四川省西昌市天立学校2026-2027学年人教版八年级上册期中数学冲刺卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 西昌天立学校 八年级 (上) 期中数学冲刺卷 （测试范围第13-第15章） 总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 2.在中，，则的形状是（        ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 3.如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（        ） A. B. C. D. 4.如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是，则的面积为（        ） A. B. C. D. 5.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（        ） A. B. C. D.不能确定 6.如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（        ） A.10 B.12 C.14 D.16 7.如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 8.如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（     ）个． ①；②；③；④． A.1 B.2 C.3 D.4 9.如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（     ） A. B. C. D.1 10.如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（     ） A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②④ 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是________． 12.如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为________． 13.如图，在中，，平分，交于D，过点D作交于．若，，则的长为________． 14.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=________． 15.如图，在中，，平分交于点，点在上，且，作交于点，若，，则的长为________． 16.如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简：． 18.(6分) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标，并在图中画出点A，C； （2）画出关于x轴对称的． 19.(6分) 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 20.(7分) 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 21.(8分) 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 22.(8分) 如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的面积． 23.(9分) 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 24.(10分) 如图，，与相交于点E，． （1）求证：垂直平分； （2）过点B作交的延长线于F，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 25.(12分) 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接交于M，如图2，求的值； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 西昌天立学校 八年级 (上) 期中数学冲刺卷 （测试范围第13-第15章） 总分：120分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上; 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中不是轴对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了轴对称图形的判断，根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，进行逐一判断即可. 【解答】 解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意. 故选：C. 2.在中，，则的形状是（        ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 【答案】 C 【解析】 根据三角形内角和是180°，由 ，结合 推出 ，有一个内角大于 的三角形是钝角三角形. 【解答】 解： 三角形内角和为180°， , , , 是钝角三角形. 故选：C. 3.如图，在中，是的高，是的角平分线．已知，则的度数为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为AE是角平分线，已知∠BAC的度数，所以可根据角平分线定义求出∠EAC的度数．因为AD是高，所以∠ADC=90°，结合已知∠C的度数，根据直角三角形两锐角互余可求出∠DAC的度数．观察角的和差关系，∠DAE等于∠EAC与∠DAC的差，代入对应度数计算即可． 【解答】 解：已知AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°， 可得：∠CAE=1/2∠BAC=1/2×80°=40° 已知AD是△ABC的高， 因此AD⊥BC，即∠ADC=90°． 在Rt△ADC中，两个锐角互余，结合∠C=38° 可得：∠CAD=90°-∠C=90°-38°=52°． 观察图形可知∠DAE=∠CAD-∠CAE， 代入数值：∠DAE=52°-40°=12°． 故选：A. 4.如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是，则的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，求三角形的面积. 【解答】 解： 点F是BE的中点， CF是 的中线， , , , 点D是BC的中点, ED是 的中线， , 点E是AD的中点, CE、BE分别是 、的中线， ,, ,, . 故选：B. 5.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知，则的度数为（        ） A. B. C. D.不能确定 【答案】 C 【解析】 根据折叠性质得出 利用平角定义表示出 与 的关系，结合三角形内角和定理求解． 【解答】 解： 将三角形纸片 沿 折叠，点 落在点 处， 故选：C. 6.如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（        ） A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】 B 【解析】 由作图可得平分，因此，从而证明（SAS），得到，再将的周长转化为即可解答. 【解答】 解：由作图可得平分， ， 在和中， （SAS）， ， ， ， 故选：B. 7.如图，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由全等三角形的性质得 ， ， ，可得 ， ，再根据图形可知 ，即可求解． 【解答】 解： ， ， ， ， ， ，即 ， ， 由图形可知 ， ． 故选：C. 8.如图，中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（     ）个． ①；②；③；④． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C 【解析】 本题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解. 由角平分线的定义可得 ，再结合三角形内角和定理可求 ，即可判定 ①； 由角平分线的定义可得 ，结合三角形外角的性质可判定 ②；由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定 ③；利用三角形外角的性质可得 ，结合 ，可判定 【解答】 解： 的平分线交于点O， 故 ①正确； 平分 故 ②正确； 如图， 平分 ，CE平分 ， 故 ③错误； 故选：C. 9.如图，中，，，为的中点，，且，与相交于点，则的值为（     ） A. B. C. D.1 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点E作EF AC于F，先证明 得到AC=EF，AF=CD，进而证明 得到FP=CP，再根据线段之间的关系即可得到答案. 【解答】 解；如图所示，过点E作EF AC于F， , AE AD, 又 AE = DA, 又 故选：B 10.如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（     ） A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②④ 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 即 在 和 中， ①正确； 由 可知， 如图所示： 在 和 中， ，则由三角形内角和定理可得 ②错误； 作OG MC于G，OH MB于H，如图所示： 则 在 ③正确； 当 \angle BOC， 假设 在 ，与OA>OC矛盾， ④错误； 综上所述，正确的有 ①③； 故选：A. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.等腰三角形的三边长分别为4，9，，则x的取值是____4____． 【答案】 4 【解析】 题目未明确哪两条边为等腰三角形的腰，需分情况讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形. 【解答】 解：分两种情况讨论： 若， 解方程得 此时三角形三边长为4，4，9 ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； 若， 解方程得 此时三角形三边长为4，9，9 ，，满足三角形三边关系， 此情况成立； 因此的取值为4. 12.如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为____140°____． 【答案】 140° 【解析】 根据垂直平分线的性质得到 ，根据三角形内角和定理得到 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】 解： , , , , , 解得： , , . 13.如图，在中，，平分，交于D，过点D作交于．若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 根据角平分线性质求出 CD=DE，证明Rt （HL），得 AC=AE，然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题.本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等. 【解答】 解：∵ AD平分 在Rt 和Rt 中， Rt Rt （HL） 故答案为： . 14.如图，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分线，延长BD至点E，使得DE=DA，则∠ECA=____40°____． 【答案】 40° 【解析】 在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得 ，易得 ，进而可得DF=AD=DE，由此可证 ，然后根据全等三角形的性质、三角形内角和及外角的性质可求解. 【解答】 解：在BC上截取BF=AB，连接DF， BD是 的角平分线， DE=DA, DF=AD=DE, 故答案为40° 15.如图，在中，，平分交于点，点在上，且，作交于点，若，，则的长为____10____． 【答案】 10 【解析】 证明Rt BDF Rt EDC(HL)求出BF=EC=4cm，再证Rt ADC Rt ADF(HL)求出AF=AC=6cm，即可求出结论. 【解答】 解：在 ABC中，，AD平分 ，DF AB， DF=DC， 在Rt BDF和Rt EDC中， Rt BDF Rt EDC(HL)， BF=EC=4cm， AE=2cm， ， 在Rt ADC和Rt ADF中， Rt ADC Rt ADF(HL)， ， . 16.如图，在中，，，点D是斜边上一点，连结，以为边向右构造等边，连结，若，则的最小值为___ _____． 【答案】 【解析】 取AB的中点F，连结CF、FE，FE交AC于点H，根据题意可知 是等边三角形，再利用勾股定理求出AC的长度，然后可利用边角边证明 ，得到 ，根据同位角相等，两直线平行，得出FE ，进一步可得到 ，最后根据直角三角形斜边大于直角边即可求解. 【解答】 解：如下图所示：取AB的中点F，连结CF、FE，FE交AC于点H， 在Rt 中， 是等边三角形， 是等边三角形， 在 和 中， 的最小值为 故答案为： 在Rt 中， 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 已知的三边长分别为a，b，c． （1）a，b，c满足，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】 为等边三角形 【解析】 （1）根据绝对值和平方的非负性得到, , 进而推出, 即可判断 的形状; （2）根据三角形三边关系得到, , , 再结合绝对值性质进行化简，即可解题. 【解答】 （1）解： , 解得, 为等边三角形; （2）解：的三边长分别为a, b, c, , , , , . 18.(6分) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标，并在图中画出点A，C； （2）画出关于x轴对称的． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）根据轴对称图形的性质即可求出点C的坐标，可同时画出图形； （2）根据轴对称图形的性质分别画出 A，B，C三点关于 x轴的对称点 ，然后依次连接即可. 【解答】 （1） ，如图，点A，点C就是所求作的点； （2）如图， 就是所求作的三角形. 19.(6分) 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】 见解答 4m 【解析】 （1）利用“AAS”证明即可； （2）根据 ，可得 ，由BE、BF可求出EF，再根据 ，即可求解. 【解答】 （1）证明：， ， 又，， （AAS） （2）， ， ， ， ， ， . 20.(7分) 如图，四边形中，，，于点，交于点，连接，平分． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】 见解答 5. 【解析】 （1）证出 ，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明Rt Rt ，由全等三角形的性质可得出 ，则可得出答案. 【解答】 （1）证明：， ， 平分 ， ， 又 ， ； （2）解：在Rt 和Rt 中， ， ， ， ， 21.(8分) 如图，在中，，，延长至点，使，连接，以为边作，其中，，连接． （1）求证：； （2）与有何位置关系？请说明理由． 【答案】 见解析 ；理由见解析 【解析】 （1）根据SAS证明 即可； （2）利用三角形全等的性质得到角度相等，再通过互余证明垂直即可. 【解答】 （1）证明： 在 和 中 （2）解： ；理由如下： 如图，BE交CD于点O， 由（1）得： 22.(8分) 如图，是等边三角形，是上的高线．作于点A，交的延长线于点E，取的中点M，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的面积． 【答案】 见解答 3 【解析】 （1）由等边三角形的性质得 ∠ABC=60°，由三线合一得出 ∠ABD=∠CBD=1/2 ∠ABC=30°，由三角形内角和定理得出 ∠E=60°， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AM=EM=BM=1/2 BE，即可证明 △AEM是等边三角形； （2）由 DE=ME，得 S₃△AMD=S₃△AED=1/2 S₃△AEM=1/2，由 EM=BM，得 S₃△ABM=S₃△AEM=1则 S₃△ABD=S₃△AMD+S₃△ABM=1/2+1=3/2 ，由等边三角形的性质即可得出答案． 【解答】 （1）证明：∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠ABC=60°， ∵ BD是AC上的高线， ∴ BD ⊥ AC， ∴ ∠ABD=∠CBD=1/2 ∠ABC=30°， ∴ AE ⊥ AB， ∴ ∠BAE=90°， ∴ ∠E=60°， ∵ 点M是BE的中点， ∴ AM=EM=BM=1/2 BE， ∴ △AEM是等边三角形． （2）解：∵ △AEM是等边三角形，AD ⊥ EM，且 S₃△AEM=1， ∴ DE=DM， ∴ S₃△AMD=S₃△AED=1/2 S₃△AEM=1/2， ∴ EM=BM， ∴ S₃△ABM=S₃△AEM=1， ∴ S₃△ABD=S₃△AMD+S₃△ABM=1/2+1=3/2， ∵ △ABC是等边三角形，BD是AC上的高线． ∴ CD=AD， ∴ S₃△ABD=S₃△CBD=3/2， ∴ S₃△ABC=S₃△ABD+S₃△CBD=3． 23.(9分) 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为___11___； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】 11 见解答 【解析】 （1）根据垂直平分线的性质得到 ，得到 ，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到 ，再利用垂直平分线的判定即可得出结论. 【解答】 （1）解： 直线/垂直平分边BC，分别交AC，BC于点D，E， 的周长为19， 故答案为：11； 即 （2）解： 又 （3）解：点P在边AB的垂直平分线上，理由如下： 连接PA、PB 直线 I垂直平分边 BC，点 P在直线 I上， 点P在边 AC的垂直平分线上， 点P在边 AB的垂直平分线上. 24.(10分) 如图，，与相交于点E，． （1）求证：垂直平分； （2）过点B作交的延长线于F，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）因为 ，所以AB=AD，得到点A在BD的垂直平分线上；再由 ，可得CB=CD，C在 BD的垂直平分上，即可得AC垂直平分BD. （2）①的突破口是BF CD和AB=AF，利用平行线的性质可得角相等，结合（1）的结论中AC平分 、AB=AD，通过等边对等角推导角度关系，证明BC=CD且 ，即可得是等边三角形. ②的突破口是最短路径的轴对称思想，因为要找GH+AH的最小值，所以作点A关于CD的对称点，将折线和转化为点到直线的垂线段，利用“垂线段最短”确定G、H的位置，再结合等边三角形的角的性质推导GH和CH的数量关系. 略. 【解答】 （1）证明： 在BD的垂直平分线上， 在BD的垂直平分线上， 垂直平分BD； （2）①证明：设 是 的外角， 由（1） 即 则 是等边三角形； ②GH与CH的数量关系：H=2GH 理由： 延长 至 ，使 与 关于CD成轴对称，过作 于G交CD于H，连接AH， ，此时GH+AH为最小， 由 ①知： ，即 即GH 在Rt 中， 为最小值时，GH与CH的数量关系是CH=2GH.. 25.(12分) 为等腰直角三角形，，点D在边上（不与点A、B重合），以为腰作等腰直角，． （1）如图1，作于F，求证：； （2）在图1中，连接交于M，如图2，求的值； （3）如图3，过点E作交的延长线于点H，过点D作，交于点G，连接，当点D在边上运动时，探究线段，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 见解答 2 见解答 【解析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得到 CD=CE，再利用等角的余角相等得到 ，然后根据AAS可证明 ; （2）由 得到BD=CF，BC=EF，再利用 为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明 ，得到BM=FM，所以 （3）在EH上截取EQ=DG，如图3，先证明 得到CG=CQ， ，由于 ，则 ，所以 ，再证明 ，则得到HG=HQ，然后问题可求解. 【解答】 （1） 证明： 为等腰直角三角形， 在 和 中， （2） 解： 为等腰直角三角形， 在 和 中， (AAS) 的值为2； （3）解： ，理由如下： 在EH上截取 ，如图， 在 和 中 （SAS） 而 在 和 中， （SAS） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $