(6,6)，共18种，故所求概率 为8=2，确选项B:由m>n3Q牛也、8+6+得a+b>2c,即a+≥2c扣 2 3 若c=1,则a+b≥3，则a+b可取3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，共35种，若c=2,则 a+b≥5，则a+b可取5,6,7,8,9,10,11,12，共30种，若c=3,则a+b≥7，则a+b 可取7,8,9,10,11,12，共21种，若c=4,则a+b≥9，则a+b可取9,10,11,12，共 10种，若c=5,则a+b≥11，则a+b可取11,12，共3种，若c=6,则a+b≥13（舍)， 数学参考答案·第3页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ 1 综上共99种，故Pm>n)=而Pc为偶数)Pm>n阻c为偶数 21627≠24×2=P(m>m)P(为偶数)，所以事件“m>n”与事件“第三次取出的 405,11.1 卡片上数字为偶数”不独立，错误；选项C:根据上述分析，n(m>n且c为奇数)=59， 所以P(c为奇数m>)=m>n且c为奇数-59，正确；选项D:因为m、n均为偶数， n(m>n) 99 所以m=a+b=2k(k∈Z,n=a+b+c=2k,化，∈☑，即a+b为4的倍数，a+b+c为6 2 3 的倍数，故a+b可取4、8、12.当a+b=4时，(a,b)为(1,3)，(2,2)，（3,1)， 此时，a+b+c为6的倍数，则c=2,满足条件的共3种；当a+b=8时，(a,b)有5种 可能取法，此时，a+b+c为6的倍数，则c=4,满足条件的共5种；当a+b=12时，(a,b) 只有1种可能取法，此时a+b+c为6的倍数，c=6.综上共9种，故P(m、n均为偶数) =9=,正确，故选ACD, 21624 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 28 5 39,1 -4’4 【解析】 12.由题知，正四棱台的上底面积S1=22=4,下底面积S2=42=16,正四棱台的上底面对角 线为2V2,下底面对角线为42，所以棱台的高h=√2-(2}=3，故 V=含6++5)-4+16+到=28，放答案为28. 13.以5为直径的圆的方程为x+y2=c2,不妨设该圆与双曲线其中一条渐近线y=x相 2+y=c2 交于M、N两点，联立方程 b。,解得 x=a或 x=-a ,即M(a,b),N(-a,-b), y=一X y=by=-b 则AM=(2a,b),AN=(0,-b),从而cos∠NAM= AM.AN -b2 v2 ,解 IAMIIANI b4a2+b2 2 得b2=4a2, 故=y+=5,故答案为5 数学参考答案·第4页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ 14,因为AB=4,AC=6,点D为BC的中点，设BC=a,由中线长定理知 1ADP=ABP+1ACP)-BCP=104,a,因为BE.C元=丽.EC=k,由极化恒等 4 104-a2-a2 式知EB·EC=EDP-BCP=ADP-4BCP=k,则4 4 一=k→k= 104-5a.因为锐角△4BC，所以cosA=16+36-a.52-Q2 16 48 =48>0→a2<52, cosB-16+g2-36.-20>0→a2>20,c0sC-36+g2-16_4+20>0，所以 Sa 12a 12a 20<<2,故-<行故答案为（翠 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：（1)因为2022年“世界杯排名16名以后”的球队出线率为p=4= 164 估计2026年“世界杯排名16名以后”的球队出线数量为32×=8支 …(（5分) (2)零假设H。:“世界排名”与“小组赛出线”相互独立， 2=3212×12-4x4-32x128=800>7879, 16×16×16×16164 依据小概率值=0.005的独立性检验，推断零假设H。不成立， 即可以认为“世界排名”与“小组赛出线”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005 …（13分) 16.(本小题满分15分) 解：（1)由题知p=2,则F(1,0), 因为直线AB与抛物线C交于A,B两点，所以kB≠0. AB:x=my+1,A(x y),B(x2,y2), 则联立直线与抛物线方程： x=my+1 y2=4x →y-4my-4=0, 数学参考答案·第5页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ ∴.y+y2=4m,y1y2=-4. FA=-2FB，∴为=-22，从而%=(-2y2)y2=-4→2=2. “点A在x轴上方，∴y>0,y2<0,即%=25，为=-5 由y+y2=4m,得22+(-V2)=4m→m= ∴.直线AB的方程为 4y+1py=22(x-1). …(7分) 2)由%=2点为=-反，得%=2=2，名-=号 4 4=2 即A2,8}-万 设年为N至为小 直线MN:x=y+n, 则-（年-2为2=俘-2%2 :aw1w,.丽=0，睡（孚-2答-26-2%-2=0， :4+220.+220%-22X0-2+0-220.-2)=0. 16 M,N异于A,y-2V2≠0，y4-2V2≠0， ∴(y2+2W2)y4+2V2)=-16,即yy4+22(y,+y)=-24, 联立直线MN与抛物线方程，化简得y2-4y-4n=0, .y3+ya=4,y3y4=-4n, .-4n+2W2.4t=-24,即n=6+2W2i, 故直线MN:x=y+6+2W2t=t(y+2W2)+6, ∴直线MN过定点(6，-2W2) ……（15分） 数学参考答案·第6页（共11页) ■■口■■■口■口■■口■ 17.(本小题满分15分) 解：(1)存在，点P为AB的中点 如图3，取AB的中点为P,BC的中点为Q, 0 连接AP,CQ,PQ, 则PQ∥AC,且PQ=AC=2. 图3 ,A,C∥AC且AC=2, ∴.PQ∥A,C且PQ=AC, 从而四边形PQC,A是平行四边形，∴.A,P∥C2 :AP￠平面BCC,且C,2c平面BCC, ∴.AP∥平面BCC (7分) (2)连接O,O2,则O,O,⊥平面ABC, 记AC的中点为D,以O,为原点，O,D,O,C,O,O,所在直线分别为x,yz轴的正方向建系 (如图4)， 在轴截面AACC中，过A作AH⊥AC于H,则AH=1. 在Rt△AHA中，AH=VAA-AH=V4-=V5,即圆台的高为5， 则A(0,-2,0),A(0,-1,V3),C0,1,√5)，0，(0,0,5) 设∠D0,B=0,0∈[0,2元]，则B(2cos0,2sin0,0),平面 ACB法向量为n=(x,y,Z), 则4G=0 2y=0 z·AB=02cos8x+(2sin0+1)y-V5z=0’ 取x=V5,则z=20s0,解得平面AC,B的一个法向量为 图4 z=(N5,0,2cos0). 平面ABC法向量为n=(0,0,1), iows经=2-2o02=96os0=2,即cos0=± 4 lln3+4cos20 2 2 数学参考答案·第7页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ 则点B的坐标为(V3,1,0)或(W3,-1,0)或(-V5,-1,0)或(-V3,1,0): ①当点B的坐标为（√5,1,0）时， 设平面AAB法向量为乃=(x,⅓，2)，则 n·AA=0 为+V32=0 元·AB=0V5x+3为=0 取乙=1，则：=3，为3=-V5,解得平面AAB的一个法向量为元=(3，-V5,1), .0A=(0,-1,0), d=10A·乃l=l51-V39 1%11313 由对称性知当点B的坐标为(51,0)时，d= 13； ②当点B的坐标为（√5，-1,0）时， 设平面AAB法向量为巧=(g,为2，则区·AA=0乃+53=0 %·AB=0V3x+为=0 取乙=1，得：=1，为=-V3,解得平面AAB的-个法向量为厉=(，-V5,), .d=loA.m_131vis |n1 5 5 由对称性知当点B的坐标为（←V5-10)时，d=西 综上，d=或V …(15分) 13 18.(本小题满分17分) (1)解：当a=2时，f()=xe21-lhx-2x,则f)=(2x+1)e2-1-2, ∴.f(1)=e-2,f'(1)=3e-3, .曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y-(e-2)=3(e-1)(x-1), 即y=3(e-1)x-2e+1. …(4分)》 (2)解：f(x)=xe-l-lnx-ax=enx+ar-l-nx+ax), 令t=lnx+ax-1,则y=e'-t-1,y'=e'-1, 数学参考答案·第8页（共11页) ■■口■■■口■口■■口■ 当t∈(-o,0)时，y'<0,此时y=e'-t-1单调递减；当t∈(0，+oo)时，y>0,此时 y=e'-t-1单调递增， ymn=e°-0-1=0→e'-t-l≥0（当且仅当1=0时等号成立）. :f(x)=enx*1-(nx+ax)>0对任意x>0恒成立， x∈(0，+o)都有1nx+ax-1≠0，即a≠1-lnx 令g=1-1nx>0),则g'0= -d- Inx-2 令g'（(x)=0,得x=e2, 当x∈(0，e2)时，g'(x)<0,此时g(x)单调递减：当xe(e,+o)时，g'(x)>0,此时g(x) 单调递增， 86m=8e)=d 又当x→0时，g(x)→+∞，当x→+0时，g()→0，即g(x) 的值域为 故a<-E …（10分) (3)证明：令f(x)=0,则xer--lnx-ar=0一enx+-1=lnx+ax, 令t=lnx+ax-l,则e=t+1,此时t=0, ,x,x2是f(x)=0的两个不同实根， ∴.x,x2是lnx+ax-1=0的两个不同实根， 邮 lhx+ax,-1=0①， lnx+ax2-1=0②， 由②-①得1n3-lnx=-a5-x)→a=-m-n2, 龙- 要证xx2>e,即证3lnx+lnx2>6,即证3(1-ax)+(1-ax)>6, 即证-a(3x+x2)>2, 3+点n点 即证血，-ln3x+2>2,即证>2. x-x 左-1 x 数学参考答案·第9页（共11页) ■■口■■■口■口■■口■ 令m=点(：5>x,m>1),下证3+m)1血m>2,即证1nm>2m-, X m-1 3+m 即证lnm 2m-1>0. 3+m 令m=nm-2m-m>),则Nm=1-8=m-2m+9 3+m m(3+mm(3+m)2 ,m2-2m+9>0恒成立， ∴.当m>1时，h'(m)>0,h(m)在(1，+o)上单调递增， ：hMm>h0=0,即nm-2m=>0成立， 3+m 综上，xx2>e …(17分) 19.（本小题满分17分) 解：（1)第一行前n项和为n2, ∴.am=n2-(n-1)2=2n-1. 令n=1,得a1=1, 每一列都是公比为2的等比数列， .第n列是以2n-1为首项，2为公比的等比数列， .am=(2n-1)+2- …(4分） (2)(i)由分析知a,=(2j-1)2, 3-22-:2n221-2-2-22-1-21-= 会1-021-221-0. 记T=2(2j-1)2=1×2+3x22+…+(2n-1)*2”, 则2T=1×22+3×23+…+(2n-1)·2+, ∴.-Tn=1×2+2×(22+…+2")-(2n-1)·2m=-(2n-3)2-6, 即Tn=(2n-3)·2m+6. :(2j-1)=n2, 故Sn=(2n-3)2*-n2+6, …(10分） 数学参考答案·第10页（共11页） ■■口■■■口■口■■口■ (i)由①得c,=多+n-2m-:2-广+6+m=4m-可-”，6+zn, 2am 2” 2” :数列{c}为递减数列， -y6专剑 =(4+)+n2-2n-7 2n41 <0, 即2<4-n-2n-7vn≥2，n∈N)■ 令f间=420-2eN, 则f0a+)-f0m=n_2m-7_红+1-2n+)-7=元2-4n-6 2* 20+2 242 设g(n)=n2-4n-6,令8(m)=0,得n=2±V0, ∴当n≤5时，g(m)<0,f(m)单调递减；当n≥6时，g(n)>0,f(m)单调递增. :f05=-4-25-10-7.-3, 26 ,f6=-4-36-12-7、529 27 128 ·fmm=f(6)=-522 128 故(0,-8】 529 …(7分) 数学参考答案·第11页（共11页)