专题03 函数（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题03 函数 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 18 考点一函数的定义域与值域 18 考点二分段函数与函数值 21 考点三函数的奇偶性与周期性 23 考点四函数的单调性与最值（核心重点） 25 考点五指数函数、对数函数与幂函数（高频考点） 31 考点六函数的零点与综合应用（重难点） 36 04实战演练 40 考情解读 考试要求 ①理解函数的概念，会求简单函数的定义域、值域，能根据解析式求函数值，理解分段函数并能求解相关问题． ②理解函数的单调性、奇偶性与周期性，能判断并证明函数的单调性，会用性质比较大小、解不等式、求参数． ③掌握幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质，会进行指数幂与对数的运算，能比较函数值的大小． ④理解函数的零点与方程的根的关系，会用图像判断零点个数、确定零点所在区间；能用函数模型解决简单的实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的概念与表示 5年3考 函数的定义域、值域，分段函数求值 预测2027年在填空题中考查函数的定义域与分段函数求值 函数的性质 5年4考 单调性、奇偶性、周期性的判断与应用 预测2027年在选择或填空题中考查奇偶性与单调性的综合 基本初等函数 5年3考 幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质 预测2027年在选择题中考查指对运算与比较大小 函数的零点与应用 5年2考 零点个数与所在区间、函数模型的实际应用 预测2027年在解答题中考查函数的零点与建模应用 知识梳理 知识点1函数及其表示 1．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，为非空数集； （2）函数的两要素：定义域和对应关系； （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．由此有些数学书上称定义域和对应关系，为函数的两要素． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数 （1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数； （2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．求函数定义域的类型及方法 （1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解； （3）若已知的定义域为[a, b]，则的定义域可由求出；若已知的定义域为[a, b]，则的定义域为在时的值域． 自主检测（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 知识点2函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 (1)定义法 确定定义域→定义域不是关于原点对称→既不是奇函数也不是偶函数 确定定义域→定义域关于原点对称→→→若，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： 时为偶函数； 时为奇函数→得出结论 (2)图像法 的图像→关于原点对称→ 的图像→关于轴对称→ 2．函数奇偶性的应用 （1）已知函数的奇偶性求函数的表达式 利用奇偶性关于的方程，从而可得函数的表达式； （2）已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性，求参数 常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值； （3）奇偶性与单调性综合时，要注意奇函数的图像在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数的图像关于原点对称的区间上的单调性相反（可结合图像理解并记忆之）； （4）抽象函数的奇偶性就是要判断对应的函数值与对应的函数值之间的关系，从而得到函数图像关于原点或轴对称，结合函数的图像作出进一步的判断． 3．关于奇偶性的几个常用结论 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； （2）如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有；如果函数是偶函数，那么； 4．函数的奇偶性与对称性的关系、 （1）若函数是偶函数，即，则函数的图像关于直线对称； （2）若对于上的任意都有或，则的图像关于直线对称； （3）若函数是奇函数，即，则函数的图像关于点中心对称． 5．函数的周期性 （1）周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期； （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 自主检测（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 知识点3函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （3）几个常用结论 若函数、在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①当、都是增（减）函数时，是增（减）函数； ②若，则与单调性相同；若，则与单调性相反； ③函数在公共定义域内与、的单调性相反； ④复合函数的单调性与和的单调性有关．简记：＂同增异减＂； （4）增函数与减函数形式的等价变形 任意且，则 在[a, b]上是严格增函数； 在[a, b]上是严格减函数 （5）有关单调区间的两个注意事项 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示； ②有多个单调区间应分别写，不能用符号＂＂连接，也不能用＂或＂连接，只能用＂逗号＂或＂和＂连接． 2．函数的值域 函数值域的求法： （1）利用函数的单调性：若是[a, b]上的增（减）函数，则、分别是在区间[a, b]上取得最小（大）值、最大（小）值； （2）利用配方法：形如型，用此方法应注意自变量的范围； （3）利用三角函数的有界性，如； （4）利用＂分离常数＂法：形如或、至少有一个不为零）的函数，可用此法； （5）利用换元法：形如型，可用此法； （6）利用基本不等式． 自主检测（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 知识点4函数的图像 1.作函数的图像 利用图像变换法作函数的图像: （1）平移变换 水平平移：向右平移个单位得；向左平移个单位得（＂左加右减＂原则） 垂直平移：向上平移个单位得；向下平移个单位得（＂上加下减＂原则） （2）伸缩变换 水平伸缩：横坐标伸长为原来的倍，或缩短为原来的倍，得 垂直伸缩：纵坐标伸长为原来的倍，或缩短为原来的倍，得 （3）对称变换 关于轴对称：变换为 关于轴对称：变换为 关于原点对称：变换为 （4）翻折变换 ：保留在轴右侧的图像，再将右侧图像翻折到左侧（使图像关于轴对称） ：保留在轴上方的图像，将轴下方的图像翻折到上方（使图像在轴上方及轴上） 2.函数图像的应用 图像应用常见的命题角度有: ①确定方程根的个数;②求参数的取值范围;③求不等式的解集, 3．函数图像的对称性 （1）函数图像自身的轴对称性 （1）函数的图像关于轴对称； （2）函数的图像关于对称 ; （3）若函数的定义域为，且有，则函数的图像关于直线对称； （2）函数图像自身的中心对称 （1）函数的图像关于原点对称； （2）函数的图像关于对称 ; （3）函数的图像关于点成中心对称 （3）函数的图像关于点成中心对称 （3）两个函数图像之间的对称关系 （1）函数与的图像关于直线对称（由得对称轴方程）； （2）函数与的图像关于直线对称； （3）函数与的图像关于点对称； （4）函数与的图像关于点对称． 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 知识点5幂函数与二次函数 1．幂函数的概念 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数． 幂函数表达式的特征： （1）自变量处在幂底数的位置，幂指数为常数； （2）的系数为1； （3）只有一项 2．五种常见幂函数的图像与性质 图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减，严格增 严格增 严格增 和严格减 公共点 （1,1） 3．有关幂函数的几个结论 对于形如（其中且与互质）的幂函数： （1）当为偶数时，为偶函数，图像关于轴对称； （2）当、都为奇数时，为奇函数，图像关于原点对称； （3）当为偶数时，（或是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处） 4．二次函数的图像和性质 图橡 定义域 R 值域 单调性 在上严格减，在上严格增 在上严格增，在上严格减 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 （1）对称轴方程：； （2）顶点坐标： 5．二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动； （2）思路：抓＂三点一轴＂，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴 6．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离在函数能取到最值的情况下，其依据是：，. 自主检测（2025·上海奉贤·一模）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 知识点6指数函数与对数函数 1、根式与指数幂的运算 （1）且； （2）当为奇数时，（因为奇数幂的根与底数符号一致）； 当为偶数时，，进一步根据的符号细分： 若，则； 若，则 2、指数幂的运算性质 （1）； （2）； （3）． 3、指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 性质 过定点(0,1) 在区间(一∞,十∞)上是严格增函数 在区间(一∞,十∞)上是严格减函数 1．对数的概念及运算性质 一般地，如果，且的次幂等于，即，那么，数叫做以为底的对数，记作：． 概念 如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化: 运算法则 换底公式 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为(0,十∞) 值域为R 过定点(1,0) 在区间(0,十∞)上是严格增函数 在区间(0,十∞)上是严格减函数 说正数、均不为1时，当时，；当时，． 3．反函数 指数函数且与对数函数且互为反函数，它们的图像关于直线对称． 自主检测（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为________. 知识点7函数的综合应用与建模 1.图像及应用 (1)幂函数的图像记忆,可记住(或描绘)第一象限图像,并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征; (2)指数函数的图像,可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆; (3)图像的应用,建议从五大部分人手;定义域、值域(最值、有界性)、特殊的点线(坐标轴上的点恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等)、性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性)、方程与不等式 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求掌握图像,不能混淆 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化: 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 、 二次函数模型 、、 指数函数模型 、、 对数函数模型 、、 幂函数模型 、、 2.三种函数模型性质比较 在（0,﹢∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随值增大,图像与轴接近平行 随值增大,图像与轴接近平行 随n值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模(求模):求解数学模型,得出数学结论; (4)释模(还原):将数学结论还原为实际问题的意义 自主检测（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地.因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）.假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在对称的两个区间上单调性相反． （2）若对定义域内任意都有或，则的一个周期为；若，则周期为． （3）与（，）互为反函数，图像关于直线对称． ✅注意：讨论函数的单调性、奇偶性、周期性，都必须先看定义域；单调区间之间只能用“和”或逗号连接，不能用并集符号“∪”． ⚠️避坑指南 ❌求定义域时只考虑一种限制（如只看对数真数为正），忘记与分母不为零、被开方数非负等条件取交集． ❌换元求值域时没有写出新元的取值范围，把范围外的值也算进值域；或由单调性求参数时漏掉端点能否取等的检验． 考点精讲 考点一：函数的定义域与值域 例1（2025·上海·三模）函数的定义域为______． 例2（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 例3（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 解题策略函数的定义域与值域 （1）求定义域：分式看分母不为零，偶次根式看被开方数非负，对数看真数大于零，零次幂看底数不为零，最后取交集． （2）求值域：先定定义域，再用单调性、配方法、换元法或基本不等式；换元后必须写出新元的取值范围． （3）抽象函数求值域，借助其单调性与端点处的函数值，注意端点能否取到． 【变式1】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【变式2】（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 考点二：分段函数与函数值 例4（2025·上海宝山·二模）已知函数则=________. 例5（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则__________． 例6（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为________. 解题策略分段函数求值与解不等式 （1）求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式，由内向外逐层计算． （2）已知函数值求自变量：分段讨论，解出的结果必须落在该段的取值范围内，否则舍去． （3）解分段不等式：各段分别求解，最后取并集，注意各段自身的限制条件． 【变式1】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【变式2】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； (2)年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 考点三：函数的奇偶性与周期性 例7（26-27高三上·上海静安·阶段检测）函数是奇函数，当时，，若，则________． 例8（2026·上海秋考）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 例9（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数.当时，，则________. 解题策略奇偶性与周期性的判断及应用 （1）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证或． （2）已知奇偶性求参数：可用恒成立比较系数，也可代入特殊值求解，最后必须检验． （3）周期性与奇偶性结合时，先用周期性把自变量平移到已知区间，再用奇偶性求值． 【变式1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【变式2】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知函数是定义在上以2为周期的偶函数，当时，．则函数在上的表达式=________． 考点四：函数的单调性与最值【核心重点】 例10（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例11（2026·上海静安·模拟预测）设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若是关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若(a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 例12（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 解题策略单调性的判断与应用 （1）判断单调性：定义法（取值、作差、变形、定号、下结论）、复合函数“同增异减”、导数法（见专题04）． （2）由单调性解不等式：把转化为、的大小关系，务必先写出定义域的限制． （3）由单调性求参数：常转化为不等式恒成立，注意端点能否取等． 【变式1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数的减区间为，则实数的取值集合为__________． 【变式2】（2026·上海秋考）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 考点五：指数函数、对数函数与幂函数【高频考点】 例13（2025·上海·春考）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 例14（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 例15（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 解题策略指对幂函数的图像与性质 （1）指对运算先统一底数，再比较大小：同底用单调性，同指（同真）用图像，底数都不同时插入中间量（如、）． （2）复合函数的单调性按“同增异减”判断，必须先保证． （3）幂函数的图像先定第一象限（由指数符号决定增减），再按定义域与奇偶性补全其余象限． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【变式2】（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 考点六：函数的零点与综合应用【重难点】 例16（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 例17（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 例18（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 解题策略函数的零点与函数模型 （1）零点个数问题优先“数形结合”：把方程化为，看两图像交点的个数． （2）判断零点所在区间用零点存在定理：图像连续且，则区间内至少有一个零点． （3）实际应用四步走：读题设元—建立函数模型—求解模型—回到实际检验，注意定义域与实际意义． 【变式1】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为__________． 实战训练 1．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 3．（2025·上海春考）关于x的方程的解集为__________． 4．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数______． 5．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 7．（2025·上海静安·一模）已知函数，则___________． 8．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 9．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 10．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是_________． 11．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 12．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 18 考点一函数的定义域与值域 18 考点二分段函数与函数值 21 考点三函数的奇偶性与周期性 23 考点四函数的单调性与最值（核心重点） 25 考点五指数函数、对数函数与幂函数（高频考点） 31 考点六函数的零点与综合应用（重难点） 36 04实战演练 40 考情解读 考试要求 ①理解函数的概念，会求简单函数的定义域、值域，能根据解析式求函数值，理解分段函数并能求解相关问题． ②理解函数的单调性、奇偶性与周期性，能判断并证明函数的单调性，会用性质比较大小、解不等式、求参数． ③掌握幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质，会进行指数幂与对数的运算，能比较函数值的大小． ④理解函数的零点与方程的根的关系，会用图像判断零点个数、确定零点所在区间；能用函数模型解决简单的实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 函数的概念与表示 5年3考 函数的定义域、值域，分段函数求值 预测2027年在填空题中考查函数的定义域与分段函数求值 函数的性质 5年4考 单调性、奇偶性、周期性的判断与应用 预测2027年在选择或填空题中考查奇偶性与单调性的综合 基本初等函数 5年3考 幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质 预测2027年在选择题中考查指对运算与比较大小 函数的零点与应用 5年2考 零点个数与所在区间、函数模型的实际应用 预测2027年在解答题中考查函数的零点与建模应用 知识梳理 知识点1函数及其表示 1．函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，为非空数集； （2）函数的两要素：定义域和对应关系； （3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据．由此有些数学书上称定义域和对应关系，为函数的两要素． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数 （1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数； （2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4．求函数定义域的类型及方法 （1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解； （3）若已知的定义域为[a, b]，则的定义域可由求出；若已知的定义域为[a, b]，则的定义域为在时的值域． 自主检测（2026·上海·三模）已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【知识点】根据函数的值域求定义域、已知函数值求自变量或参数 【分析】记中满足，都有的函数个数为，设中满足的个数为，满足的个数为．推导出，，结合，，求出答案. 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 知识点2函数的奇偶性与周期性 1.函数奇偶性的判断 奇偶性 定义 图像特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 关于原点对称 (1)定义法 确定定义域→定义域不是关于原点对称→既不是奇函数也不是偶函数 确定定义域→定义域关于原点对称→→→若，则奇（偶）函数定义的等价形式如下： 时为偶函数； 时为奇函数→得出结论 (2)图像法 的图像→关于原点对称→ 的图像→关于轴对称→ 2．函数奇偶性的应用 （1）已知函数的奇偶性求函数的表达式 利用奇偶性关于的方程，从而可得函数的表达式； （2）已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性，求参数 常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值； （3）奇偶性与单调性综合时，要注意奇函数的图像在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数的图像关于原点对称的区间上的单调性相反（可结合图像理解并记忆之）； （4）抽象函数的奇偶性就是要判断对应的函数值与对应的函数值之间的关系，从而得到函数图像关于原点或轴对称，结合函数的图像作出进一步的判断． 3．关于奇偶性的几个常用结论 （1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件； （2）如果函数是奇函数且在处有定义，则一定有；如果函数是偶函数，那么； 4．函数的奇偶性与对称性的关系、 （1）若函数是偶函数，即，则函数的图像关于直线对称； （2）若对于上的任意都有或，则的图像关于直线对称； （3）若函数是奇函数，即，则函数的图像关于点中心对称． 5．函数的周期性 （1）周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期； （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 自主检测（2026·上海·一模）已知定义域为R的函数满足与恒成立，若与任意定义域为R的奇函数均有交点，则__________. 【答案】2026 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值 【详解】定义域为R的函数满足恒成立， 则有， 又恒成立，则有， 且，所以有， 函数的图象过原点时，才能与任意定义域为R的奇函数均有交点， 则有，所以. 知识点3函数的单调性、值域与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是严格减函数 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 （2）单调区间的定义 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （3）几个常用结论 若函数、在区间上具有单调性，则在区间上具有以下性质： ①当、都是增（减）函数时，是增（减）函数； ②若，则与单调性相同；若，则与单调性相反； ③函数在公共定义域内与、的单调性相反； ④复合函数的单调性与和的单调性有关．简记：＂同增异减＂； （4）增函数与减函数形式的等价变形 任意且，则 在[a, b]上是严格增函数； 在[a, b]上是严格减函数 （5）有关单调区间的两个注意事项 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示； ②有多个单调区间应分别写，不能用符号＂＂连接，也不能用＂或＂连接，只能用＂逗号＂或＂和＂连接． 2．函数的值域 函数值域的求法： （1）利用函数的单调性：若是[a, b]上的增（减）函数，则、分别是在区间[a, b]上取得最小（大）值、最大（小）值； （2）利用配方法：形如型，用此方法应注意自变量的范围； （3）利用三角函数的有界性，如； （4）利用＂分离常数＂法：形如或、至少有一个不为零）的函数，可用此法； （5）利用换元法：形如型，可用此法； （6）利用基本不等式． 自主检测（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大小关系 【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 知识点4函数的图像 1.作函数的图像 利用图像变换法作函数的图像: （1）平移变换 水平平移：向右平移个单位得；向左平移个单位得（＂左加右减＂原则） 垂直平移：向上平移个单位得；向下平移个单位得（＂上加下减＂原则） （2）伸缩变换 水平伸缩：横坐标伸长为原来的倍，或缩短为原来的倍，得 垂直伸缩：纵坐标伸长为原来的倍，或缩短为原来的倍，得 （3）对称变换 关于轴对称：变换为 关于轴对称：变换为 关于原点对称：变换为 （4）翻折变换 ：保留在轴右侧的图像，再将右侧图像翻折到左侧（使图像关于轴对称） ：保留在轴上方的图像，将轴下方的图像翻折到上方（使图像在轴上方及轴上） 2.函数图像的应用 图像应用常见的命题角度有: ①确定方程根的个数;②求参数的取值范围;③求不等式的解集, 3．函数图像的对称性 （1）函数图像自身的轴对称性 （1）函数的图像关于轴对称； （2）函数的图像关于对称 ; （3）若函数的定义域为，且有，则函数的图像关于直线对称； （2）函数图像自身的中心对称 （1）函数的图像关于原点对称； （2）函数的图像关于对称 ; （3）函数的图像关于点成中心对称 （3）函数的图像关于点成中心对称 （3）两个函数图像之间的对称关系 （1）函数与的图像关于直线对称（由得对称轴方程）； （2）函数与的图像关于直线对称； （3）函数与的图像关于点对称； （4）函数与的图像关于点对称． 自主检测（2025·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、画出具体函数图象 【分析】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 知识点5幂函数与二次函数 1．幂函数的概念 当指数固定，等式确定了变量随变量变化的规律，称为指数为的幂函数． 幂函数表达式的特征： （1）自变量处在幂底数的位置，幂指数为常数； （2）的系数为1； （3）只有一项 2．五种常见幂函数的图像与性质 图像 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 严格增 严格减，严格增 严格增 严格增 和严格减 公共点 （1,1） 3．有关幂函数的几个结论 对于形如（其中且与互质）的幂函数： （1）当为偶数时，为偶函数，图像关于轴对称； （2）当、都为奇数时，为奇函数，图像关于原点对称； （3）当为偶数时，（或是非奇非偶函数，图像只在第一象限（或第一象限及原点处） 4．二次函数的图像和性质 图橡 定义域 R 值域 单调性 在上严格减，在上严格增 在上严格增，在上严格减 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图像特点 （1）对称轴方程：； （2）顶点坐标： 5．二次函数最值问题的三种类型及解题思路 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动； （2）思路：抓＂三点一轴＂，三点——区间两个端点和中点，一轴——对称轴 6．由不等式恒成立求参数取值范围的两大思路及一个关键 （1）思路：一是分离参数；二是不分离参数； （2）关键：两种思路都是将问题归结为求函数的值域或最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离在函数能取到最值的情况下，其依据是：，. 自主检测（2025·上海奉贤·一模）已知两个非负实数、满足，则的最小值是______． 【答案】10 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】由，代入结合二次函数单调性即可求解. 【详解】因为两个非负实数、，， 所以，， 所以， 令，对称轴为， 由二次函数单调性可知当时，取得最小值10， 故答案为：10 知识点6指数函数与对数函数 1、根式与指数幂的运算 （1）且； （2）当为奇数时，（因为奇数幂的根与底数符号一致）； 当为偶数时，，进一步根据的符号细分： 若，则； 若，则 2、指数幂的运算性质 （1）； （2）； （3）． 3、指数函数的图像与性质 图像 定义域 R 值域 性质 过定点(0,1) 在区间(一∞,十∞)上是严格增函数 在区间(一∞,十∞)上是严格减函数 1．对数的概念及运算性质 一般地，如果，且的次幂等于，即，那么，数叫做以为底的对数，记作：． 概念 如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数，叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化: 运算法则 换底公式 2.对数函数的图像与性质 图像 性质 定义域为(0,十∞) 值域为R 过定点(1,0) 在区间(0,十∞)上是严格增函数 在区间(0,十∞)上是严格减函数 说正数、均不为1时，当时，；当时，． 3．反函数 指数函数且与对数函数且互为反函数，它们的图像关于直线对称． 自主检测（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域、复合函数的定义域、对数函数单调性的应用 【分析】先确定函数的定义域与单调性，计算得，将不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】函数，故定义域为, 因为在上单调递减，在上单调递减， 两个减函数的和仍为减函数，因此在上单调递减， ， 所以等价于， 结合单调性和定义域，得不等式组， 解得或，解得,取两者交集得或, 所以不等式的解集为. 知识点7函数的综合应用与建模 1.图像及应用 (1)幂函数的图像记忆,可记住(或描绘)第一象限图像,并结合定义域与奇偶性确定第二或第三象限上的图像特征; (2)指数函数的图像,可以联合对数函数图像以反函数对称性进行成对记忆; (3)图像的应用,建议从五大部分人手;定义域、值域(最值、有界性)、特殊的点线(坐标轴上的点恒过定点、最值点、零点及渐近线、对称轴等)、性质(奇偶性、单调性、对称性、周期性)、方程与不等式 2.范围与最值 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的最值问题或值域问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求掌握图像,不能混淆 3.方程与不等式 以图像为依托考查幂、指、对函数有关的方程与不等式问题,考题或以复合函数通过换元来分析,或以分段函数通过两个图像综合考虑来分析,要求能通过方程与不等式的等价变形来发现并转化: 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数表达式 一次函数模型 、 二次函数模型 、、 指数函数模型 、、 对数函数模型 、、 幂函数模型 、、 2.三种函数模型性质比较 在（0,﹢∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随值增大,图像与轴接近平行 随值增大,图像与轴接近平行 随n值变化而不同 3.解答应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:把自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模(求模):求解数学模型,得出数学结论; (4)释模(还原):将数学结论还原为实际问题的意义 自主检测（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地.因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）.假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【知识点】基本不等式的实际应用、对勾函数求最值 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 必记结论 （1）奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在对称的两个区间上单调性相反． （2）若对定义域内任意都有或，则的一个周期为；若，则周期为． （3）与（，）互为反函数，图像关于直线对称． ✅注意：讨论函数的单调性、奇偶性、周期性，都必须先看定义域；单调区间之间只能用“和”或逗号连接，不能用并集符号“∪”． ⚠️避坑指南 ❌求定义域时只考虑一种限制（如只看对数真数为正），忘记与分母不为零、被开方数非负等条件取交集． ❌换元求值域时没有写出新元的取值范围，把范围外的值也算进值域；或由单调性求参数时漏掉端点能否取等的检验． 考点精讲 考点一：函数的定义域与值域 例1（2025·上海·三模）函数的定义域为______． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据二次根式的性质及分式中分母不能为零，求出函数定义域即可. 【详解】由题意知，，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 例2（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】函数需满足，解得， 所以函数的定义域为. 例3（2025·上海长宁·一模）函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据函数的值域求定义域 【分析】利用函数的值域求解不等式，进而得到函数的定义域即可. 【详解】令，解得， 令，解得， 则集合. 故答案为： 解题策略函数的定义域与值域 （1）求定义域：分式看分母不为零，偶次根式看被开方数非负，对数看真数大于零，零次幂看底数不为零，最后取交集． （2）求值域：先定定义域，再用单调性、配方法、换元法或基本不等式；换元后必须写出新元的取值范围． （3）抽象函数求值域，借助其单调性与端点处的函数值，注意端点能否取到． 【变式1】（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 【变式2】（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】将原函数转化为两个绝对值之和的形式，再通过绝对值的几何意义或分段讨论的方法求解函数的值域. 【详解】∵， ∴原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. 考点二：分段函数与函数值 例4（2025·上海宝山·二模）已知函数则=________. 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 例5（2025·上海金山·三模）已知函数，其中，则__________． 【答案】 【知识点】求分段函数值 【分析】根据自变量的取值代入求值即可. 【详解】因为时，， 所以， 故答案为： 例6（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为________. 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 解题策略分段函数求值与解不等式 （1）求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式，由内向外逐层计算． （2）已知函数值求自变量：分段讨论，解出的结果必须落在该段的取值范围内，否则舍去． （3）解分段不等式：各段分别求解，最后取并集，注意各段自身的限制条件． 【变式1】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，若，则实数a的值为________． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【详解】若，则，解得 若，则，解得，不满足 综上 【变式2】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）小明大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本4万元，每年生产万件，需另投入流动成本万元，且，每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）； (2)年产量为多少万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，并求最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为8万件时，最大利润为万元． 【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数的值域或最值、求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据题意，结合流动成本关于年产量的函数关系，即可求得结果；（2）判断的单调性，根据单调性求得函数最值即可. 【详解】（1）（1）因为每件产品售价为10元，所以万件产品销售收入为万元，固定成本4万元， 依题意得，当时，； 当时，， 所以. （2）（2）当时，， 当时，取得最大值为； 当时，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上为单调递减. 当时，取得最大值为. 由，则可知当年产量为8万件时，小明在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 考点三：函数的奇偶性与周期性 例7（26-27高三上·上海静安·阶段检测）函数是奇函数，当时，，若，则________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的定义求得，即可将代入题干中已知区间的解析式，由此求解即可. 【详解】由题意得，即， 进而，解得. 例8（2026·上海秋考）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 例9（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）已知函数是定义在上的周期为2的奇函数.当时，，则________. 【答案】/ 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数值、由奇偶性求参数 【分析】利用周期性得，再结合奇偶性，得到，于是，解得，进而得到 【详解】由函数的周期为2可得， 所以 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，又由周期性可知，， 所以，所以，解得. 所以. 又因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以. 解题策略奇偶性与周期性的判断及应用 （1）判断奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再验证或． （2）已知奇偶性求参数：可用恒成立比较系数，也可代入特殊值求解，最后必须检验． （3）周期性与奇偶性结合时，先用周期性把自变量平移到已知区间，再用奇偶性求值． 【变式1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由周期性求函数的解析式 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 【变式2】（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知函数是定义在上以2为周期的偶函数，当时，．则函数在上的表达式=________． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由周期性求函数的解析式 【分析】利用偶函数定义先求时解析式，再根据周期性可得即可求解. 【详解】当时，，所以， 因为是偶函数，所以； 当时，，所以， 又因为是定义在上以2为周期的函数，所以. 考点四：函数的单调性与最值【核心重点】 例10（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 例11（2026·上海静安·模拟预测）设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若是关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若(a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】命题①可构造不含原点的点集作为反例．命题②中，利用中点落在单位圆盘内得到两个坐标均有界，再令图象上的点横坐标趋于正无穷，可推出． 【详解】对于命题①，构造点集 显然． 下证仍是关于点集的“拟像函数”． 任取图象上一点． 当时，取，因为所以点在的图象上． 此时的中点为，且，所以． 当时，，取，则在的图象上，且的中点为． 因此是关于点集的“拟像函数”，但，所以命题①是假命题． 对于命题②，设是关于点集的“拟像函数”． 当时，点在的图象上． 由定义，存在图象上一点，使得的中点在中． 于是 所以 由可得，因此当趋于正无穷时，趋于． 将不等式两边同时除以，得 令趋于正无穷，得，所以．故命题②是真命题． 例12（2026·上海杨浦·二模）不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】令，定义域为， 函数和在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 又，则， 所以不等式的解集为. 解题策略单调性的判断与应用 （1）判断单调性：定义法（取值、作差、变形、定号、下结论）、复合函数“同增异减”、导数法（见专题04）． （2）由单调性解不等式：把转化为、的大小关系，务必先写出定义域的限制． （3）由单调性求参数：常转化为不等式恒成立，注意端点能否取等． 【变式1】（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数的减区间为，则实数的取值集合为__________． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用复合函数的单调性即可判断. 【详解】令,所以的单调递增区间为， 因为函数的减区间为， 根据复合函数的单调性可得：，解得：, 所以实数的取值集合为 【变式2】（2026·上海秋考）已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为． (1)已知，，，，判断是否为排列； (2)对，，，满足条件的，求的取值范围； (3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，． 【答案】(1)是排列； (2)； (3)记下列三个命题分别为： 由排列的定义，六种排列成立的条件分别为：恒成立； 等价于； 等价于； 等价于与同时成立； 等价于与同时成立； 等价于． 先证第一个结论． 设严格减． 因为，取 于是 当时，由严格递减，得 故命题成立． 又因为，所以 从而 故命题也成立． 因此排列，，，均为排列，所以 再证第二个结论． 设严格增． 先证明：对任意，命题均不成立． 假设存在，使命题成立，即对任意，都有 令 因为严格递增，所以． 在上式中令，其中，得 故对任意非负整数，都有． 于是对任意正整数，. 当充分大时，右边大于，这与矛盾． 所以命题对任意均不成立． 因为，有． 取则 在处，因为严格递增，所以故命题不成立． 同时故命题也不成立． 此时均不成立，因此六种排列中只有是排列，即 所以存在，使． 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）根据排列的定义判断即可； （2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可； （3）先根据定义整理六种排列分别成立的条件．当严格减时，选取适当的，使与同时恒成立；当严格增时，先证明不可能恒成立，再选取充分小的，使另外两个关键不等式均不成立，从而确定． 【详解】（1）由题意得， 则当，， 则恒成立， ， 则恒成立， 故是为排列. （2）若，则1，2，3的全排列均满足题意， ①，则有：，此时两个不等式显然成立． ②，则有：，即. ③，则有：，即. ④，则有：，即. ⑤，则有：． ⑥，则有：，即. 则上述不等式均要成立，取它们的交集有， 即，即对恒成立， 分离参数得，因为当时，， 所以. （3）略. 考点五：指数函数、对数函数与幂函数【高频考点】 例13（2025·上海·春考）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性求参数、指数幂的化简、求值 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 例14（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例15（2026·上海·模拟预测）已知（且）． (1)若，解方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解； （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或； （2）由，且， 若，则，， 若，则，， 综上，的取值范围是． 解题策略指对幂函数的图像与性质 （1）指对运算先统一底数，再比较大小：同底用单调性，同指（同真）用图像，底数都不同时插入中间量（如、）． （2）复合函数的单调性按“同增异减”判断，必须先保证． （3）幂函数的图像先定第一象限（由指数符号决定增减），再按定义域与奇偶性补全其余象限． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【变式2】（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【答案】(1) 是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】（1）略 （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考点六：函数的零点与综合应用【重难点】 例16（2026·上海徐汇·二模）函数的零点是__________. 【答案】0 【知识点】求函数的零点 【详解】令，即，解得， 所以函数的零点是0. 例17（2026·上海嘉定·二模）已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______ 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【详解】由，得或， 由函数有三个不同的零点，得方程有两个不等的非零根， 则，解得且， 所以实数a的取值范围是. 例18（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 解题策略函数的零点与函数模型 （1）零点个数问题优先“数形结合”：把方程化为，看两图像交点的个数． （2）判断零点所在区间用零点存在定理：图像连续且，则区间内至少有一个零点． （3）实际应用四步走：读题设元—建立函数模型—求解模型—回到实际检验，注意定义域与实际意义． 【变式1】（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）设，若实数满足，且，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题目条件，令，用替换，构造函数结合基本不等式求值. 【详解】已知分段函数，且实数满足， 令, 对于，由，， 对于，， 因，故，，否则不满足， ， 故， 设，令，等价于求的最大值， ，当且仅当即时取等号, 此时，故, 综上，的最小值为. 故答案为： 实战训练 1．（2025·上海松江·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项验证. 【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误； 对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数， 同时在上是严格增函数，故D正确. 故选：D. 2．（2026·上海黄浦·二模）设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（    ）． A．①和②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②均错误 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】对于①：根据函数奇偶性和单调性的性质分析判断；对于②：举反例说明即可. 【详解】对于①：若是奇函数且在区间上严格增， 则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增， 因为，则，可得； 若是偶函数且在区间上严格增，且， 则，且，， 可得，所以； 综上所述：①正确； 对于②：例如， 可知对任意的，， 但，，所以既不是奇函数也不是偶函数， 故②错误. 3．（2025·上海春考）关于x的方程的解集为__________． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 4．（2025·上海奉贤·一模）若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】由偶函数定义建立方程，解得实数. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，即， 所以， 因该等式对定义域内的任意都成立，故， 解得 故答案为： 5．（2026·上海奉贤·二模）已知函数是奇函数，则________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【详解】解：设， ， 又函数是奇函数， ，即，， ，， 解得． 6．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________. 【答案】 【知识点】求指数函数解析式、指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 7．（2025·上海静安·一模）已知函数，则___________． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值、求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的化简、求值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据分段函数的解析式结合指、对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，则， 且， 所以 故答案为：. 8．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 9．（2026·上海浦东新·三模）设，．若函数有最大值，则的取值范围是______________． 【答案】 【知识点】根据指数函数的最值求参数 【分析】根据指数函数的性质，分类讨论函数值情况，根据最值定义，求解不等式即可. 【详解】当时，函数为，该函数在上单调递增， 因此此时函数最大值为，当时，函数为， 若，则函数在上单调递增， 此时函数不存在最大值， 当时，函数在上单调递减， 则此时，取不到最大值， 此时若该函数有最大值，应有，解得. 10．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据题意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再对分类讨论求值域，从而求得的取值范围. 【详解】对任意的，存在，使得， 的值域是值域的子集， 当时，的值域为， 是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且， 当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 11．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 12．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数，的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $