2026-2027学年人教版九年级数学上册 期中考试押题卷

2026-2027学年新人教版九年级上册数学期中考试卷-押题卷 测试范围：第25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．若一元二次方程的一个根为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴没有交点 【答案】C 【分析】根据二次项系数为可判断A；根据顶点式得到顶点坐标可判断B；根据对称轴可得增减性，可判断C；将代入表达式得到，可判断D． 【详解】解：A、∵的二次项系数为 ∴抛物线的开口向上，故A错误； B、抛物线的顶点坐标为，故B错误； C、∵对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； D、当时， ∴抛物线与轴交于点，故D错误． 3．反比例函数图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积等于比例系数，据此计算各选项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足； 选项A：，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，符合题意； 选项D：，不符合题意． 4．反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴两个函数的交点关于原点对称， ∵一个交点为， ∴另一个交点为． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数的最值出现在顶点或范围的端点处，据此计算可得y的取值范围 【详解】解： ∵， 抛物线开口向上，对称轴为直线，且， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴的最大值为； ∴当时，的取值范围是 6．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，先去括号，然后移项，合并同类项，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 7．如图，顺时针旋转到的位置（点的对应点分别为），下列说法一定正确的是（     ） A．是旋转角 B．点是旋转中心 C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即旋转角为或或，不是旋转角，故A错误； 图形旋转是绕着某一点转动，结合图形可知点是旋转中心，故B正确； 根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即，对应线段相等，但与不一定相等，故C错误； 题目未给出旋转角度，不一定等于，即不一定垂直，故D错误. 8．已知，是方程的两个实数根，则 的值为（     ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据，是方程的两个实数根，即可得，进而得，再根据根与系数的关系得，，把，，代入，进一步计算即可得答案. 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 是方程的一个实数根， ， ， . ∴ 的值为8. 9．如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴公式、与坐标轴交点个数及特殊点坐标进行判断. 【详解】解：①由图象可知，抛物线与轴交于正半轴， ∴，故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ，故③正确； . ④∵抛物线对称轴为直线，且经过点， ∴当时，， ∴当时，，故④错误， 综上，正确的结论是②③. 10．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 【答案】A 【分析】题目围绕电流I与电阻R的关系展开，因此先确定I与R的函数关系式，再借助该函数的增减性逐一验证选项． 【详解】解：由图象可知，I与R的图象是双曲线的一支，故I与R成反比例关系，设（）． 将点代入，得，解得 所以I与R的函数关系式是（），选项B正确，不符合题意． 因为，图象位于第一象限，所以I随R的增大而减小． 选项A，由增减性分析，当时，应有，选项A说法有误，符合题意． 选项C，当时，；当时，．由增减性分析，当时，的取值范围是，选项C正确，不符合题意． 选项D，当时，由得，选项D正确，不符合题意． 11．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，根据矩形的性质可得到点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2026次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 如图，设第1次旋转结束时，点C的对应点为，连接，过点作轴于点G，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 同理第2次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第3次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第4次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； ……， 发现规律：旋转4次一个循环， ∵， 则第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 12．如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时，是等腰三角形 【答案】D 【分析】图②的三个关键点对应点的三个位置：时到、时到、时两个动点同时停止．先把时间还原成线段长，再分段用“底乘高的一半”写出，最后逐项验证． 【详解】解：由图②可知，当时点运动到点，当时点运动到点． ∵点的速度为， ∴，与题设相符． 当时，点在上，；点在上，． ∵， ∴． 由图②，时，取得最大值， ∴，故B错误． ∴，故A错误． 当时，令，得， ∴， ∴或，其中不在内，舍去， ∴当时，也成立，故C错误． 当时，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点（如图）， ∵，，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∴． ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形，故D正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值为________． 【答案】4 【分析】设点P的坐标为，根据反比例函数解析式得出，分析矩形的边长与坐标的关系，建立面积与k的关系，根据图象所在象限求解k的值． 【详解】解：设点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴，轴， ∴矩形的面积， ∴． ∵矩形的面积为4， ∴． ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 14．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 【答案】 【分析】赛制为单循环（每两个队之间仅比赛一场），已知总比赛场次为28，设参赛球队数为x，需根据单循环场次的计数逻辑建立等量关系列方程. 【详解】解：∵ 共有x个球队参赛，每个球队需与除自身外的个球队各进行一场比赛， ∴ 若不剔除重复计数，所有球队的比赛累计场数为， ∵ 每一场比赛由两个球队参与，上述累计计数中每场比赛被重复计算了2次， ∴ 实际总比赛场数为累计场数的一半，即， 已知总比赛场数为28，因此可列方程. 15．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 【答案】10 【分析】根据落地时，，代入求解即可． 【详解】解：∵落地时，， ∴将代入，得 ， 即， ， 解得（负根舍去）． 故铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是． 16．已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，可得，则可证明三点共线，过点作，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形，， ， ，为等边三角形， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 将绕点 B 顺时针旋转得到， ， ，即， ， ， ，， ， ，即三点共线， ， ， ． 三、解答题 17．解方程： (1)． (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，再配方，最后直接开平方求解即可． （2）整理原式为，利用提取公因式法因式分解求得方程的解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， 两边同时开平方，得， ∴，． （2）解：整理，得， 因式分解，得， 则或， ∴，． 18．如图，三个顶点的坐标分别为 (1)画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 【答案】(1)如图所示：即为所求， (2)如图所示：即为所求， 【分析】（1）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形； （2）根据作图要求找到对应点，描点连线即可画出图形． 【详解】（1）略； （2）略． 19．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】(1)如图， (2) ； (3)没有超速 【分析】（1）依题意描点连线即可． （2）设抛物线为，解出a，b即可． （3）当时，代入函数关系式解出y，比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数． ∵图象经过原点， ∴设二次函数的表达式为． 选取和代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为． 代入各点检验，各点均满足所求表达式． （3）解：∵当时，， ∴汽车没有超速行驶． 20．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图象，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当时，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． （2）解：当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 21．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点．已知，点B的纵坐标为3． (1)求k的值． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得出，将其代入一次函数解析式，得到，再根据点B的纵坐标为3确定，将其代入反比例函数解析式得到k的值； （2）联立和得，解方程求出点、，根据求出的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， 将代入得，， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴， 将代入得，； （2）解：联立和得， 整理得，， 解得，， ∴，， ∴． 22．【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… (1)补全上述解题过程； 【方法应用】 (2)如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 (3)如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】[问题解决] 将绕点逆时针旋转，证、、共线，再证求解． [方法应用] 将绕点逆时针旋转，构造用勾股定理求，再证得． [拓展提升] 将绕点逆时针旋转，证四边形为正方形，再证得，在中列勾股定理方程求． 【详解】（1）解：∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴、、在同一直线上， ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转得到，连接． 在中，，， ． 旋转， ，，，． ． ， ， ． 在和中， ，，， ， ． 在中，，，， ， ． （3）解：将绕点逆时针旋转得到，延长交于点E，连接， ， ． 旋转， ，，，，． ，，， 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形， ，． ， ． 旋转，． 在和中， ，，， ， ． ， ． 设，则正方形的边长为． ，． 在中，， ， ， 或（不合题意，舍去）， ． ． 23．如图，矩形的两条邻边，（）． (1)若，是关于的方程的两个根，且，求的值； (2)若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； (3)点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)解：设，则，，，， ， ，即， 化简得，即， ， ， ， ． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，结合得到，即可求解； （2）由（1）可求出，，设，则，，，根据勾股定理可得，即，即可求解； （3）设，则，，，，根据勾股定理可得，即，化简得，根据一元二次方程根的判别式即可得证． 【详解】（1）解：，是关于的方程的两个根， ，， ， ， 即， 解得或， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ，， ，， 设，则，，， ， ，即， 整理得， 解得， ； （3）略 24．阅读下列内容： 如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径（简称消参法）． 所以点一定在函数的图象上． 根据阅读内容解决下列问题： (1)如果点在二次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格； ___，_____，_______，______； (2)如图，若点在二次函数的图象上，则点一定在哪个函数的图象上呢？（设这个函数为．） ①求函数的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； ②记、组成的新函数为，当时，的最大值与最小值的差是8，请求出所有符合条件的的值． 【答案】(1)，，， (2)①，；②或或 【分析】（1）先得出，再设，消去即可得； （2）①先得出，且，再代入消去即可得函数解析式，然后利用描点法画出函数的图象即可； ②分五种情况：，，，和，利用二次函数的性质求出最大值与最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得：， ∵点的坐标为， ∴， 设， ∴，即． （2）解：①将点代入函数得：，且， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 设， ∴，即， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象：略． ②由上可知，，即， ∴结合图象可知，当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；且当时，；当时，． （Ⅰ）当，即时， 在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴， 解得，不符合题设，舍去； （Ⅱ）当，即时， ∴结合函数图象可知，此时的最大值为或或；当时，取得最小值，最小值为， ∴，， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴只能是， 解得或（舍去）； （Ⅲ）当时，， 此时的最大值为4，最小值为，，符合题意； （Ⅳ）当时， ∴结合函数图象可知，此时的最小值为或或；当时，取得最大值，最大值为4， ∴，， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴只能是， 解得或（舍去）； （Ⅴ）当时， ∴此时的最大值为，最小值为， ∵当时，的最大值与最小值的差是8， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，所有符合条件的的值为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年新人教版九年级上册数学期中考试卷-押题卷 测试范围：第25-28章 本卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题 1．若一元二次方程的一个根为，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线与轴没有交点 3．反比例函数图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 4．反比例函数（k为常数，且）与正比例函数（m为常数，且）的一个交点为，则它们的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，顺时针旋转到的位置（点的对应点分别为），下列说法一定正确的是（     ） A．是旋转角 B．点是旋转中心 C． D． 8．已知，是方程的两个实数根，则 的值为（     ） A． B．6 C． D． 9．如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 10．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．当时， B．与的函数关系式是 C．当时，的取值范围是 D．当时， 11．如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．如图①，在四边形中，，，，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，点同时从点出发沿以的速度匀速运动至点，规定其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点，运动时，随时间变化的函数图象，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时，是等腰三角形 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值为________． 14．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 15．如图，铅球与地面的高度（）和运动员出手点的水平距离（）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是___ 16．已知如图，在菱形中，，点P是上一点且．将绕点 B 顺时针旋转得到，连接交于点O、连接，则的长为__________． 三、解答题 17．解方程： (1)． (2) ． 18．如图，三个顶点的坐标分别为 (1)画出绕原点O按逆时针方向旋转90度后的，直接写出的坐标； (2)画出关于原点O成中心对称的图形，直接写出的坐标． 19．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米时） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（米） 0 0.1 0.3 0.6 1 1.5 2.1 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为19米，已知这条高速公路限速100千米时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 20．某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图象，回答下列问题： (1)当时，求眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式； (2)如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求t的值． 21．如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点．已知，点B的纵坐标为3． (1)求k的值． (2)求的面积． 22．【问题呈现】某同学在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题；如图①，，分别是正方形的，边上的动点，连接，和，．若，，试求的长度． 【问题解决】该同学的思路是：如图②，将绕点逆时针旋转，可以得出和全等，然后再证明，从而得到．请你帮助该同学完成余下的解题过程． ∵是绕点逆时针旋转得到的， ∴．，，． ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴、、在同一直线上， …… (1)补全上述解题过程； 【方法应用】 (2)如图③，在中，，，点，在边上，且．若，，则线段的长为____________； 【拓展提升】 (3)如图④，在中，，于点．若，，则的面积为____________． 23．如图，矩形的两条邻边，（）． (1)若，是关于的方程的两个根，且，求的值； (2)若，，的值满足第（1）问的条件，且边上存在点，使得，求此时的长； (3)点是边上一点，满足的点有且只有一个时，求证：． 24．阅读下列内容： 如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径（简称消参法）． 所以点一定在函数的图象上． 根据阅读内容解决下列问题： (1)如果点在二次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格； ___，_____，_______，______； (2)如图，若点在二次函数的图象上，则点一定在哪个函数的图象上呢？（设这个函数为．） ①求函数的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）； ②记、组成的新函数为，当时，的最大值与最小值的差是8，请求出所有符合条件的的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $