期中复习：由旋转的性质求解、由旋转的性质证明、旋转作图问题 专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中复习：由旋转的性质求解、由旋转的性质证明、旋转作图问题专项训练 期中复习：由旋转的性质求解、由旋转的性质证明、旋转作图问题专项训练 考点目录 由旋转的性质求解 由旋转的性质证明 旋转作图问题 考点一 由旋转的性质求解 由旋转的性质求解解题技巧 （1）先确定旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，这是分析一切问题的前提。 （2）利用 对应点到旋转中心的距离相等 求线段长度。 （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于 旋转角，据此求角度。 （4）旋转前后图形 全等，对应边相等、对应角相等，可直接迁移条件。 （5）对应点与旋转中心构成 等腰三角形，常结合等腰三角形和内角和求角。 例1．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，正方形绕着它的对称中心点旋转，旋转后与原正方形重合，则旋转的度数最少为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式1．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别为，，连接，若点恰好落在边上，则的周长为（     ） A． B． C． D． 考点二 由旋转的性质证明 由旋转的性质证明解题技巧 （1）证明线段、角相等，先判断它们是否为旋转的 对应边、对应角，直接由全等得出结论。 （2）利用旋转前后图形全等，结合 全等三角形 的性质完成证明。 （3）证明角的关系时，先找 旋转角，即对应点与旋转中心连线的夹角。 （4）旋转中心处常形成等腰三角形，注意结合 三线合一、等边对等角 等性质。 （5）复杂图形中先确定各组对应点，再按对应关系书写，避免找错对象。 例1．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 例2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 例3．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，中，，，将绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F． (1)求证：． (2)求的度数； (3)若，四边形是菱形，求的长度． 变式1．（26-27九年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 变式2．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 变式3．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到上方，使，连接． (1)判断的形状，并证明． (2)作于F，求证：． 考点三 旋转作图问题 旋转作图问题解题技巧 （1）作图步骤：找关键点 → 连接旋转中心 → 按方向和旋转角旋转连线 → 截取等长线段确定对应点 → 顺次连接。 （2）确保对应点与旋转中心的连线 夹角等于旋转角、距离相等。 （3）保留作图痕迹，辅助线和圆弧不能擦除。 （4）坐标系中熟记 90°、180° 等常见旋转的坐标变化规律。 （5）作图后检查：两图形是否全等、旋转方向和角度是否正确。 例1．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在的网格图中，的顶点分别在格点上． (1)如图1，请仅用无刻度直尺作绕点顺时针旋转后的所得图形； (2)如图2，若点也在格点上，请仅用无刻度直尺在的右侧找一点，使得．（需保留作图痕迹） 例2．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将绕点逆时针旋转后的△； (2)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 变式1．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 变式2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：由旋转的性质求解、由旋转的性质证明、旋转作图问题专项训练 期中复习：由旋转的性质求解、由旋转的性质证明、旋转作图问题专项训练 考点目录 由旋转的性质求解 由旋转的性质证明 旋转作图问题 考点一 由旋转的性质求解 由旋转的性质求解解题技巧 （1）先确定旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，这是分析一切问题的前提。 （2）利用 对应点到旋转中心的距离相等 求线段长度。 （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于 旋转角，据此求角度。 （4）旋转前后图形 全等，对应边相等、对应角相等，可直接迁移条件。 （5）对应点与旋转中心构成 等腰三角形，常结合等腰三角形和内角和求角。 例1．（26-27九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，正方形绕着它的对称中心点旋转，旋转后与原正方形重合，则旋转的度数最少为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，正方形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点，两对角线相互垂直，再根据旋转的特征解答即可． 【详解】解：， 所以一个正方形，绕着它的中心点O，至少旋转与原正方形重合． 例2．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点落在边上，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转可得，，再根据等边对等角求解即可． 【详解】解：绕点A顺时针旋转得到，， ，， ． 例3．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，点的对应点为，点的对应点为，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，，， ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， 在中，， ∵点M是的中点，点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 变式1．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）如图绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据旋转的性质得到，则根据等腰三角形的性质得，即可解答． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ． 变式2．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，矩形的顶点、分别在轴、轴上，，且，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，第2026次旋转结束时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作轴于点E，连接，根据矩形的性质可得到点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2026次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 如图，设第1次旋转结束时，点C的对应点为，连接，过点作轴于点G，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 同理第2次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第3次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； 第4次旋转结束时，点C所在的位置的坐标为； ……， 发现规律：旋转4次一个循环， ∵， 则第2026次旋转结束时，点C的坐标为． 变式3．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，点A，B的对应点分别为，，连接，若点恰好落在边上，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解直角三角形得，根据旋转的性质，得到，，，，得到为等边三角形，求出，，进而得到为等边三角形，得到，然后求的周长即可． 【详解】解：在中，，，， ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 则的周长为． 考点二 由旋转的性质证明 由旋转的性质证明解题技巧 （1）证明线段、角相等，先判断它们是否为旋转的 对应边、对应角，直接由全等得出结论。 （2）利用旋转前后图形全等，结合 全等三角形 的性质完成证明。 （3）证明角的关系时，先找 旋转角，即对应点与旋转中心连线的夹角。 （4）旋转中心处常形成等腰三角形，注意结合 三线合一、等边对等角 等性质。 （5）复杂图形中先确定各组对应点，再按对应关系书写，避免找错对象。 例1．（26-27九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ． 将线段绕点旋转到的位置， ． 在与中， ， ， ； (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ． ， ， ． 例2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， , ， ． 在和中， ， ． (2)，证明如下： ， ． 点为的中点， ， ， ． 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，结合的条件，利用证明； （2）由（1）中全等三角形的性质，得到，根据线段中点的定义，得到，再结合线段进行等量代换即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，中，，，将绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F． (1)求证：． (2)求的度数； (3)若，四边形是菱形，求的长度． 【答案】(1) 证明：绕A点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】本题考查的是旋转的性质、全等三角形的判定与性质及菱形的性质， （1）结合旋转性质证明即可得出结论； （2）设相交于O，根据，，求出结论即可； （3）先求出，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：设相交于O，如图， ∵，，， ∴，即； （3）解：∵，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（26-27九年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． (2) 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】（1）略 （2）由得：， ，， ， ． 变式2．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2) 证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）略 变式3．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到上方，使，连接． (1)判断的形状，并证明． (2)作于F，求证：． 【答案】(1) 解：是等边三角形， 证明：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到上方， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）先证明是等腰三角形，再证明，即可证明是等边三角形； （2）证明，则，由是等边三角形，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 考点三 旋转作图问题 旋转作图问题解题技巧 （1）作图步骤：找关键点 → 连接旋转中心 → 按方向和旋转角旋转连线 → 截取等长线段确定对应点 → 顺次连接。 （2）确保对应点与旋转中心的连线 夹角等于旋转角、距离相等。 （3）保留作图痕迹，辅助线和圆弧不能擦除。 （4）坐标系中熟记 90°、180° 等常见旋转的坐标变化规律。 （5）作图后检查：两图形是否全等、旋转方向和角度是否正确。 例1．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在的网格图中，的顶点分别在格点上． (1)如图1，请仅用无刻度直尺作绕点顺时针旋转后的所得图形； (2)如图2，若点也在格点上，请仅用无刻度直尺在的右侧找一点，使得．（需保留作图痕迹） 【答案】(1)如图，即为所求： (2)如图，点即为所求： 【分析】（1）利用网格构造等腰直角与等腰直角，顺次连接点、、即可； （2）取点右侧一个单位处的格点，即为所求点． 【详解】（1）解：由网格可知，，， ∵， ∴， 同理，，， ∴即为绕点顺时针旋转后的所得图形； （2）解：如图， 由网格可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 例2．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将绕点逆时针旋转后的△； (2)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）结合网格的直角特性，分别将点和点绕点逆时针旋转，得到点和，再顺次连接即可得到． （2）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 变式1．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按旋转作图的要求将绕点顺时针旋转得，连接即可； （2）连接，证明是等边三角形，进而证明是直角三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由绕点顺时针旋转所得， ． ． ， 是等边三角形． ，． ， ， 是直角三角形，且． ． 变式2．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 点的坐标为 【详解】 （1）如图所示； （2）如图所示： 点的坐标为 2 学科网（北京）股份有限公司 $