专题13 期中复习易错23类题型归纳（期中重难点复习）2026-2027学年九年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题13 期中复习易错23类题型归纳 （考试范围：第25章 一元二次方程~第27章 反比例函数） 【新教材人教版九年级上册】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的定义】 2 【题型2 一元二次方程的解】 2 【题型3 解一元二次方程-配方法】 3 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 4 【题型5 根的判别式】 5 【题型6 根与系数的关系】 6 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 8 【题型8 一元二次方程的应用】 9 【题型9 反比例函数的定义】 11 【题型10 反比例函数系数k的几何意义】 12 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 13 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 16 【题型13 反比例函数的应用】 21 【题型14 二次函数的定义】 24 【题型15 二次函数的性质】 25 【题型16 二次函数图象与系数的关系】 26 【题型17 二次函数的最值】 30 【题型18 抛物线与x轴的交点】 32 【题型19 二次函数的应用_营销问题】 35 【题型20 二次函数的应用_最大面积】 38 【题型21 二次函数的应用_轨迹问题】 41 【题型22 二次函数的应用_拱桥问题】 44 【题型23 二次函数的应用_行程问题】 48 【题型1 一元二次方程的定义】 1．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m＝﹣3 D．m＝1或m＝﹣3 【答案】C 【解答】解：根据题意得|m+1|＝2且m﹣1≠0， 解得m＝﹣3， 故选：C． 2．关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0，|a﹣1|＝2， 解得，a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【题型2 一元二次方程的解】 3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0， 得k2﹣1＝0， 解得k＝﹣1或1； 又k﹣1≠0， 即k≠1； 所以k＝﹣1． 故选：C． 4．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2+1＝2026a，a2＝2026a﹣1， ∴原式＝2026a﹣1﹣2025a ＝a﹣1 1 1 ＝2026﹣1 ＝2025． 故答案为：2025． 【题型3 解一元二次方程-配方法】 5．用配方法解一元二次方程x2+6x+8＝0，将它变为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：由x2+6x+8＝0，得：x2+6x＝﹣8， ∵， ∴（x+3）2＝1， ∵（x+a）2＝b， ∴a＝3，b＝1， ∴ab＝31＝3， 故选：B． 6．（1）解方程：x2+4x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）﹣3≤x＜1． 【解答】解：（1）x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝2+4， （x+2）2＝6， x+2＝±， x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥﹣3， ∴原不等式组的解集：﹣3≤x＜1． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 7．方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 【答案】B 【解答】解：由题意得，x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 故选：B． 8．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　15　 ． 【答案】15． 【解答】解：x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣2）＝0， x﹣5＝0或x﹣2＝0， x1＝5，x2＝2， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵2+4＝6， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长＝4+5+6＝15， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 9．解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x＝4； （2）（3x+1）2＝（2x﹣1）2． 【答案】（1）； （2）x1＝﹣2，x2＝0． 【解答】解：（1）由题意得，x2﹣2x﹣4＝0， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴， ∴； （2）由题意得，3x+1＝±（2x﹣1）， ∴3x+1＝2x﹣1或3x+1＝﹣（2x﹣1）， ∴x1＝﹣2，x2＝0． 【题型5 根的判别式】 10．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【解答】解：∵点P（a，c）在第四象限， ∴a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴方程ax2﹣bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2﹣bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：B． 11．若关于x的一元二次方程mx2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　且m≠0　 ． 【答案】且m≠0 【解答】解：由题意，∵方程mx2+4x+3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4m×3＞0，且m≠0． ∴m≠0且， 故答案为：且m≠0． 12．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2009． 【解答】解：（1）由题意，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，∵方程有一个根为3， ∴9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8， ∴2k2+12k+2025＝2（k2+6k）+2025＝﹣16+2025＝2009． 【题型6 根与系数的关系】 13．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解答】解：由题意得，m+n，mn＝1， ∴， ， … 1． ∴S1+S2+…+St＝t， ∵， ∴t2﹣56＝t， ∴t2﹣t﹣56＝0， ∴t1＝8，t2＝﹣7， ∵t为正整数， ∴t＝8， 故选：B． 14．已知a、b是一元二次方程4x2﹣8x﹣7＝0的两个根，则a2b+ab2的值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意，∵a和b是方程 4x2﹣8x﹣7＝0 的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 15．关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）若此方程有实数根，求k的取值范围； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2﹣24，求k的值． 【答案】（1）当时，此方程有实数根； （2）k＝﹣6． 【解答】解：（1）由题意得，Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＝﹣4k﹣3≥0， ∴， ∴当时，此方程有实数根； （2）由题意得，x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k，， ∵x1+x2＝x1x2﹣24， ∴1﹣2k＝k2+1﹣24， ∴k＝﹣6或 k＝4． ∵， ∴k＝﹣6． 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 16．第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28， 故选：D． 17．为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程x（82﹣2x）＝620　 ． 【答案】x（82﹣2x）＝620． 【解答】解：根据题意得x（82﹣2x）＝620， 故答案为：x（82﹣2x）＝620． 【题型8 一元二次方程的应用】 18．如图，用一段25m长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长10m，不使用铁丝）的矩形ABCD，其面积为72m2，在矩形ABCD的AB边上留一个1m宽的门（由其他材料制成），则CD的长为（　　） A．4m B．4m或9m C．8m D．9m 【答案】D 【解答】解：由题意，设BC＝x米，则米， ∴， ∴x2﹣26x+144＝0， ∴x1＝18，x2＝8， 又∵BC长度要小于墙长10米， ∴x＝8， ∴（米）． 故选：D． 19．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程x2+2mx＝36，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，若，则m的值为　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2+2mx＝36， ∴根据材料可得，a＝2m，b＝6． ∴BC＝BDa＝m，AC＝6，∠ACB＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴， ∴m＝2.5或m＝﹣2.5（负值不合题意，舍去）， 故答案为：2.5． 20．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1）（47﹣3x）； （2）x＝9或x； （3）不能．理由如下： 假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 【题型9 反比例函数的定义】 21．若是反比例函数，则k必须满足（　　） A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠0 【答案】D 【解答】解：∵是反比例函数， ∴k（k﹣3）≠0， ∴k≠0且k﹣3≠0， 解得k≠3且k≠0， 故选：D． 22．已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得： |m|﹣3＝﹣1，且m+2≠0， ∴m＝2， 故答案为：2． 【题型10 反比例函数系数k的几何意义】 23．如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题知，令点A坐标为（a，0），点C坐标为（0，b）， 则点B坐标为（a，b）． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为． ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，BE＝bbb， ∴S△OBFab＝12，解得ab＝27， ∴S△OEF＝S矩形OABC﹣S△OCF﹣S△OEA﹣S△BEF ＝abababab ab ． 故选：D． 24．如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为 　1.5　 ． 【答案】1.5． 【解答】解：∵点A、D分别在函数，的图象上， ∴S矩形ABCD＝1+2＝3， ∴S△BCEBC•ABS矩形ABCD＝1.5， 故答案为：1.5． 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 25．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内．，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 【答案】（1）y； （2）m． 【解答】解：（1）由题意，∵AB＝AC，BC＝4，点A（3，5）， ∴B（1，4），C（5，4）． ∵反比例函数的图象经过点B， ∴k＝1×4＝4． ∴反比例函数为y； （2）∵点A（3，5），C（5，4），又将△ABC 向下平移m个单位长度， ∴A（3，5﹣m），C（5，4﹣m）． ∵A，C两点同时落在反比例函数图象上， ∴3（5﹣m）＝5（4﹣m）． ∴m． 26．如图，矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数y的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为（2，4）． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OEPS矩形ABCD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；点B的坐标为（﹣2，﹣4）； （2）P（1，8）或（﹣1，﹣8）． 【解答】解：（1）把（2，4）代入得， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为． ∵点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， ∴点A，B关于原点对称， ∴点B的坐标为 （﹣2，﹣4）； （2）根据中心对称的性质得B（﹣2，﹣4）， ∴AB4． ∵对角线AC垂直于x轴， ∴∠AEO＝∠ABC＝90°， ∵∠EAO＝∠BAC， ∴△AOE∽△ACB， ∴， ∴． ∴BC＝2． ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4240． ∴S△OEPS矩形ABCD8． ∵在反比例函数y的图象上， ∴可设P（a，）， ∴S△OEPOE•|yP|28． ∴a＝±1． ∴P（1，8）或（﹣1，﹣8）． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 27．如图，函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为　　 ． 【答案】 【解答】解：解法一：连接OA，OB，过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥y轴于F， ∵点A（2，2），B（1，）， ∴OE＝2，AE＝2， ∴OA4，∠EAO＝30°， ∴∠AOE＝60°， 同理得：OB＝2，∠BOF＝30°， ∴∠AOB＝90°， ∴OA⊥OB， ∵函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°， ∴建立新的坐标系：OB为x'轴，OA为y'轴， 则旋转后的函数解析式为：y'， 在新的坐标系中，A（0，4），B（2，0）， 设直线AB的解析式为：y'＝mx'+n， 则，解得， ∴直线AB的解析式为：y'＝﹣2x'+4， 设M（x1，﹣2x1+4），N（x2，﹣2x2+4）， 由﹣2x'+4得：2x'2﹣4x'+k＝0， ∴x1+x2＝2，x1x2， ∵S△OMN＝S△AOB﹣S△AOM﹣S△BON2×42， ∴4﹣2x1+2x2﹣4＝2， ∴x1﹣x2， ∴（x1﹣x2）2＝3， ∴x12﹣2x1x2+x22＝3， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝3， ∴4﹣43， ∴k； 解法二：如图，将双曲线和直线AB逆时针旋转60°，点A落在y轴上，点B在x轴上，M和N的对应点分别为M'，N'， ∴OA＝4，OB＝2， 得直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4， 设M'（a，），N'（b，）， ﹣2x+4， 2x2﹣4x+k＝0， ∴a+b＝2，ab， 过点M'作M'D⊥y轴于D，过点N'作N'C⊥x轴于C， ∵S△OMN＝2， ∴4×24a22， ∴4﹣2a2①， 4b﹣2ab﹣k＝2b， ∵ab， ∴2②， 把②代入①得：a， ∵a+b＝2， ∴b， ∴k（2）； 故答案为：． 28．如图，在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（m，1），，AC⊥x轴，垂足为C，连接AO，． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）x＜﹣2或0＜x＜3． 【解答】解：（1）由题意得，k＞0， ∴，则k＝3， ∴反比例函数的解析式为 ∵A（m，1）在反比例函数y的图象上， ∴m×1＝3，则m＝3， ∴A（3，1）， 把代入可得n＝﹣2， ∴． ∵一次函数y＝ax+b过A，B两点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）由题意，根据图象，可得不等式的解集为x＜﹣2或0＜x＜3． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）若，请直接写出关于x的不等式的解． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数为y＝﹣x﹣5；（2）（﹣2，3）或 （﹣2，﹣9）；（3）﹣6≤x＜0或x≥1． 【解答】解：（1）由题意，∵A（﹣6，1）在反比例函数图象上， ∴m＝（﹣6）×1＝﹣6． ∴反比例函数为． 又将B（1，n）代入， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）． 由题意，将 A（﹣6，1），B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b，得 ， ∴． ∴一次函数为y＝﹣x﹣5． （2）设直线 y＝﹣x﹣5 与 x＝﹣2 的交点为C， ∴联立方程，得． ∴． ∴C（﹣2，﹣3）． 由题意，连结PA，PB，设点P（﹣2，y）， ∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC． ∴PC＝6． ∴P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣2，﹣9）． （3）由题意，∵不等式的解集是一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y的图象下方的自变量的取值范围，且A（﹣6，1），B（1，﹣6）， ∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1． 【题型13 反比例函数的应用】 30．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】（1）y；（2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 【解答】解：（1）由题意，设y与x之间的函数表达式为y， ∴结合函数的图象可得，k＝2×7＝14． ∴y与x之间的函数表达式为y． （2）由题意，结合（1）可得，y， ∴当x＝0.5时，y28（米）， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 31．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）k＝　　 ，消毒效果最高效力是　6　 ； （2）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）；6； （2）y与x之间的函数关系式为y； （3）本次消毒有效． 【解答】解：（1）由题意，∵BC段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画， 且B（10，3）， ∴10k3． ∴k． ∴一次函数为yx． ∴结合图象可得，当x＝30时，y取最大值，最大值为306． 故答案为：；6． （2）由题意，当x≥30时，CD段是反比例函数图象的一部分， 设函数关系式为y， 又∵图象过C（30，6）， ∴m＝30×6＝180． ∴y与x之间的函数关系式为y． （3）由题意，令4， ∴x． 又令y4， ∴x＝45． ∴消毒效果达到4效力及以上的时间为：4528， ∴本次消毒有效． 32．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）的数据如右表． 建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v（km/h）是行驶时间t（h）的函数．求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间t（h） 平均速度v/（km/h） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过80km/h，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（1）v； （2）36km/h； （3）不少于22.5分钟． 【解答】解：（1）由表格可知，vt＝30， ∴求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式为v． （2）50分钟小时， 当t时，v36． 答：它的平均速度是36km/h． （3）根据题意，得80， 解得t， 小时60分钟＝22.5分钟． 答：行驶时间应不少于22.5分钟． 【题型14 二次函数的定义】 33．若y＝（m2﹣m）x是二次函数，则m等于（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．1或﹣2 【答案】A 【解答】解：由题意得，m2+m＝2且m2﹣m≠0， 解得m1＝1，m2＝﹣2且m≠0，m≠1， ∴m＝﹣2． 故选：A． 34．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：由题意得：m+2≠0且m2﹣2＝2， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【题型15 二次函数的性质】 35．二次函数y＝x2﹣4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【答案】A 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点为（2，﹣1）． 故选：A． 36．如图，x轴上依次有A，B，C，D，E，F六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P． （1）求抛物线顶点坐标，并在图中补画出y轴； （2）若抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，直接写出n的取值范围为 　0＜n≤16　 ． 【答案】（1）顶点为（2，6），作图见解析；（2）0＜n≤16． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线为y＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点为（2，6）． 又令y＝0， ∴0＝﹣x2+4x+12． ∴x＝﹣2或x＝6． ∴作图如下． （2）由题意，∵抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+16， ∴当x＝2时，y取最大值为16． 又当x＝0时，y＝12；当x＝6时，y＝0， ∴抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，则0＜n≤16． 故答案为：0＜n≤16． 【题型16 二次函数图象与系数的关系】 37．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（　　） A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2| C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2| 【答案】B 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝ax2+2ax+c， ∴对称轴是直线x1． 又∵（x2，n）在二次函数y＝ax2+2ax+c上，且n＝c﹣a， ∴x2＝﹣1． ∴（x2，n）为二次函数的顶点． ∴①当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离小，则若a＞0时，则n≤m≤p；若a＜0时，则n≥m≥p； ②当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，点（x1，m）到顶点的距离比（x3，p）到顶点的距离大，则若a＞0时，则n≤p≤m；若a＜0时，则n≥p≥m； ③若n≥m≥p，则n为最大值，故抛物线开口向下，可得|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|． 故选：B． 38．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 　②③④　 （填序号）． 【答案】②③④． 【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，且抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0． 又∵图象顶点为P（1，m）， ∴对称轴是直线x1． ∴b＝﹣2a＞0． ∴abc＜0，故①错误． ∵抛物线过点A（2，1）， ∴4a+2b+c＝1，故②正确． ∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故③正确． ∵∵抛物线开口向下，对称轴直线x＝1， ∴当x＝1时，y取最大值为a+b+c． ∴对于任意实数t，当x＝t时，y＝at2+bt+c≤a+b+c． ∴at2+bt≤a+b，故④正确． ∴正确的有②③④． 故答案为：②③④． 39．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3）M（1﹣m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx上两点，若|y1﹣y2|≤2，直接写出m取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线x＝m；（2）或m＞2或m＝0；（3）． 【解答】解：（1）由题意，对于抛物线y＝x2﹣2mx， ∴a＝1，b＝﹣2m． ∴对称轴为直线． （2）由题意得，将 x＝﹣1代入抛物线y＝x2﹣2mx，得y＝1+2m；将x＝4代入抛物线，得y＝16﹣8m． 又∵抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点， ∴分四种情况讨论：①当抛物线经过点A（﹣1，0）时，1+2m＝0，解得； ②当抛物线经过点B（4，0）时，16﹣8m＝0，解得m＝2； ③∵抛物线对称轴为直线x＝m，且抛物线开口向上（a＝1＞0）， ∴当时，即，则m＞2；当时，即，则． ④抛物线与x轴切于原点， ∴Δ＝m2＝0． ∴m＝0． 综上，m的取值范围是或m＞2或m＝0． （3）由题意，将x＝1﹣m代入抛物线y＝x2﹣2mx， ∴1﹣2m+m2﹣2m+2m2＝3m2﹣4m+1． 又将 x＝m代入抛物线y＝x2﹣2mx， ∴． ∴|y1﹣y2|＝|3m2﹣4m+1﹣（﹣m2）|＝|4m2﹣4m+1|＝|（2m﹣1）2|＝（2m﹣1）2． ∵|y1﹣y2|≤2， ∴（2m﹣1）2≤2． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 40．在二次函数y＝x2﹣4tx+5（t＞0）中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值； （2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜5，求m的取值范围． 【答案】（1）t；（2）q；（3）3＜m＜4或m＞6． 【解答】（1）解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4tx+5＝（x﹣2t）2﹣4t2+5，且顶点在x轴上， ∴﹣4t2+5＝0． ∴t＝±． 又t＞0， ∴t． （2）证明：∵点（t，s）在抛物线y＝x2﹣4tx+5（t＞0）上， ∴s＝t2﹣4t2+5＝﹣3t2+5， ∴q＝t+s＝﹣3t2+t+5， ∴q＝﹣3t2+t+5＝﹣3（t）2． ∵﹣3＜0， ∴q有最大值为． ∴q． （3）解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣4tx+5的对称轴直线x＝2tm﹣1． ∴2t＝m﹣1． ∵t＞0， ∴m﹣1＞0． ∴m＞1． 在y＝x2﹣4tx+5中，令x＝0得y＝5， ∴抛物线y＝x2﹣4tx+5与y轴交点为（0，5）． ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵a＜b＜5， ∴|m﹣2﹣（m﹣1）|＜|4﹣（m﹣1）|＜|0﹣（m﹣1）|，即1＜|m﹣5|＜|m﹣1|． ∴3＜m＜4或m＞6． 【题型17 二次函数的最值】 41．已知二次函数y＝5（x﹣3）2+2，下列说法中错误的是（　　） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线x＝3 D．其图象的顶点坐标为（3，2） 【答案】A 【解答】解：对于y＝5（x﹣3）2+2，则该函数的图象的开口向上，当x＝3时，y取最小值为2，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2）， ∴A错误，BCD均正确． ∴不正确的是A． 故选：A． 42．如图，在边长为5cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形EFGH面积的最小值是　　 cm2． 【答案】． 【解答】解：由题意可得，△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG， 设点E运动时间为t秒，则AE＝tcm，AH＝（5﹣t）cm， ∴S＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝52﹣4t（5﹣t）＝2（t）2． ∴当t＝2.5时，Scm2为最小值， 故答案为：． 43．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【答案】（1）t＝1； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，当t时，△PBQ面积最大为.理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6， ∵∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝7﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ（7﹣t）•2t＝6． ∴t＝1或t＝6； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴0≤t≤5． ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 【题型18 抛物线与x轴的交点】 44．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②bc＞0；③；④若m的取值范围是1＜m≤3，则直线y＝x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，则正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：①由图可知，a＜0或a＞0，故错误； ②由（1）可知，当a＜0，b＞0时，c＞0；当a＞0，b＜0时，c＜0， ∴bc＞0，故正确； ③对称轴为直线x1，故正确； ④如图， 当m＝1时，一次函数是直线m1；当m＝3时，一次函数是直线m2；由图可知，1＜m≤3时，直线y＝x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，故正确； 故选：B． 45．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列结论：①如果点和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②3；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是 　①③④　 ．（填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴x＝0和x＝2时的函数值一样， 由图象可知，x＝0的函数值大于x时的函数值， ∵点（，y1）和（2，y2）都在抛物线上， ∴y1＜y2，故①正确． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴x1， ∴b＝﹣2a， ∴2，故②错误． ∵由图象可知，x＝1时，函数取得最大值， ∴当m≠1时，am2+bm+c＜a+b+c， 即m（am+b）＜a+b（m≠1的实数），故③正确． ∵函数图象与x轴有两个交点， ∴ax2+bx+c＝0（a≠0）时，b2﹣4ac＞0，故④正确． 故答案为：①③④． 46．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，1），且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （1）求二次函数的解析式； （2）m是二次函数y＝x2+bx+c与x轴交点的横坐标，M，求M的值． 【答案】（1）y＝x2﹣3x+1； （2）． 【解答】解：（1）由题意，二次函数的对称轴为直线， ∴，则b＝﹣3． 又∵图象过点（0，1）， ∴c＝1． ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣3x+1． （2）由题意，∵m是二次函数y＝x2﹣3x+1与x轴的交点横坐标， ∴m2﹣3m+1＝0，即m2＝3m﹣1． 又结合题意m≠0， ∴． ∴，m4（m2）2﹣2＝47． ∵m6﹣3m5+7m4＝m4（m2﹣3m+7）＝6m4，m8﹣2m6+3m4﹣2m2+1＝m4（m4﹣2m2+3）＝m4（47﹣14+3）＝36m4， ∴M． 【题型19 二次函数的应用_营销问题】 47．正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y＝﹣10x+900（40≤x≤55）　 ； （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】（1）y＝﹣10x+900（40≤x≤55）； （2）当销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； （3）该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 【解答】解：（1）由题意得，y＝500﹣10（x﹣40）＝﹣10x+900， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+900． ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元， ∴10≤x﹣30≤25． ∴40≤x≤55． 故答案为：y＝﹣10x+900（40≤x≤55）； （2）由题意，结合（1）y＝﹣10x+900， ∴（﹣10x+900）（x﹣30）＝8000， ∴x1＝50，x2＝70， ∵40≤x≤55， ∴x＝50， 答：当销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； （3）结合（2）可得，每天销售利润W＝（﹣10x+900）（x﹣30） ＝﹣10x2+1200x﹣27000 ＝﹣10（x﹣60）2+9000． ∵﹣10＜0，且40≤x≤55， ∴当x＝55时，每天销售利润最大，最大值为8750． 答：该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 48．“金秋十月，柑橘飘香”，宜都市柑橘精品园某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批柑橘．其中一部分柑橘在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分柑橘在线下店铺销售，其日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示． 销售时间x（天） 0 10 20 30 日销售量y2（件） 0 80 120 120 （1）写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值； （3）已知该农户线下销售该柑橘每件利润为15元，在抖音平台销售该柑橘每件利润为18元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值． 【答案】（1）y1； （2），当x＝25时，y2的最大值为125； （3）w；第30天，日销售总利润w最大，最大值为5040元． 【解答】解：（1）当0≤x≤10，设y1＝kx将点（10，100）代入得，100＝10k， ∴k＝10． ∴y1＝10x． 当10＜x≤30时，设y1＝k1x+b将点（10，100），（30，180）代入得，， ∴． ∴y1＝4x+60． 综上所述，y1． （2）由题意，将（10，80），（20，120）代入，，得：， ∴ ∴（x﹣25）2+125， ∵0， ∴当x＝25时，y2的最大值为125． （3）由题意，当0≤x≤10时，， ∵0≤x≤10， ∴当x＝10时，取得最大值，最大值为3000元； 当10＜x≤30时，w＝（4x+60）×18+（x2+10x）×15 ＝72x+1080﹣3x2+150x ＝﹣3x2+222x+1080 ＝﹣3（x﹣37）2+5187， ∴当x＝30时，取得最大值，最大值为5040． ∴w． 综上所述，第30天，日销售总利润w最大，最大值为5040元． 49．某商店销售进价为20元件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 1≤x＜45 45≤x≤90 售价（元/件） x+30 70 每天销量（件） 160﹣2x （1）求当45≤x≤90时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a）给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】（1）y＝﹣100x+8000（45≤x≤90）； （2）该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元； （3）2． 【解答】解：（1）由题意得，当45≤x≤90时，y＝（160﹣2x）（70﹣20）＝﹣100x+8000， ∴y＝﹣100x+8000； （2）由题意得，当1≤x＜45时，y＝﹣2x2+140x+1600＝﹣2（x﹣35）2+4050， ∵a＝﹣2＜0， ∴二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝35，当x＝35时，y最大＝4050； 又∵当45≤x≤90时，y随x的增大而减小， ∴当x＝45时，y最大＝﹣100×45+8000＝3500． 综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元； （3）根据题意得，y＝（160﹣2x）（x+30﹣20﹣a）＝﹣2x2+（140+2a）x+1600﹣160a， ∴函数的对称轴为直线x35a， 当0＜a≤20时，对称轴为直线x＝35a≤45， ∴当x＝35a时，y最大＝3872， ∴﹣2（35a）2+（2a+140）（35a）+1600﹣160a＝3872， ∴a＝2或178（舍去）， ∴a＝2； 当a＞20时，对称轴为直线x＝35a＞45， ∵抛物线开口向下， ∴当1≤x≤45时，y随x的增大而增大， ∴当x＝45时，y最大＝3872． ∴﹣2×452+45（20a+140）+1600﹣160a＝3872． ∴a0，舍去． 综上所述，a＝2． 【题型20 二次函数的应用_最大面积】 50．如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰△ABC，其中腰长AB与底边BC的比是5：8，它的下半部分是矩形BCDE，点F、H是AB边的三等分点，点G、I是AC边的三等分点．已知，制造这一侧框架的材料总长（图中所有黑线的长度和）为42米，设AB的长是x米，BE的长是y米． （1）请直接写出y与x的函数关系式　　 ； （2）若该侧框架围成图形的面积用S表示，请求出S与x之间的函数关系； （3）当x等于多少时，此框架围成图形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米． 【解答】解：（1）由题意，∵AB：BC＝5：8，AB＝x米， ∴米， 又∵F、H是AB边的三等分点，点G、I是AC边的三等分点， ∴AF：AH：AB＝AG：AI：AC＝1：2：3， 又∵∠A是公共角， ∴△AFG∽△AHI∽△ABC， ∴FG：HI：BC＝AF：AH：AB＝1：2：3． ∴米， ∵是矩形BCDE是矩形， ∴米，BE＝JK＝LM＝CD＝y 米， 根据题意得：FG+HI+BC+ED+AB+AC+BE+JK+LM+CD＝42，即， ∴； （2）过点A作AN⊥BC于点N， 则， ∴， ∴S＝S矩形BCDE+S△ABCxyxxx（x）xxx2x． 故答案为：； （3）由题意，（x）2， ∴当时，S取最大值，最大值为． 答：当x等于时，此框架围成图形的面积最大，最大面积是平方米． 51．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元． （1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？ （2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？ 【答案】（1）贴这块木板用墙纸的费用为140元． （2）y关于x的函数表达式为：y＝60x2﹣40x+40，当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最少，最少的费用为元． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2m， ∵四边形EFCG是正方形， ∴EF＝CF＝1， ∴S正方形EFCG＝1，BF＝1， ∴S△ABE1， ∴这块木板用墙纸的费用为：60×1+1×80＝140（元）． ∴贴这块木板用墙纸的费用为140元． （2）∵木板边长为1米，正方形EFCG的边长为x米， ∴BF＝1﹣x，S正方形EFCG＝x2，S△ABE（1﹣x）， ∴y＝60x2+80（1﹣x） ＝60x2﹣40x+40 ＝60（x）2， ∵60＞0， ∴当x时，y的最小值为． 综上，y关于x的函数表达式为：y＝60x2﹣40x+40，当正方形EFCG的边长为时，墙纸费用最少，最少的费用为元． 【题型21 二次函数的应用_轨迹问题】 52．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为S＝﹣t2+10t+24，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（　　） A．1秒 B．11秒 C．﹣1秒 D．12秒 【答案】B 【解答】解：由题意，∵从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为S＝﹣t2+10t+24， ∴当起跳后的飞行高度为13米时，令S＝13，则13＝﹣t2+10t+24． ∴t＝﹣1（舍去）或t＝11． ∴滑行的时间为11秒． 故选：B． 53．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分． （1）求b的值； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡OA上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】（1）； （2）； （3）m． 【解答】解：（1）∵点是抛物线y＝﹣x2+bx上一点， ∴． ∴． （2）∵， ∴抛物线最高点的坐标为． （3）易得直线OA的解析式为． 设这束红外线的长度为l，则． ∵﹣1＜0， ∴小球飞行过程中这束红外线的最大长度为m． 54．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为m．守门员在进攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1）h（s﹣15）2+5；（2）守门员选择原地接球，不能防守成功；（3）此过程守门员的最小速度为 3m/s． 【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，抛物线的对称轴是直线x15， ∴顶点为（15，5）． ∴可设h关于s的函数表达式为h＝a（s﹣15）2+5． 又图象过（9，4.2）， ∴4.2＝a（9﹣15）2+5． ∴a． ∴h关于s的函数表达式为h（s﹣15）2+5． （2）由题意，∵OB＝28m，AB＝8m， ∴OA＝OB﹣AB＝28﹣8＝20（m）． ∴令s＝20，则h（20﹣15）2+5． 又∵足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功， ∴守门员选择原地接球，不能防守成功． （3）由题意，若守门员选择面对足球后退，并成功防守，可设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方， ∴15t＝28﹣（8﹣vt）． ∴． ∴． ∴． ∴v＝﹣45（舍去）或v＝3． ∴此过程守门员的最小速度为 3m/s． 【题型22 二次函数的应用_拱桥问题】 55．如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为（　　） A．3m B． C．4m D． 【答案】D 【解答】解：由题意，∵顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m， ∴抛物线的顶点为（4，6）． ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+6． 又∵大棚跨径OA＝12m， ∴A（12，0）． ∴0＝a（12﹣4）2+6． ∴a． ∴抛物线为y（x﹣4）2+6． ∴令x＝0，则y． ∴B（0，）． ∴大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为m． 故选：D． 56．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系，则水管应有　2.25　 m． 【答案】2.25． 【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 又∵图象过A（3，0）， ∴0＝a（3﹣1）2+3． ∴． ∴抛物线的解析式为：． ∴令x＝0，得：． ∴水管长为2.25m． 故答案为：2.25． 57．如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2m，OC＝8m，以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小军想驾驶一辆宽为2m，高为3.5m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接AD，AE．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当时，求出t的值． 【答案】（1）；（2）小军能将车开进车棚，理由见解析；（3）． 【解答】解：（1）由题意得，∵图象过A（0，2），B（8，2）， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为2m， ∴车身的一端点F的坐标为（3，0）， 过F作FM⊥OC于点F， 又将x＝3代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． （3）由题意，∵D，E在抛物线A，B之间， ∴0＜2t＜8， ∴0＜t＜4， ∴，， ∴； ①当D，E都在对称轴的左侧时， 则0＜2t＜4， ∴0＜t＜2， ∵，∴， ∴，t2＝0（舍）； ②当D在对称轴的左侧，点E在对称轴上或右侧时， 则0＜t＜4，且4≤2t＜8， ∴2≤t＜4， 当x＝4时，顶点坐标为（4，4）， ∴h2＝4﹣2＝2， ∴， ∴（舍），（舍）． 综上所述：． 【题型23 二次函数的应用_行程问题】 58．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，汽车刹车后到停下来前进了（　　）米． A．0 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵s＝﹣6t2+15t＝﹣6（t）2， ∴汽车刹车后到停下来前进了m． 故选：D． 59．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的关系是s＝60t﹣1.5t2．下列结论：①当t＝20s时飞机滑行停止；②当t＝40s时飞机滑行停止；③飞机着陆后滑行的最远距离是600m．其中正确的是 　①③　 ． 【答案】①③． 【解答】解：将s＝60t﹣1.5t2配方，得s（t﹣20）2+600， ∵当飞机滑行停止时，滑行的距离s取得最大值，为600m，此时t＝20， 故答案为：①③． 60．某数学兴趣小组对有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们到汽车研发中心进行调研． 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录部分数据（如表），发现： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离s（单位：m） 0 24 42 54 ①刹车后行驶的距离s（m）与刹车后行驶的时间t（s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了60m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车65m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？请说明理由． 【答案】（1）s＝﹣3t2+27t（0≤t≤4.5）； （2）4； （3）该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车，理由如下： 由（1）得s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+27t， ∴s＝﹣3t2+27t＝﹣3（t﹣4.5）2+60.75， ∴当t＝4.5时，汽车停下，行驶了60.75米， ∵65＞60.75， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 【解答】解：（1）设s关于t的函数解析式为s＝at2+bt+c， 将（0，0），（1，24），（2，42）代入， ∴． ∴． ∴s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+27t； 由题意，∵s＝﹣3t2+27t＝﹣3（t﹣4.5）2+60.75， ∴当t＝4.5时，汽车停下． ∴0≤t≤4.5． （2）由（1）得s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+27t， 当汽车刹车后行驶了60m时， ∴﹣3×t2+27t＝60， ∴t＝4或5（由题意，t最大值为4.5，故不符合题意，舍去）， ∴当汽车刹车后行驶了60m时，t的值为4； （3）车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车，理由如下： 由（1）得s关于t的函数解析式为s＝﹣3t2+27t， ∴s＝﹣3t2+27t＝﹣3（t﹣4.5）2+60.75， ∴当t＝4.5时，汽车停下，行驶了60.75米， ∵65＞60.75， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 期中复习易错23类题型归纳 （考试范围：第25章 一元二次方程~第27章 反比例函数） 【新教材人教版九年级上册】 题型归纳 【题型1 一元二次方程的定义】 2 【题型2 一元二次方程的解】 2 【题型3 解一元二次方程-配方法】 2 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 3 【题型5 根的判别式】 3 【题型6 根与系数的关系】 3 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 4 【题型8 一元二次方程的应用】 4 【题型9 反比例函数的定义】 5 【题型10 反比例函数系数k的几何意义】 6 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 6 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 7 【题型13 反比例函数的应用】 9 【题型14 二次函数的定义】 11 【题型15 二次函数的性质】 11 【题型16 二次函数图象与系数的关系】 11 【题型17 二次函数的最值】 12 【题型18 抛物线与x轴的交点】 13 【题型19 二次函数的应用_营销问题】 14 【题型20 二次函数的应用_最大面积】 16 【题型21 二次函数的应用_轨迹问题】 17 【题型22 二次函数的应用_拱桥问题】 18 【题型23 二次函数的应用_行程问题】 19 【题型1 一元二次方程的定义】 1．关于x的方程（m﹣1）x|m+1|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则（　　） A．m＝1 B．m≠1 C．m＝﹣3 D．m＝1或m＝﹣3 2．关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是 _______ ． 【题型2 一元二次方程的解】 3．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1 4．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则_________ ． 【题型3 解一元二次方程-配方法】 5．用配方法解一元二次方程x2+6x+8＝0，将它变为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（1）解方程：x2+4x﹣2＝0； （2）解不等式组：． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 7．方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 8．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 _______ ． 9．解下列一元二次方程： （1）x2﹣2x＝4； （2）（3x+1）2＝（2x﹣1）2． 【题型5 根的判别式】 10．已知a，b，c为常数，点P（a，c）在第四象限，则关于x的方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 11．若关于x的一元二次方程mx2+4x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为____________________ ． 12．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2025的值． 【题型6 根与系数的关系】 13．已知m，n是方程的两个根．记，，…，（t为正整数）．若，则t的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 14．已知a、b是一元二次方程4x2﹣8x﹣7＝0的两个根，则a2b+ab2的值是___________________ ． 15．关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2+1＝0． （1）若此方程有实数根，求k的取值范围； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足x1+x2＝x1x2﹣24，求k的值． 【题型7 由实际问题抽象出一元二次方程】 16．第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 17．为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程_________________ ． 【题型8 一元二次方程的应用】 18．如图，用一段25m长的铁丝围成一个一边靠墙（墙长10m，不使用铁丝）的矩形ABCD，其面积为72m2，在矩形ABCD的AB边上留一个1m宽的门（由其他材料制成），则CD的长为（　　） A．4m B．4m或9m C．8m D．9m 19．古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解，在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图1，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根，若关于x的一元二次方程x2+2mx＝36，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，若，则m的值为________ ． 20．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为____________ 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【题型9 反比例函数的定义】 21．若是反比例函数，则k必须满足（　　） A．k≠3 B．k≠0 C．k≠3或k≠0 D．k≠3且k≠0 22．已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是 _____ ． 【题型10 反比例函数系数k的几何意义】 23．如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF．若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为（　　） A．12 B．13 C． D． 24．如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为 ________ ． 【题型11 待定系数法求反比例函数解析式】 25．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象和△ABC都在第一象限内．，BC∥x轴，且BC＝4，点A的坐标为（3，5）． （1）若反比例函数的图象经过点B，求此反比例函数的解析表达式； （2）若将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度，A，C两点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m的值． 26．如图，矩形ABCD的两个顶点A，B都在反比例函数y的图象上，AB经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为（2，4）． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得S△OEPS矩形ABCD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型12 反比例函数与一次函数的交点问题】 27．如图，函数y（k＞0）在第一象限内的图象绕坐标原点O顺时针旋转60°后，和过点A（2，2），B（1，）的直线相交于点M、N，若△OMN的面积是2，则k的值为__________________ ． 28．如图，在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（m，1），，AC⊥x轴，垂足为C，连接AO，． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标； （3）若，请直接写出关于x的不等式的解． 【题型13 反比例函数的应用】 30．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 31．某校后勤处每周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，且消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）的关系可近似用一次函数刻画，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）k＝___________________ ，消毒效果最高效力是_____ ； （2）当x≥30时，求y与x之间的函数关系式； （3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 32．问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v（km/h）与行驶时间t（h）的数据如右表． 建立模型： （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v（km/h）是行驶时间t（h）的函数．求v（km/h）与t（h）之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间t（h） 平均速度v/（km/h） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 问题解决： （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过80km/h，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【题型14 二次函数的定义】 33．若y＝（m2﹣m）x是二次函数，则m等于（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．1或﹣2 34．若y＝（m+2）（m﹣2）x+m是关于x的二次函数，则m的值为 _____ ． 【题型15 二次函数的性质】 35．二次函数y＝x2﹣4x+3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 36．如图，x轴上依次有A，B，C，D，E，F六个点，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝2，从点A处向右上方沿抛物线y＝﹣x2+4x+12发出一个带光的点P． （1）求抛物线顶点坐标，并在图中补画出y轴； （2）若抛物线上点P（m，n），若0＜m＜6，直接写出n的取值范围为 ___________ ． 【题型16 二次函数图象与系数的关系】 37．已知点（x1，m），（x2，n），（x3，p）均在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，若n＝c﹣a，则（　　） A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则n≥m≥p B．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≤|x3﹣x2| C．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则n≥m≥p D．若n≥m≥p，则|x1﹣x2|≥|x3﹣x2| 38．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1），有以下结论；①abc＞0：②4a+2b+c＝1；③x＞1时，y随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b．其中结论正确的是 ________ （填序号）． 39．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点A（﹣1，0），B（4，0），抛物线y＝x2﹣2mx与线段AB只有一个交点，求m的取值范围； （3）M（1﹣m，y1），N（m，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx上两点，若|y1﹣y2|≤2，直接写出m取值范围． 40．在二次函数y＝x2﹣4tx+5（t＞0）中． （1）若函数图象的顶点在x轴上，求t的值； （2）若点（t，s）在抛物线上，令q＝t+s，求证：； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数图象上，且a＜b＜5，求m的取值范围． 【题型17 二次函数的最值】 41．已知二次函数y＝5（x﹣3）2+2，下列说法中错误的是（　　） A．其图象的开口向下 B．函数的最小值为2 C．其图象的对称轴为直线x＝3 D．其图象的顶点坐标为（3，2） 42．如图，在边长为5cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时出发，均以1cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形EFGH面积的最小值是___________________ cm2． 43．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【题型18 抛物线与x轴的交点】 44．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论：①a＜0；②bc＞0；③；④若m的取值范围是1＜m≤3，则直线y＝x+m与y＝|ax2+bx+c|的图象有4个公共点，则正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④ 45．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0），下列结论：①如果点和（2，y2）都在抛物线上，那么y1＜y2；②3；③m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是 ________ ．（填序号） 46．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，1），且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． （1）求二次函数的解析式； （2）m是二次函数y＝x2+bx+c与x轴交点的横坐标，M，求M的值． 【题型19 二次函数的应用_营销问题】 47．正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是____________________ ； （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网店每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 48．“金秋十月，柑橘飘香”，宜都市柑橘精品园某农户在30天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批柑橘．其中一部分柑橘在抖音平台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量y1（件）与时间x（天）关系如图所示．另一部分柑橘在线下店铺销售，其日销售量y2（件）与时间x（天）之间满足函数关系，其中部分对应值如表所示． 销售时间x（天） 0 10 20 30 日销售量y2（件） 0 80 120 120 （1）写出y1与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）试确定线下店铺日销售量y2与x的函数关系式并求出线下店铺日销售量y2的最大值； （3）已知该农户线下销售该柑橘每件利润为15元，在抖音平台销售该柑橘每件利润为18元，设该农户销售农产品的日销售总利润为w，写出w与时间x的函数关系式，并判断第几天日销售总利润w最大，并求出此时最大值． 49．某商店销售进价为20元件的某种商品，在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 1≤x＜45 45≤x≤90 售价（元/件） x+30 70 每天销量（件） 160﹣2x （1）求当45≤x≤90时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元（0＜a）给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【题型20 二次函数的应用_最大面积】 50．如图，某蔬菜种植大棚一侧框架，它的上半部分是一个等腰△ABC，其中腰长AB与底边BC的比是5：8，它的下半部分是矩形BCDE，点F、H是AB边的三等分点，点G、I是AC边的三等分点．已知，制造这一侧框架的材料总长（图中所有黑线的长度和）为42米，设AB的长是x米，BE的长是y米． （1）请直接写出y与x的函数关系式____________________ ； （2）若该侧框架围成图形的面积用S表示，请求出S与x之间的函数关系； （3）当x等于多少时，此框架围成图形的面积最大？最大面积是多少？ 51．如图所示，在一块正方形木板ABCD上要贴两种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸．A型、B型两种墙纸的价格分别为每平方米60元、80元． （1）如果木板边长为2m，FC＝1m，则贴这块木板用墙纸的费用为多少元？ （2）如果木板的边长为1m，设正方形EFCG的边长为xm时，墙纸费用为y元，求y关于x的函数表达式，并求出当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最少，最少的费用为多少？ 【题型21 二次函数的应用_轨迹问题】 52．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段．为寻找更为有利的起跳条件，小西利用红外摄像仪记录得出运动员从起跳点起跳后的飞行高度S（米）与滑行时间t（秒）之间的关系式为S＝﹣t2+10t+24，若起跳后的飞行高度为13米，则滑行的时间为（　　） A．1秒 B．11秒 C．﹣1秒 D．12秒 53．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2+bx的一部分． （1）求b的值； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡OA上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 54．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为m．守门员在进攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． s/m … 9 12 15 18 21 … h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【题型22 二次函数的应用_拱桥问题】 55．如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径OA＝12m，顶端C到墙体BO的距离为4m，顶端C到OA的距离为6m，则大棚与墙的交点B到原点O的距离OB为（　　） A．3m B． C．4m D． 56．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系，则水管应有_________ m． 57．如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，OA，BC垂直于地面OC，且AO＝BC＝2m，OC＝8m，以OC所在的直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式y＝ax2+x+c（a，c为常数，a≠0）． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小军想驾驶一辆宽为2m，高为3.5m的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚A，B之间抛物线上有两个点D和E（不与点A，B重合）．它们的横坐标分别为t，2t，连接AD，AE．设点A与点D之间部分（含点A和点D）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，点A与点E之间部分（含点A和点E）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当时，求出t的值． 【题型23 二次函数的应用_行程问题】 58．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣6t2+15t，汽车刹车后到停下来前进了（　　）米． A．0 B． C． D． 59．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的关系是s＝60t﹣1.5t2．下列结论：①当t＝20s时飞机滑行停止；②当t＝40s时飞机滑行停止；③飞机着陆后滑行的最远距离是600m．其中正确的是 _______ ． 60．某数学兴趣小组对有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们到汽车研发中心进行调研． 【知识背景】刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图所示）． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录部分数据（如表），发现： 刹车后行驶的时间t（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离s（单位：m） 0 24 42 54 ①刹车后行驶的距离s（m）与刹车后行驶的时间t（s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围； （2）当汽车刹车后行驶了60m时，求t的值； （3）当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车65m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $