期中复习：角平分线4种高频考点 专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中复习：角平分线4种高频考点专项训练 期中复习：角平分线4种高频考点专项训练 考点目录 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图问题 角平分线性质的实际应用 考点一 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理解题技巧 （1）性质内容：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是点到两边的垂线段长度，必须有垂直条件。 （2）看到角平分线，常由其上一点向角的两边作垂线，直接得到两条相等线段，不必再证全等。 （3）性质主要用于证明线段相等或求线段长度。 （4）注意区分“角平分线”是射线，而“三角形的角平分线”是线段。 （5）结合三角形面积、周长问题时，可利用相等的距离作为高列式。 例1．（26-27八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，射线平分，点分别在射线、上，若的面积为，过点作于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，平分，交于点D，若，，，则的长是________． 变式1．（26-27八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，射线平分，于点C，点D是上的一个动点，连接．若，则线段最短为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 变式2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 变式3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分交于点，于点．若的面积为21，，，则的长是______． 考点二 角平分线的判定定理 角平分线的判定定理解题技巧 （1）判定内容：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）使用前提：点必须在角的内部，且两个距离都是垂线段。 （3）判定用于证明某点在角平分线上、某条线是角平分线或两角相等。 （4）性质与判定互为逆定理，推理方向相反，注意区分。 （5）拓展结论：三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等。 例1．（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，于点E，于点F，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 例2．（26-27八年级上·天津红桥·阶段检测）如图，点在线段上，分别以，为腰，在的同侧作等腰和等腰，，，且，连接，相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 例3．（26-27八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，于，于，若，． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 变式1．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 变式2．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 变式3．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 考点三 角平分线的作图问题 角平分线的作图问题解题技巧 （1）掌握尺规作图步骤：先以顶点为圆心画弧交两边，再以两个交点为圆心、相同半径画弧交于一点，连接顶点与该点。 （2）作图时保留作图痕迹，圆弧和交点不能擦掉。 （3）作图依据是全等三角形（SSS），理解原理才能应对变式。 （4）作图完成后要写明结论。 （5）借助角平分线可进一步完成三角形内切圆等相关作图。 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线． 例2．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，， (1)求作射线，使平分，交于（尺规作图保留痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 变式1．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，中，平分交于D，，． (1)用尺规作出线段．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数； 变式2．（26-27八年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，在中，是高， (1)作出的平分线交于（保留作图痕迹，不写作法） (2)，，求的度数． 考点四 角平分线性质的实际应用 角平分线性质的实际应用解题技巧 （1）把实际问题转化为数学模型：“到两边距离相等”即对应角平分线。 （2）选址类问题：到两条相交道路距离相等的点在角平分线上；到三角形三边距离相等的点找内心。 （3）通过作垂线、量距离确定具体位置，结合图形分析。 （4）注意题目中“角的内部、距离相等”等限定条件。 （5）综合题中角平分线常与全等三角形、等腰三角形结合使用，注意辅助线的选择。 例1．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 例2．（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 变式2．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：角平分线4种高频考点专项训练 期中复习：角平分线4种高频考点专项训练 考点目录 角平分线的性质定理 角平分线的判定定理 角平分线的作图问题 角平分线性质的实际应用 考点一 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理解题技巧 （1）性质内容：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指的是点到两边的垂线段长度，必须有垂直条件。 （2）看到角平分线，常由其上一点向角的两边作垂线，直接得到两条相等线段，不必再证全等。 （3）性质主要用于证明线段相等或求线段长度。 （4）注意区分“角平分线”是射线，而“三角形的角平分线”是线段。 （5）结合三角形面积、周长问题时，可利用相等的距离作为高列式。 例1．（26-27八年级上·湖北恩施·阶段检测）如图，射线平分，点分别在射线、上，若的面积为，过点作于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形的面积公式和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ，平分， ． 例2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于， ∵，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 例3．（26-27八年级上·江苏·阶段检测）如图，在中，平分，交于点D，若，，，则的长是________． 【答案】 【分析】过点D作于点E，于点F，先根据角平分线的性质定理得到，再用面积法列方程求解即可． 【详解】解：过点D作于点E，于点F， 平分， ， ， 又， ， ， 解得． 变式1．（26-27八年级上·广西崇左·阶段检测）如图，射线平分，于点C，点D是上的一个动点，连接．若，则线段最短为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】过点P作于点E，由角平分线的性质得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵射线平分，，， ∴， ∵点D是上的一个动点，且垂线段最短， ∴， ∴线段最短为4． 变式2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，点E是上一点，，，平分，平分．若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】C 【分析】利用角平分线的性质定理，过点作的垂线，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，进而求解． 【详解】解：过点作于点 平分 平分 ． 变式3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分交于点，于点．若的面积为21，，，则的长是______． 【答案】 5 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据列方程求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 考点二 角平分线的判定定理 角平分线的判定定理解题技巧 （1）判定内容：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）使用前提：点必须在角的内部，且两个距离都是垂线段。 （3）判定用于证明某点在角平分线上、某条线是角平分线或两角相等。 （4）性质与判定互为逆定理，推理方向相反，注意区分。 （5）拓展结论：三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等。 例1．（26-27八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，于点E，于点F，若，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)证明：于， ， 为直角三角形． 于， ， 为直角三角形， 在与中， ， ∴， ， ∵， 平分； (2)证明：由（1）知平分， ， 在与中， ， ， ， ． 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，即可证明平分； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，据此根据线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（26-27八年级上·天津红桥·阶段检测）如图，点在线段上，分别以，为腰，在的同侧作等腰和等腰，，，且，连接，相交于点． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：如图，分别过点作于，于， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）由已知可得，然后根据即可证明，即可得证； （2）分别过点作于，于，根据全等三角形的面积相等，从而证得和边上的高相等，即，最后根据角平分线的判定定理即可证得，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（26-27八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，于，于，若，． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明： 在和中， ， ， ， 又，， 平分． (2)8 【分析】（1）先证，推出，根据角平分线的判定定理即可证明平分； （2）先求出，再证，推出，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ， ． 变式1．（26-27八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：如图，在中，，是上一点，于，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， 点在的平分线上， 即平分； (2)． 【分析】（1）根据角平分线的判定即可证明； （2）利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求解． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，， ， 平分， ． 变式2．（26-27八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，，，E是边中点，平分． (1)求证：平分； (2)，，三条线段之间有什么数量关系，请证明． 【答案】(1)证明：如图，过点E作于点F ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∵E是边中点 ∴ ∴ ∵， ∴平分； (2)解：，理由如下： ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）过点E作于点F，由平行线的性质得到，然后利用角平分线的性质定理得到，等量代换得到，然后利用角平分线的判定定理证明； （2）证明，得到，证明，得到，然后等量代换证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是，．求证： (1)平分． (2)，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，且点在内部， ∴平分． (2)24 【分析】（1）先证出，则可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再求出的面积，然后根据三角形的中线性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵是的中点， ∴． 考点三 角平分线的作图问题 角平分线的作图问题解题技巧 （1）掌握尺规作图步骤：先以顶点为圆心画弧交两边，再以两个交点为圆心、相同半径画弧交于一点，连接顶点与该点。 （2）作图时保留作图痕迹，圆弧和交点不能擦掉。 （3）作图依据是全等三角形（SSS），理解原理才能应对变式。 （4）作图完成后要写明结论。 （5）借助角平分线可进一步完成三角形内切圆等相关作图。 例1．（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在四边形中，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，连接，若是的中点，求证：是的平分线． 【答案】(1) (2)如图，过点E作于点F， 则， 由作图知，是的平分线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 【分析】（1）按照用尺规作角平分线的方法完成即可； （2）过点E作于点F，由角平分线的性质定理得，再由中点得，由角平分线的判定即可证明． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略． 例2．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，， (1)求作射线，使平分，交于（尺规作图保留痕迹，不写作法）； (2)求的度数． 【答案】(1)解：如图所示：为所作的平分线， (2) 【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的方法作的平分线即可； （2）利用两直线平行，内错角相等求出的度数，再利用角平分线可求，继而根据三角形的外角进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 平分 ， ． 变式1．（26-27八年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，中，平分交于D，，． (1)用尺规作出线段．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作图方法得到； （2）根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵在中，，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴． 变式2．（26-27八年级上·辽宁营口·阶段检测）如图，在中，是高， (1)作出的平分线交于（保留作图痕迹，不写作法） (2)，，求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）先由三角形内角和定理求解，然后根据角平分线定义可求的度数，再由三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵在中，是高， ∴ ∴． 考点四 角平分线性质的实际应用 角平分线性质的实际应用解题技巧 （1）把实际问题转化为数学模型：“到两边距离相等”即对应角平分线。 （2）选址类问题：到两条相交道路距离相等的点在角平分线上；到三角形三边距离相等的点找内心。 （3）通过作垂线、量距离确定具体位置，结合图形分析。 （4）注意题目中“角的内部、距离相等”等限定条件。 （5）综合题中角平分线常与全等三角形、等腰三角形结合使用，注意辅助线的选择。 例1．（26-27八年级上·天津南开·阶段检测）三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 例2．（26-27八年级上·河北保定·阶段检测）如图，某公园有一块角形花坛，园丁沿的平分线铺设了一条喷灌管道，管道上装有一个自动喷灌喷头P，喷头P到花坛两边，的最短距离分别为，（于点M，于点N）．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质定理即可作答． 【详解】解：由题意得，平分， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 变式2．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 变式3．（25-26八年级上·广西柳州·阶段检测）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条高的交点处 C．三角形三条中线的交点处 D．三角形三个内角的角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三角形三个内角的角平分线的交点处． 故选：D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $