2026-2027学年高二上学期数学人教A版期中模拟试卷2（苏州专用）

2026-2027学年第一学期　高二数学期中模拟 B卷　苏州专用 2026-2027学年第一学期 高二数学期中模拟试卷 B卷 苏州专用　人教A版　满分150分　考试时间120分钟 学校________________　班级____________　姓名____________　考号________________ 考试范围：数列，直线和圆的方程，椭圆。 本卷涉及的数列中，均取正整数。 注意事项 1．答卷前，请将姓名、班级、考号填写清楚，并在答题卡对应位置填写信息。 2．选择题用2B铅笔填涂；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 3．本卷空白可供演算，写在试卷上的答案不作为评分依据。考试结束后交回试卷和答题卡。 参考答案与评分说明 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1．已知数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，；又，所以对所有正整数成立。 故，选A。 2．经过、两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【解析】两点横坐标相同而纵坐标不同，所确定的直线为，是一条与轴垂直的直线，倾斜角为。故选C。 3．椭圆以原点为中心，焦点在轴上，焦距为，长轴长为短轴长的倍，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设长、短半轴长分别为，半焦距为，则、。由，得，故、。 焦点在轴上，故方程为，选D。 4．等比数列的公比为，前项和为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设首项为，等比数列的各项均不为。由公比为，得，。 所以，选A。 5．圆关于直线对称的圆为，则的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为。关于直线的对称变换将点变为，故圆心变为。 对称变换保持半径不变，因此，选B。 6．点在椭圆上，为其两个焦点。若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的长半轴长，由椭圆定义，。结合，得，所以，选B。 7．等差数列满足。令，记的前项和为，则取得最大值时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设公差为。由得，故，从而。令（），则。 于是，。当时；，；当时。因此最大值只能在与中产生。 。故最大值为，选D。 8．圆上，到直线的距离等于的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设所求点为，由距离条件得，故该点在直线或上。 圆心为，半径为。圆心到第一条直线的距离为，故有两个交点；到第二条直线的距离为，故有一个交点。 两条直线平行且不重合，交点互不重复，所求共有个点，选C。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 本卷多选计分：漏选且未错选时，每选对一个选项得2分，最高4分。 9．等差数列的前项和为。已知，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．单调递减 D．对任意正整数，都有 【答案】BCD 【解析】由等差数列的性质，，所以，B正确。又，故公差，C正确。 数列单调递减且，所以前项均为正，从第项起均为负，先增后减，最大值为，D正确。 A不一定成立。例如取、，此时且，满足条件，但。故选BCD。 10．已知直线，其中。下列结论正确的有（　　） A．当时，的倾斜角为 B．无论取何值，都经过点 C．当与平行时，两直线的距离为 D．当与两坐标轴的正半轴相交时，所围三角形面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A：当时，方程化为，斜率为，倾斜角为，正确。 B：将方程写成，可知恒经过，正确。 C：平行条件给，此时，两直线的距离为，不是，错误。 D：设正截距为，则。由基本不等式，，故，三角形面积。当，即时等号成立，D正确。故选ABD。 11．椭圆的左、右焦点分别为。直线（）与交于两点。过作轴的垂线，垂足为。下列结论正确的有（　　） A．的离心率为 B．四边形的周长为 C．当与某个焦点重合时，四边形的面积最大 D．直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】A：由、，得，故，A正确。 B：由椭圆定义，，所以四边形的周长为，B正确。 C：设，则。四边形面积为。当与焦点重合时，，从而，面积为。取时，，面积为，比上述面积大，故C错误。 D：，且，因此，D正确。故选ABD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，（），则其前项和为________。 【答案】 【解析】由递推式知是首项为、公差为的等差数列。故，。 13．方程表示一个圆，则实数的取值范围为________。 【答案】 【解析】配方得。表示非退化的圆须有半径平方，故，即。 14．椭圆的中心为，两个焦点为，点在椭圆上。若，，则该椭圆的离心率为________。 【答案】 【解析】在线段内，故，，从而。 设长半轴长为、半焦距为。由正弦定理，。结合椭圆定义，左边为。 所以。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）数列的前项和为，且对每个正整数都有。 （1）证明为等比数列，并求； （2）求； （3）令，求及的前项和。 【答案】（1）首项为、公比为，；（2）；（3），。 【解析】（1）取，由得。当时，。与相减得，即。 由可知各项非零，所以是首项为、公比为的等比数列。因此。 （2）由等比数列求和公式，。 （3）因为，所以。故。 【评分要点】（1）令n=1求首项2分，相邻两式相减得递推2分，证明等比并正确写通项2分，共6分；（2）代入等比数列求和公式2分，正确整理结果1分，共3分；（3）确定bn= n 2分，求得Tn 2分，共4分。 16．（15分）圆经过、、三点。 （1）求圆的标准方程； （2）求圆在点处的切线方程； （3）点在直线上，若直线被圆截得的弦长为，求点的坐标。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】（1）因关于轴对称，圆心在轴上。设圆心为，由到距离相等，得，所以，半径为。因此圆。 （2）半径的方向向量为，切线以该向量为法向量，故切线方程为，即。 （3）所求直线经过和上的点，所以斜率存在，设其方程为。 目标弦的半长为，圆心到该直线的距离为。于是。平方化简得，所以。 令，得，故。 【评分要点】（1）说明圆心在y轴上2分，利用距离相等求圆心2分，求半径并写出方程2分，共6分；（2）利用切线垂直半径建立方程2分，正确化简2分，共4分；（3）求弦心距1分，说明斜率存在并设式1分，建立距离方程1分，解出斜率并求点坐标2分，共5分。 17．（15分）数列满足，，（）。 （1）令，证明是等比数列，并求； （2）求； （3）令，求数列的前项和。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【解析】（1）。又，所以是首项为、公比为的等比数列，。 （2）当时，由得。当时，右式也等于，因此通项对所有正整数成立。 （3）。令，则。 当时，。两式相减得，故。 所以。当时，此式等于，故结果对所有正整数成立。 【评分要点】（1）由递推式化出相邻差的等比关系3分，确定首项、公比并求dn 2分，共5分；（2）列累加式2分，正确使用等比求和得通项2分，检验n=1并写适用范围1分，共5分；（3）分组为等差和与加权等比和1分，错位相减正确2分，求得Un并整理Tn 1分，检查n=1与给出完整结论1分，共5分。 18．（17分）苏州某校开展道路截面数学建模实践，将一条通道的截面视为半径为米的上半圆，路面为其直径。以路面中点为原点、路面为轴建立平面直角坐标系，长度单位为米。把车身截面视为宽米、高米的矩形，其底边在路面上，且矩形全部位于道路中心线的右侧。车身左边缘允许贴道路中心线；模型中矩形位于半圆区域内（含边界）即视为能够通过。以下均只按该理想化模型计算。 （1）写出通道上部圆弧的方程及相应的坐标范围； （2）该车辆能否通过原通道？请给出计算依据； （3）若通道扩建为半径米的上半圆，车身左边缘距道路中心线为米（），求车辆能够通过时的取值范围。 【答案】（1），，相应有；（2）不能通过；（3）。 【解析】（1）圆心为原点、半径为，所以上部圆弧为，其中，相应的横坐标满足。 （2）车身全部位于中心线右侧时，最有利的位置是左边缘位于中心线上。此时右上顶点坐标为，有，该顶点在圆外。 若再向右移动，右上顶点的横坐标增大，更不可能位于半圆内。因此原通道不能容纳该车辆通过。也可比较允许宽度。 （3）扩建后半径为，右上顶点为。由于，该顶点距原点最远，车身整体位于半圆内的充要条件是。 由此得。结合，所求范围为。该上界为正数，等号时右上顶点在圆弧上，可以取到。 【评分要点】（1）建立圆方程3分，说明上半圆及坐标范围2分，共5分；（2）识别最有利贴中心线位置2分，计算右上顶点与圆的位置3分，得出不能通过结论1分，共6分；（3）确定右上顶点及通行充要条件2分，解不等式2分，结合d非负并验证端点可取2分，共6分。 19．（17分）椭圆（）的焦点为。与椭圆的一个短轴端点构成等边三角形，圆与直线相切。 （1）求的标准方程； （2）设为的左顶点。过的两条互相垂直的直线分别与再交于两点，证明直线恒过一个定点，并求该定点的坐标； （3）在第（2）问条件下，求面积的最大值，并求取到最大值时两条直线的方程。 【答案】（1）；（2）定点；（3）最大面积，对应两条直线为与。 【解析】（1）由等边三角形条件，短轴端点到任一焦点的距离等于焦距，故。圆心到所给直线的距离等于半径，所以。由于，得，进而、。故。 （2），该点处的竖直线与椭圆相切，不能再交于异于的点。因此两条正交直线均不能为竖直线或水平线，可设、，其中。 将代入椭圆，得。舍去对应于的根，得。同理，。 将这两个点的坐标分别代入，均满足。因，这是一直线的方程，故为的方程。点对任意均满足该方程，故恒过定点。此统一方程也涵盖时竖直的情况。 第19题解析续 （3）由上述坐标，，。又，因此面积。 令，。将面积式的分子、分母同除以，得。由于，即，所以。 等号成立当且仅当，即、。此时两条直线为与，且均与椭圆有异于的交点，故最大面积为。 【评分要点】（1）由等边条件得到，由相切条件求并写出椭圆方程，共2分；（2）说明排除水平、竖直直线并设统一参数1分，求出坐标2分，得到统一方程2分，写出定点并说明特殊竖直弦也包含在内1分，共6分；（3）求两直角边长并建立面积式3分，作与代换2分，证明面积上界2分，验证取等并求相应两直线2分，共9分。 评分说明：以上给出一种参考解法。采用其他正确方法，按相应步骤与结果给分；解答题应保留必要过程。 高二数学 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期　高二数学期中模拟 B卷　苏州专用 2026-2027学年第一学期 高二数学期中模拟试卷 B卷 苏州专用　人教A版　满分150分　考试时间120分钟 学校________________　班级____________　姓名____________　考号________________ 考试范围：数列，直线和圆的方程，椭圆。 本卷涉及的数列中，均取正整数。 注意事项 1．答卷前，请将姓名、班级、考号填写清楚，并在答题卡对应位置填写信息。 2．选择题用2B铅笔填涂；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 3．本卷空白可供演算，写在试卷上的答案不作为评分依据。考试结束后交回试卷和答题卡。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1．已知数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 2．经过、两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D．不存在 3．椭圆以原点为中心，焦点在轴上，焦距为，长轴长为短轴长的倍，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 4．等比数列的公比为，前项和为，则（　　） A． B． C． D． 5．圆关于直线对称的圆为，则的方程为（　　） A． B． C． D． 6．点在椭圆上，为其两个焦点。若，则为（　　） A． B． C． D． 7．等差数列满足。令，记的前项和为，则取得最大值时，（　　） A． B． C． D． 8．圆上，到直线的距离等于的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 本卷多选计分：漏选且未错选时，每选对一个选项得2分，最高4分。 9．等差数列的前项和为。已知，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．单调递减 D．对任意正整数，都有 10．已知直线，其中。下列结论正确的有（　　） A．当时，的倾斜角为 B．无论取何值，都经过点 C．当与平行时，两直线的距离为 D．当与两坐标轴的正半轴相交时，所围三角形面积的最小值为 11．椭圆的左、右焦点分别为。直线（）与交于两点。过作轴的垂线，垂足为。下列结论正确的有（　　） A．的离心率为 B．四边形的周长为 C．当与某个焦点重合时，四边形的面积最大 D．直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，（），则其前项和为________。 13．方程表示一个圆，则实数的取值范围为________。 14．椭圆的中心为，两个焦点为，点在椭圆上。若，，则该椭圆的离心率为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）数列的前项和为，且对每个正整数都有。 （1）证明为等比数列，并求； （2）求； （3）令，求及的前项和。 16．（15分）圆经过、、三点。 （1）求圆的标准方程； （2）求圆在点处的切线方程； （3）点在直线上，若直线被圆截得的弦长为，求点的坐标。 17．（15分）数列满足，，（）。 （1）令，证明是等比数列，并求； （2）求； （3）令，求数列的前项和。 18．（17分）苏州某校开展道路截面数学建模实践，将一条通道的截面视为半径为米的上半圆，路面为其直径。以路面中点为原点、路面为轴建立平面直角坐标系，长度单位为米。把车身截面视为宽米、高米的矩形，其底边在路面上，且矩形全部位于道路中心线的右侧。车身左边缘允许贴道路中心线；模型中矩形位于半圆区域内（含边界）即视为能够通过。以下均只按该理想化模型计算。 （1）写出通道上部圆弧的方程及相应的坐标范围； （2）该车辆能否通过原通道？请给出计算依据； （3）若通道扩建为半径米的上半圆，车身左边缘距道路中心线为米（），求车辆能够通过时的取值范围。 19．（17分）椭圆（）的焦点为。与椭圆的一个短轴端点构成等边三角形，圆与直线相切。 （1）求的标准方程； （2）设为的左顶点。过的两条互相垂直的直线分别与再交于两点，证明直线恒过一个定点，并求该定点的坐标； （3）在第（2）问条件下，求面积的最大值，并求取到最大值时两条直线的方程。 高二数学 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期 高二数学期中模拟B卷（苏州专用） 数 学 答 题 卡 姓　名________________　考场号□□　座位号□□ 准考证号　□□□□□□□□□□□□□□□□ 缺考标记 □　违规标记 □ 以上标记由监考教师填写 正确填涂　■错误填涂　√　×　● 贴 条 形 码 区 （正面朝上，切勿贴出虚线框） 注 意 事 项 1．答题前，考生先将姓名、考号、考场号、座位号填写清楚。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题用0.5毫米黑色签字笔。 3．按题号在答题区域内作答，超出区域的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠、不破损，不得在条码区作答。 选择题　共58分 1—8题为单选题，9—11题为多选题 1　[A] [B] [C] [D] 6　[A] [B] [C] [D] 11　[A] [B] [C] [D] 2　[A] [B] [C] [D] 7　[A] [B] [C] [D] 3　[A] [B] [C] [D] 8　[A] [B] [C] [D] 4　[A] [B] [C] [D] 9　[A] [B] [C] [D] 5　[A] [B] [C] [D] 10　[A] [B] [C] [D] 填空题　共15分 12．____________________________________ 13．____________________________________ 14．____________________________________ 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答　超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15．（续） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答　超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17．（15分） 姓名____________　考场号□□　座位号□□ 请在各题目的答题区域内作答　超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（17分） 姓名____________　考场号□□　座位号□□ 请在各题目的答题区域内作答　超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（续） 19．（17分） 姓名____________　考场号□□　座位号□□ 请在各题目的答题区域内作答　超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（续） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年第一学期　高二数学期中模拟 B卷　苏州专用 2026-2027学年第一学期 高二数学期中模拟试卷 B卷 苏州专用　人教A版　满分150分　考试时间120分钟 学校________________　班级____________　姓名____________　考号________________ 考试范围：数列，直线和圆的方程，椭圆。 本卷涉及的数列中，均取正整数。 注意事项 1．答卷前，请将姓名、班级、考号填写清楚，并在答题卡对应位置填写信息。 2．选择题用2B铅笔填涂；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 3．本卷空白可供演算，写在试卷上的答案不作为评分依据。考试结束后交回试卷和答题卡。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题意。 1．已知数列的前项和为，则（　　） A． B． C． D． 2．经过、两点的直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D．不存在 3．椭圆以原点为中心，焦点在轴上，焦距为，长轴长为短轴长的倍，则其标准方程为（　　） A． B． C． D． 4．等比数列的公比为，前项和为，则（　　） A． B． C． D． 5．圆关于直线对称的圆为，则的方程为（　　） A． B． C． D． 6．点在椭圆上，为其两个焦点。若，则为（　　） A． B． C． D． 7．等差数列满足。令，记的前项和为，则取得最大值时，（　　） A． B． C． D． 8．圆上，到直线的距离等于的点共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题意；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 本卷多选计分：漏选且未错选时，每选对一个选项得2分，最高4分。 9．等差数列的前项和为。已知，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．单调递减 D．对任意正整数，都有 10．已知直线，其中。下列结论正确的有（　　） A．当时，的倾斜角为 B．无论取何值，都经过点 C．当与平行时，两直线的距离为 D．当与两坐标轴的正半轴相交时，所围三角形面积的最小值为 11．椭圆的左、右焦点分别为。直线（）与交于两点。过作轴的垂线，垂足为。下列结论正确的有（　　） A．的离心率为 B．四边形的周长为 C．当与某个焦点重合时，四边形的面积最大 D．直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，（），则其前项和为________。 13．方程表示一个圆，则实数的取值范围为________。 14．椭圆的中心为，两个焦点为，点在椭圆上。若，，则该椭圆的离心率为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）数列的前项和为，且对每个正整数都有。 （1）证明为等比数列，并求； （2）求； （3）令，求及的前项和。 16．（15分）圆经过、、三点。 （1）求圆的标准方程； （2）求圆在点处的切线方程； （3）点在直线上，若直线被圆截得的弦长为，求点的坐标。 17．（15分）数列满足，，（）。 （1）令，证明是等比数列，并求； （2）求； （3）令，求数列的前项和。 18．（17分）苏州某校开展道路截面数学建模实践，将一条通道的截面视为半径为米的上半圆，路面为其直径。以路面中点为原点、路面为轴建立平面直角坐标系，长度单位为米。把车身截面视为宽米、高米的矩形，其底边在路面上，且矩形全部位于道路中心线的右侧。车身左边缘允许贴道路中心线；模型中矩形位于半圆区域内（含边界）即视为能够通过。以下均只按该理想化模型计算。 （1）写出通道上部圆弧的方程及相应的坐标范围； （2）该车辆能否通过原通道？请给出计算依据； （3）若通道扩建为半径米的上半圆，车身左边缘距道路中心线为米（），求车辆能够通过时的取值范围。 19．（17分）椭圆（）的焦点为。与椭圆的一个短轴端点构成等边三角形，圆与直线相切。 （1）求的标准方程； （2）设为的左顶点。过的两条互相垂直的直线分别与再交于两点，证明直线恒过一个定点，并求该定点的坐标； （3）在第（2）问条件下，求面积的最大值，并求取到最大值时两条直线的方程。 高二数学试题 B卷　第1页（共4页） 高二数学试题 B卷　第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $