专题04 导数及其应用（复习讲义）（上海专用）2027年春季高考数学

专题04 导数及其应用 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 7 考点一导数的概念与运算 7 考点二导数的几何意义 10 考点三导数与函数的单调性（核心重点） 14 考点四函数的极值与最值 19 考点五导数与不等式（重难点） 24 考点六导数的实际应用与零点问题（高频考点） 30 04实战演练 35 考情解读 考试要求 ①理解导数的概念及其几何意义，会求瞬时变化率与函数在一点处的导数，理解“在点处的切线”与“过点的切线”的区别． ②掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则，会求简单复合函数的导数． ③能用导数判断函数的单调性、求单调区间，会求函数的极值与闭区间上的最值，能由单调性、极值反求参数． ④能用导数证明不等式、研究方程的根，能建立函数模型解决利润最大、用料最省等最优化问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 导数的概念与运算 5年3考 导数公式、四则运算法则、瞬时变化率 预测2027年在填空题中考查导数运算与瞬时变化率 导数的几何意义 5年4考 求切线方程、由切线（斜率）求参数 预测2027年在选择或填空题中考查曲线在某点处的切线 导数与函数的性质 5年5考 单调区间、极值、闭区间上的最值 预测2027年在解答题中考查含参函数的单调性与极值 导数与不等式、零点 5年2考 证明不等式、恒成立问题、零点个数 预测2027年在解答题压轴中考查导数与不等式的综合 知识梳理 知识点1导数的概念、意义与运算 1．导数的概念 （1）一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； （2）函数在处的导数就是函数在处的瞬时变化率； （3）函数在点处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。相应地，切线方程为； （4）通常我们将导数为零的点称为函数的驻点； （5）给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数值与之对应，则称为函数的导函数． 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 （2）导数的四则运算法则： ①； ②； ③（其中）． （3）简单复合函数的导数：由与复合而成的型复合函数，其求导法则为，其中。 （4）曲线＂在点处的切线＂与＂过点的切线＂的区别与联系． ①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线； ②曲线过点的切线，是指切线经过点．点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 自主检测（2025·上海金山·模拟预测）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________． 【答案】2π 【知识点】基本初等函数的导数公式、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】求出导数，即可求出，从而得解. 【详解】由，可得，当时，， 即当时，气球体积的瞬时变化率为． 故答案为：. 知识点2导数的应用 1.函数的单调性与导数的关系： 函数在区间内可导， （1）若，则在区间内是严格增函数； （2）若，则在区间内是严格减函数； （3）若恒有，则在区间内是常数函数． 2．函数的极值 （1）函数的极小值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． （2）函数的极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 （1）在闭区间[a, b]上连续的函数在[a, b]上必有最大值与最小值； （2）若函数在[a, b]上严格增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在[a, b]上严格减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 4．导数在实际问题中应用的步骤 （1）审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：利用导数知识解模； （4）释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案． 5．导数在实际问题中应用的注意点 （1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； （2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大（小）值； （3）在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间． 6．恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 7．有解问题 在函数能取到最值的条件下，若存在，使成立，则只需；若存在，使成立，则只需。由此构造不等式，求解参数的取值范围． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数单调性得出导数正负，结合函数图象得出函数值计算求解不等式. 【详解】不等式，由图象可知，所以 单调递增，，所以； 单调递增，，所以； 因为，，所以； 单调递减，，所以； 单调递减，，所以； 所以的解集为. 必记结论 （1）基本初等函数导数公式 （2）导数运算法则、复合函数求导 的导数： （3）单调性与极值结论 是单调递增的充分不必要条件； 只是为极值点的必要条件，还需检验两侧导数的符号. ✅注意：是一个数，是一个函数；极值点是自变量的取值，极值是函数值，二者不能混淆． ⚠️避坑指南 ❌求“过某点的切线”时直接把该点当作切点代入，漏掉切点在其他位置的情形，导致漏解． ❌含参讨论单调性时没有按导函数零点的大小关系分类，或由单调性求参数时漏掉端点能否取等的检验． 考点精讲 考点一：导数的概念与运算 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式 【分析】根据驻点的定义，分别对函数求导，研究导数是否存在零点，可得答案. 【详解】对于A，求导可得，则函数不存在驻点； 对于B，求导可得，令，解得，则是函数的驻点； 对于C，求导可得，则函数不存在驻点； 对于D，求导可得，则函数不存在驻点. 故选：B. 例2（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，函数的导函数是.  对于，函数在上存在极值点.  记.  则中的函数一定不具有的性质是（    ） A． B． C．函数在上为严格增函数 D．函数是偶函数 【答案】D 【知识点】导数的运算法则 【分析】分别给出选项ABC的例子，证明满足题意条件且具备选择支的性质，再假设函数是偶函数，推出矛盾，说明D不成立，即可得到答案. 【详解】A项，定义域为，且满足. 存在极值点， 则，且， 且对， 有 ； 且； 满足， 故，故选项A有可能成立； B项，定义域为，且存在极值点， 又，， 且对， 有 ； 且； 满足， 故，可知选项B，C均有可能成立. 假设选项D成立，即是偶函数， 则是奇函数，所以. 设，，则. 从而对任意有， 故，但这对不成立，所以选项D不可能成立. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对相应选项给出恰当的函数例子. 例3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】. 解题策略导数公式与运算法则 （1）求导前先化简解析式（拆项、化积为和），再套用公式，能减少出错． （2）复合函数求导要“由外向内、逐层求导、乘以内层导数”，不要漏乘． （3）用定义求导或求极限时，先把式子凑成的形式，再代值． 【变式1】（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知是定义在上的可导函数，若，则________. 【答案】1 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据导数的定义进行求解即可. 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 考点二：导数的几何意义 例4（2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得： 因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 例5（2025·上海金山·二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 【答案】/ 【知识点】导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 例6（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 【答案】3 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数、基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 解题策略切线方程与公切线问题 （1）求“在点处”的切线：先求得斜率，再用点斜式写出方程． （2）求“过点”的切线：设切点，写出切线方程后代入点求，有几个就有几条切线． （3）已知切线（斜率）求参数：把“相切”转化为“斜率相等且切点处函数值相等”联立方程组求解． 【变式1】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（2026·上海秋考）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、解不含参数的一元二次不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围； （2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或， ∴实数的取值范围为. 考点三：导数与函数的单调性【核心重点】 例7（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数新定义 【详解】不妨令函数，该函数连续， 易知当，， 因此当时，，当或时，， 可知在上单调递增，在和上单调递减， 当时，单调递增，且当时，, 此时函数满足且在处取极小值，图象是连续曲线， 即存在函数在处取极小值，且图象是连续曲线，因此①②都真. 例8（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、复数范围内方程的根、求对数函数的定义域、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）代入得，求导后判断导函数符号，确定单调区间. （2）由虚根知判别式，利用韦达定理列方程求解，并验证判别式条件. 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 例9（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】若函数为偶函数，则为奇函数， 而为偶函数，则,即， ，故， 当时，，即函数在单调递减， 由为偶函数，则， 结合单调性可知，即，解得或, 故不等式的解集为. 解题策略单调性的判断与含参讨论 （1）求单调区间：先定定义域，再解与，最后与定义域取交集． （2）含参讨论：求出导函数的零点，按“零点是否存在”“零点大小关系”分类，逐段判断导数符号． （3）由单调性求参数：转化为（或）在区间上恒成立，再用分离参数或最值法求解，注意检验端点． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为； (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为与在上有交点，应用导数研究的单调性并求出值域，即可得范围. 【详解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 考点四：函数的极值与最值 例10（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（    ）. A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点 【答案】D 【知识点】函数极值点的辨析 【详解】对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能； 对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能； 对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能； 对D，若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，； 此时必有，即，与题设时不符，故D不可能. 例11（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 例12（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【答案】(1)是函数的极大值点；是函数的极小值点.当时，；当时，. (2)时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解； (3)证明：假设在上的最大值在某个内点处取得， 即时， 由最大值的定义且可导，且，， 因为当，，所以， 所以，由于，所以，所以， 但，而，这与矛盾， 因此，函数在上的最大值只能在端点或处取得， 即 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）令，解得或，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设在上的最大值在某个内点处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当时，. （2）因为，所以，， 则， 令，，， 令，即，因为，所以， 当时，，所以在上严格递增， 当时，，所以在上严格递减， 所以函数在处取得最大值； 当时，；当时，， 时，的图象无交点；当时，的图象有1个交点；当时，的图象有2个交点， 所以当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解； （3）略 解题策略极值与最值的求法 （1）求极值：先求的点，再看该点两侧导数的符号是否由正变负（极大）或由负变正（极小）． （2）求闭区间上的最值：比较各极值与端点函数值、，取最大者与最小者． （3）已知极值（最值）求参数：把条件转化为方程或不等式，求出参数后必须回代检验极值点是否真的成立． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】函数极值的辨析 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 【变式2】（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【答案】(1)方程的解集为 (2)，极值点为极大值点. 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值点、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出； （2）先对进行求导，令并求导即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. （2）由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 考点五：导数与不等式【重难点】 例13（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、利用导数研究不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求二次函数的值域或最值 【分析】利用二次函数不等式恒大于等于零，通过判别式可求得参数范围，再利用分离参变量来求不等式恒成立的参数范围，最后可得充分条件是，接下来分析必要性，即对的补集范围进行分类讨论，利用二次不等式的最小值小于0，来分析此时的，从而找到矛盾，最后可得充要条件是. 【详解】由恒成立可得：， 解得， 再由或， 令，则， 当时，，所以在和上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以当时，恒有，则， 当时，，则， 即可得， 综上可得，当时，对任意实数，恒有，即满足题意，即这是充分条件. 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，满足， 而此时，所以不满足； 又当，可知不等式不恒成立，此时必存在， 而在时，，不等式恒成立，即此时， 所以不满足； 当，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有，所以不满足； 当时，由，可知不等式的解集不为， 此时对称轴为，必存在，使得， 而此时因为，，必有， 所以不满足； 综上分析可得：是对任意的实数，都有成立的充要条件， 故答案为： 例14（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 【答案】15 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据定义计算得到，，，，，的性质，通过代入比较大小即可求解. 【详解】对于，， 而，所以， ，所以， ，所以， ，所以， ，所以， 而当且时， 因为函数是“全面压缩”函数，所以， 即， 则，，，，，， 而当时，， 设， ， ， 故最大值为. 例15（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设，，，，所以，，则直线为. 令，则. ，因为，且，所以， 所以数列是严格递减数列. (3)，理由如下： 当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导， 构造函数，，所以单调递增，且，所以， 所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得， 所以结合数列的单调递减性，当，，此时； 当，，此时；当，，此时. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可. （2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明. （3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小. 【详解】（1）已知，， 当，，设切线斜率为， 则，直线为， 令，. （2）略 （3）略 解题策略不等式证明与恒成立 （1）证明不等式：构造差函数，用导数研究的单调性与最值，证明． （2）恒成立问题：恒成立；能分离参数时优先分离，转化为求最值． （3）存在性（能成立）问题：有解，注意“恒成立”与“有解”的差别． 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】由奇偶性求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、利用导数研究不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 【变式2】（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 考点六：导数的实际应用与零点问题【高频考点】 例16（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【知识点】利润最大问题 【分析】根据条件确定函数关系式，由函数的最值与函数的导数的关系，求出该函数的最大值即可. 【详解】分公司一年的利润(万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 例17（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时，取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为： 例18（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 【答案】D 【知识点】柱体体积的有关计算、面积、体积最大问题 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时. 解题策略最优化问题与零点个数 （1）实际应用四步走：读题设元—建立函数模型—用导数求最值—回到实际检验，并注明定义域． （2）零点（方程根）个数问题：化为，数形结合看两图像交点个数，或用导数画出函数草图． （3）由零点个数求参数：先确定函数的单调性与极值，再让极值与比较大小，注意端点趋势与开闭． 【变式1】（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【知识点】面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁截而制为长方体形状，例如下图所示. 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列： (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，试判断哪一种梁的截面形状最好并说明理由； (2)考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图所示，求：为何值时，其抗弯截面系数取得最大值. 【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好 (2)时抗弯截面系数最大 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由三种梁的截面面积相等，设截面面积均为，则；再将，，转化为关于的表达式，两两比较大小即可； （2）根据矩形内接于直径为的圆，根据勾股定理可得，将转化为关于变量的函数，再求函数的最大值，从而得到对应的的比值. 【详解】（1）矩形截面的梁的截面形状最好，理由如下： 由三种梁的截面面积相等，设截面面积均为，则； ，. ，，； ，，即； ，，得； ，即. . 对于两个截面积相同的梁，称较大的梁的截面形状更好， 矩形截面的梁的截面形状最好. （2）由，可得. 令，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 时，取得极大值也就是最大值，此时； ； 即时，其抗弯截面系数取得最大值. 实战训练 1．（2025·上海黄浦·三模）若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】首先得，故问题转换为了是的什么条件，分充分、必要两种情况说明即可. 【详解】令，求导得恒成立， 所以是上的增函数， 所以， 当时，有，这表明不是的充分条件， 当时，有，这表明不是的必要条件， 所以“”成立是“”成立的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、求函数零点或方程根的个数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导，得， 得或，D错. 3．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、已知切线求参数 【分析】设直线，方程联立由判断A；可得，，从而结合累加法求和可判断B；由，结合等差数列的求和公式可判断C；令，结合导数可得在上单调递增，进而可判断D. 【详解】设直线，联立， 得， 则由，即， 解得（负值舍去），故A正确； 可得，， 所以，故B正确； 因为，则，故C错误； 因为，， 所以， 设，则， 可得在上单调递增， 则时，， 又，则，故D正确. 故选：C. 4．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 5．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是______________ 【答案】1 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、利用导数研究函数的零点 【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可. 【详解】因为有唯一解， 所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方， 直线过定点， 画出的图象上与直线的图象如图， 由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解； 当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集； 当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解， 设切点坐标为，因为， 所以， 故答案为：1. 6．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    【答案】 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 7．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、解余弦不等式 【分析】先考虑时的范围，对于时，可利用存在使得，结合特值法求得，从而可得的最小值. 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求导，可得是方程的两不等正根，进而可得，令，则，利用导数可求得的最小值. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 因为是函数的极值点，所以是方程的两不等正根， 则有，，， 所以，，即，且有，， 令，则，则， 求导得， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增. 所以的最小值为. 9．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【答案】(1) ①选择甲方案：； 选择乙方案：； 选择丙方案：， ②选择甲方案，.选择乙方案：.选择丙方案：. (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、面积、体积最大问题、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）①根据所选方案，确定正四棱锥的底面边长和斜高，可得出正四棱锥的侧面积的表达式； ②根据所选方案，确定正四棱锥的底面面积和高，可得出正四棱锥体积的表达式，然后结合导数求其最大值； （2）根据（1）中的结果可得出结论. 【详解】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 10．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据“切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数”列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 11．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】(1)是，理由如下： 函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. (2)且； (3)证明：（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可. （2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于的不等式求解即得. （3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明. 【详解】（1）是上的函数，理由略. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）略 12．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）首先求出导函数，根据构造函数，根据研究的单调性；根据以上单调性分析的大致图象，根据其与直线有交点可得结果. （2）构造函数，根据导数研究恒成立问题. 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用 内容导航 01命题精研与考情透视 1 02知识网络梳理 2 03核心考点精讲 7 考点一导数的概念与运算 7 考点二导数的几何意义 10 考点三导数与函数的单调性（核心重点） 14 考点四函数的极值与最值 19 考点五导数与不等式（重难点） 24 考点六导数的实际应用与零点问题（高频考点） 30 04实战演练 35 考情解读 考试要求 ①理解导数的概念及其几何意义，会求瞬时变化率与函数在一点处的导数，理解“在点处的切线”与“过点的切线”的区别． ②掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则，会求简单复合函数的导数． ③能用导数判断函数的单调性、求单调区间，会求函数的极值与闭区间上的最值，能由单调性、极值反求参数． ④能用导数证明不等式、研究方程的根，能建立函数模型解决利润最大、用料最省等最优化问题． 命题分析 核心考点 考频 考查内容 命题趋势 导数的概念与运算 5年3考 导数公式、四则运算法则、瞬时变化率 预测2027年在填空题中考查导数运算与瞬时变化率 导数的几何意义 5年4考 求切线方程、由切线（斜率）求参数 预测2027年在选择或填空题中考查曲线在某点处的切线 导数与函数的性质 5年5考 单调区间、极值、闭区间上的最值 预测2027年在解答题中考查含参函数的单调性与极值 导数与不等式、零点 5年2考 证明不等式、恒成立问题、零点个数 预测2027年在解答题压轴中考查导数与不等式的综合 知识梳理 知识点1导数的概念、意义与运算 1．导数的概念 （1）一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； （2）函数在处的导数就是函数在处的瞬时变化率； （3）函数在点处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。相应地，切线方程为； （4）通常我们将导数为零的点称为函数的驻点； （5）给定函数，在导数存在的前提下，对于不同的，总有一个确定的导数值与之对应，则称为函数的导函数． 2.基本初等函数的导数公式和求导法则 (1)基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 （2）导数的四则运算法则： ①； ②； ③（其中）． （3）简单复合函数的导数：由与复合而成的型复合函数，其求导法则为，其中。 （4）曲线＂在点处的切线＂与＂过点的切线＂的区别与联系． ①曲线在点处的切线是指为切点，切线斜率为的切线，是唯一的一条切线； ②曲线过点的切线，是指切线经过点．点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 自主检测（2025·上海金山·模拟预测）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________． 知识点2导数的应用 1.函数的单调性与导数的关系： 函数在区间内可导， （1）若，则在区间内是严格增函数； （2）若，则在区间内是严格减函数； （3）若恒有，则在区间内是常数函数． 2．函数的极值 （1）函数的极小值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． （2）函数的极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值 （1）在闭区间[a, b]上连续的函数在[a, b]上必有最大值与最小值； （2）若函数在[a, b]上严格增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在[a, b]上严格减，则为函数的最大值，为函数的最小值． 4．导数在实际问题中应用的步骤 （1）审题：阅读理解文字含义，分清条件和结论，找出问题的主要关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：利用导数知识解模； （4）释模：对结果分析验证作出正确的判断，确定其答案． 5．导数在实际问题中应用的注意点 （1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要注意考虑实际问题的含义，不符合实际意义的值应该舍去； （2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值作比较，也可以得到这就是最大（小）值； （3）在生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．在解决最优化问题中涉及的变量关系用函数关系给予表示，一定要确定函数关系中的自变量的定义区间． 6．恒成立问题 在函数能取到最值的条件下，一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需．由此构造不等式，求解参数的取值范围． 7．有解问题 在函数能取到最值的条件下，若存在，使成立，则只需；若存在，使成立，则只需。由此构造不等式，求解参数的取值范围． 自主检测（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为__________． 必记结论 （1）基本初等函数导数公式 （2）导数运算法则、复合函数求导 的导数： （3）单调性与极值结论 是单调递增的充分不必要条件； 只是为极值点的必要条件，还需检验两侧导数的符号. ✅注意：是一个数，是一个函数；极值点是自变量的取值，极值是函数值，二者不能混淆． ⚠️避坑指南 ❌求“过某点的切线”时直接把该点当作切点代入，漏掉切点在其他位置的情形，导致漏解． ❌含参讨论单调性时没有按导函数零点的大小关系分类，或由单调性求参数时漏掉端点能否取等的检验． 考点精讲 考点一：导数的概念与运算 例1（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，存在驻点的是（   ） A． B． C． D． 例2（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，函数的导函数是.  对于，函数在上存在极值点.  记.  则中的函数一定不具有的性质是（    ） A． B． C．函数在上为严格增函数 D．函数是偶函数 例3（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 解题策略导数公式与运算法则 （1）求导前先化简解析式（拆项、化积为和），再套用公式，能减少出错． （2）复合函数求导要“由外向内、逐层求导、乘以内层导数”，不要漏乘． （3）用定义求导或求极限时，先把式子凑成的形式，再代值． 【变式1】（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【变式2】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知是定义在上的可导函数，若，则________. 考点二：导数的几何意义 例4（2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 例5（2025·上海金山·二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为__________. 例6（25-26高三上·上海·阶段检测）已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 解题策略切线方程与公切线问题 （1）求“在点处”的切线：先求得斜率，再用点斜式写出方程． （2）求“过点”的切线：设切点，写出切线方程后代入点求，有几个就有几条切线． （3）已知切线（斜率）求参数：把“相切”转化为“斜率相等且切点处函数值相等”联立方程组求解． 【变式1】（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为__________. 【变式2】（2026·上海秋考）已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 考点三：导数与函数的单调性【核心重点】 例7（2026·上海崇明·二模）已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（   ） A．①②都真 B．①真②假 C．①假②真 D．①②都假 例8（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 例9（2026·上海普陀·二模）设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______. 解题策略单调性的判断与含参讨论 （1）求单调区间：先定定义域，再解与，最后与定义域取交集． （2）含参讨论：求出导函数的零点，按“零点是否存在”“零点大小关系”分类，逐段判断导数符号． （3）由单调性求参数：转化为（或）在区间上恒成立，再用分离参数或最值法求解，注意检验端点． 【变式1】（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【变式2】（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 考点四：函数的极值与最值 例10（2026·上海杨浦·二模）已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（    ）. A．0是的极大值点，也是的极大值点 B．0是的极小值点，也是的极小值点 C．0是的极大值点，也是的极小值点 D．0是的极小值点，也是的极大值点 例11（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 例12（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 解题策略极值与最值的求法 （1）求极值：先求的点，再看该点两侧导数的符号是否由正变负（极大）或由负变正（极小）． （2）求闭区间上的最值：比较各极值与端点函数值、，取最大者与最小者． （3）已知极值（最值）求参数：把条件转化为方程或不等式，求出参数后必须回代检验极值点是否真的成立． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【变式2】（2026·上海闵行·二模）已知. (1)当时，解方程； (2)若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 考点五：导数与不等式【重难点】 例13（2025·上海普陀·一模）设，函数和的表达式分别为，若对任意的实数，皆有成立，则的取值范围是___________． 例14（2026·上海·三模）对于函数，将求导次之后所得到的函数记为，并规定.若对任意以及任意自然数k，恒成立，就称是一个“全面压缩”函数.对于所有满足的“全面压缩”函数，若恒成立，则正整数的最大值为_____________. 例15（2026·上海奉贤·二模）设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，． (1)若，，求； (2)求证：数列是严格递减数列； (3)若，比较与的大小，并说明理由． 解题策略不等式证明与恒成立 （1）证明不等式：构造差函数，用导数研究的单调性与最值，证明． （2）恒成立问题：恒成立；能分离参数时优先分离，转化为求最值． （3）存在性（能成立）问题：有解，注意“恒成立”与“有解”的差别． 【变式1】（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【变式2】（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 考点六：导数的实际应用与零点问题【高频考点】 例16（2025·上海宝山·二模）某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为_________元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 例17（2025·上海徐汇·二模）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 例18（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（   ） A．64 B．128 C．144 D．256 解题策略最优化问题与零点个数 （1）实际应用四步走：读题设元—建立函数模型—用导数求最值—回到实际检验，并注明定义域． （2）零点（方程根）个数问题：化为，数形结合看两图像交点个数，或用导数画出函数草图． （3）由零点个数求参数：先确定函数的单调性与极值，再让极值与比较大小，注意端点趋势与开闭． 【变式1】（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【变式2】（2026·上海杨浦·模拟预测）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁截而制为长方体形状，例如下图所示. 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列： (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，试判断哪一种梁的截面形状最好并说明理由； (2)考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如图所示，求：为何值时，其抗弯截面系数取得最大值. 实战训练 1．（2025·上海黄浦·三模）若、，则“”成立是“”成立的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 3．（2025·上海·三模）过点向曲线：（为正整数）引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D． 4．（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 5．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是______________ 6．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    7．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 9．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 10．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 11．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 12．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $