精品解析：甘肃省金昌市永昌县2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

永昌县2024—2025学年第一学期期中考试试卷 九年级 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键．将常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据题意，理解本次旋转的旋转角度等于，数形结合，由已知角度即可得到，熟记旋转性质，数形结合表示出旋转角是解决问题的关键． 【详解】解：如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处， 边旋转到边，即本次旋转的旋转角度等于， 点在一条直线上， ， ， 故选：C． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线的顶点坐标为，则抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律：上加下减，左加右减． 6. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的性质：图象开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大，据此可以判断、、的大小关系． 【详解】解：，即 所以函数图象对称轴为直线，且开口向上， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 三点都在对称轴的左侧， 故选： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢固掌握其性质是解题的关键． 7. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果． 【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 2 3 4 5 0 0 A. 图象开口向下 B. 抛物线对称轴是直线 C. 当时， D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】由图可知，和对应的函数值相等， 抛物线对称轴是直线，此时抛物线有最小值， 故B正确， 抛物线开口向上，故A错误， 由图可知，当时，，故C错误， 当时，随的增大而增大，故D错误， 故选：B． 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质和二次函数的图象与性质，根据函数的图象与系数的关系逐项分析判断即可． 【详解】当时，一次函数的图象过第一、三象限，二次函数的图象开口向上，故C、D不符合题意； 再由A、B选项中，二次函数的图象可知，故，因此A不符合题意， 故选：B． 10. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； ∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过， ∴二次函数的图象经过， ∴当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一元二次方程的两根为，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程根与系数的关系“”进行求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的两根为，可知：， ∴； 故答案为3． 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的知识得出，的长，再根据勾股定理求解．本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，，， ，， ， ， 故答案为：． 13. 已知点是抛物线图象的顶点，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及关于原点对称的点的坐标，把解析式化成顶点式，求得点A坐标，再根据关于原点对称的点的坐标的特点得出答案． 【详解】解：， ， 点A关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 15. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是___________米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为： 令，则， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ． 故答案为：20 16. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 三、解答题（二）：本大题共5小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 按要求解下列方程： （1）（用公式法） （2）（用因式分解法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解一元二次方程的方法． （1）利用公式法即可解答； （2）提取公因式，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，． 18. 如图．已知的顶点的坐标分别是． （1）作出关于原点中心对称的图形； （2）将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出． （3）写出点的坐标 ，点的坐标 ． 【答案】（1） 即为所求作的三角形，如图所示． （2） 即为所求作的三角形，如图所示． （3）； 【解析】 【分析】（1）分别作点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可； （2）分别将三个点绕原点顺时针旋转，得到三个点，再依次连接即可； （3）观察图象得到点和的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点的坐标为和的坐标． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了作旋转图形，作中心对称图形，找到图形的顶点是作图的关键． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式可得关于m的不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，代入，结合（1）中m的取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， 又∵， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 20. 已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，随的增大而______________；（填增大或减小） （3）当时，的取值范围是_______________________； 【答案】（1），顶点坐标为 （2）减小 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出对应的顶点坐标即可； （2）根据二次函数的增减性进行解答即可； （3）先求出抛物线与x轴的交点坐标为，，然后根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； ∴抛物线解析式为． ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：由（1）得抛物线解析式为． 令，则； 解得， ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，对于二次函数，其对称轴为直线，对于二次函数，其顶点坐标为；二次函数与x轴交点的横坐标即为方程的解；二次函数的增减性与二次项系数有关，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 【答案】（1）20%；（2）10368万元. 【解析】 【分析】（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案； （2）根据增长率得出2017年的教育经费. 【详解】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有： 6000=8640 解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去） 所以该县投入教育经费的年平均增长率为20% （2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20% 所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元） 【点睛】考点：一元二次方程的应用 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 【答案】（1），；（2）AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【解析】 【分析】（1）先用x表示出BC，再根据矩形的面积公式求解关系式，根据限制条件AB＜AD列出不等式求解即可； （2）利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是矩形，AB的长为x米， ∴CD=AB=x（米），AD=BC， ∵矩形除AD边外的三边总长为36米， ∴（米）． ∴． 由题意，， ∴ 即自变量的取值范围是； （2）， ∵－2＜0，且对称轴在的范围内 ， ∴ 当时，S取最大值． 即AB边的长为9米时，花圃的面积最大为162平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及求二次函数的表达式、求二次函数的最值、解一元一次不等式，理解题意，正确求得二次函数的表达式是解答的关键． 23. 某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，该超市准备将这种商品涨价销售．经市场调查，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为元． （1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少元？ （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）75元或65元； （2）每件销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润为4000元． 【解析】 【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出方程解方程即可． （2）根据题意列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，， 即， 解得， 答：该商品的销售价是75元或65元； 【小问2详解】 设利润为w，由题意可知：， ∴， ∴每件销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润为4000元． 【点睛】本题考查的是二次函数和一元二次方程在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，求得一元二次方程和二次函数解析式． 24. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键； （1）由旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； （2）由旋转的性质得，，从而得；由是等边三角形，得，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，． 25. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 【答案】（1）10； （2）由（1）知，，由旋转的性质得， ∴是等边三角形． ∴． 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵， ∴． ∵是旋转得到的， ∴在中，根据勾股定理得． （2） 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线 （2）当点P的坐标为时，线段的最大值是4 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由抛物线的对称性求得点的坐标，由解析式求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 把，代入得： 解得 抛物线的表达式为， 对称轴为直线． 【小问2详解】 令，则或4， ． ， 直线的表达式为． 设，， 轴， ， ， 开口向下，对称轴为直线· 当时，，此时 当点P的坐标为时，线段的最大值是4． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质，待定系数法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县2024—2025学年第一学期期中考试试卷 九年级 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 4. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中，与的部分对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 2 3 4 5 0 0 A. 图象开口向下 B. 抛物线对称轴是直线 C. 当时， D. 当时，随的增大而减小 9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一元二次方程的两根为，则___________． 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 _______． 13. 已知点是抛物线图象的顶点，若点和点关于原点成中心对称，则点的坐标是___________． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 15. 如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离是___________米． 16. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 三、解答题（二）：本大题共5小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 按要求解下列方程： （1）（用公式法） （2）（用因式分解法） 18. 如图．已知的顶点的坐标分别是． （1）作出关于原点中心对称的图形； （2）将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出． （3）写出点的坐标 ，点的坐标 ． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 已知抛物线的对称轴是直线，请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，随的增大而______________；（填增大或减小） （3）当时，的取值范围是_______________________； 21. 为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同． （1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 22. 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示），设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米． （1）求S与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米? 23. 某超市经销一种商品，每件成本为50元，为了获取更大利润，该超市准备将这种商品涨价销售．经市场调查，当该商品每件60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为元． （1）当该商品每个月的销售利润为3750元时，则该商品的销售价是多少元？ （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润为多少？ 24. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 25. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点，点A的坐标为． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $