精品解析：湖南省长沙市岳麓实验中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

长沙岳麓实验中学高二10月测试 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项为正确选项） 1. 若点在直线上的垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合直线垂直列式求解即可. 【详解】由题意得，解得，所以. 故选：B 2. 已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算结合夹角公式求出，再根据三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】由， 可得， 则， 则， ，故， 则以为邻边的平行四边形的面积为 ， 故选：A 3. 如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 4. 如图，在三棱锥中，为OA的中点，点在BC上，满足，记分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算的几何表示进行求解即可. 【详解】在三棱锥中， ，E为OA的中点， ，，， 所以. 故选：D. 5. 已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到平面的距离公式求解即可． 【详解】因为，，则， 又平面的一个法向量为， 所以点Q到平面的距离为． 故选：A． 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 7. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的定义，可判定A错误；根据古典摡型的概率计算公式，可判定B正确；利用古典摡型的概率计算公式，结合，可判定C错误；结合，可判定D错误. 【详解】对于A中，当时，，，事件与同时发生， 所以事件与不对立，所以A错误； 对于B中，因为，当时，要使得为偶数，有6种情况； 当时，要使得为偶数，则，有3种情况； 当时，要使得为偶数，有6种情况， 又由抛掷两枚骰子，共有种情形，所以，所以B正确； 对于C中，事件有：，共有5种情形，概率为， 事件“”，有 ，共有18种情形， 所以概率为，且， 则，所以与不相互独立，所以C错误； 对于D中，事件“为偶数”，事件“为奇数”， 有共9种情形， 所以概率为， 又由，，可得， 所以与不相互独立，所以D错误. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用构造函数法，根据函数的单调性、奇偶性来对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】设，由于函数是定义在上的奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于，且，都有成立， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 由 可知， ①当时，有，， 即，而， 所以，解得. ②当时，有，， 即，所以， 即或， 不等式组的解集为空集， 不等式组的解集为. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明，根据面面平行的判定定理即可判断A；分别取AD、BC中点M、N，连接MN，由，可得平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行，证得，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角，利用余弦定理判断是否为直角，即可判断B；利用平行直线得出异面直线所成的角，然后利用正三角形可判断C；利用空间向量法求角判断D 【详解】连接AC、BD、EF， 根据题意可设其交于点O，则A、E、C、F四点共面，且O为AC、BD、EF，的中点， 所以四边形AECF、BEDF都是平行四边形，所以， 又平面EAD，平面EAD，，所以FC//平面EAD， 平面EAD，平面EAD，所以平面EAD， FB//平面EAD，FC//平面EAD，又FB、FC在平面ECB内相交于点F， 所以平面EAD//平面FCB，故A对； 分别取AD、BC中点M、N，连接MN，则MN的中点为O， 由，平面BCE，平面BCE，所以AD平面BCE， 又平面ADE，则平面ADE与平面BCE的交线l与AD平行， 因为都是等边三角形，所以， 所以，则为平面ADE与平面BCE所成的平面角， 设，则，，， 所以，故B错误； 由EF与AC垂直相交，且长度相等，则四边形AECF是正方形，所以， 则直线与所成的角即为BF与CF所成角， 正中，，故异面直线与所成的角为，故C对； 根据正八面体结构，如图建立空间直角坐标系，令， 则， 所以， 设平面FAD的一个法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面FAD的一个法向量为， 因为点P为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线AP与平面FAD 成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围，故D对； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于平面对称的点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量点关于面对称的性质可得. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故答案为：. 13. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法结合向量的数量积的运算律可求值. 【详解】 . 故答案为：. 14. 已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为______． 【答案】48 【解析】 【分析】设T为的中点，M，T，N在直线的射影分别为，，，分析可得，圆O与直线相离，根据点到直线距离公式，可得所求等于，根据条件，求得T点轨迹，分析可得，当C，T，共线，且T在C，之间时取得最小值，计算即可得答案. 【详解】由题意，M，P，N三点共线，设T为的中点， M，T，N在直线的射影分别为，，， 点O到直线的距离， ∴与圆相离，如图： 而 ， 易得，即， ∴T在以为直径的圆C上，其中圆心， ∵， ∴当C，T，共线，且T在C，之间时取等号． ∴的最小值为． 故答案为：48． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线和的交点为.求： （1）过点与点的直线方程； （2）过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1）首先求出和的交点，求，利用点斜式即可求解；； (2）利用垂直关系得到所求直线的斜率，利用点斜式即可求解 【小问1详解】 由，解得，则交点， 又所求直线的斜率， 则所求直线的方程为，即； 【小问2详解】 直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又所求直线过点， 则所求直线的方程为，即 16. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. 【小问2详解】 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 17. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 【答案】（1）    以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, , 则 且不在一条直线上，所以，， 所以四边形是平行四边形. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明； （2）利用空间向量与二面角的关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， , 所以，设，则， 所以， 设， 设平面的法向量为， 则, 令，所以， 所以 可得，解得或， 根据对称关系可知或都满足条件； 所以或 18. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）N为的中点，线段上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在点H，满足 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理和判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案； （ii）根据H，A，O，N四点共面，则存在实数a，b，使得，由此列式求解，即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在四边形中，因为，，， ，又平面， 故以C为原点，所在直线分别为x轴，y轴，过点且平行于的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知平面，平面，故， 因为P，A，B，C在同一个球面上，且为直角， 即可得的中点到的距离均相等， 故为外接球直径，则球心O为PB的中点， 结合，则，， 则，，，，，， 所以，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，得， 所以， 设与平面所成角为， 则. （ii）因为分别为的中点，所以， 所以，，由（i）知， 设， 则， 因为H，A，O，N四点共面，所以存在实数a，b，使得， 即， 所以，解得. 所以存在点H，满足，使得H，A，O，N四点共面. 19. 已知函数，其中为常数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数在上有两个零点， ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②证明：令，， 则为关于的方程的两根， 则有，， 即， 方法一：所以， 即， 所以，所以， 即有， 由①得，即， 故，所以. 又，所以， 故， 由于，则， 由在上单调递增， 故，即. 方法二：， 因为，所以， 所以， 所以，即， 故， 由在上单调递增， 故，即 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系，化简，换元后分离参数，可得问题转化为不等式恒成立问题，求最值即可； （2）①令，，换元后可将问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根，列方程组求解即可；②令，，则为关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得，结合诱导公式及余弦函数的单调性可得证. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，， 令，则等价于在上恒成立， 所以. 令，则是增函数， 所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 【小问2详解】 ①令，，则， 则， 由在上单调递增， 故函数在上有两个零点等价于关于的方程在上有两个不相等的实数根， 即有，解得， 即的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙岳麓实验中学高二10月测试 数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项为正确选项） 1. 若点在直线上的垂足为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知空间三点.则以为邻边的平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ） A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 4. 如图，在三棱锥中，为OA的中点，点在BC上，满足，记分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是平面内一点，是平面外一点，且平面的一个法向量为，则点Q到平面的距离为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子，用表示白色骰子的点数，表示红色骰子的点数，设事件“”，事件“为偶数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 8. 已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（　　） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、二、三象限 D. 直线与直线平行 10. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 11. 六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途. 六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体). 如图所示，正八面体，下列说法中正确的有（ ） A. 平面EAD 平面FCB B. 平面EAD 平面ECB C. 异面直线与所成的角为 D. 若点P为棱上的动点，则直线AP与平面FAD 成的角的正弦值的范围 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于平面对称的点的坐标是__________. 13. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 14. 已知点，圆上两点，且M，P，N三点共线，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线和的交点为.求： （1）过点与点的直线方程； （2）过点且与直线垂直的直线方程. 16. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 17. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，． （1）证明：平面平面； （2）若，，，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）N为的中点，线段上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，其中为常数. （1）当时，恒成立，求实数的取值范围； （2）设函数在上有两个零点， ①求的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $