精品解析：甘肃金昌市永昌县第六中学2026-2027学年第一学期期中九年级数学试卷

2026～2027学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，请把正确答案填到答题卡上） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 6. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 7. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 镜片度数y（度）与镜片到光斑距离（米）的图象过，结论正确的是（ ） A. B. 时， C. 镜片度数越大，镜片到光斑距离越小 D. 平光镜（度数0）距离为0米 10. 如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 12. 已知反比例函数，当时，y的取值范围是______． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 14. 定义新运算：，若，则的值为_________． 15. 如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上，若平行四边形的面积是5，则k的值是________． 三．解答题（本大题共11小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程等） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）． （2）． 18. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 19. 求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点． 20. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的横截面积的反比例函数，其图像如图所示． （1）当面条的横截面积为时，面条的总长度是多少？ （2）若面条的总长度不大于，则面条的横截面积有什么限制？ 21. 某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． （1）如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； （2）已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 22. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接、，求的面积． 23. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”．某商店销售一种二十四节气书签，每件进价为元．调查发现：当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且每件售价不能超过元．设该二十四节气书签每件售价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该二十四节气书签每件售价为多少元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大？最大利润是多少？ 24. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线的解析式； （2）小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，请把正确答案填到答题卡上） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需先化简各选项中的方程，结合一元二次方程的判定条件判断，注意二次项系数不为0． 【详解】解：A选项：未明确，不一定是一元二次方程； B选项：将右边展开得，移项合并同类项后消去二次项，得到，是一元一次方程； C选项：符合一元二次方程的要求； D选项：中未知数最高次数为3，不是一元二次方程． 2. 已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 3. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0． 4. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：∵将的图象向左平移2个单位， ∴得， ∵再向下平移2个单位， ∴得． 5. 观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 6. 如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，连接．且的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 则，， ， 解得：． 7. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 8. 某商品原价100元，连续两次降价后售价为81元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：第一次降价后售价为元，第二次在第一次售价基础上再降价，则两次降价后售价为元， 由题意得． 9. 镜片度数y（度）与镜片到光斑距离（米）的图象过，结论正确的是（ ） A. B. 时， C. 镜片度数越大，镜片到光斑距离越小 D. 平光镜（度数0）距离为0米 【答案】C 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：设y与x的表达式为 将代入得， ∴ ∴，故A错误； 当时，，故B错误； 由图象可得，镜片度数越大，镜片到光斑距离越小，故C正确； 根据题意得，平光镜（度数为0）不会有光斑存在，故D选项错误． 10. 如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：由题意得，该二次函数的顶点坐标为． 12. 已知反比例函数，当时，y的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】需要先从图像读出对称轴和一个交点，再利用对称性求出另一个交点，最后根据开口方向判断 时对应的区间． 【详解】解：已知一个交点为 ，对称轴为直线 ． 设另一个交点为 ，因为两个交点关于对称轴对称，有， 解得：，． 所以另一个交点为 ． 图像开口向下，则在两根之间函数值为正，即：时，． 14. 定义新运算：，若，则的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 15. 如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案． 【详解】解：设花圃的长为x,面积为y, 则y关于x的函数表达式为： ∴当时，面积最大为． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上，若平行四边形的面积是5，则k的值是________． 【答案】 3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，利用反比例函数解析式表示出、的坐标，进而表示出线段的长，根据平行四边形面积公式列方程求解． 【详解】 解：设点的纵坐标为（）， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是平行四边形，且顶点、在轴上， ∴轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是5， ∴， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（本大题共11小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程等） 17. 用适当的方法解下列方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴， ． 18. 已知与成反比例，且其函数图象经过点． （1）求关于的表达式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，然后代入求解即可； （2）把代入求出的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例 ∴设 ∵函数图象经过点 ∴ 解得 ∴关于的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则， 解得． 19. 求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点． 【答案】证明：∵抛物线， ∴， ∵， ∴，即：， ∴不论m为任何实数，该抛物线与x轴总有两个交点． 【解析】 【详解】略 20. 将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的横截面积的反比例函数，其图像如图所示． （1）当面条的横截面积为时，面条的总长度是多少？ （2）若面条的总长度不大于，则面条的横截面积有什么限制？ 【答案】（1）面条的总长度是 （2）面条的横截面积不小于 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出面条的总长度是面条的横截面积函数的关系式，再将代入求解即可． （2）先求出时自变量x的取值，再根据函数图像求解即可． 【小问1详解】 解：设面条的总长度关于面条的横截面积的函数解析式为，将点代入可得， ． 当时，， ∴当面条的横截面积为时，面条的总长度是． 【小问2详解】 解：当时，，解得． 由图像可得，当时，， ∴若面条的总长度不大于，则面条的横截面积不小于． 21. 某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． （1）如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； （2）已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 【答案】（1）这两条道路的面积分别是和； （2）原来矩形的长为28米，宽为14米． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 22. 如图，反比例函数与一次函数的图像相交于、两点，点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接、，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合． (1)利用待定系数法求出函数的解析式； (2)根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据求出的面积． 【小问1详解】 解：将代入， 可得：， 反比例函数解析式为， 将代入反比例函数解析式， 可得：， 点的坐标为， 将、两点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， 当时，， 点的坐标是， ， 当，， 解得：， 点的坐标是， ， ，， ． 23. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”．某商店销售一种二十四节气书签，每件进价为元．调查发现：当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且每件售价不能超过元．设该二十四节气书签每件售价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该二十四节气书签每件售价为多少元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）每件售价为12元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大，最大利润是960元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该书签的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设商店每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大，最大利润是元． 24. 某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． （1）求抛物线的解析式； （2）小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】（1） （2） 解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 【小问2详解】 略 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点B的坐标； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； （3）第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 【答案】（1） （2）；的最小值为 （3）点的横坐标为，补全图形如下： 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， 点B为； 【小问2详解】 解：当时，， ， 连接，交对称轴于点P，连接，如图： ， ， 点A关于对称轴的对称点为点B， ， 当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为， 将和代入解析式中， 得， 解得， ， 点P在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线解析式得，， ； ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q，如图： ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， 由（2）知，直线为， ， ， ， ∴， ， 当时，有最大值， ∴点的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $