专题02 等式与不等式（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题02 等式与不等式 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 8 考点一 等式与不等式的性质 8 考点二 一元二次不等式的解法 10 考点三 分式不等式与含绝对值不等式 12 考点四 含参不等式与恒成立问题（重难点） 13 考点五 基本不等式及其应用（高频考点） 16 考点六 基本不等式的实际应用 17 04实战演练 21 考情解读 考试要求 ①会解一元一次方程、一元二次方程（组），理解一元二次方程根与系数的关系，已知两根会构造相应的一元二次方程． ②掌握实数的大小关系与不等式的基本性质，会比较两个代数式值的大小，能用不等式的性质证明简单的不等式． ③会解一元二次不等式、分式不等式与含绝对值的不等式，理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系． ④理解基本（平均值）不等式及取等条件，会用其比较大小、求最值、证明简单不等式；能用基本不等式解决简单的实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 等式与不等式的性质 5年2考 不等式的基本性质、比较两个代数式的大小 预测2027年在选择题中考查不等式性质与比较大小 不等式的求解 5年3考 分式不等式、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 预测2027年在填空题中考查分式不等式与含绝对值不等式的解法 基本不等式及其应用 5年2考 平均值不等式求最值、基本不等式的实际应用 预测2027年在填空或解答题中考查用平均值不等式求最值 知识梳理 知识点1等式与不等式的性质 1.方程的解集方程:含有未知数的等式，方程的解:使得方程左右两边相等的未知数的值，方程的解集:以方程的所有解为元素组成的集合 2.韦达定理 若一元二次方程、、的两个根为、，则，. 3．两个实数的大小关系（常常转化为运算关系，是作差比较法的依据） ． 4．不等式的性质 大于号>，小于号<，大于等于号，小于等于号都称为不等号，用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 （1）传递性 设、、均为实数，如果，且，那么． （2）加法单调性 设、、均为实数，如果，那么． （3）乘法单调性 设、、均为实数，如果，且，那么；如果，且，那么。 5．常用不等式 定理对任意的实数和，总有，且等号当且仅当时成立． 6．比较两个代数式值的大小 “作差法”的基本步骤:①作差并整理;②常用因式分解或配方(针对某个参数配方);③判断因式或各部分的符号;④利用不等式基本性质得出结论. 7．常用结论 （1）不等式的同向可加性：如果，那么；如果，那么； （2）不等式的倒数性质：如果，那么；如果，那么； （3）不等式的同正同向的可乘性：如果，那么； （4）不等式的乘方性质：如果，那么（其中是正整数）； （5）不等式的开方性质：如果，那么（其中是正整数）． 自主检测（2026·上海·模拟预测）不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】几何意义解绝对值不等式 【详解】，得， 所以. 故不等式的解集为. 知识点2不等式的求解 1.解不等式(组) 不等式的解:在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个不等式的解的全体所组成的集合，不等式的求解(解不等式):求不等式解集的过程不等式组:将含有相同未知数的多个不等式联立起来解不等式组:求不等式组中的所有不等式的解集的交集, 2．一元一次不等式的求解，如关于的不等式、 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； （4）当时，． 3．一元二次不等式的解 （1）定义：设a, b, c为实数，且，形如或的不等式统称为一元二次不等式； （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 的图像 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 4．分式不等式的解 （1）； （2）； （3） （4）［其中为关于的一元多项式］． 5．含绝对值不等式的解 （1）， 推广为； （2）或， 推广为或． ［其中、为关于的一元多项式］． 6．一元二次不等式恒成立的条件 （1）恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 （2）恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 （1）若在集合中恒成立，即是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； （2）转化为函数值域问题，常通过＂参变分离＂后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到。 自主检测（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数、公式法解绝对值不等式 【详解】由得，得， 因为是的必要条件，所以，得， 故实数m的取值范围是. 知识点3基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立． 常用的不等式 定理对于任意的实数a ,b，有，且等号当且仅当时成立． 2．平均值不等式的应用 （1）证明不等式：不等式两边具有两个正数的和与积的形式； （2）求最值：已知两个正数、，若积x y为定值，则当时，和有最小值；若和为定值，则当时，积x y有最大值． 应用平均值不等式求最值时，注意三个条件：正值、定值、等号成立，三者缺一不可．当等号成立不具备时，常考虑应用（一般称为＂耐克＂函数）的单调性求之。 3．三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数、，有，且等号当且仅当时成立． 4．常用结论 当时，称为和的调和平均值；称为和的平方平均值。 （1）任意两个正数的任何平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，并且有： ，当且仅当时取等号； 上述结论可推广到一组正数的情形． （2）平均值不等式的推广： 为个正数，，当且仅当时等号成立； （3）如果、是实数，则． 当、为复数或向量时结论也成立． 自主检测（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 必记结论 （1）若一元二次方程（）的两根为、，则，． （2）对一切实数恒成立的充要条件是且；恒成立的充要条件是且． ✅注意：同向不等式可以相加，但不能相减；两边同乘（除以）一个式子时，必须先判断该式子的正负，否则不等号方向可能改变． ⚠️概念辨析 ⚠️避坑指南 ❌由两边同乘（除以）一个含参数的式子时，忘记讨论其正负，导致不等号方向出错． ❌解一元二次不等式前未化为二次项系数为正的标准形式，或漏掉的讨论，把“恒成立”与“有解”混为一谈． 考点精讲 考点一：等式与不等式的性质 例1（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意； 此时，，得到，故B不符合题意； 此时，得到，故D不符合题意； 对于C，因为在上单调递增， 所以，一定有成立，故C符合题意. 例2（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于ABC，当时，满足，此时，，故A错误，B错误，C错误； 对于D，因为，故D正确. 例3（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 解题策略比较大小与不等式性质的判断 （1）比较两个代数式的大小，一般用作差法：作差—变形（因式分解或配方）—判断符号—下结论；也可用作商法，但须先判断两式同号． （2）判断不等式是否恒成立，可用性质逐条推演，也可取特殊值举反例快速排除． （3）同向不等式只能相加、不能相减；两边同乘（除以）一个式子时，必须先判断其正负． 【变式1】（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 【变式2】（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】绝对值三角不等式、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；利用绝对值的三角形不等式判断C. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取，，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，D正确. 故选：B 考点二：一元二次不等式的解法 例4（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即， 令， 解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 例5（2026·上海黄浦·二模）若，，则_____________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算与的交集. 【详解】首先求解集合： 对不等式因式分解得，解得，即. 已知，所以. 例6（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】，则，解得或， 即， 已知全集为，补集． 解题策略一元二次不等式的解法与“三个二次” （1）先化为（）的标准形式，求出相应方程的两根，再按“大于取两边、小于取中间”写出解集，注意端点的开闭． （2）、、分别对应“两根之外（内）”、“除顶点外”与“全体实数或空集”，可用二次函数图像辅助判断． （3）解集的端点就是相应方程的根：已知解集可反用韦达定理确定系数或参数． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式、交集的概念及运算、分式不等式 【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解. 【详解】当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解； 当时，， 等式恒成立，所以都是方程的解； 当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解， 所以. 因为等价于，即， 用穿根法可得不等式组的解为或， 所以. 因为，， 所以. 【变式2】（2026·上海崇明·二模）不等式的解为________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】解：， ，解得， 故不等式的解为． 考点三：分式不等式与含绝对值不等式 例7（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 【答案】/ 【知识点】分式不等式 【详解】因为，所以，即，所以解集为 例8（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 【答案】 【知识点】分式不等式 【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为． 例9（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________． 【答案】 【知识点】分类讨论解绝对值不等式 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 解题策略分式不等式与绝对值不等式的解法 （1）分式不等式先移项、通分，化为（或）的形式，再等价转化为整式不等式，注意分母． （2）等价于；等价于或． （3）含参数或含多个绝对值时，可按零点分段讨论，最后把各段结果与定义域取并集． 【变式1】（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 考点四：含参不等式与恒成立问题【重难点】 例10（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 例11（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先讨论不等式的二次项系数是否为0，若不为0，利用一元二次不等式恒成立即可求解. 【详解】时，即，满足条件； 时，需满足，解得； 综上所述：的取值范围是. 例12（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】将问题转化为恒成立，然后利用绝对值三角不等式求的最小值，最后解绝对值不等式即可. 【详解】不等式恒成立，即不等式恒成立， 即不等式恒成立， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，两边平方化简得，解得， 即a的取值范围为. 解题策略含参不等式与恒成立问题 （1）恒成立问题首选“参变分离”：把参数移到不等式一侧，转化为求另一侧函数的最值． （2）二次型恒成立用“开口方向+判别式”判断；限定区间上的恒成立，可比较端点与顶点的函数值，注意等号能否取到． （3）必须分类讨论时，按“二次项系数是否为0”“的符号”分层，做到不重不漏． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】应用绝对值三角不等式计算求解最大值，再解绝对值不等式求解. 【详解】因为不等式，不等式的最大值为， 对任意，不等式恒成立，所以， 则的取值范围为，即得的取值范围为. 【变式2】（2025·上海·模拟预测）恒成立，求范围__________ 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于的一元二次不等式，解之可得到答案. 【详解】由绝对值不等式可得到：，当时取“=”； 所以, 不等式对所有恒成立， 等价于， 即：，解此不等式：. 故答案为： 考点五：基本不等式及其应用【高频考点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 例14（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 例15（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【知识点】圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 解题策略基本不等式求最值 （1）使用平均值不等式必须满足“一正、二定、三相等”：积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值． （2）常用变形：、，以及“乘1法”——把已知的定值关系乘到所求式上，凑出积为定值． （3）等号取不到时不能套用公式，应改用函数（）的单调性求最值． 【变式1】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值为. 【变式2】（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 考点六：基本不等式的实际应用 例16（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 例17（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 例18（2026·广东梅州·模拟预测）某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式的实际应用、由不等式的性质比较数（式）大小、利用不等式求值或取值范围、基本（均值）不等式的应用 【详解】选项A：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合， 同理，其它分组方式总有一组大于12，故A错误； 选项B：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于13，故B错误； 选项C：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，剩余，不符合； 另一种装法：第一组装6，第二组装，剩余， 不符合，同理，其它分组方式总有一组大于14，故C错误； 选项D：按顺序分组，若每组重量不超过，第一组最多装， 第二组最多装，第三组，符合要求，故D正确． 解题策略基本不等式的实际应用 （1）读题设元：把长度、面积、成本、时间等目标量写成关于自变量的函数，并注明定义域． （2）通过配凑使“积为定值”或“和为定值”，再用基本不等式求最值． （3）最后必须回到实际情境检验：取最值时自变量的值是否在定义域内、是否符合实际意义． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中不正确的结论为（） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【知识点】绝对值三角不等式、辅助角公式、基本（均值）不等式的应用、距离新定义 【分析】A选项，设，利用绝对值不等式的性质得到；B选项，由基本不等式得到；C选项，设，，故，从而得到最小值；D选项，设，，则，D正确. 【详解】对A：设，则 （当且仅当时取“”）.故A错； 对B：设，则，由于， 则，故B对； 对C：设，， 则 ， 其中， 当且仅当时，取得最小值，最小值为， 此时，时取“”）.故C对； 对D：设，， 则 （当且仅当时取“”）.故D正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：关键点之一是对“折线距离”的理解，写出折线距离；关键点之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号求解相关最值. 实战训练 1．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 2．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、利用不等式求值或取值范围、复数的相等 【分析】由复数小于零可知复数的虚部为零，实部小于零，结合基本不等式从而得到答案. 【详解】，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当同号时，， 即或， 所以的取值范围为. 3．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 4．（2025·上海·模拟预测）的解集为，则的解集为______． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式的解集为，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式的解集为， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即. 故答案为： 5．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 6．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 7．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. (2)6 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由等比数列性质可得，进而结合余弦定理写出的表达式，再利用基本不等式证明； （2）由等差数列性质求出角的值，再结合，利用余弦定理得到的关系式，结合基本不等式求的最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）略 （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 8．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 【答案】(1) (2) (3)证明：必要性：对于，取， 因为函数在上是严格增函数且，所以， 即， 即， 所以. 充分性：，且， 因为， 所以， 即，又， 所以函数在上是严格增函数. 【知识点】充要条件的证明、求函数的零点、定义法判断或证明函数的单调性、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）求出，令解方程即可得到答案； （2）求出并根据题意化简得到，令，根据题意得到，解得，再结合二次函数图象即可求得答案； （3）利用充要条件的定义，结合函数严格递增的概念进行证明. 【详解】（1）当，，时，， 令，解得， 所以函数的零点为. （2）， 若，当时的二次项系数为负导致当时，， 当时，，均不满足恒成立，故， 所以，设， 则，解得或（舍去），即， 此时，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为. （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 8 考点一 等式与不等式的性质 8 考点二 一元二次不等式的解法 10 考点三 分式不等式与含绝对值不等式 12 考点四 含参不等式与恒成立问题（重难点） 13 考点五 基本不等式及其应用（高频考点） 16 考点六 基本不等式的实际应用 17 04实战演练 21 考情解读 考试要求 ①会解一元一次方程、一元二次方程（组），理解一元二次方程根与系数的关系，已知两根会构造相应的一元二次方程． ②掌握实数的大小关系与不等式的基本性质，会比较两个代数式值的大小，能用不等式的性质证明简单的不等式． ③会解一元二次不等式、分式不等式与含绝对值的不等式，理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系． ④理解基本（平均值）不等式及取等条件，会用其比较大小、求最值、证明简单不等式；能用基本不等式解决简单的实际问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 等式与不等式的性质 5年2考 不等式的基本性质、比较两个代数式的大小 预测2027年在选择题中考查不等式性质与比较大小 不等式的求解 5年3考 分式不等式、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法 预测2027年在填空题中考查分式不等式与含绝对值不等式的解法 基本不等式及其应用 5年2考 平均值不等式求最值、基本不等式的实际应用 预测2027年在填空或解答题中考查用平均值不等式求最值 知识梳理 知识点1等式与不等式的性质 1.方程的解集方程:含有未知数的等式，方程的解:使得方程左右两边相等的未知数的值，方程的解集:以方程的所有解为元素组成的集合 2.韦达定理 若一元二次方程、、的两个根为、，则，. 3．两个实数的大小关系（常常转化为运算关系，是作差比较法的依据） ． 4．不等式的性质 大于号>，小于号<，大于等于号，小于等于号都称为不等号，用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式。 （1）传递性 设、、均为实数，如果，且，那么． （2）加法单调性 设、、均为实数，如果，那么． （3）乘法单调性 设、、均为实数，如果，且，那么；如果，且，那么。 5．常用不等式 定理对任意的实数和，总有，且等号当且仅当时成立． 6．比较两个代数式值的大小 “作差法”的基本步骤:①作差并整理;②常用因式分解或配方(针对某个参数配方);③判断因式或各部分的符号;④利用不等式基本性质得出结论. 7．常用结论 （1）不等式的同向可加性：如果，那么；如果，那么； （2）不等式的倒数性质：如果，那么；如果，那么； （3）不等式的同正同向的可乘性：如果，那么； （4）不等式的乘方性质：如果，那么（其中是正整数）； （5）不等式的开方性质：如果，那么（其中是正整数）． 自主检测（2026·上海·模拟预测）不等式的解集为__________． 知识点2不等式的求解 1.解不等式(组) 不等式的解:在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值不等式的解集:一个不等式的解的全体所组成的集合，不等式的求解(解不等式):求不等式解集的过程不等式组:将含有相同未知数的多个不等式联立起来解不等式组:求不等式组中的所有不等式的解集的交集, 2．一元一次不等式的求解，如关于的不等式、 （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，； （4）当时，． 3．一元二次不等式的解 （1）定义：设a, b, c为实数，且，形如或的不等式统称为一元二次不等式； （2）一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 的图像 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 4．分式不等式的解 （1）； （2）； （3） （4）［其中为关于的一元多项式］． 5．含绝对值不等式的解 （1）， 推广为； （2）或， 推广为或． ［其中、为关于的一元多项式］． 6．一元二次不等式恒成立的条件 （1）恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 （2）恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 7、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法 （1）若在集合中恒成立，即是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）； （2）转化为函数值域问题，常通过＂参变分离＂后，列出参数满足的不等式，注意等号能否取到。 自主检测（2026·上海·二模）设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________． 知识点3基本不等式及其应用 1.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数、，有，且等号当且仅当时成立． 常用的不等式 定理对于任意的实数a ,b，有，且等号当且仅当时成立． 2．平均值不等式的应用 （1）证明不等式：不等式两边具有两个正数的和与积的形式； （2）求最值：已知两个正数、，若积x y为定值，则当时，和有最小值；若和为定值，则当时，积x y有最大值． 应用平均值不等式求最值时，注意三个条件：正值、定值、等号成立，三者缺一不可．当等号成立不具备时，常考虑应用（一般称为＂耐克＂函数）的单调性求之。 3．三角不等式 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数、，有，且等号当且仅当时成立． 4．常用结论 当时，称为和的调和平均值；称为和的平方平均值。 （1）任意两个正数的任何平均值总是介于这组数的最大值和最小值之间，并且有： ，当且仅当时取等号； 上述结论可推广到一组正数的情形． （2）平均值不等式的推广： 为个正数，，当且仅当时等号成立； （3）如果、是实数，则． 当、为复数或向量时结论也成立． 自主检测（2026·上海·三模），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 必记结论 （1）若一元二次方程（）的两根为、，则，． （2）对一切实数恒成立的充要条件是且；恒成立的充要条件是且． ✅注意：同向不等式可以相加，但不能相减；两边同乘（除以）一个式子时，必须先判断该式子的正负，否则不等号方向可能改变． ⚠️概念辨析 ⚠️避坑指南 ❌由两边同乘（除以）一个含参数的式子时，忘记讨论其正负，导致不等号方向出错． ❌解一元二次不等式前未化为二次项系数为正的标准形式，或漏掉的讨论，把“恒成立”与“有解”混为一谈． 考点精讲 考点一：等式与不等式的性质 例1（2026·上海杨浦·二模）设，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例2（2026·上海松江·模拟预测）若实数满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例3（2026·上海·三模）已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解题策略比较大小与不等式性质的判断 （1）比较两个代数式的大小，一般用作差法：作差—变形（因式分解或配方）—判断符号—下结论；也可用作商法，但须先判断两式同号． （2）判断不等式是否恒成立，可用性质逐条推演，也可取特殊值举反例快速排除． （3）同向不等式只能相加、不能相减；两边同乘（除以）一个式子时，必须先判断其正负． 【变式1】（2025·上海金山·一模）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海金山·二模）已知，则下列结论不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 考点二：一元二次不等式的解法 例4（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 例5（2026·上海黄浦·二模）若，，则_____________. 例6（2026·上海虹口·三模）已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 解题策略一元二次不等式的解法与“三个二次” （1）先化为（）的标准形式，求出相应方程的两根，再按“大于取两边、小于取中间”写出解集，注意端点的开闭． （2）、、分别对应“两根之外（内）”、“除顶点外”与“全体实数或空集”，可用二次函数图像辅助判断． （3）解集的端点就是相应方程的根：已知解集可反用韦达定理确定系数或参数． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 【变式2】（2026·上海崇明·二模）不等式的解为________． 考点三：分式不等式与含绝对值不等式 例7（2026·上海徐汇·二模）不等式的解集为__________. 例8（2026·上海·三模）不等式的解集为______． 例9（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________． 解题策略分式不等式与绝对值不等式的解法 （1）分式不等式先移项、通分，化为（或）的形式，再等价转化为整式不等式，注意分母． （2）等价于；等价于或． （3）含参数或含多个绝对值时，可按零点分段讨论，最后把各段结果与定义域取并集． 【变式1】（2026·上海普陀·二模）设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【变式2】（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 考点四：含参不等式与恒成立问题【重难点】 例10（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例11（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是_________. 例12（2026·上海·一模）若不等式对于任意实数x恒成立，则a的取值范围为______． 解题策略含参不等式与恒成立问题 （1）恒成立问题首选“参变分离”：把参数移到不等式一侧，转化为求另一侧函数的最值． （2）二次型恒成立用“开口方向+判别式”判断；限定区间上的恒成立，可比较端点与顶点的函数值，注意等号能否取到． （3）必须分类讨论时，按“二次项系数是否为0”“的符号”分层，做到不重不漏． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）恒成立，求范围__________ 考点五：基本不等式及其应用【高频考点】 例13（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 例14（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 例15（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 解题策略基本不等式求最值 （1）使用平均值不等式必须满足“一正、二定、三相等”：积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值． （2）常用变形：、，以及“乘1法”——把已知的定值关系乘到所求式上，凑出积为定值． （3）等号取不到时不能套用公式，应改用函数（）的单调性求最值． 【变式1】（2026·上海静安·三模）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【变式2】（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 考点六：基本不等式的实际应用 例16（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数） 例17（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为________米．（结果精确到1米） 例18（2026·广东梅州·模拟预测）某物流公司有7件快递，按顺序重量分别为：6，3，8，2，5，4，7（百公斤）．现按原有顺序分成3组，分别装入3辆货车．设每辆货车装载的快递总重量为该车的“负荷”．那么，这3辆货车中的最大负荷的最小值是（    ） A． B． C． D． 解题策略基本不等式的实际应用 （1）读题设元：把长度、面积、成本、时间等目标量写成关于自变量的函数，并注明定义域． （2）通过配凑使“积为定值”或“和为定值”，再用基本不等式求最值． （3）最后必须回到实际情境检验：取最值时自变量的值是否在定义域内、是否符合实际意义． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中不正确的结论为（） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 实战训练 1．（2026·上海黄浦·三模）已知实数，满足，则的最大值为________． 2．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 3．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 4．（2025·上海·模拟预测）的解集为，则的解集为______． 5．（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 6．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 7．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 8．（2025·上海虹口·一模）已知函数的定义域为（），记，其中，且． (1)当，，，求函数的零点； (2)当，，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和，均有”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $