【期中专项】专项05 轴对称与折叠（高效培优期中专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项05轴对称与折叠 目录 考点01轴对称、全等与勾股综合 考点02勾股定理折叠问题 考点03立体图形展开与最短路径 考点01轴对称、全等与勾股综合 难度层级：提升一拓展「知识点：轴对称性质/轴对称综合 1.A 2.B 3.B 4.24cm 5.45或63 6.2V2-1 7.(1)解：补全图形如图1所示： B 图1 (2)BCE=a (3)EA=EB+EC; 证明：如图2，在EA上取一点F,使EF=EB, 图2 由(2)知，∠ACD=60°+∠BAP, .∠CAE=60°-∠BAP, 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠ACD+∠CAE=120°， ∴.∠AEC=60°， 由折叠知，∠AEB=∠AEC=60°， ∴.△BEF是等边三角形， ∴.BF=BE,∠EBF=60°， .∠ABC=60°， ∴.∠ABC=∠EBF=60°， .∠ABF=∠CBE, ,△ABC是等边三角形， ..AB=CB, 由(2)知，∠BAP=∠BCE, ∴.△ABF≌△CBE ASA, ∴.AF=CE, ∴.EA=EF+AF=EB+CE. 8.(1)如图所示；40 P B (2)60°(3)解：CD=AE+2BE,证明如下： 在CD上截取BG=BE,如图： ,△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB,∠BAC=60°， 由对称可知：BE=DE,AB=AD,∠PAB=∠PAD, ∴AC=AD, ∴.∠ACD=∠D, ,∠BAP=, .∠PAD=a, .∴∠CAD=∠BAC+∠PAB+∠PAD=60°+2a, 2/4 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六2ADC=180-∠CAD=60C. .∠AEC=∠D+∠DAP=60°-a+a=60°， ∴.∠BCG=60°-∠ACD,∠DAE=60°-∠D, .∠ACD=∠D, ∴.∠BCG=∠DAE, 由对称可知：∠PEB=∠PED,DE=BE, ,∠PED=∠AEC=60°， ∴.∠PEB=∠PED=60°， .∴.∠BEG=180°-60°-60°=60°， 'BG=BE, ∴.△BGE是等边三角形， ∴.∠BGE=60°，BG=EG=BE=DE, ∴.∠BGC=120°， ,∠AED=180°-∠AEC=120°， ∴∠AED=∠BGC, 在△BCG和△DAE中， ∠BCG=∠DAE ∠BGC=∠AED, BC=AD .△BCG≌△DAEAAS, ∴.AE=CG EG=BE=DE, .'CD=AE+2BE; (4)30°或75° 考点02勾股定理折叠问题 难度层级：提升一拓展「知识点：折叠问题/勾股与折叠 9.C 10.C 11.30°或45° 12.①2②4-x#-X+4③m=9,n=-5或m=-5,n=9 13.(1)-2,1,7:（2)4:(3)存在这样的点M,对应的y=2.5或y=-3.5;(4)3t+3,5t+9,2t+6. 考点03立体图形展开与最短路径 难度层级：提升一拓展」知识点：立体图形展开/最短路径 14.C 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.5cm 16.(1)蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B(P为CD的中点)，最短路程是20cm(2)25cm 4/4 专项05 轴对称与折叠 目 录 考点01 轴对称、全等与勾股综合 考点02 勾股定理折叠问题 考点03 立体图形展开与最短路径 考点01　轴对称、全等与勾股综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：轴对称性质/轴对称综合 1．下列说法中正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的对称轴是底边上的高；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【详解】解：两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故①不正确； 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故②正确； 等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故③不正确； 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线相互重合，故④不正确． 综上可知，正确的个数为1个． 2．下列结论中不正确的是（ ） A. 两个关于某直线对称的图形一定全等 B. 对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C. 两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D. 有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对A、C进行判断；根据轴对称的定义对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对D进行判断． 【详解】解：A、两个关于某直线对称的图形一定全等，所以A选项的结论正确； B、对称图形的对称点可能在对称轴的两侧，也可能都在对称轴上，所以B选项的结论错误； C、两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴，所以C选项的结论正确； D、有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等，所以D选项的结论正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 3．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称， 线段被直线垂直平分． 4．如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， 、关于对称，、关于对称， ，，，， ，， 为等边三角形， ， 周长． 5．已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则________． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，先构建图形，再分两种情况求解即可. 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 6．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 【答案】 【分析】利用对称性可得，根据右边的数减去左边的数，得到距离相等进行求解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵点关于点的对称点是点， ∴， ∵数轴上，两点表示的数分别是和，点C表示的数为x， ∴， ∴， ∴点所表示的数是． 7．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）解：补全图形如图1所示： （2） （3）； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 【小问详解】略 【小问详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问详解】略 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 8．如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． （1）依题意补全图形；当， ； （2）当时，求的度数； （3）当时，探究之间的数量关系，并说明理由； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 【答案】（1）如图所示； （2） （3）解：，证明如下： 在上截取，如图： 是等边三角形， ， 由对称可知：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 由对称可知：，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （4）或 【分析】（1）依题意补全图形；根据轴对称可知：，得出，则可得出答案； （2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解； （3）在上截取，由对称可知：，得出，则，证明，得出，则可得出结论； （4）分三种情况，由等腰三角形的性质及轴对称的性质可得出答案． 【小问详解】解：为等边三角形， ， 根据轴对称可知：， ，， ； 【小问详解】解：由对称可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问详解】略 【小问详解】解：分以下三种情况： ①当时，延长交于点，如图所示： ，， 垂直平分，即垂直平分， 为等边三角形， ， ， 根据轴对称可知：； ②当时，如图： 根据轴对称可知：， ， 是等边三角形， ， ； ③当时，如图： ，， 垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， 三点在同一条直线上， （不合题意，舍去）， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 考点02　勾股定理折叠问题 难度层级：提升—拓展　|　知识点：折叠问题/勾股与折叠 9．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 10．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由折叠可知 ，进而得到，过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M，由BD＝4AD得到，进而得到，再利用三角形面积公式推出，即可求解． 【详解】解：由折叠可知 ， ∴ ， ∴ ， ∴①， 过E作EH⊥AB于H，CM垂直AB交BA的延长线于M， ∴ ， ， ∵BD＝4AD， ∴ ， ∴ ②， ①－②得： ， ∵CM⊥AB， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质、全等三角形的性质及三角形面积，解题关键是正确作出辅助线． 11．如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，先求出，再根据等腰三角形的定义可得，根据折叠的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质、三角形的内角和定理求出的大小，从而可得，最后分两种情况：①和，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，连接， 设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 12．假设数轴和折纸一样，是可折叠的．如果经过折叠后的数轴上表示，两数的两点重合，我们称此时折痕上的点所表示的数为，的“对折数”．若经折叠，数轴上表示5的点与表示的点重合，回答以下问题： （1）对折数为________，表示数的点与表示数________的点重合（用的代数式表示）； （2）经折叠，数轴上，两点也重合，且，之间的距离为14．则，分别表示的数，的值分别为________． 【答案】① 2 ② ## ③ ，或， 【分析】（1）先根据数轴的定义求出“对折数”表示的数，再根据数轴的定义建立方程，解方程即可得； （2）依题意M，N之间的距离为14和“对折数”的意义，可建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴对折数为2． 设表示数的点与表示数y的点重合， ∴， ∴， ∴表示数的点与表示数的点重合． 故答案为：①2，②； （2）∵数轴上，两点也重合，对折数为2， ∴． ∵，之间的距离为14， ∴， ∴，或，． 故答案为：③，或，． 【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 13．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，已知数b是最小的正整数，且a、c满足． （1）a=_____，b=______，c=______； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合； （3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由． （4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，求AB、AC、BC的长（用含t的式子表示）． 【答案】（1）-2，1，7；（2）4；（3）存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-3.5；（4）3t+3，5t+9，2t+6． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，解方程可求，根据数b是最小的正整数，可得b=1即可； （2）先求出折点表示的是，然后点B到折点的距离，利用有理数加法即可出点B对称点； （3）由题意知AB=3，点 M在AB之间，AM+BM=3＜6，分两种情况讨论M在AB之外的情况第一种情况，当M在A点左侧时，由MA+MB=MA+MA+AB=6， 第二种情况，当M在B点右侧时由MA+MB=MB+MB+AB=6，解方程即可； （4）分别写出点A、B、C表示的数为，用含t的代数式表示出AB、AC、BC即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴， 解得， ∵数b是最小的正整数， ∴b=1， ∴， 故答案为：-2，1，7； （2）将数轴折叠，使得点A与点C重合，AC中点D表示的数为， 点B表示1，BD=2.5-1=1.5， ∴点B对应的数是，2.5+1.5=4， 故答案为：4； （3）由题意知AB=3，M在AB之间，AM+BM=3＜6，分两种情况讨论M在AB之外的情况 第一种情况，当M在A点左侧时 由MA+MB=MA+MA+AB=6，得MA=1.5 ∴y＜-2，-2-y=1.5 ∴y=-3.5； 第二种情况，当M在B点右侧时 由MA+MB=MB+MB+AB=6，得MB=1.5 ∴y＞1，y-1=1,5 ∴y=2.5； 故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-3.5． （4）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动， t秒钟后，A点表示-2-t，B点表示1+2t，C点表示7+4t ∴； ； ； 【点睛】本题考查了非负数和性质，一元一次方程的应用、数轴及两点间的距离，折叠性质，用代数式标数距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 考点03　立体图形展开与最短路径 难度层级：提升—拓展　|　知识点：立体图形展开/最短路径 14．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（ ）． A. 14 B. 12 C. 10 D. 【答案】C 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，平面展开图如下所示， 则， 即从点A攀爬到点B的最短路径长为． 15．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开——最短路线问题和勾股定理的应用，分类讨论是解题的关键． 连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时的长，再找出最短的即可． 【详解】解：将长方体展开成平面后，连接，则的长就是最短路径长度， 分为三种情况： 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ， ， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，， 在中，由勾股定理得：； 如图，由题意可知，， 长方体的长，宽，高， ，，， ， 综上，最短路径长度是， 故答案为：． 16．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为． 问题解决： （1）如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ （2）如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 （2） 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【小问详解】解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． 【小问详解】解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项05 轴对称与折叠 目 录 考点01 轴对称、全等与勾股综合 考点02 勾股定理折叠问题 考点03 立体图形展开与最短路径 考点01　轴对称、全等与勾股综合 难度层级：提升—拓展　|　知识点：轴对称性质/轴对称综合 1．下列说法中正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称；②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；③等腰三角形的对称轴是底边上的高；④等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．下列结论中不正确的是（ ） A. 两个关于某直线对称的图形一定全等 B. 对称图形的对称点一定在对称轴的两侧 C. 两个成轴对称的图形对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴 D. 有斜边和一锐角相等的两个直角三角形全等 3．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 4．如图，，是内部的一点，点关于的对称点是，点关于的对称点是，连接．若，则的周长是________． 5．已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则________． 6．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是1和，点A关于点B的对称点是点C，则点C所表示的数是什么？ 7．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 8．如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． （1）依题意补全图形；当， ； （2）当时，求的度数； （3）当时，探究之间的数量关系，并说明理由； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数 ． 考点02　勾股定理折叠问题 难度层级：提升—拓展　|　知识点：折叠问题/勾股与折叠 9．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使B与C重合，CD，AE相交于F，已知BD＝4AD，设△ABC的面积为S，△CEF的面积为S1，△ADF的面积为S2，则的值为（ ） A. B. C. D. 11．如图，中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与、边分别交于点、点，如果折叠后与均为等腰三角形，那么________． 12．假设数轴和折纸一样，是可折叠的．如果经过折叠后的数轴上表示，两数的两点重合，我们称此时折痕上的点所表示的数为，的“对折数”．若经折叠，数轴上表示5的点与表示的点重合，回答以下问题： （1）对折数为________，表示数的点与表示数________的点重合（用的代数式表示）； （2）经折叠，数轴上，两点也重合，且，之间的距离为14．则，分别表示的数，的值分别为________． 13．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，已知数b是最小的正整数，且a、c满足． （1）a=_____，b=______，c=______； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合； （3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由． （4）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，求AB、AC、BC的长（用含t的式子表示）． 考点03　立体图形展开与最短路径 难度层级：提升—拓展　|　知识点：立体图形展开/最短路径 14．攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙可近似看成一个长方体的两个侧面．小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径长为（ ）． A. 14 B. 12 C. 10 D. 15．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从处出发沿长方体表面爬行到处，若长方体的长，宽，高，则蚂蚁爬行的最短路径长是________． 16．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为． 问题解决： （1）如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ （2）如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $