【期中专项】专项01 不等式（组）及其解法和应用（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

专项01 不等式（组）及其解法和应用 目 录 考点01 不等式的性质与解集 考点02 一元一次不等式（组）的解法 考点03 一元一次不等式（组）的应用 考点04 整数解与解集范围讨论 考点05 二元一次方程组与不等式（组）结合 考点01　不等式的性质与解集 难度层级：基础　|　知识点：不等式的定义/解集/性质 1．D 2．D 3．（答案不唯一） 4． 5．（1），数轴表示为： （2），数轴表示为： （3），数轴表示为： （4），数轴表示为： 6． 考点02　一元一次不等式（组）的解法 难度层级：基础—提升　|　知识点：解一元一次不等式/数轴表示/解不等式组 7．D 8．C 9．B 10． 11．（1） （2） （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4） 12．，不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 13．（1） （2） （3） 考点03　一元一次不等式（组）的应用 难度层级：提升　|　知识点：列不等式（组）解实际问题 14．A 15．C 16．3 17．① 12800 ② 12600 18．33 19．（1）每个神舟模型进价50元，每个天宫模型进价40元 （2）共有3种进货方案：①神舟模型买27个，天宫模型买53个；②神舟模型买28个，天宫模型买52个；③神舟模型买29个，天宫模型买51个 20．（1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元 （2）最多购进甲种纪念品70件 21．（1）型号桌椅每套元，型号桌椅每套元 （2）最多可以购买型号桌椅套 考点04　整数解与解集范围讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：不等式（组）的整数解/由解集求参数 22．C 23．A 24． 25． 26． 27． 28．（1）；（2） 29．（1），的值分别为1，3 （2） 考点05　二元一次方程组与不等式（组）结合 难度层级：提升　|　知识点：不等式组和方程组结合的问题 30．C 31．A 32． 33． 34． 35．（1）或 （2） （3） 36．（1） （2）①；② 37．（1） （2） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 不等式（组）及其解法和应用 目 录 考点01 不等式的性质与解集 考点02 一元一次不等式（组）的解法 考点03 一元一次不等式（组）的应用 考点04 整数解与解集范围讨论 考点05 二元一次方程组与不等式（组）结合 考点01　不等式的性质与解集 难度层级：基础　|　知识点：不等式的定义/解集/性质 1．如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．关于的一元一次不等式的解集为，则的值不能为（ ） A. B. C. D. 3 3．写出一个解集为的一元一次不等式________． 4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 5．解下列不等式，并将解集表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）． 6．已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 考点02　一元一次不等式（组）的解法 难度层级：基础—提升　|　知识点：解一元一次不等式/数轴表示/解不等式组 7．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9．如图，在数轴上表示不等式组的解集，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 10．不等式组的解集是________． 11．解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①得__________________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________________． 12．解不等式组 并将解集用数轴表示出来． 13．解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）原不等式组的解集为______． 考点03　一元一次不等式（组）的应用 难度层级：提升　|　知识点：列不等式（组）解实际问题 14．某超市从水果生产基地购进一批水果，运输过程中将会有的损耗，假如不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 15．某商店甲商品的单价为 8 元，乙商品的单价为 2 元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的 2 倍少 4 件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于 32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过 148 元．设购买甲商品 x 件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 16．某超市从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，共有________种进货方案． 17．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元． （1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费________元； （2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为________元． 18．某学校为落实“五项管理”工作，促进学生健康和全面发展，丰富学生的体育活动，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，买一个足球需要50元，买一个篮球需要80元．根据实际需要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，则这所中学最多可购买篮球________个． 19．北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组入驻中国空间站．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价． （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？并将方案列举出来． 20．第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 21．某学校计划购进两种型号的学生桌椅．已知购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元；购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元． （1）求两种型号桌椅每套的单价； （2）若学校计划购买两种型号的桌椅共套，且总费用不超过元，则最多可以购买型号桌椅多少套？ 考点04　整数解与解集范围讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：不等式（组）的整数解/由解集求参数 22．对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 23．小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 24．若关于的不等式组的整数解恰有4个，则实数的取值范围是________． 25．已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围________． 26．若不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是________． 27．关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 28．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 29．对，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， （1）求，的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 考点05　二元一次方程组与不等式（组）结合 难度层级：提升　|　知识点：不等式组和方程组结合的问题 30．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 31．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 32．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是________．（一题多解法） 33．若不等式组的解集是，则________． 34．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为________． 35．我们在数学学习中，经常利用“转化”的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②． 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： （1）不等式的解集为 ； （2）求不等式的解集； （3）已知关于x、y的方程组的解满足，求k的取值范围． 36．阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， （1）解这个不等式组，得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． 37．关于的方程组的解满足． （1）求m的取值范围； （2）若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 不等式（组）及其解法和应用 目 录 考点01 不等式的性质与解集 考点02 一元一次不等式（组）的解法 考点03 一元一次不等式（组）的应用 考点04 整数解与解集范围讨论 考点05 二元一次方程组与不等式（组）结合 考点01　不等式的性质与解集 难度层级：基础　|　知识点：不等式的定义/解集/性质 1．如果关于x的不等式的解集为，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变求解即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答的关键是熟知不等式基本性质，尤其是不等式的基本性质：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．关于的一元一次不等式的解集为，则的值不能为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，可得关于的不等式，解不等式，可得答案． 【详解】解：由关于的一元一次不等式的解集为，得， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质得出关于的不等式是解题关键． 3．写出一个解集为的一元一次不等式________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合要求的不等式即可． 【详解】解：解集为的一元一次不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义． 4．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，当不等式的两边同时乘或者除以一个负数时，不等号方向要改变，根据此性质即可得到答案； 【详解】解：由题意可知：当两边同时除以时，不等式方向发生了改变，所以； 故答案为：． 5．解下列不等式，并将解集表示在数轴上： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），数轴表示为： （2），数轴表示为： （3），数轴表示为： （4），数轴表示为： 【小问详解】解： 两边同时减3，得 化简得 将解集表示在数轴上略； 【小问详解】解： 两边同时除以3，不等号方向不变，得 化简得 将解集表示在数轴上略； 【小问详解】解： 两边同时乘，不等号方向改变，得 化简得 将解集表示在数轴上略； 【小问详解】解： 两边同时减，得 化简得 将解集表示在数轴上略． 6．已知是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，先根据一元一次不等式的定义，得，先求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴． ∴原不等式化为：， 解得． 考点02　一元一次不等式（组）的解法 难度层级：基础—提升　|　知识点：解一元一次不等式/数轴表示/解不等式组 7．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】数轴表示解集：大于向右，小于向左，取公共部分； 【详解】解：表示如图D， 故选：D 【点睛】本题考查不等式解集在数轴上的表示；理解数轴表示解集的规则是解题的关键． 8．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可选择． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 所以不等式组的解集为：． 在数轴上表示不等式组的解集为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及其数轴表示，掌握求一元一次不等式组的解的口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”是解题的关键． 9．如图，在数轴上表示不等式组的解集，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分别求解两个不等式，并表示到数轴上即可得出正确选项． 【详解】解：，解得：， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的求解与解集在数轴上的表示，属于基础题． 10．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 11．解不等式组，请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①得__________________； （2）解不等式②，得______________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为______________________． 【答案】（1） （2） （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4） 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （3）将解集表示在数轴上即可； （4）结合数轴写出解集即可． 【小问详解】解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 解得：， 即解不等式①得； 【小问详解】解：去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 解得：， 即解不等式②得； 【小问详解】略 【小问详解】解：由数轴可得原不等式组的解集为． 12．解不等式组 并将解集用数轴表示出来． 【答案】，不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是； 13．解不等式组，请按下列步骤完成解答： （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）原不等式组的解集为______． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问详解】解：解不等式①，得； 【小问详解】解不等式②，得； 【小问详解】原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 考点03　一元一次不等式（组）的应用 难度层级：提升　|　知识点：列不等式（组）解实际问题 14．某超市从水果生产基地购进一批水果，运输过程中将会有的损耗，假如不计超市其他费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等．设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为元/千克， 根据题意得：购进这批水果用去元，但在售出时，水果只剩下千克， 售货款为元， 根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款可列出不等式： ，解得． 故选：A． 15．某商店甲商品的单价为 8 元，乙商品的单价为 2 元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的 2 倍少 4 件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于 32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过 148 元．设购买甲商品 x 件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品件，根据购买甲、乙两种商品的总件数不少于 32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过 148 元，即可得出关于x的一元一次不等式组，即可得出结果． 【详解】解：设购买甲商品x件，则购买乙商品件，由题意可得： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的实际应用，明确题意，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 16．某超市从厂家购进，两种礼盒，已知，两种礼盒的单价比为，单价和为200元．该超市购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，共有________种进货方案． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，：由题意可知，礼盒的单价为：元，礼盒的单价为：元，设购进种礼盒个，种礼盒个，根据总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，解之可得出，由购进种礼盒最多36个且种礼盒的数量不超过种礼盒数量的2倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合，均为整数即可得出的值，进而可得出进货方案数．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：由题意可知，礼盒的单价为：元，礼盒的单价为：元， 设购进种礼盒个，种礼盒个， 依题意，得：， ∴． ∵，， ∴． ∵，的值均为整数， ∴为3的倍数， ∴的值为：30、33、36， ∴共有三种方案， 故答案为：3． 17．某公司需要采购甲种原料41箱，乙种原料31箱．现安排A，B，C三种不同型号的卡车来运输这批原料，已知7箱甲原料和5箱乙原料可装满一辆A型卡车；5箱甲原料和7箱乙原料可装满一辆B型卡车；3箱甲原料和2箱乙原料可装满一辆C型卡车．A型卡车运输费用为一次2000元，B型卡车运输费用为一次1800元，C型卡车运输费用为一次1000元． （1）如果安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输这批原料，需要运费________元； （2）如果要求每种类型的卡车至少使用一辆，则运输这批原料的总费用最低为________元． 【答案】① 12800 ② 12600 【分析】（1）根据题意，列式子，计算即可； （2）根据每个卡车至少使用1辆，根据余下乙原料的量，分析即可； 【详解】（1）安排5辆A型卡车、1辆B型卡车、1辆C型卡车运输的费用为： 元 故答案为：12800． （2）当每个卡车至少使用1辆时，余下甲原料有箱，乙原料有箱， 设余下的原料中，需要A型车a辆，B型车b辆，C型车c辆 则满足 对比可知，1辆A型车和2辆C型车的费用相等，但是1辆A型车运输的却比2辆C型车运输的多，故故为了使总费用最少，余下原料的分配中，减少对C车的选择； 且甲原料最多，而三个车型中，A型车对甲原料的运输的最多，在余下原料的分配中，优先考虑A型车； 故根据余下的原料可能的方案有： ①A型车4辆，B型车0辆，C型车0辆，费用为 ②A型车3辆，B型车1辆，C型车0辆，费用为 ③A型车3辆，B型车2辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑 ④A型车3辆，B型车3辆，C型车0辆，费用比②高，不考虑 即随着B型车选择的增多，余下的甲原料额外需要增加A型车取运输，故③，④不考虑、 故答案为：12600 【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的信息，找到优先考虑的情况． 18．某学校为落实“五项管理”工作，促进学生健康和全面发展，丰富学生的体育活动，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，买一个足球需要50元，买一个篮球需要80元．根据实际需要，该学校从体育用品商店一次性购买了三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，则这所中学最多可购买篮球________个． 【答案】33 【分析】购买足球和篮球的总费用不超过6000元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解． 【详解】解：设该中学购买篮球m个，根据题意得出： 80m+50（100-m）≤6000， 解得：m≤33， ∵m是整数， ∴m≤33（m的最大整数解是33）． 故答案为：33． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用；得到相应总费用的不等式是解决本题的关键． 19．北京时间2024年10月30日12时51分，在轨执行任务的神舟十八号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组入驻中国空间站．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价． （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？并将方案列举出来． 【答案】（1）每个神舟模型进价50元，每个天宫模型进价40元 （2）共有3种进货方案：①神舟模型买27个，天宫模型买53个；②神舟模型买28个，天宫模型买52个；③神舟模型买29个，天宫模型买51个 【分析】（1）设每个神舟模型的进价为x元，每个天宫模型的进价为y元，列方程组解答； （2）根据总费用不超过3490元列不等式组解答 【小问详解】解：设每个神舟模型的进价为x元，每个天宫模型的进价为y元． 由题意得 解得 所以，每个神舟模型进价50元，每个天宫模型进价40元； 【小问详解】根据题意可得 解得 因为取正整数，所以． 共有3种进货方案 ①神舟模型买27个，天宫模型买53个 ②神舟模型买28个，天宫模型买52个 ③神舟模型买29个，天宫模型买51个 20．第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ （2）若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元 （2）最多购进甲种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进甲种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【小问详解】解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元， 由题意可得：， 解得， ∴甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元． 【小问详解】解：设购进甲种纪念品m件， 由题意可列一元一次不等式：， 解得， ∴最多购进甲种纪念品70件． 21．某学校计划购进两种型号的学生桌椅．已知购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元；购买套型号桌椅和套型号桌椅共需元． （1）求两种型号桌椅每套的单价； （2）若学校计划购买两种型号的桌椅共套，且总费用不超过元，则最多可以购买型号桌椅多少套？ 【答案】（1）型号桌椅每套元，型号桌椅每套元 （2）最多可以购买型号桌椅套 【分析】（）设型桌椅每套单价为元，型桌椅每套单价为元，根据题意列出方程组求解即可； （）设购买型桌椅套，则购买型桌椅套，根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问详解】解：设型桌椅每套单价为元，型桌椅每套单价为元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：型号桌椅每套元，型号桌椅每套元； 【小问详解】解：设购买型桌椅套，则购买型桌椅套， 根据总费用要求列不等式：， 化简得：， 即， 答：最多可以购买型桌椅套． 考点04　整数解与解集范围讨论 难度层级：提升—拓展　|　知识点：不等式（组）的整数解/由解集求参数 22．对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分和两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值 【详解】若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解， ①若，由得，， 解，得：，与不符，舍去； ②若，由得， 解得， 不等式组恰好有3个整数解， ， 解得：， 故选：C． 23．小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【分析】解每个不等式得出不等式组的解集为，然后由或得到或，分别求出整数解，然后求和即可． 本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的能力． 【详解】解：∵ ∴由，得出， 由，得出， ∴不等式组的解集为， ∵的取值范围是或， ∴或， ∴当时，整数解为，0，1，2，3，和为； 当时，整数解为2，3，和为； 综上所述，的值为5． 故选：A． 24．若关于的不等式组的整数解恰有4个，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，先解得每个不等式，再根据它恰有个整数解，分析出它的整数解，进而求得实数的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的整数解恰有4个， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 25．已知关于的不等式组恰好有两个整数解，求实数的取值范围________． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围． 【详解】解： 解不等式 得：， 解不等式得：. 则不等式组的解集是：， ∵不等式组只有两个整数解，是和0． ∴． 解得：． 故答案为：． 26．若不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数范围． 先分别解两不等式，求出不等式组的解集，再根据“恰有4个整数解”判断即可． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； ∴， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴， 故答案为： 27．关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，熟练掌握：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有3个整数解， ∴， ∴． 28．（1）已知关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3，求a的取值范围． （2）已知不等式组只有一个整数解，试确定a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题属于含有字母的不等式问题，主要考查了一元一次不等式（组）的整数解，首先用含字母的代数式表示不等式（组）的解集，再根据列出关于此字母的不等式组，解之即得． （1）首先求得不等式的解，再根据不等式的正整数解即可得到一个关于a的不等式组，即可求得a的范围； （2）首先求出两个不等式的解集，确定出不等式组的解集，再根据不等式整数解的个数确定a的取值范围． 【详解】解：（1）原不等式的解集为． 关于x的不等式的正整数解恰好是1，2，3， 所以， 所以a的取值范围是． （2）解不等式， 得， 所以． 解不等式， 得， 所以． 所以只有当时，原不等式组才有解，且解集为． 因为原不等式组只有一个整数解， 所以由条件，得， 所以a的取值范围是． 29．对，定义一种新运算，规定(其中，均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例：. 已知，， （1）求，的值； （2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】（1），的值分别为1，3 （2） 【分析】（1）已知T的两对值，分别代入T中计算，求出a与b的值即可． （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可． 【小问详解】解：由，， 得，， 整理得：， 解得， 故答案为：a，b的值分别为1，3． 【小问详解】解：由（1）得， 则不等式组 化为 解得. ∵不等式组恰好有3个整数解，即， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用及不等式组的应用，理解题目中新定义的运算是解题关键． 考点05　二元一次方程组与不等式（组）结合 难度层级：提升　|　知识点：不等式组和方程组结合的问题 30．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴≥， 解得：a≥-， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴， 解得-2≤a＜1， ∴≤a＜1， ∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 31．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 32．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是________．（一题多解法） 【答案】 【分析】首先解方程组，利用表示出、的值，然后代入，即可得到一个关于的不等式，解不等式求得的取值范围；也可以将两式相加，可直接求出，由此可得到一个关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解： ①②，得，解得， ①②，得，解得． ∵， ∴， 去分母，得， 解得 则的取值范围是． 一题多解法 ①+②得，． ∵， ∴， 解得， 则的取值范围是． 33．若不等式组的解集是，则________． 【答案】 【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于，的方程，然后求出，的值，最后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】由， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为：， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组解集的求法、解一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于，的方程是解题的关键． 34．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为________． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 35．我们在数学学习中，经常利用“转化”的思想方法解决问题，比如，我们通过“消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解．下面我们就利用“转化”的思想方法尝试解决新的问题． 先阅读下面的例题，再按要求完成下列问题． 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②． 解不等式组①，得． 解不等式组②，得． 所以不等式的解集为或． 根据例题方法解决下面问题： （1）不等式的解集为 ； （2）求不等式的解集； （3）已知关于x、y的方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【分析】（1）将不等式可化为或求解即可； （2）将原不等式化为①或②求解即可； （3）先求出方程组得解，再按照题干方法求解即可． 【小问详解】解： 不等式可化为或 解①得，解②得 ∴不等式的解集为或； 【小问详解】解： 由乘法法则可得①或②， 解不等式组①，得， 不等式组②无解． ∴的解集为． 【小问详解】解：关于x、y的方程组， 解方程组得． ∵， ∴． 由乘法法则可得：①或②， 不等式组①无解． 解不等式组②，得． ∴k的取值范围为 36．阅读下面材料并完成解答过程中的填空． 问题：已知关于，的二元一次方程组的解满足，，求的取值范围． 分析：解方程组，即用含有的代数式分别表示出，，然后根据，列出关于的不等式组，解这个不等式组即可求得的取值范围． 解：解方程组，得， 又因为，， 所以， （1）解这个不等式组，得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； ②已知，且，，求代数式的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”即可确定不等式组的解集； （2）①解方程组得，继而得到，求出这个不等式的解集即可； ②设，得到方程组，解得，继而得到，求出这个不等式组的解集即可． 【小问详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴这个不等式组的解集为； 【小问详解】解：①解得：， ∵， ∴， 解得：； ②设， 构成方程组， 解得：， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 37．关于的方程组的解满足． （1）求m的取值范围； （2）若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【小问详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $