专题01 集合与常用逻辑用语（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 6 考点一：集合的基本概念 6 考点二：集合间的基本关系 7 考点三：集合的基本运算【核心重点】 10 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 12 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 15 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 18 04实战演练 19 考情解读 考试要求 ①了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，会用列举法、描述法表示集合；理解集合之间包含与相等的含义，能识别子集，了解全集与空集． ②理解交集、并集、补集的含义，能求两个集合的交集、并集及给定子集的补集． ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断简单的充分、必要条件． ④理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2027年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2027年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1集合的概念 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性; 元素互异性常用于求解含参数的集合问题 （2）集合常用的三种表示方法:列举法、描述法、图示法 （3）元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为; （4）五个特定的集合及其关系图: N表示自然数集,E表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,C表示复数集 2．集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作（或）； （2）真子集：如果集合是集合的子集，但集合中至少有一个元素不属于，则称是的真子集，记作或； 既要说明中任何一个元素都属于，也要说明中至少存在一个元素不属于． 两集合相等： 中任意一个元素都符合中元素的特性，中任意一个元素也符合中元素的特性。 （4）空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．记作； 对任何集合有，若则． （5）子集的个数：含有个元素的集合共有个子集，其中有个真子集，个非空子集． 自主检测（25-26高三上·上海·期中）设，方程的解集是_________． 【答案】 【知识点】方程与不等式、描述法表示集合 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 知识点2集合的运算 1.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集，记作，即且．图示： （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,称为与的并集，记作，即或．图示： （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即且．图示： 求集合的补集的前提是＂是全集的子集＂，集合其实是给定的条件．从全集中取出集合的全部元素，剩下的元素构成的集合即为． 2．常用结论 （1）子集的性质：； （2）交集的性质：； （3）并集的性质：； （4）补集的性质：，; （5）等价关系：; （6）Venn图：如图所示，用集合、表示图中I、II、III、IV四个部分所表示的集合分别是、、、（或）． 自主检测（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设全集为，若，则可以用区间表示为______． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、区间的定义与表示 【分析】根据补集的定义，结合全集为求解即可， 【详解】由补集的定义可知可以用区间表示为. 知识点3命题与充要条件、反证法 1．充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果，则是的充分条件； ①是的充分非必要条件是指：且； ②的一个充分非必要条件是是指：且，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． （2）如果，则是的必要条件； （3）如果既有，又有，记作，则是的充要条件． 充要关系与集合的子集之间的关系 设具有性质具有性质。 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若，则是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； （3）若，则是的充要条件． 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（=） 大于（>） 小于（<） 是 或 否定词语 不等于（≠） 不大于（） 不小于（） 不是 且 正面词语 都是 任意 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 存在 至少有两个 一个也没有 3.反证法的基本步骤 (1)否定结论,提出假设(假设结论的反面成立); (2)推出矛盾(从假设出发,通过一系列正确的推理,导出矛盾); (3)推翻假设,肯定结论。 自主检测（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）陈述句“或”的否定形式为_________. 【答案】 【知识点】写出简单命题的非命题 【分析】利用命题的否定规则分析即可. 【详解】根据命题的否定规则可知“或”的否定是“”. 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. ⚠️概念辨析 ①∅、{0}、{∅}三者不同：∅是不含任何元素的集合；{0}是只含元素0的集合；{∅}是以空集为元素的集合． ②∈与⊆不同：∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系，“a∈A”不能写成“a⊆A”． ③“p是q的充分条件”与“p的一个充分条件是q”含义相反：前者是p⇒q，后者是q⇒p． ⚠️避坑指南 ❌求子集个数时把“真子集”“非空子集”“非空真子集”混淆，忘记减去空集． ❌由A⊆B求参数时漏掉A＝∅的情形，或端点能否取等未代入验证． 考点精讲 考点一：集合的基本概念 例1（2023高三·上海·学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 【答案】7 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 例2（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 【答案】1 【知识点】判断元素与集合的关系、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先根据元素在集合内，再分分别检验是否符合题意. 【详解】因为集合中的最大元素为3， 所以,所以或. 当时，不合题意舍； 当时，不符合集合的互异性舍； 当时，集合中的最大元素为3； 所以. 故答案为：1. 例3（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 解题策略判断元素与集合的关系 （1）判断元素是否属于集合，只需看该元素是否满足集合中元素的共同特征；用描述法给出的集合要先化简（解方程、解不等式）再判断． （2）集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，其中互异性是含参问题的“检验器”：求出参数后必须代回，看元素是否重复． 【变式1】（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 【变式2】（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 考点二：集合间的基本关系 例4（24-25高三下·上海·阶段检测）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 例5（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）集合有___________个非空子集 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】先确定集合的元素个数，再利用含个元素的集合的非空子集个数公式计算即可. 【详解】集合的元素个数为，则集合的非空子集个数为个. 例6（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为______； 【答案】或或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】由，，且， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或. 综上所述，或或. 解题策略集合间关系的判断与子集个数 （1）判断，只需说明中任意一个元素都是的元素；判断，举出一个反例即可． （2）含个元素的集合有个子集、个真子集、个非空子集、个非空真子集，解题时先确定元素个数． （3）由求参数，勿漏的情形；利用数轴比较端点时，端点能否取等必须单独代入验证． 【变式1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【详解】由，则，即，所以， 而，，则，即实数的取值范围是. 【变式2】（25-26高三下·上海宝山·期中）已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 【答案】12 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案. 【详解】设，，当且时，都有， 设表示集合中，满足要求的集合的个数， 若中无，则有个集合满足要求， 若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求， 所以， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 当时，，故，即， 故，， ，， ，， ，， ， 故正整数的最小值为12. 考点三：集合的基本运算【核心重点】 例7（26-27高三上·上海松江·阶段检测）若集合，，则________． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的定义求解即可． 【详解】由题得，， 又， 所以． 例8（2026·上海浦东新·三模）已知集合，，则______________． 【答案】 【知识点】并集的概念及运算 【详解】因为，，所以. 例9（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______. 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解. 【详解】由题意得，则. 解题策略集合的交、并、补运算 （1）先化简集合（解不等式、求定义域、注意元素的限制条件），再作运算． （2）离散型集合（列举法）可用列举或Venn图，连续型集合（不等式、区间）用数轴，端点虚实与原集合一致． （3）补集运算必须先明确全集，全集变化，补集随之改变． 【变式1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知集合，，则___________． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、交集的概念及运算、交并补混合运算 【详解】因为，所以，则. 【变式2】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知集合，，则________． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域 【分析】根据二次根式的性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，所以， 因此. 【变式3】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知全集，集合，则________. 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由不等式解得，故， 且全集，所以. 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 例10（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 例11（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）已知集合，若，则实数_____. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、利用集合元素的互异性求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合交集的概念，列出方程，解方程即可. 【详解】由题意，集合，， 根据集合交集的概念，可知元素既属于集合又属于集合， 所以，解得， 又，所以. 例12（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 解题策略由集合运算结果求参数 （1）把、等价转化为，再用数轴比较区间端点． （2）端点取舍用“代入验证法”确定；结果要注意写成集合或区间形式． （3）含参数的集合要按“集合为空集”与“集合非空”分类讨论，避免漏解． 【变式1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、分式不等式 【分析】由得到将中的代入，得到关于的不等式，求解这个不等式即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为，且， 所以，解得，即或， 则实数的取值范围是. 【变式2】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设函数，，记集合，，，若，则的取值范围是__________. 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值、交并补混合运算、具体函数的定义域、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出的值域和定义域，进而求出集合和集合，再将转化为元素在集合中的问题，进而转化为方程解的问题，求出在每一段上的值域，再利用和有解，进行分类讨论，分别求出的范围即可. 【详解】，的定义域为， ， 因为，所以的值域为， 所以，， 因为，所以且， 即和有解， 当时，， 若：在处取最大值，无最小值，所以值域为， 若：在处取最大值，无最小值，所以值域为， 当时，，单调递增，所以值域为， 要使有解， 当时，，故此时不可能等于2， 所以只能在时取得，即，所以， 所以此时的取值范围是， 要使有解， 当时，， 若，值域为，有解，所以符合要求； 若，值域为，要使有解， 即，即， 当时，值域为，要使有解， 即，所以， 综上所述的取值范围是. 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 例13（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、互斥事件与对立事件关系的辨析 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“､为互斥事件”是“､为对立事件”的必要非充分条件. 例14（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非必要非充分 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】分别验证充分性和必要性是否成立，结合时的解的情况判断条件类型. 【详解】充分性验证：若，满足，代入正弦函数可得，因此由可以推出，充分性成立， 必要性验证：已知，若，根据正弦函数在上的取值特征，解得或，即由不能唯一推出，必要性不成立， 综上，是的充分非必要条件. 例15（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由二次函数有解得到判别式大于0即可求得的值，再结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 解题策略充分条件与必要条件的判定 （1）定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若且，则是的充分不必要条件． （2）集合法：设、对应的集合分别为、，则是的充分条件；是的充分不必要条件；是的充要条件． （3）说明“不充分”或“不必要”，只要举出一个反例（常取特殊值）即可． 【变式1】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，分别为的两个内角，所对的边，则“”是“”成立的（）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、判断命题的必要不充分条件、判断命题的充分不必要条件、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理将边化为角，即，.因为外接圆半径，可知与互为等价关系，从而判断充分必要性. 【详解】在中，由正弦定理得：， 所以，. 因为，所以. 即“”可以推出“”，且“”也可以推出“”. 所以“”是“”成立的充要条件. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断方程是否表示双曲线、根据充分不必要条件求参数、对数函数的概念判断与求值 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 【变式3】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随.则当和伴随，则和伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、已知复数的类型求参数 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 例16设是定义域为R的函数，且“，”为假命题，则下列命题为真的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据含有一个量词的命题的真假关系即可求解. 【详解】因为命题“”为假命题， 所以命题“”为真命题， 故选：. 例17（2023·上海黄浦·三模）已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为______． 【答案】存在不满足性质p. 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果. 【详解】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是： 存在不满足性质p. 故答案为：存在不满足性质p. 解题策略含有量词的命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题：改量词、否结论，“”与“”互换，“”与“”互换． （2）命题“，”为假“，”为真，据此可把真假问题转化为求最值或解不等式． 【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以为增函数， 所以由可知， 故选：B 【变式2】（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为______． 【答案】存在正数，使 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可. 【详解】由全称命题的否定为特称命题知： 存在正数，使. 故答案为：存在正数，使 实战训练 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】描述法表示集合、交集的概念及运算 【分析】根据交集定义列方程组计算求解即可. 【详解】设集合， 因为，所以， 则 故选：A. 2．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若，，则集合________. 【答案】 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算 【详解】因为，，所以. 3．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知集合为正整数，，则__________． 【答案】 【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合、交集的概念及运算、判断元素与集合的关系 【详解】由题意得，为正整数， 则集合， 集合， 表示既属于集合又属于集合的元素构成的集合， 观察可得两集合的公共元素为，故. 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论. 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 5．（23-24高三上·上海静安·阶段检测）用反证法证明“若,则或”时,应假设_______________. 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法，假设原命题的结论的否定即可. 【详解】“或”的否定为“且”. 故答案为：且 6．（23-24高三上·北京·阶段检测）用反证法证明命题“对任意，都有时，应首先“假设___________”，再推出矛盾，从而说明假设不能成立，原命题为真命题． 【答案】，使得 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】利用命题的否定得到答案. 【详解】若“对任意，都有，则，使得， 故先假设，使得. 故答案为：，使得 7．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式、交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域 【详解】集合是函数的定义域，即，解得，故； 集合是绝对值不等式的解集，解得，故； 因此 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）设集合，，则__________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、由对数函数的单调性解不等式 【详解】因为，则，即， 而根据对数函数的性质，应有， 故集合， 因此. 9．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知集合，，则________． 【答案】 【知识点】对数函数单调性的应用、交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又，所以. 10．用反证法证明：存在，，应先假设：________. 【答案】任意， 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、反证法的概念辨析 【分析】由特称命题的否定可得解. 【详解】反证法即为先假设命题的否定成立，及应先假设：任意，. 故答案为：任意，. 11．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 【答案】89 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题、判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】先分析集合元素的奇偶交替特征，通过引入“奇个数好子集”和“偶个数好子集”两个辅助量，分“选或不选第n个元素”两种情形严谨推导递推关系，证明好子集总数满足斐波那契递推规律，最后结合初始条件逐步计算得到结果. 【详解】集合的第个元素为（）： 当为奇数时，是奇数，故等于为奇数+1是偶数； 当为偶数时，是偶数，故等于偶数+1是奇数. 即集合中元素按“偶、奇、偶、奇……”交替排列： 第奇数个元素为偶数，第偶数个元素为奇数. 为严谨推导递推关系，我们引入两个辅助计数： ：前个元素中，元素个数为奇数的好子集的个数； ：前个元素中，元素个数为偶数的好子集的个数（空集元素个数为0，属于偶子集）. 显然好子集总数满足恒等式：. 我们在前个元素的基础上加入第个元素， 分“不选”和“选”两种情形讨论. 情形1：不选第个元素， 此时所有好子集就是前个元素的好子集， 因此：奇个数好子集数仍为，偶个数好子集数仍为， 情形2：选第个元素，设选中后，它在子集中是第个元素. 根据“好子集”定义，的奇偶性必须与的奇偶性相同. 由于子集按从小到大排列，为前n-1个元素中选中的个数加1， 因此：若要求为奇数，则前个元素需选出偶数个元素构成好子集； 若要求为偶数，则前个元素需选出奇数个元素构成好子集. 接下来按的奇偶性分别推导： （1）当为奇数时，此时是偶数，要求位置为偶数， 即前个元素需选出奇数个元素.因此选时，原来的奇子集加上后会变成偶子集， 不会新增奇子集.结合“不选”的情形，可得：， （2）当为偶数时，此时是奇数，要求位置为奇数， 即前个元素需选出偶数个元素.因此选时，原来的偶子集加上后会变成奇子集， 不会新增偶子集.结合“不选”的情形，可得：， 由，结合上述递推式分奇偶验证： 当为奇数时：，由于为奇数，则为偶数； 对偶数项有，代入得， 当为偶数时：， 由于为偶数，则为奇数； 对奇数项有，代入得. 综上，对任意，好子集总数都满足斐波那契型递推公式：. （空集）：只有空集1个好子集，故，，. （集合）：好子集只有空集，中元素2为偶数，位置1为奇数，奇偶性不同， 不是好子集，故，，. （集合）：好子集有：空集、（5是奇数，位置1是奇数，符合条件）， 故，验证递推：，公式成立. 根据递推公式依次计算： ，，， ，， ，， ，， ，. 12．（22-23高三下·上海杨浦·阶段检测）已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则______． 【答案】9217 【知识点】错位相减法求和、利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据含个元素的集合有个子集，可确定最大值分别为1，2，，10时相应的集合的个数，再用错位相减法求和即可． 【详解】由题意，的可能取值为1，2，3，，10， 根据子集定义，共有个1，个2，个3，，个10， ， 则， 两式相减得：， ． 故答案为：9217． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 6 考点一：集合的基本概念 6 考点二：集合间的基本关系 7 考点三：集合的基本运算【核心重点】 10 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 12 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 15 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 18 04实战演练 19 考情解读 考试要求 ①了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系，会用列举法、描述法表示集合；理解集合之间包含与相等的含义，能识别子集，了解全集与空集． ②理解交集、并集、补集的含义，能求两个集合的交集、并集及给定子集的补集． ③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断简单的充分、必要条件． ④理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 预测2027年在选择题中考查集合的概念与运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 预测2027年在选择题中考查充分条件、必要条件的判断 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 预测2027年在选择或填空题中考查命题的否定 知识梳理 知识点1集合的概念 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性; 元素互异性常用于求解含参数的集合问题 （2）集合常用的三种表示方法:列举法、描述法、图示法 （3）元素与集合的两种关系:属于,记为;不属于,记为; （4）五个特定的集合及其关系图: N表示自然数集,E表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,C表示复数集 2．集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称是的子集，记作（或）； （2）真子集：如果集合是集合的子集，但集合中至少有一个元素不属于，则称是的真子集，记作或； 既要说明中任何一个元素都属于，也要说明中至少存在一个元素不属于． 两集合相等： 中任意一个元素都符合中元素的特性，中任意一个元素也符合中元素的特性。 （4）空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．记作； 对任何集合有，若则． （5）子集的个数：含有个元素的集合共有个子集，其中有个真子集，个非空子集． 自主检测（25-26高三上·上海·期中）设，方程的解集是_________． 知识点2集合的运算 1.集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集，记作，即且．图示： （2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合,称为与的并集，记作，即或．图示： （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即且．图示： 求集合的补集的前提是＂是全集的子集＂，集合其实是给定的条件．从全集中取出集合的全部元素，剩下的元素构成的集合即为． 2．常用结论 （1）子集的性质：； （2）交集的性质：； （3）并集的性质：； （4）补集的性质：，; （5）等价关系：; （6）Venn图：如图所示，用集合、表示图中I、II、III、IV四个部分所表示的集合分别是、、、（或）． 自主检测（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设全集为，若，则可以用区间表示为______． 知识点3命题与充要条件、反证法 1．充分条件、必要条件与充要条件 （1）如果，则是的充分条件； ①是的充分非必要条件是指：且； ②的一个充分非必要条件是是指：且，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误． （2）如果，则是的必要条件； （3）如果既有，又有，记作，则是的充要条件． 充要关系与集合的子集之间的关系 设具有性质具有性质。 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若，则是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； （3）若，则是的充要条件． 2.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（=） 大于（>） 小于（<） 是 或 否定词语 不等于（≠） 不大于（） 不小于（） 不是 且 正面词语 都是 任意 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 存在 至少有两个 一个也没有 3.反证法的基本步骤 (1)否定结论,提出假设(假设结论的反面成立); (2)推出矛盾(从假设出发,通过一系列正确的推理,导出矛盾); (3)推翻假设,肯定结论。 自主检测（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）陈述句“或”的否定形式为_________. 必记结论 （1）若集合A中含有n个元素，则有个子集，有个非空子集，有个真子集，有个非空真子集． （2）子集关系的传递性，即. ✅注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. ⚠️概念辨析 ①∅、{0}、{∅}三者不同：∅是不含任何元素的集合；{0}是只含元素0的集合；{∅}是以空集为元素的集合． ②∈与⊆不同：∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系，“a∈A”不能写成“a⊆A”． ③“p是q的充分条件”与“p的一个充分条件是q”含义相反：前者是p⇒q，后者是q⇒p． ⚠️避坑指南 ❌求子集个数时把“真子集”“非空子集”“非空真子集”混淆，忘记减去空集． ❌由A⊆B求参数时漏掉A＝∅的情形，或端点能否取等未代入验证． 考点精讲 考点一：集合的基本概念 例1（2023高三·上海·学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 例2（24-25高三上·上海·阶段检测）设，若集合中的最大元素为3，则______． 例3（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 解题策略判断元素与集合的关系 （1）判断元素是否属于集合，只需看该元素是否满足集合中元素的共同特征；用描述法给出的集合要先化简（解方程、解不等式）再判断． （2）集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，其中互异性是含参问题的“检验器”：求出参数后必须代回，看元素是否重复． 【变式1】（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合，，则__________． 【变式2】（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 考点二：集合间的基本关系 例4（24-25高三下·上海·阶段检测）若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 例5（26-27高三上·上海徐汇·阶段检测）集合有___________个非空子集 例6（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为______； 解题策略集合间关系的判断与子集个数 （1）判断，只需说明中任意一个元素都是的元素；判断，举出一个反例即可． （2）含个元素的集合有个子集、个真子集、个非空子集、个非空真子集，解题时先确定元素个数． （3）由求参数，勿漏的情形；利用数轴比较端点时，端点能否取等必须单独代入验证． 【变式1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·上海宝山·期中）已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________. 考点三：集合的基本运算【核心重点】 例7（26-27高三上·上海松江·阶段检测）若集合，，则________． 例8（2026·上海浦东新·三模）已知集合，，则______________． 例9（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______. 解题策略集合的交、并、补运算 （1）先化简集合（解不等式、求定义域、注意元素的限制条件），再作运算． （2）离散型集合（列举法）可用列举或Venn图，连续型集合（不等式、区间）用数轴，端点虚实与原集合一致． （3）补集运算必须先明确全集，全集变化，补集随之改变． 【变式1】（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）已知集合，，则___________． 【变式2】（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知集合，，则________． 【变式3】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知全集，集合，则________. 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【重难点】 例10（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 例11（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）已知集合，若，则实数_____. 例12（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 解题策略由集合运算结果求参数 （1）把、等价转化为，再用数轴比较区间端点． （2）端点取舍用“代入验证法”确定；结果要注意写成集合或区间形式． （3）含参数的集合要按“集合为空集”与“集合非空”分类讨论，避免漏解． 【变式1】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是_________. 【变式2】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）设函数，，记集合，，，若，则的取值范围是__________. 考点五：充分、必要条件的判定【高频考点】 例13（2026·上海·三模）已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例14（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非必要非充分 例15（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 解题策略充分条件与必要条件的判定 （1）定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；若且，则是的充分不必要条件． （2）集合法：设、对应的集合分别为、，则是的充分条件；是的充分不必要条件；是的充要条件． （3）说明“不充分”或“不必要”，只要举出一个反例（常取特殊值）即可． 【变式1】（26-27高三上·上海宝山·阶段检测）设，分别为的两个内角，所对的边，则“”是“”成立的（）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随.则当和伴随，则和伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 考点六：含有量词的命题的否定及真假判断 例16设是定义域为R的函数，且“，”为假命题，则下列命题为真的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例17（2023·上海黄浦·三模）已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为______． 解题策略含有量词的命题的否定 （1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题：改量词、否结论，“”与“”互换，“”与“”互换． （2）命题“，”为假“，”为真，据此可把真假问题转化为求最值或解不等式． 【变式1】（2024·江苏南通·模拟预测）若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p：任意正数x，恒有，则命题p的否定为______． 实战训练 1．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若，，则集合________. 3．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知集合为正整数，，则__________． 4．（25-26高三上·上海闵行·期中）用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 5．（23-24高三上·上海静安·阶段检测）用反证法证明“若,则或”时,应假设_______________. 6．（23-24高三上·北京·阶段检测）用反证法证明命题“对任意，都有时，应首先“假设___________”，再推出矛盾，从而说明假设不能成立，原命题为真命题． 7．（26-27高三上·上海虹口·阶段检测）已知集合，，则__________． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）设集合，，则__________. 9．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知集合，，则________． 10．用反证法证明：存在，，应先假设：________. 11．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知集合.将的子集中的元素按从小到大排列为.若对任意的，与的奇偶性相同，则称该子集是的“好子集”.规定空集也是“好子集”.记是的“好子集”的个数，则______. 12．（22-23高三下·上海杨浦·阶段检测）已知集合，集合，定义为中元素的最大值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $