专题4.4 对数函数-重难点题型精讲【知识清单+14大题型+强化训练】-2026-2027学年高一上学期上线人教A版必修第一册重难点题型精讲精练系列

专题4.4 对数函数-重难点题型精讲 知识点01：对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 知识点02：对数函数图像与性质 (1)对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得．同样也分与两种情况归纳：以与为例 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， (2)底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 图2-3-3 【即学即练】 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 知识点03：反函数 【即学即练】 3．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）已知点关于直线的对称点为，设直线与关于直线对称，则a和b的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设是直线上的一点，则根据题意得在直线上，再整理为，即可得，进而求得答案. 【详解】设是直线上的一点， 因为直线与关于直线对称， 所以，根据题意得在直线上，即，整理得， 所以，解得. 题型01 对数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【解析】略 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【详解】（1）真数不是自变量x，∴不是对数函数； （2）对数式后减1，∴不是对数函数； （3）真数不是x，∴不是对数函数； （4）中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． （5）符合对数函数的定义，为对数函数． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 4．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 【答案】 【详解】由题意可知，，，，，， 则，， 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意； 若，则定义域为，符合题意， 所以整数n的取值集合为 题型02 对数函数求值或解析式 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是奇函数，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，求. 【详解】， ， 则，得，得， 当时，，定义域为，满足奇函数的条件. 所以. 故答案为： 6．（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 7．（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 题型03 对数函数的定义域的问题 9．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）函数的定义域是________________． 【答案】 【分析】据二次根式被开方数非负、对数真数大于的约束列不等式组，结合对数函数的单调性求解后取交集得到定义域. 【详解】对于函数，由， 所以，解得，故原函数的定义域为. 10．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则， 解得 即，所以函数的定义域为. 11．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 【答案】 【详解】函数需满足，解得， 所以函数的定义域为. 12．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】由得. 题型04 对数函数的定点问题 13．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 【答案】 7 【分析】根据对数函数且恒过定点，令可求得定点坐标，得到，从而求得. 【详解】令，得. 所以函数（且）过定点， 所以， 故. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值． 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为． 15．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 题型05 根据对数型函数图象求参数 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象如图所示，求满足的关系. 【答案】 【详解】函数是随着的增大而增大，也是随着的增大而增大 ，； 取特殊点，. 18．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，A，B，C，D是，，，四个函数的图象，则    （1）函数的图象是______； （2）函数的图象是______； （3）函数的图象是______； （4）函数的图象是______． 【答案】 D B A C 【分析】根据对数函数性质分析判断. 【详解】对于对数函数（且）可知： 当时，函数在定义域内单调递增；当时，函数在定义域内单调递减； 所以函数的图象是C； 且当时，底数越大，图象越靠近x轴， 所以函数的图象是D，函数的图象是B，函数的图象是A. 故答案为：D；B；A；C. 19．（25-26高一上·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 20．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用数形结合思想，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵存在，满足，由图像可知，，∴， ，∵，∴ ∴，即，∴∴的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用数形结合思想是解题的关键. 题型06 对数函数图象的应用 21．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）已知函数，若，则___________；若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 或； . 【分析】根据对数运算求解方程可得空一；根据对数函数的图象，即可去绝对值，再结合基本不等式，即可求解的取值范围得空二. 【详解】由得或，解得或； 由题意可知，， 由函数图象可知，，则， 即，则， ， 所以的取值范围是. 故答案为：或， 22．（25-26高一上·陕西·阶段检测）（多选）若实数，，满足，则，，的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】令，用表示出，然后在同一坐标系下画出关于的函数表达式的图像，结合图像进行判断. 【详解】令， 得，，， 在同一坐标系内作出函数，，的图象， 则，，分别是函数，，， 的图象与直线（）交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此A，B，C都可能，D不可能. 故选：ABC 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）判断函数与的图象的交点个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据二次函数和对数函数的性质，结合函数单调性划分区间，利用特殊值法判断区间端点的函数值大小，从而求出交点的个数． 【详解】 函数在上单调递增， 函数图象开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， ，， 在区间上单调递增，在上单调递减，，， 函数与的图象在区间内有一个交点， ，， ， 在区间上单调递增，在上单调递增，，， 函数与的图象在区间内有一个交点， 是二次函数，增长越来越快，是对数函数，增长缓慢， 在区间上，恒成立，无交点， 综上，两个函数的图象共有2个交点，故C正确． 故选：C． 24．（25-26高一上·宁夏·阶段检测）已知定义在上的偶函数，.时，.若使得成立的有5个，则实数的取值范围是______. 【答案】. 【分析】根据已知条件求出函数的周期和表达式，再结合函数图像分析成立的的个数与实数的取值范围. 【详解】，将换成，， ，故函数的周期为， 又定义在上的偶函数，， 又时，，那么时，，则， 在一个周期内的表达式为， 成立的有5个，等价于函数与图像的交点有个， 在上单调递增，， 当时，不符合题意； 当时， 故需满足当时，，此时，当时，，此时， 实数的取值范围为. 故答案为： 题型07 对数型函数的单调性 25．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 【答案】 【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间 【详解】由，解得， 所以定义域为， 易知在定义域单调减，由复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为函数的单调递增区间，再结合二次函数的性质可知，的单调递增区间为. 26．（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 【答案】 【分析】由二次函数，对数函数，复合函数单调性可得答案. 【详解】函数定义域为或. 又二次函数在上单调递减，对数函数在其定义域内单调递增， 从而函数的单调减区间为. 27．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 28．（2027高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用复合函数的单调性判断结论求解. 【详解】由得， 所以函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 题型08 对数函数的比较大小 29．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数单调性比较大小. 【详解】由已知得， ，且，即， ， 所以. 30．（26-27高三上·江西·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数运算性质统一对数底数比较与的大小，再结合对数、指数函数的单调性判断、与1的大小关系，最终得出三者排序. 【详解】由题设有. 又，对数函数在上单调递增，且， 因此，即. 由对数函数单调性得； 指数函数在上单调递增， 因此，即. 综上可得. 31．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以． 32．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，函数单调递减，故， 综上可得，． 题型09 根据对数型函数的单调性求参数 33．（26-27高三上·湖北·阶段检测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用复合函数的单调性结合对数函数的定义域列出不等式，解出的取值范围． 【详解】令，∵，∴在上单调递减， ∵函数（且）在区间内单调递增， ∴函数是减函数，且在上恒成立， ∴，∴. 34．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 35．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性求出的范围后判断即可. 【详解】由复合函数单调性和对数函数定义域可知： 函数在区间上单调递增等价于，即， 故“函数在区间上单调递增”是“”的充分不必要条件. 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在区间上是单调函数，所以，且， 所以． 题型10 利用对数函数单调性解不等式 37．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，利用对数运算性质合并为，由直接求得； （2）先化简真数：，设，，由单调递增得；再按与分类讨论对数单调性，时不合题意，时由解出. 【详解】（1）， 因为，所以． （2）， 设，对，根据简单的复合函数单调性， 则为增函数，所以． 当时，为减函数， 所以，不符合题意． 当时，为增函数， 所以，则， 则，又，所以． 综上所述，a的取值范围为． 38．（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 39．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况结合指数函数和对数函数单调性求解即可. 【详解】当时，， 因为指数函数在上单调递增，因此，解得， 因为，所以. 当时，， 移项整理得， 因为对数函数在上单调递减，且， 因此， 因为，所以. 综上所述，. 40．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数， 所以　， 原不等式可化为， 又已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增， 所以，即，解得：. 故B，C正确. 题型11 对数函数的最值问题 41．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，其中 当时，为单调递增函数， 由，可得，即， 要使得的值域是，即的值域为， 则满足取满，所以； 当时，此时为单调递减函数， 若，即，可得，即的值域为， 因为，可得，所以不存在使得， 综上可得，实数的取值范围为. 42．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 43．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，分和两种情况，解不等式结合对数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为， 令，则，解得， 此时，且，可得， 可知函数在内的值域为； 令，则，解得， 此时，可知函数在内的值域为； 综上所述：函数的值域为. 44．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 【答案】 【分析】根据对数基本运算，化简函数，利用换元将函数改为二次函数形式，讨论a范围，求解即可. 【详解】因为，， 故函数， 令，则， 根据函数最大值为0，最小值为，可以得到， 最小值在时取得，此时， 最大值在或时取得，此时或， 当时，，即 因为时取得最小值，故不符合题意，故， 当时，，此时，最大值在区间端点处取得， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 若在取得，则或，解得或， 当时，则，此时不在区间内，故不符合题意， 当时，则，此时在区间内，故符合题意， 综上所述，. 题型12 对数函数的恒成立和存在问题 45．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 46．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)的值域是全体实数R，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用结合对数的运算性质，求得的值； （2）通过可以取遍所有正实数，结合判别式即可求解； （3）根据函数的单调性化简，结合函数的单调性、值域，求得的取值范围. 【详解】（1）由得， 则，因为，且，解得：. （2）由的值域为， 则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上， 所以，可得或， 即. （3）在上单调递增， 由可得：对任意恒成立， 对任意恒成立等价于对任意恒成立， ， 令，因为， 则， 在时为增函数， ∴，∴， 又∵，∴. 综上所述，实数的取值范围是. 47．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据对数的真数大于求解； （2）整理，设，利用二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，结合复合函数的单调性求解法则求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而求出的值； （3）整理，令，利用指数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质求出，利用二次函数的图象和性质结合对数函数的图象和性质求出，由存在，任意，都有成立，得到，通过计算得到的取值范围. 【详解】（1）， ，解得，故. （2）， 设，对称轴为，开口向下， 因为的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减，          故时，函数取得最大值，且最大值为， 解得. （3）， 令， 因为，，所以，则， 则转为，， 因为对称轴为，且，函数的图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又因为，， 在上单调递减， 因为，所以，          因为存在，任意，都有成立，所以， 即，           解得，所以实数的取值范围为. 48．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据函数，确定定义域，先将代入函数表达式，利用对数的运算性质化简，因为存在x使得等式成立，所以将化简后的等式变形，分离出参数a，得到a关于x的表达式，结合换元法以及二次函数性质，可利用函数的单调性求解. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 即， 则，由于，故， 令，则存在x，使得， 转化为存在，使得有解， 由于的对称轴为，则在上单调递增， 故， 故，结合，可得. 题型13 对数函数的综合问题 49．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)在区间和单调递增，证明如下： 的定义域为， 当时，因为， 令，则，取， 则，即， 因为在其定义域上单调递增，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 因为是奇函数，所以在上也是单调递增， 因此在区间和单调递增； (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，结合对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的单调性、单调性的定义进行求解即可； （3）根据奇函数的性质，结合换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，即，则， 故，则，由于x不恒为常数，则，即， 当时，，不满足题意； 当时，由，得或， 所以的定义域为，关于原点对称， 又，所以满足题意， 综上，． （2）在区间和单调递增，证明略； （3）因为为奇函数， 所以由，得， 因为在其定义域上单调递增， 所以在上恒成立，则恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以． 50．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 51．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)，定义域为， (2)或4 【分析】（1）根据函数过一点得参数的值，再根据对数复合函数求定义域与值域即可； （2）根据对数恒等式化简方程得关于的一元二次方程，解方程得实数的值，检验的值使得有意义即可． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以， 则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 52．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 题型14 反函数问题 53．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 54．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 【答案】4 【分析】令，用来表示即得反函数表达式，代入可得答案. 【详解】令，则,因为,所以, 由反函数的定义可知,所以. 故答案为：4. 55．（2027高三·全国·专题练习）设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 【答案】2 【分析】根据反函数的定义及互为反函数图象的关系求解 【详解】设，则点在函数的图象上，从而点在函数的图象上，即． 由反函数定义有， 所以有，从而． 56．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 3．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，所以的定义域为. 4．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】令，即可得出图象恒过的定点，进而求解. 【详解】令，解得，又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，所以． 故选：B． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，可知的定义域为，定义域关于原点对称， 且 ， 则是定义在上的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 6．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A：，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 7．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，若，则的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得，结合对数的运算性质，即可求解. 【详解】由，且，可得，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 又由，所以的最大值为. 故选：A. 8．（2027高三·全国·专题练习）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且 ， 则是定义在的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 9．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）（多选）已知函数，则函数的（   ） A．值域为 B．值域为 C．零点个数为4个 D．零点个数为5个 【答案】BC 【详解】当即时，，当时取等号； 当即时，，当且仅当时取等号. 综上，，当且仅当或或时取等号， 所以，即的值域为，故A错误，B正确； 当时，由得或， 解得或或（因为，故舍去）； 当时，由得或， 解得或. 综上，方程有4个解，即函数有4个零点，故C正确，D错误. 10．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数下列结论正确的是（   ） A．无最值 B．若，则 C．若，则或 D． 【答案】ACD 【详解】因为在上单调递增，且，所以无最值，故A正确； 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得； 综上所述：或，故B错误； 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得； 综上所述：或，故C正确； 因为，所以，故D正确. 11．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 【答案】BC 【分析】先把化简为，由判断奇偶性，再用基本不等式求出的范围，从而判断的符号与最小值. 【详解】. 对于A、B，因为， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，A错误、B正确. 对于C，当时，由基本不等式得（等号只在时成立）， 所以，C正确. 对于D，因为（当且仅当时取等号）， 所以，即的最小值为，而不是，D错误. 12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，则这三个数的大小关系为________． 【答案】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，分别确定的取值区间，即可比较三者大小． 【详解】由于函数在上单调递减， 故， 由于函数在上单调递增，故，即， 由于函数在上单调递减，故， 综上，三个数的大小关系为． 13．（26-27高三上·广东中山·阶段检测）已知函数，则_______． 【答案】 【详解】，故. 14．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】 【分析】先确定函数的定义域与单调性，计算得，将不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】函数，故定义域为, 因为在上单调递减，在上单调递减， 两个减函数的和仍为减函数，因此在上单调递减， ， 所以等价于， 结合单调性和定义域，得不等式组， 解得或，解得,取两者交集得或, 所以不等式的解集为 . 15．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数 (1)当时， ①解不等式； ②若在上单调递增，求的最小值； (2)设函数，若，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)①；②的最小值为. (2). 【分析】（1）①利用对数函数单调性转化不等式求解即可；②令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得的取值范围,进而得到的最小值； （2）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，根据二次函数在闭区间的最值问题分类讨论即可. 【详解】（1）当时， ①由，得即，解得或. 所以不等式解集为； ②令，得或， 又， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上单调递增，所以. 所以的最小值为. （2）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 16．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为 (3) 【分析】（1）由函数图象过，将点坐标代入函数表达式，即可求得； （2）令，先求出函数在上的单调性，再求得函数在上的单调性，根据函数的单调性即可求出的最小值； （3）由等价于，整理得对任意恒成立，求出函数在上的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的图像经过点，，解得. 实数的值为. （2）设，，； ，则函数在上单调递增，得函数在上单调递增. 当时，取得最小值，即. 函数在的最小值为. （3），，，即； ，对任意恒成立. 令，则为开口向下的二次函数，对称轴为； 二次函数在上单调递减，即时，取得最大值，得； 要使对任意恒成立，则. 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 对数函数-重难点题型精讲 知识点01：对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 【即学即练】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点02：对数函数图像与性质 (1)对数函数的图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得．同样也分与两种情况归纳：以与为例 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， (2)底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 图2-3-3 【即学即练】 2．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．  B．  C．   D．   知识点03：反函数 【即学即练】 3．（26-27高一上·北京顺义·阶段检测）已知点关于直线的对称点为，设直线与关于直线对称，则a和b的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 题型01 对数函数的概念 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5)． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列函数是否为对数函数？ (1)且； (2)； (3)； (4)且； (5). 3．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 4．（2026·上海·一模）若存在定义域为的幂函数和有意义的对数，则整数n的取值集合为______. 题型02 对数函数求值或解析式 5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是奇函数，则______． 6．（2026高二上·河南许昌·学业考试）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 7．（2026高一上·全国·专题练习）若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 8．（25-26高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 题型03 对数函数的定义域的问题 9．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）函数的定义域是________________． 10．（26-27高三上·上海松江·阶段检测）函数的定义域为________． 11．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）函数的定义域为________. 12．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）函数的定义域为__________. 题型04 对数函数的定点问题 13．（25-26高二下·天津河西·期末）函数（且）过定点，则__________. 14．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 题型05 根据对数型函数图象求参数 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数的图象如图所示，求满足的关系. 18．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，A，B，C，D是，，，四个函数的图象，则    （1）函数的图象是______； （2）函数的图象是______； （3）函数的图象是______； （4）函数的图象是______． 19．（25-26高一上·河南·期中）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·广西河池·阶段检测）已知函数，存在实数满足，则的取值范围是______. 题型06 对数函数图象的应用 21．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）已知函数，若，则___________；若，且，则的取值范围是___________． 22．（25-26高一上·陕西·阶段检测）（多选）若实数，，满足，则，，的大小关系可能是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·甘肃兰州·期末）判断函数与的图象的交点个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（25-26高一上·宁夏·阶段检测）已知定义在上的偶函数，.时，.若使得成立的有5个，则实数的取值范围是______. 题型07 对数型函数的单调性 25．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）函数的单调递增区间为_________． 26．（25-26高一下·上海·期末）函数的单调减区间是__________． 27．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 28．（2027高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 题型08 对数函数的比较大小 29．（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）若，，，则（     ） A． B． C． D． 30．（26-27高三上·江西·阶段检测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 31．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 32．（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型09 根据对数型函数的单调性求参数 33．（26-27高三上·湖北·阶段检测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 34．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 35．（25-26高二下·天津河东·阶段检测）“函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型10 利用对数函数单调性解不等式 37．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知函数，其中且． (1)若，求a； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围． 38．（26-27高一上·全国·课堂例题）设函数，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（26-27高三上·河北邢台·阶段检测）已知函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增．若实数满足，则的取值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型11 对数函数的最值问题 41．（26-27高三上·贵州·阶段检测）已知函数（，且），若存在实数使得的值域是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 43．（2026高三·全国·专题练习）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 44．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最大值为0，最小值为．求a的值． 题型12 对数函数的恒成立和存在问题 45．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 46．（26-27高三上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（，且），且． (1)求的值； (2)的值域是全体实数R，求实数的取值范围； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 47．（26-27高三上·安徽安庆·阶段检测）已知，函数． (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为，求的值； (3)若，存在，任意，有成立，求的取值范围． 48．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知函数，若存在x，使得，则a的取值范围（   ） A． B． C．或 D． 题型13 对数函数的综合问题 49．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数（a为常数）是奇函数． (1)求a的值； (2)判断的单调性并加以证明； (3)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 50．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 51．（25-26高一上·新疆喀什·期末）已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 52．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 题型14 反函数问题 53．（25-26高一上·四川泸州·阶段检测）若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则_____. 55．（2027高三·全国·专题练习）设有反函数，且函数与互为反函数，求：的值． 56．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 3．（26-27高三上·山西·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知 若 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·北京东城·阶段检测）函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知，若，则的最大值为（   ） A． B．0 C． D．1 8．（2027高三·全国·专题练习）已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）（多选）已知函数，则函数的（   ） A．值域为 B．值域为 C．零点个数为4个 D．零点个数为5个 10．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知函数下列结论正确的是（   ） A．无最值 B．若，则 C．若，则或 D． 11．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．， D．函数的最小值为2 12．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知，，，则这三个数的大小关系为________． 13．（26-27高三上·广东中山·阶段检测）已知函数，则_______． 14．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数，则不等式的解集为________. 15．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）已知函数 (1)当时， ①解不等式； ②若在上单调递增，求的最小值； (2)设函数，若，使得成立，求实数m的取值范围. 16．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）已知函数，. (1)若函数的图像经过点，求实数的值； (2)当时，求函数在的最小值； (3)若对任意恒有，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $