专题12 期中复习压轴21类题型归纳（期中重难点复习）2026-2027学年八年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题12 期中复习压轴21类题型归纳 （考试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 2 【题型2 三角形三边关系】 4 【题型3 三角形内角和定理】 6 【题型4 三角形的外角性质】 9 【题型5 全等三角形的性质】 12 【题型6 全等三角形的判定】 15 【题型7 直角三角形全等的判定】 20 【题型8 全等三角形的判定与性质】 22 【题型9 角平分线的性质】 25 【题型10 线段垂直平分线的性质】 27 【题型11 等腰三角形的性质】 29 【题型12 等腰三角形的判定】 30 【题型13 等腰三角形的判定与性质】 32 【题型14 等边三角形的性质】 34 【题型15 等边三角形的判定】 36 【题型16 等边三角形的判定与性质】 40 【题型17 直角三角形的性质】 44 【题型18 含30度角的直角三角形】 46 【题型19 轴对称的性质】 47 【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 49 【题型21 作图-轴对称变换】 51 【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD；故①正确； ∵BE，CF分别是△ABC的高和角平分线， ∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∠ACB＝2∠ACF＝2∠FCB， ∴∠ABE+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠ABE＝∠ACB＝2∠FCB；故③正确； ∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°， ∴∠BFH+∠FCB＝90°，∠ECF+∠EHC＝90°， ∵∠BCF＝∠ECF， ∴∠BFH＝∠CHE， ∵∠CHE＝∠BHF， ∴∠BFH＝∠BHF；故④正确； 条件不足，无法得到FG＝GC；故②错误； 故选：A． 2．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 AD ． 【答案】AD 【解答】解：△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD， 故答案为：AD 3．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝62°，∠BAD＝55°，其中BC＞AB． （Ⅰ）求∠AEC和∠BAC的度数； （Ⅱ）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 【答案】解：（Ⅰ）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝55°， ∴∠ABC＝90°﹣55°＝35°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣62°＝83°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝62°， ∴∠ECB∠ACB＝31°， ∴∠AEC＝∠ABC+∠ECB＝35°+31°＝66°； （Ⅱ）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝3+7＝10． 【题型2 三角形三边关系】 4．老师让同学们分别将一根14cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．2+3＝5＜9，不能组成三角形，不符合题意； B．3.5+3.5＝7，不能组成三角形，不符合题意； C．5+4＝9＞5，5﹣4＝1＜5，能组成三角形，符合题意； D．3+3＝6＜8，不能组成三角形，不符合题意； 故选：C． 5．已知a，b，c分别为△ABC的三条边． （1）若a＝2，b＝5，且第三边c的长为奇数，则c的值为　5　 ． （2）若a+c＝3b﹣2，a﹣c＝2b﹣4，则b的取值范围为　　 ． 【答案】（1）5； （2）． 【解答】解：（1）已知a，b，c分别为△ABC的三条边． 由题意得，b﹣a＜c＜b+a，即5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∴c＝5； 故答案为：5； （2）联立， 解得， 由题意可得： ，即， 解得， 故答案为：． 6．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【答案】（1）2＜c＜8； （2）2b﹣2c． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 【题型3 三角形内角和定理】 7．静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 【答案】A 【解答】解：∵OF1∥AC，OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．∠A＝α，如图， ∴∠2＝∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∠F3OF1＝180°﹣∠2＝90°+α， ∵OF2⊥OF1， ∴∠F1OF2＝90°， ∴∠F2OF3＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α； 故选：A． 8．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为　40　 °． 【答案】40． 【解答】解：由题知， 因为点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点， 所以∠BOC＝2∠POC，∠BCO＝2∠PCO， 所以∠BOC+∠BCO＝2（∠POC+∠PCO）． 因为∠P＝100°， 所以∠POC+∠PCO＝80°， 所以∠BOC+∠BCO＝2×80°＝160°． 因为∠OBC+∠BOC+∠BCO＝180°， 所以∠OBC＝20°． 因为点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点， 所以∠ABC＝2∠OBC＝40°． 故答案为：40． 9．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ 　30　 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【答案】（1）120°； （2）①30°；②； （3）90°或60°． 【解答】解：（1）在△OEF中，∠BOD＝60°， ∴∠OEF+∠OFE＝180°﹣∠BOD＝120°， ∵EP平分∠OEF，FP平分∠OFE， ∴∠PEF∠OEF，∠PFE∠OFE， ∴∠PEF+∠PFE（∠OEF+∠OFE）＝60°， 在△PEF中，∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝120°； （2）①∵EP平分∠OEF，FG平分∠DFE， ∴设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， ∴∠OEF＝2θ，∠DFE＝2β， ∴∠DFG是△FPE的外角， ∴∠DFG＝∠P+∠FEP， ∴β＝∠P+θ， ∵∠DFE是△OEF的外角，∠BOD＝60°， ∴∠DFE＝∠BOD+∠OEF， ∴2β＝60°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝60°+2θ， ∴∠P＝30°， 故答案为：30； ②∵∠BOD＝α°， 同①设∠OEP＝∠FEP＝θ，∠DFG＝∠EFG＝β， 则β＝∠P+θ，2β＝α°+2θ， ∴2（∠P+θ）＝α°+2θ， ∴∠P； （3）设∠OFE＝2θ， ∵∠OEF的角平分线为EP， ∴设∠OEP＝∠FEP＝β， ∴∠OEF＝2β， ∴∠OEG＝180°﹣∠OEF＝180°﹣2β， ∵∠OEG的角平分线为EQ， ∴∠OEQ∠OEG＝90°﹣β， ∴∠PEQ＝∠OEP+∠OEQ＝β+90°﹣β＝90°， ∵∠AOF是△OEF的外角， ∴∠AOF＝∠OFE+∠OEF＝2θ+2β， ∵∠AOF的角平分线为OP， ∴∠AOP∠AOF＝θ+β， ∴∠EOQ＝∠AOP＝θ+β， ∵∠AOP是△OPE的外角， ∴∠AOP＝∠P+∠OEP， ∴θ+β＝∠P+β， ∴∠P＝θ， 在△OEQ中，∠Q＝180°﹣（∠EOQ+∠OEQ）＝180°﹣（θ+β+90°﹣β）＝90°﹣θ， 在△PEQ中，∠PEQ＝90°，∠P＝θ，∠Q＝90°﹣θ， ∴当△PEQ的某一个内角是∠P的2倍时，有以下两种情况： ①当∠PEQ＝2∠P时，则90°＝2θ，此时∠OFE＝2θ＝90°； ②当∠Q＝2∠P时，则90°﹣θ＝2θ， 解得：θ＝30°，此时∠OFE＝2θ＝60°， 综上所述：∠OFE的度数为90°或60°． 【题型4 三角形的外角性质】 10．如图1，已知∠DAB＝20°，∠B＝60°，∠BCD＝40°，要求出∠ADC的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是（　　） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【解答】解：甲：∵∠ADC是△DEC的外角，∠CED是△ABE的外角， ∴∠ADC＝∠CED+∠C，∠CED＝∠A+∠B， ∴∠ADC＝∠A+∠B+∠C＝120°； 乙：∠CDA＝360°﹣∠CDF﹣∠ADF， ∵DF∥AB， ∴∠DAB+∠ADF＝180°，∠CFD＝∠B， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD﹣∠CFD＝180°﹣∠BCD﹣∠B，∠ADF＝180°﹣∠DAB， ∴∠CDA＝360°﹣（180°﹣∠BCD﹣∠B）﹣（180°﹣∠DAB）＝∠BCD+∠B+∠DAB＝120°； 丙：∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠ACD+∠CAD＝180°， ∠ADC+∠ACD+∠CAD＝180°， ∴∠ADC＝∠DAB+∠B+∠BCD＝120°． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 故选：D． 11．如图是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝120°，且∠CAB、∠CBA、∠CEF保持不变，则图中∠CDF应调整为 　20　 度． 【答案】20． 【解答】解：延长DF交CE于点M， ∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠DCE＝∠ACB＝70°， ∵∠EFD＝∠CEF+∠EMF， ∠EMF＝∠CDF+∠DCE， ∴∠EFD＝∠CEF+∠CDF+∠DCE， ∵∠CEF＝30°，∠EFD＝120°， ∴∠CDF＝20°． 故答案为：20． 12．如图，△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D，∠ABC的外角平分线与CO的延长线交于点F． （1）求证：BF∥OD； （2）若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）70°． 【解答】（1）证明：∵∠ABC+∠ABE＝180°，BF平分∠ABE，BO平分∠ABC， ∴∠ABO+∠ABF∠ABC∠ABE（∠ABC+∠ABE）＝90°， ∴∠FBO＝90°， ∴BF⊥BO． ∵OD⊥OB， ∴BF∥OD； （2）解：∵BF∥OD， ∴∠COD＝∠F＝35°， ∴∠BOC＝90°+35°＝125°， ∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣125°＝55°． ∵BO、CO分别为∠ABC、∠ACB的角平分线， ∴∠ABC+∠ACB＝2×55°＝110°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣110°＝70°． 【题型5 全等三角形的性质】 13．如图，已知△ABC≌△DEC，点E在边AB上，且∠ACB＝∠CEB，则图中与∠1相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠1＝∠ACD， ∵△ABC≌△DEC， ∴∠A＝∠D， ∵∠ACB＝∠DCE，∠ACB＝∠CEB， ∴∠CEB＝∠DCE， ∴DC∥AB， ∴∠ACD＝∠A， ∴∠1＝∠A， ∵∠A＝∠D， ∴∠1＝∠D， ∵DC∥AB， ∴∠D＝∠AED， ∴∠1＝∠AED， ∴与∠1相等的角有4个． 故选：A． 14．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝　3或7或10　 秒时，△DEB与△ABC全等． 【答案】3或7或10． 【解答】解：分点E在线段AB上和点E在线段BN上两种情况，分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE讨论如下： ①点E在线段AB上，点E与点A重合时此时t＝0，当△EDB≌△BCA时，BD＝AC＝4，则t＞0，不符合题意，舍去； 点E在线段AB上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB﹣BE＝6cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； ②当点E在线段BN上，△BCA≌△DEB，则BE＝AC＝4cm， ∴AE＝AB+BE＝14cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴； 当点E在线段BN上，△BCA≌△EDB，则AB＝BE＝10cm， ∴AE＝AB+BE＝20cm， ∵动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动， ∴． 综上，当t为3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等． 故答案为：3或7或10． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，已知点P在线段BC上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段BP和CP的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且△BPD和△CPQ恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【答案】（1）BP＝2t厘米，CP＝8﹣2t（厘米）； （2）t＝2，a＝3或t＝1，a＝2． 【解答】解：（1）由题意得，BP＝2t（厘米）， CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（厘米）． （2）∵点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒， ∴BP＝2t厘米，CP＝（8﹣2t）厘米，CQ＝at厘米， ∵点D是AB的中点， ∴（厘米）， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 当△BPD≌△CPQ时， 则BP＝CP，BD＝CQ， ∴2t＝8﹣2t，6＝at， ∴t＝2，a＝3； 当△BPD≌△CQP时， 则BD＝CP，BP＝CQ， ∴6＝8﹣2t，2t＝at， ∴t＝1，a＝2 综上，t＝2，a＝3或t＝1，a＝2． 【题型6 全等三角形的判定】 16．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：∵BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°， 故①正确； ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC于点D， ∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°， ∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB， 在△AFG和△BFE中， ∴△AFG≌△BFE（ASA）， 故②正确； ∴AG＝BE， ∴AG+CE＝BE+CE＝BC， ∵AE平分∠CAD交BC于点E， ∴∠GAF＝∠CAE， ∴∠EBF＝∠CAE， ∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB， ∴BC＝AC， ∴AG+CE＝AC， 故③正确； ∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC， ∴BC＞BG+2GF，故④正确． 综上，正确结论的序号为①②③④． 故选：D． 17．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝8cm，射线BM⊥CB，垂足为B，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿射线CB运动，N为射线BM上一动点，随着点P运动而运动，且始终满足PN＝AB．设点P的运动时间为t（t＞0），当t＝　6或10或16　 s时，△BCA与△PBN全等． 【答案】6或10或16 【解答】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：CP＝tcm， ①当点P在点B的左侧时，且满足AC＝BP＝2cm， ∵PN＝AB， ∴Rt△ACB≌Rt△PBN（HL）， ∵CP＝tcm， ∴BP＝（8﹣t）cm，即8﹣t＝2， 解得：t＝6； ②当点P在点B的右侧时，且满足AC＝BP＝2cm，则△ACB≌△PBN， ∴BP＝（t﹣8）cm，即t﹣8＝2， 解得：t＝10； ③当点P在点B的右侧时，且满足BC＝BP＝8cm，则△ACB≌△NBP， ∴BP＝（t﹣8）cm，即t﹣8＝8， 解得：t＝16； 综上所述：当t为6或10或16秒时，△BCA与△PBN全等． 故答案为6或10或16． 18．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等， 线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，数量关系是：PC＝PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， ∴AP＝2cm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝10（cm）， ∴AC＝BP＝10cm， 又∵点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ∴BQ＝2cm， ∴AP＝BQ＝2cm， 在△ACP和△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴PC＝PQ，∠C＝∠BPQ， 在Rt△ACP中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝2tcm，BQ＝vtcm， ∵AB＝12cm，AC＝BD＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）cm， 又∵∠A＝∠B＝60°， ∴当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况： ①当AC＝BP，AP＝BQ时，则△ACP≌△BPQ（SAS）， 由AC＝BP，得：10＝12﹣2t， 解得：t＝1， 由AP＝BQ，得：2t＝vt， ∵t＝1， ∴v＝2， 即当t＝1s，v＝2cm/s时，△ACP与△BPQ全等； ②当AC＝BQ，AP＝BP时，则△ACP≌△BQP（SAS）， 由AP＝BP，得：2t＝12﹣2t， 解得：t＝3， 由AC＝BQ，得：10＝vt， ∵t＝3， ∴v， 即当t＝3s，v＝10/3cm/s时，△ACP与△BPQ全等， 综上所述：v，t的值分别为t＝1s，v＝2cm/s或t＝3s，vcm/s． 【题型7 直角三角形全等的判定】 19．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 20．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 DE＝AC（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】DE＝AC（答案不唯一） 【解答】解：添加DE＝AC，∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 21．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【答案】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 【题型8 全等三角形的判定与性质】 22．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【答案】D 【解答】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）， 即小丽距离地面的高度是1.4m， 故选：D． 23．如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（　　） A．30 B．50 C．66 D．80 【答案】B 【解答】解：∵AE⊥AB， ∴∠EAB＝90°， ∴∠EAO+∠BAH＝90°， BH⊥ON于点H， ∠BHA＝90°， 又∵∠MON＝90°， ∴∠EAO+∠AEO＝90°， ∴∠AEO＝∠BAH， 在△OAE和△HAB中， ， ∴△OAE≌△HBA（AAS）， ∴OE＝HA，BH＝AO， ∵OE＝6，BH＝3，DF＝4， ∴HA＝6，AO＝3， 同理可得：△BHC≌△CFD（AAS）， ∴BH＝CF＝3，DF＝CH＝4， ∴OF＝OA+AH+HC+CF＝16， ∴S阴影＝S梯形EDFO﹣2S△AOE﹣2S△HCB50， 故选：B． 24．如图，在等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，∠DAE＝60°，求证：AD＝AE． 【答案】∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝∠B＝60°， ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（ASA）， ∴AD＝AE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠B＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝60°， ∴∠ACE＝∠B＝60°， ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（ASA）， ∴AD＝AE． 【题型9 角平分线的性质】 25．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵△ABD的面积为9，AB＝6， ∴DE， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴DF＝DE＝3， ∴DP≥3， 故选：A． 26．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 　5　 ． 【答案】5 【解答】解：如图，过点P作PE⊥DC于E， ∵AD∥BC，PA⊥AD， ∴PB⊥CB， ∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC， ∴PA＝PE，PB＝PE， ∴PE＝PA＝PB， ∵PA+PB＝AB＝10， ∴PA＝PB＝5， ∴PE＝5． 故答案为：5． 27．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 【答案】（1）10°； （2）m． 【解答】解：（1）∵∠C＝80°，∠BAC＝60°， 由三角形内角和定理可得，∠ABC＝180°﹣80°﹣60°＝40°． ∵BD平分∠ABC， ∴． ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF＝90°﹣80°＝10°， ∴∠DBF＝∠CBD﹣∠CBF＝20°﹣10°＝10°； （2）∵E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△AED＝m，S△ABD＝2m． ∵AD＝CD， ∴S△ABD＝S△CBD＝2m． ∵CF＝DF， ∴． 【题型10 线段垂直平分线的性质】 28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【答案】C 【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DB＝DA，EA＝EC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC， ∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠BAD+2∠EAC＝140°， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°． 故选：C． 29．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为　13　 ． 【答案】13 【解答】解：连接BE， 由条件可知：EA＝EB， ∵△AEC的周长＝AE+CE+AC＝BE+CE+AC≥BC+AC， ∴当点E在边BC上时，△AEC的周长最小为BC+AC， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△AEC周长的最小值为13； 故答案为：13． 30．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）△AEF是等边三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 【题型11 等腰三角形的性质】 31．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【答案】D 【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠MBD， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为　30°或15°　 ． 【答案】30°或15°． 【解答】解：AB＝ AC，∠B ＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠ADE ＝ 50°，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：①AD ＝ AE时，∠AED ＝∠ADE ＝ 50°， ∴∠DAE＝80°，此时D点与B点重合，不符合题意；②EA＝ ED时，∠EAD＝∠ADE ＝50°， ∴∠BAD＝80﹣50°＝ 30°；③DA＝ DE时，∠DAE＝∠DEA＝65°， ∴∠BAD＝80°﹣65°＝ 15°， 综上，∠BAD的度数为30°或15°． 故答案为：30°或15°． 【题型12 等腰三角形的判定】 33．如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：如图所示，满足条件的点P共有4个． 故选：D． 34．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　6　 个． 【答案】6． 【解答】解：如图所示： 分两种种情况： 当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； 当C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 【题型13 等腰三角形的判定与性质】 35．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO， ∴MB＝MO，NC＝NO， ∴MN＝MO+NO＝MB+NC， ∵AB＝4，AC＝6， ∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10， 故选：D． 36．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝　12　 ． 【答案】12． 【解答】解：由条件可知：∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB， ∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB， ∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB， ∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF， ∴EB＝EG，DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF ＝ED+FG ＝12， 故答案为：12． 37．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证：△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【答案】（1）见详解；（2）10． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABD和△CDG都是直角三角形， ∵BE＝CE， ∴∠B＝∠GCD， ∴∠BAG＝∠CGD＝∠AGE， ∴AE＝GE， ∴△AEG为等腰三角形； （2）解：如图，作EH⊥AD，垂足为点H， 在△EHG和△CDG中， ， ∴△EHG≌△CDG（AAS）， ∴HG＝GD， ∵AE＝EG，EH⊥AD， ∴AH＝HG＝GD， ∵DG＝5， ∴AG＝10． 【题型14 等边三角形的性质】 38．如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【解答】解：由条件可知A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n， ∴△A7B7A8的边长为：27＝128． 故选：D． 39．如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　105°　 ． 【答案】105°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵AC＝CD， ∴BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝150°， 在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°， ∴2∠CBD+150°＝180°， ∴∠CBD＝15°， 在△BCE中，∠BEC＝180°﹣（∠CBD+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105° 即∠BEC的度数为105°． 故答案为：105°． 40．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 【题型15 等边三角形的判定】 41．如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 【答案】D 【解答】解：∵三角形是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠α＝540°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣70°）﹣160°＝150°． 故选：D． 42．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 　①③　 ．（填序号） 【答案】①③． 【解答】解：①连接OB，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAD120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°， 故①选项正确； ②由①可知，∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等， ∴∠APO与∠DCO不一定相等， 故②选项不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 43．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的中线，作CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M，连接DF，试判断△ADF的形状，并说明理由． 【答案】△ADF是等边三角形，理由： ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，AB＝AC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°， ∵MF垂直平分CD， ∴FD＝FC， ∴∠CDF＝∠C＝30°， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠CAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DAF＝∠ADF＝∠AFD＝60°， ∴△ADF是等边三角形． 【解答】解：△ADF是等边三角形，理由： ∵∠B＝∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，AB＝AC， ∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAD∠BAC＝60°， ∵MF垂直平分CD， ∴FD＝FC， ∴∠CDF＝∠C＝30°， ∴∠ADF＝∠ADC﹣∠CDF＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AFD＝180°﹣∠ADF﹣∠CAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DAF＝∠ADF＝∠AFD＝60°， ∴△ADF是等边三角形． 【题型16 等边三角形的判定与性质】 44．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：①如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°， ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；所以结论①正确； ②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点， ∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，所以结论②不正确； ③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝180°﹣120°＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形；所以结论③正确； ④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PB， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，AE＝PA， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；所以结论④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④，所以只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 45．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△POC是等边三角形；③AB＝OA+AP． 其中正确的是　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：①如图1，连接OB， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°， ∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30° ∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确； ②∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°， ∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC， ∴△OPC是等边三角形，故②正确； ③如图2，在AC上截取AE＝PA， ∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°， ∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE， ∴AC＝AE+CE＝AO+AP， ∴AB＝AO+AP，故③正确； 故答案为：①②③． 46．上午8时．一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）， ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴AB＝BC＝30（海里）， ∴海岛B到灯塔C的距离为30海里； （2）∵∠NBC＝60°，BC＝BD＝30， ∴△BCD是等边三角形， ∴CD＝BC＝30， 海岛B派出的救援队用的时间为（小时）＝90（分钟）， 海岛C派出的救援队用的时间为1060＝82（分钟）， ∵82＜90， ∴海岛C派出的救援队先到达渔船处． 【题型17 直角三角形的性质】 47．在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 48．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为　20°　 ． 【答案】20°． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，∠A＝∠CA′D， ∵∠CA′D＝∠B+∠A′DB， ∴55°＝35°+∠A′DB， ∴∠A′DB＝20°． 故答案为：20°． 49．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数； （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形． 【答案】（1）解：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（30°+62°）＝88°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE∠ACB＝44°； （2）证明：∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， 在Rt△BCD中，∠B＝62°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣62°＝28°， 由（1）可知：∠BCE＝44°， ∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝44°﹣28°＝16°， 在△CFD中，∠CDF＝74°， ∴∠CFD＝180°﹣（∠DCF+∠CDF）＝180°﹣（16°+74°）＝90°， ∴△CFD是直角三角形． 【题型18 含30度角的直角三角形】 50．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC＝1，那么AD的长是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠ABD＝30°＝∠A， ∴BD＝2CD，AD＝BD＝2CD， ∴AC＝3CD， ∵AC＝1， ∴CD， ∴AD＝1， 故答案为：． 51．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：△CEF是等腰三角形． 【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°（等边三角形的三个角相等，且每一个角都是60°）． ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°． ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°． ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°， ∵∠ACB＝∠F+∠CEF＝60°， ∴∠CEF＝∠F＝30°， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形． 【题型19 轴对称的性质】 52．如图，下面是某同学的折纸示意图，则AD是△ABC中线的图形是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．以上都不是 【答案】C 【解答】解：由题意可知，甲中的AD是△ABC的角平分线，乙中的AD是△ABC的高，丙中的AD是△ABC的中线． 故选：C． 53．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图①，）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD与△CBD为两个全等的等腰直角三角形，已知点P与点A关于直线DQ对称，连接CP，DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP＝ 　20　 °． 【答案】20． 【解答】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝25°， ∴∠PDQ＝∠ADQ＝25°，AD＝DP， ∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形， ∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD， ∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝140°， ∵AD＝DP，CD＝AD， ∴CD＝DP， 即△DCP是等腰三角形， ∴， 故答案为：20． 54．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】（1）100°； （2）①180°﹣2x；②108°． 【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC， ∴∠AMN+∠MNB＝180°， 又∵∠AMN＝110°， ∴∠MNB＝70°， 由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°， ∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ， 在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE， ∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°， ∴∠GMD＝∠ENQ， 设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度， 在△NEQ中，2x+y＝180°， ∴y＝180°﹣2x， 故答案为：y＝180°﹣2x； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ， ∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB， 由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°， ∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°， ∴∠GMD＝36°， 即x＝36°， 由①知，y＝180°﹣2x ∴y＝180°﹣2×36°＝108°． 【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 55．已知点A（m+2，﹣3），B（4，n+6）关于x轴对称，则（m+n）2024的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．32024 【答案】C 【解答】解：由条件可知：m+2＝4，n+6＝3， 解得m＝2，n＝﹣3， ∴（m+n）2024＝（2﹣3）2024＝1． 故选：C． 56．如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点A的坐标为（﹣3，1﹣m），虚像对称点的坐标为（n，5），则m+n的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由条件可知n＝﹣（﹣3），1﹣m＝5， ∴m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝﹣4+3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 57．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a﹣b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2025的值． 【答案】解：（1）∵点A，B关于x轴对称， ∴， 解得； ∴a＝﹣8，b＝﹣5； ∴a﹣b＝﹣8﹣（﹣5）＝﹣3； （2）∵A，B关于y轴对称， ∴， 解得， 所以，（4a+b）2025＝[4×（﹣1）+3]2025＝﹣1． 【题型21 作图-轴对称变换】 58．2025年9月3日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机D、E所在的直线为x轴，过点A且垂直于DE的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，若飞机B的坐标为（m，n），则飞机C的坐标为（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 【答案】B 【解答】解：由题知， 点B和点C关于y轴对称， 因为点B坐标为（m，n）， 所以点C的坐标为（﹣m，n）． 故选：B． 59．如图，△ABC中，点A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 【答案】（1）； （2）4． 【解答】解：（1）利用轴对称性质得出对应点位置如图，△A1B1C1即为所求： （2）根据矩形面积减去三个三角形面积可得： △A1B1C1的面积为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 期中复习压轴21类题型归纳 （考试范围：第13章 三角形~第15章 轴对称） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 2 【题型2 三角形三边关系】 3 【题型3 三角形内角和定理】 4 【题型4 三角形的外角性质】 5 【题型5 全等三角形的性质】 6 【题型6 全等三角形的判定】 7 【题型7 直角三角形全等的判定】 8 【题型8 全等三角形的判定与性质】 9 【题型9 角平分线的性质】 10 【题型10 线段垂直平分线的性质】 11 【题型11 等腰三角形的性质】 12 【题型12 等腰三角形的判定】 12 【题型13 等腰三角形的判定与性质】 13 【题型14 等边三角形的性质】 14 【题型15 等边三角形的判定】 15 【题型16 等边三角形的判定与性质】 16 【题型17 直角三角形的性质】 17 【题型18 含30度角的直角三角形】 18 【题型19 轴对称的性质】 18 【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 19 【题型21 作图-轴对称变换】 20 【题型1 三角形的角平分线、中线和高】 1．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．给出下列结论：①AB＝CD；②FG＝GC；③∠ABE＝2∠FCB；④∠BFH＝∠BHF．其中一定正确的是（　　） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 2．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 _______ ． 3．如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝62°，∠BAD＝55°，其中BC＞AB． （Ⅰ）求∠AEC和∠BAC的度数； （Ⅱ）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 【题型2 三角形三边关系】 4．老师让同学们分别将一根14cm长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（　　） A． B． C． D． 5．已知a，b，c分别为△ABC的三条边． （1）若a＝2，b＝5，且第三边c的长为奇数，则c的值为_____ ． （2）若a+c＝3b﹣2，a﹣c＝2b﹣4，则b的取值范围为____________________ ． 6．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【题型3 三角形内角和定理】 7．静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力F的方向OF1∥AC，支持力N的方向OF2⊥AC，重力G的方向OF3⊥AB．若∠A＝α，则∠F2OF3的度数为（　　） A．180°﹣α B． C．90°+α D．90°+2α 8．如图，在△ABC中，点O是△ABC内部∠ABC的平分线上一点，连接OC，点P是∠BOC、∠OCB平分线的交点，若∠P＝100°，则∠ABC的度数为_______ °． 9．已知直线AB与CD相交于点O，点E，F分别在射线OB和OD上． （1）如图1，∠BOD＝60°，EP平分∠OEF，FP平分∠OFE，求∠EPF的度数； （2）如图2，EP平分∠OEF，FG平分∠DFE，FG的反向延长线交EP于点P； ①若∠BOD＝60°，则∠P＝ _______ 度（直接写出结果，不需说理）； ②若∠BOD＝α°，求∠P的度数（请写出完整的推理过程）． （3）如图3，点G在FE的延长线上，∠OEF的角平分线EP、∠AOF的角平分线OP与∠OEG的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若△PEQ的某一个内角是∠P的2倍，请直接写出∠OFE的度数． 【题型4 三角形的外角性质】 10．如图1，已知∠DAB＝20°，∠B＝60°，∠BCD＝40°，要求出∠ADC的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出∠ADC度数的方案是（　　） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 11．如图是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB＝50°，∠CBA＝60°，∠CEF＝30°．为了舒适，需调整∠CDF大小，使∠EFD＝120°，且∠CAB、∠CBA、∠CEF保持不变，则图中∠CDF应调整为 _______ 度． 12．如图，△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D，∠ABC的外角平分线与CO的延长线交于点F． （1）求证：BF∥OD； （2）若∠F＝35°，求∠BAC的度数． 【题型5 全等三角形的性质】 13．如图，已知△ABC≌△DEC，点E在边AB上，且∠ACB＝∠CEB，则图中与∠1相等的角有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB＝10cm，AC＝4cm，动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED＝CB．若点E的运动时间为t（t＞0）秒，则当t＝___________ 秒时，△DEB与△ABC全等． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，已知点P在线段BC上由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向终点A运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度是2厘米/秒，用含t的式子表示线段BP和CP的长度； （2）若点P的速度是2厘米/秒，点Q的速度是a厘米/秒，且△BPD和△CPQ恰好全等，求出相对应的a和t的值． 【题型6 全等三角形的判定】 16．如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 17．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝8cm，射线BM⊥CB，垂足为B，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿射线CB运动，N为射线BM上一动点，随着点P运动而运动，且始终满足PN＝AB．设点P的运动时间为t（t＞0），当t＝____________ s时，△BCA与△PBN全等． 18．已知AB＝12cm，AC＝BD＝10cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若AC⊥AB，BD⊥AB，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若∠A＝∠B＝60°，设点Q的运动速度为vcm/s，是否存在实数v，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【题型7 直角三角形全等的判定】 19．在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 20．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 _________________ （写出一个即可）． 21．如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【题型8 全等三角形的判定与性质】 22．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 23．如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON＝90°，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OE＝6，BH＝3，DF＝4，图中阴影部分的面积为（　　） A．30 B．50 C．66 D．80 24．如图，在等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，∠DAE＝60°，求证：AD＝AE． 【题型9 角平分线的性质】 25．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 26．如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 _____ ． 27．如图，在△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E是BD的中点，BF⊥AC于点F． （1）若BD平分∠ABC，∠C＝80°，∠BAC＝60°，求∠DBF的度数． （2）若AD＝CD＝2CF＝2DF，且△ABE的面积S△ABE＝m，求S△CBF的值．（用含m的式子表示） 【题型10 线段垂直平分线的性质】 28．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 29．如图，l是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，E为l上任意一点，且AC＝5，BC＝8，AB＝6，则△AEC周长的最小值为_______ ． 30．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【题型11 等腰三角形的性质】 31．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为____________ ． 【题型12 等腰三角形的判定】 33．如图，∠MAN＝30°，点B是射线AN上的定点，点P是直线AM上的动点，要使△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 _____ 个． 【题型13 等腰三角形的判定与性质】 35．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 36．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝_______ ． 37．如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G． （1）求证：△AEG为等腰三角形； （2）若GD＝5，G为CE中点，求AG的长． 【题型14 等边三角形的性质】 38．如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 39．如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 _________ ． 40．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【题型15 等边三角形的判定】 41．如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　） A．110° B．120° C．140° D．150° 42．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论： ①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是 _______ ．（填序号） 43．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的中线，作CD的垂直平分线MF交AC于点F，交BC于点M，连接DF，试判断△ADF的形状，并说明理由． 【题型16 等边三角形的判定与性质】 44．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 45．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△POC是等边三角形；③AB＝OA+AP． 其中正确的是________ ． 46．上午8时．一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海岛C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°（如图所示）． （1）求海岛B到海岛C的距离； （2）渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【题型17 直角三角形的性质】 47．在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为________ ． 49．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB． （1）求∠ACE的度数； （2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝74°，证明：△CFD是直角三角形． 【题型18 含30度角的直角三角形】 50．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC＝1，那么AD的长是 __________________ ． 51．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．求证：△CEF是等腰三角形． 【题型19 轴对称的性质】 52．如图，下面是某同学的折纸示意图，则AD是△ABC中线的图形是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．以上都不是 53．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（如图①，）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD与△CBD为两个全等的等腰直角三角形，已知点P与点A关于直线DQ对称，连接CP，DP．若∠ADQ＝25°，则∠DCP＝ _______ °． 54．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝____________ ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【题型20 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 55．已知点A（m+2，﹣3），B（4，n+6）关于x轴对称，则（m+n）2024的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．32024 56．如图，是蜡烛平面镜成像原理图，以桌面为x轴，镜面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶尖点A的坐标为（﹣3，1﹣m），虚像对称点的坐标为（n，5），则m+n的值为 _______ ． 57．已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a﹣b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2025的值． 【题型21 作图-轴对称变换】 58．2025年9月3日，中国以一场盛大阅兵，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，阅兵式中多架飞机以轴对称的方式列阵长空（图一）象征着在民族复兴征程上夺取新的伟大胜利．如图二是现场飞机队形简略图，以飞机D、E所在的直线为x轴，过点A且垂直于DE的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，若飞机B的坐标为（m，n），则飞机C的坐标为（　　） A．（m，n） B．（﹣m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n） 59．如图，△ABC中，点A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣5，2）在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△A1B1C1的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $