精品解析：陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年度第一学期期中考试九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 5. 二次函数的大致图象是下面选项中的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若菱形的面积为30，，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 1.5 7. 如图，在平行四边形中，点F为边上一点，连接并延长交的延长线于点E，若，则四边形与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数y=x2−4x+5的图象的顶点坐标为_____． 10. 如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是________． 11. 如图，李大爷想用长的铁丝网围成一个一边靠墙的面积为的矩形鸭舍，要求不能大于墙长，已知墙长为，那么鸭舍垂直于墙的边长是______m． 12. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）． 13. 已知抛物线上有两点，，则m______n（选填“”，“”或“”）． 14. 如图，点M在线段上，，．以M为顶点作，使得，，，则的最小值为______． 三、解答题（共11小题，计78分．解答要写出过程） 15. 解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中x满足． 17. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个实数根为m，n，且，求k的值． 19. 如图，已知矩形，于点F，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． （1）若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 21. 阳光明媚的一个周末，数学兴趣小组的同学们去测量一座不能到达底部的古塔的高度．他们的测量方案的示意图如下：阳光下，在古塔的影子末端F点直立一根标杆，此时，测得标杆的影长；同一时刻，在直线上的点C处放置一平面镜，小亮站在点D处时，在平面镜中刚好能看到古塔的顶端点A的像，此时，测得小亮眼睛与地面的高度，，．已知均与地面垂直，请你帮助他们求出古塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计） 22. 某商场销售一款每件进价为80元的服装，当销售价为120元时，每天可售出20件，经调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）该商场销售该款服装每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，则每件服装应降价多少元？ （2）该商场销售该款服装每天盈利能达到1300元吗？请说明理由． 23. 下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 （1）列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； （2）在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 （3）下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 （4）若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点P在y轴上，点Q在该抛物线上，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 问题探究 （1）如图1，在中，，过点C作，交的延长线于点D，则的长为______； （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作于点E．若，，，求的长； 问题解决 （3）某养鱼场为进一步加强对鱼场的监测，准备安装两个监测探头．如图3，为鱼场，点D、点E是准备安装的两个监测探头，按照设计要求：监测点D到北门B点的距离要与相等（），监测点E监测AC的视角要与南门C点监测的视角相等（），且A、D、E三点共线．为节约成本，还要使得C点到E点铺设的电缆最短．已知，，．求满足设计要求的情况下，当最短时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，y是x的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数需满足三个条件：表达式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，据此判断各选项． 【详解】解：A选项，中自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项，满足二次函数的三个条件，符合． C选项，是分式形式，不是整式函数，不符合． D选项，化简得，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体左侧部分较低，右侧部分较高， 从左面看，能看到左侧面的矩形轮廓以及右侧高出部分的侧面， 看到的图形是上下两个矩形，且中间有一条横向实线， 该几何体的左视图对应选项C． 3. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根之积直接计算另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵由根与系数的关系得，方程的两根之积为， 又∵方程的一个根为， ∴， 解得． 4. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5. 二次函数的大致图象是下面选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数解析式写出顶点坐标和对称轴，即可判断． 【详解】解：∵二次函数， 则可得二次函数的顶点是：，对称轴是 ， 又∵， ∴图象开口向下， 所以选项A图象符合． 6. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若菱形的面积为30，，则的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 3 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质求解． 【详解】解：四边形是菱形， ． 菱形的面积为，， ，即， ． ， ． 在中，为的中点， ． 7. 如图，在平行四边形中，点F为边上一点，连接并延长交的延长线于点E，若，则四边形与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形性质证和，通过相似比求面积关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与轴交点位置可判断A错误；根据当时，和可判断C正确；根据可判断B错误；由得，进而可判断D错误． 【详解】解：观察图象，抛物线开口向下， ． ∵对称轴为直线， ，即． ∵抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故A错误． 由图象可知，当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∴， ∴ ∵不一定小于0， 不一定成立，故B错误． 由得， ． 又∵， ，故D错误． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数y=x2−4x+5的图象的顶点坐标为_____． 【答案】（2，1） 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】将二次函数配方得 则顶点坐标为（2，1）． 故答案为（2，1）． 10. 如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，设这个正多边形的边数为n，根据正多边形内角和计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是12， 故答案为：12． 11. 如图，李大爷想用长的铁丝网围成一个一边靠墙的面积为的矩形鸭舍，要求不能大于墙长，已知墙长为，那么鸭舍垂直于墙的边长是______m． 【答案】6 【解析】 【分析】设垂直于墙的边 长为，则平行于墙的边长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解后根据墙长限制进行取舍． 【详解】解：设鸭舍垂直于墙的边长为， 四边形是矩形，且一边靠墙， ，． 铁丝网总长为， ， 根据题意得：， 整理得：，即：， 解得：，， 当时，， 墙长为，， 不符合题意，舍去． 当时，， 符合题意， 答：鸭舍垂直于墙的边长是． 12. 如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A的坐标为，，五边形的面积为S，则五边形的面积为______（用含S的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴五边形与五边形的位似比为， ∵五边形的面积为S， ∴五边形的面积为． 13. 已知抛物线上有两点，，则m______n（选填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】将A、B两点代入抛物线解析式得到m、n的表达式，结合的条件作差比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在抛物线上， ∴ ， ∵ 点在抛物线上， ∴ ， 计算两式的差：， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． 14. 如图，点M在线段上，，．以M为顶点作，使得，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点M顺时针旋转得到，首先判断出点D落在上，在上取点E，使，取中点F，连接，证明，得到，然后得到，然后等量代换得到当点E，D，F三点共线时，取得最小值，即此时取得最小值，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，将绕点M顺时针旋转得到 由旋转得，，，， ∴点D落在上，则， 在上取点E，使，取中点F，连接，如图 ∵， ∴ ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴点D是的中点 ∵点F是的中点 ∴， ∴ ∴当点E，D，F三点共线时，取得最小值，即此时取得最小值 ∴此时 ∴的最小值为． 三、解答题（共11小题，计78分．解答要写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 解得． 16. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】化简结果为，求值结果为 【解析】 【分析】化简分式为最简形式，求解给定方程的根，排除使原分式无意义的取值后代入计算． 【详解】解： ， 由得，即， 解得或， 原分式有意义需满足且，即且， 故取代入化简后的式子得． 17. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【解析】 【分析】过点作交即为点，然后结合正方形的性质证明即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个实数根为m，n，且，求k的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到，，代入求解k． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为m，n， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴的值为或． 19. 如图，已知矩形，于点F，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可证明； （2）根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 20. 如图，A转盘分成三等份，分别标有数字，2，3，B转盘分成两等份，分别标有数字1和．先转动A转盘，停止后指针所指区域的数字用a表示，再转动B转盘，停止后指针所指区域的数字用b表示（指针停止在分界线上时无效，重转）． （1）若只转动A转盘，转盘停止后指针所指区域的数字是正数的概率为______； （2）请用列表法或画树状图法求a与b的乘积为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式解题． 【小问1详解】 解：转动转盘可以得到种等可能结果，其中停止后指针所指区域的数字是正数的结果有种， ∴停止后指针所指区域的数字是正数的概率为； 【小问2详解】 解：列表得： 结果 由表格可得共有种等可能结果，其中乘积为正数的有种， ∴a与b的乘积为正数的概率为． 21. 阳光明媚的一个周末，数学兴趣小组的同学们去测量一座不能到达底部的古塔的高度．他们的测量方案的示意图如下：阳光下，在古塔的影子末端F点直立一根标杆，此时，测得标杆的影长；同一时刻，在直线上的点C处放置一平面镜，小亮站在点D处时，在平面镜中刚好能看到古塔的顶端点A的像，此时，测得小亮眼睛与地面的高度，，．已知均与地面垂直，请你帮助他们求出古塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计） 【答案】古塔的高为42米 【解析】 【分析】设古塔的高，根据相似三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：设古塔的高， 由题意得， ， ， ， ， ∴， 由题意得， ， ， ， 即古塔的高为42米． 22. 某商场销售一款每件进价为80元的服装，当销售价为120元时，每天可售出20件，经调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． （1）该商场销售该款服装每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，则每件服装应降价多少元？ （2）该商场销售该款服装每天盈利能达到1300元吗？请说明理由． 【答案】（1）每件服装应降价20元 （2）该商场销售该款服装每天盈利不能达到1300元，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∴ ∴方程无实数根 ∴该商场销售该款服装每天盈利不能达到1300元． 【解析】 【分析】（1）设每件服装应降价x元，根据“每天盈利1200元”列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出方程，然后利用判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设每件服装应降价x元 根据题意得， 解得， ∵尽可能让利于顾客 ∴ ∴每件服装应降价20元； 【小问2详解】 略 23. 下面是探究函数的图象和性质的过程，请阅读并回答相关问题： 【绘制图象】 （1）列表，得： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 1 m 1 … 表格中m的值为______； （2）在平面直角坐标系画出该函数图象（部分点已描出）； 【探究性质】 （3）下列关于该函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①该函数图象关于y轴对称；②当时，y有最小值为：③方程的解是，；④当时，y的值随x值的增大而减小． 【解决问题】 （4）若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】（1） （2）该函数的图象如图： （3）①③④ （4） 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）描点、连线即可画出该函数的图象； （3）根据函数图象即可求解； （4）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 即； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：①该函数图象关于y轴对称，说法正确； ②当或时，y有最小值为，原说法错误： ③方程的解是，，说法正确； ④当时，y的值随x值的增大而减小，说法正确． 综上，正确的有①③④； 【小问4详解】 解：由函数图象知，若关于x的方程有4个实数根，则a的取值范围是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点． （1）求这个抛物线的函数表达式； （2）若点P在y轴上，点Q在该抛物线上，是否存在以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，，根据平行四边形的对角线互相平分的性质分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：存在， 由题意设，， 当以P、Q、A、B四点为顶点的平行四边形时，分以下三种情况讨论： ①为对角线时，，解得， 此时点Q的纵坐标为， ∴； ②为对角线时，，解得， 此时点Q的纵坐标为， ∴； ③当为对角线时，，解得， 此时点Q的纵坐标为， ∴， 综上：点Q的坐标为或或． 25. 问题探究 （1）如图1，在中，，过点C作，交的延长线于点D，则的长为______； （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作于点E．若，，，求的长； 问题解决 （3）某养鱼场为进一步加强对鱼场的监测，准备安装两个监测探头．如图3，为鱼场，点D、点E是准备安装的两个监测探头，按照设计要求：监测点D到北门B点的距离要与相等（），监测点E监测AC的视角要与南门C点监测的视角相等（），且A、D、E三点共线．为节约成本，还要使得C点到E点铺设的电缆最短．已知，，．求满足设计要求的情况下，当最短时的长． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等角的余角相等求得，即可求得； （2）证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）推出，求得，延长交于点，在射线上截取点，使，再证明，推出，得到点在过点且与垂直的直线上运动，作交直线于点，当点与点重合时，最短，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，则的长为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴点在以点为圆心，为半径的上， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 延长交于点，在射线上截取点，使， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在过点且与垂直的直线上运动， 作交直线于点，当点与点重合时，最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 连接交于点， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $