期中复习：等腰三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定与性质综合专项训练-2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中复习：等腰三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定与性质综合专项训练 期中复习：等腰三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 等腰三角形的判定与性质综合 等边三角形的判定与性质综合 考点一 等腰三角形的判定与性质综合 等腰三角形的判定与性质综合解题技巧 （1）性质用"等边对等角"，判定用"等角对等边"，二者推理方向相反，不能混用。 （2）"三线合一"是核心辅助线：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （3）已知一个角求其余角时，若未指明是顶角还是底角，必须分类讨论，再结合内角和检验。 （4）已知两边求周长，先讨论哪条是腰、哪条是底边，再用三边关系排除不能构成三角形的情况。 （5）求角度常设未知数，结合内角和、外角性质列方程求解。 （6）折叠、对称问题利用等腰三角形的轴对称性，折痕常对应三线合一的线段。 例1．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 平分， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，由角平分线的定义得到，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义得到，，推出，，进而得到，，最后根据，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ， ． 例2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，，点在边上，连接，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）由三线合一定理求出的度数，再求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）略 例3．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，是斜边上的高， ∴， ∴，， ∵的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由和高得到，，再根据角平分线得到，即可得到，则，即可得到是等腰三角形； （2）由，得到，则，根据求出，最后根据三角形内角和计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 变式1．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ，， ， ∴， 为等腰三角形； (2)24 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）过点作，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理证明，得出，最后根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作，如图所示： 为等腰三角形， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 变式2．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：如图， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质结合条件得，进一步求出，再根据即可求出，进而得，即可证明是等腰三角形． （2）由（1）得：，，根据垂直定义得，再根据度角所对边等于斜边的一半即可得，进而得，再根据，计算即可得的长为． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由（1）得：，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长为． 变式3．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：是等腰三角形的底边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质解答即可 【详解】（1）略 （2）解：是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点二 等边三角形的判定与性质综合 等边三角形的判定与性质综合解题技巧 （1）性质：三边相等，三个内角都等于 60°，并具有等腰三角形的全部性质。 （2）判定有三条路径：三边相等；三个角相等；有一个角是 60° 的等腰三角形，按条件选用。 （3）等边三角形同样满足三线合一，且有 3 条对称轴。 （4）综合题常利用 60° 角和三边相等，结合全等三角形证明线段相等或角相等。 （5）"等腰 ＋ 一个 60° 角"是最快捷的判定思路，遇到等腰三角形先检查有无 60° 角。 （6）旋转、拼接类问题，借助等边三角形的等线段和 60° 角构造全等三角形，是常见突破口。 例1．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连结，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，请用含，的式子表示边的长． 【答案】(1)在中，， ， ∴． ∵， ∴是等边三角形． (2)． 【分析】（1）已知的两个内角，，先根据三角形内角和定理计算出的度数，结合等边三角形的判定定理完成证明． （2）再结合第（1）问得到的等边三角形的边长关系，可得，，利用三角形外角性质求出，根据等腰三角形判定定理可得，即可得到的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）的等边三角形结论，得， 又∵， ∴． ∵ ， ∴， ∵，, ∴， ∴． ∴． ∴． 例2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，的顶点在等边内部，的顶点在等边外部，，连接、． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：是等边三角形， ． ， ，， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，则，即可证明是等边三角形； （2）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 是等边三角形． ， ，， ． 例3．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2)4 【分析】（1）先由垂直得到直角，结合已知，求出，再根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形完成证明； （2）利用等边三角形性质得到，在中求出，算出长，进而得到的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式1．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】(1)证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据全等三角形的性质，有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合（1）中的结论可得为，得到所求三角形的形状； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 为等腰三角形，分三种情况： ①当，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴， ∴； ③当，则， ∴， ∴， 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； (2)证明：∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴，即 【分析】（1）由得，根据题意得，结合可得结论； （2）证明，根据证明 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2)是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形． ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 【分析】（1）利用可得，，结合等量代换可得，命题得证； （2）先计算出与，结合等边三角形的性质计算出的内角，从而确定形状． 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习：等腰三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定与性质综合专项训练 期中复习：等腰三角形的判定与性质综合、等边三角形的判定与性质综合专项训练 考点目录 等腰三角形的判定与性质综合 等边三角形的判定与性质综合 考点一 等腰三角形的判定与性质综合 等腰三角形的判定与性质综合解题技巧 （1）性质用"等边对等角"，判定用"等角对等边"，二者推理方向相反，不能混用。 （2）"三线合一"是核心辅助线：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （3）已知一个角求其余角时，若未指明是顶角还是底角，必须分类讨论，再结合内角和检验。 （4）已知两边求周长，先讨论哪条是腰、哪条是底边，再用三边关系排除不能构成三角形的情况。 （5）求角度常设未知数，结合内角和、外角性质列方程求解。 （6）折叠、对称问题利用等腰三角形的轴对称性，折痕常对应三线合一的线段。 例1．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在中，，和的平分线分别交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 例2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，是边上的中线，，点在边上，连接，． (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形． 例3．（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点M． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 变式1．（26-27八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，点是边上的一个动点，过点作，交于点，且平分，在边上取点，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的面积． 变式2．（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，在中，，，，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 变式3．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 考点二 等边三角形的判定与性质综合 等边三角形的判定与性质综合解题技巧 （1）性质：三边相等，三个内角都等于 60°，并具有等腰三角形的全部性质。 （2）判定有三条路径：三边相等；三个角相等；有一个角是 60° 的等腰三角形，按条件选用。 （3）等边三角形同样满足三线合一，且有 3 条对称轴。 （4）综合题常利用 60° 角和三边相等，结合全等三角形证明线段相等或角相等。 （5）"等腰 ＋ 一个 60° 角"是最快捷的判定思路，遇到等腰三角形先检查有无 60° 角。 （6）旋转、拼接类问题，借助等边三角形的等线段和 60° 角构造全等三角形，是常见突破口。 例1．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在中，，，点，分别在边，上，，连结，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，请用含，的式子表示边的长． 例2．（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，的顶点在等边内部，的顶点在等边外部，，连接、． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的度数． 例3．（26-27八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，求的长． 变式1．（26-27八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，是等边三角形内一点，是外一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（直接写出答案） 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 变式3．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； 2 学科网（北京）股份有限公司 $