精品解析：江西省赣州市于都县第二中学2026-2027学年高二上学期第一次练习数学试卷

2028届高二上学期第一次数学练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 在△中，内角所对的边分别为，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 7. 集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 下列结论错误的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是. B. 若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则. D. 已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合要求． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为2，点M，N，P分别为边AD，AB，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线MN与所成的角为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 平面 11. 已知实数满足圆的方程，则（ ） A. 圆心，半径为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 13. 已知直线与⊙：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可） 14. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点、的坐标； （2）直线的方程； 17. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求证：； （2）求的取值范围． 18. 已知圆及直线. （1）求过点的圆的切线方程； （2）找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； （3）求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高二上学期第一次数学练习 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数四则运算法则进行求解即可. 【详解】，由此可得：的虚部为. 2. 若直线的方向向量，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量可以确定直线方向，再确定倾斜角. 【详解】若直线的方向向量，则直线与轴垂直，所以的倾斜角为. 3. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 4. 在△中，内角所对的边分别为，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再由，代入即可求解. 【详解】由可得：， 又， 即， 所以， 故选：D 5. 已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的靠近点三等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质和平行线之间的距离公式求解. 【详解】如图： 过作与点，交直线与点，则为所求直线与的距离. 因为，. 所以. 故选：A 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 7. 集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】对中的正负讨论，可得其表示的图象为正方形，又由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，数形结合可得解. 【详解】由，当时，上式变为， 当时，上式变为， 当时，上式变为， 当时，上式变为， 其对应图象如图所示正方形，集合表示以坐标原点为圆心，为半径的圆， 由含有8个元素即图中正方形与圆有8个公共点，即圆与正方形的关系介于内切与外接之间， 则，解得. 故选：B. 8. 下列结论错误的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是. B. 若圆上有且仅有2个点到直线l：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则. D. 已知圆C：，P为直线上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为4. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足，解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得，知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为，故，故D错误. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合要求． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】由图可知，，则. 故选：AD. 10. 已知正方体的棱长为2，点M，N，P分别为边AD，AB，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 直线MN与所成的角为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理可得A正确；由线面垂直可得B错误，利用墙角模型可得C正确；分别证明和，结合线面垂直的判定定理可得D正确. 【详解】 对于A，由正方体的性质可得， 因为点M，N，P分别为边AD，AB，的中点，由中位线的性质可得， 所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，因为，所以， 由正方体的性质可得， 又平面，所以平面，即直线MN与所成的角为，，故B错误； 对于C，三棱锥外接球与以三条相邻边的棱为正方体的外接球相同，外接球半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对于D，由B可得平面，且平面，所以， 连接，由正方形的性质可得，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，所以平面，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知实数满足圆的方程，则（ ） A. 圆心，半径为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【解析】 【详解】令代入直线方程，可得  ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 13. 已知直线与⊙：交于A，B两点，写出满足“面积为”的实数的一个值______（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设圆心到直线的距离为，则弦长为，那么进行求解. 【详解】设圆心到直线的距离为，则， 由，解得：或. 若，则或； 若，则或. 故答案为：（，，任意一个也对） 14. 已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，，则的最大值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解. 【详解】圆C的圆心，半径， 由题意互相垂直且均经过定点， 因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立， 所以，当且仅当等号成立， 检验，当三点共线时，， 直线的方程为，即， 直线与圆联立方程组得，解得或， 结合题意可知，此时，解得或， 当时，直线，此时， 当时，直线，此时， 经检验，当或，时有最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 16. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： （1）顶点、的坐标； （2）直线的方程； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设点，表示出中点坐标，将坐标分别代入直线和的方程，求出的坐标，再求出直线的方程，与直线的方程联立，可求得点的坐标； （2）根据（1）、的坐标求出直线的斜率，进而可求得直线的方程. 【小问1详解】 设点，则线段中点坐标为， 因为在直线上，所以，即 又在直线上，所以， 联立，解得，所以； 又边上的高所在直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将点代入得：，故， 所以直线的方程为， 联立，解得，故； 【小问2详解】 由（1）可得，，所以 所以直线的方程为，即. 17. 在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知． （1）求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）证明：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为， 所以，即． （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理将边化成角，然后再根据诱导公式及两角和差的正弦公式进行化简求解即可. （2）首先通过诱导公式可得：，代入原式再通过恒等变换将原式化简整理为，最后根据锐角三角形的条件确定角的取值范围，进而求解的取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，所以， 又， 则， 又因为为锐角三角形，则，解得：. 由此可得：，进而可得：. 综上所述的取值范围是. 18. 已知圆及直线. （1）求过点的圆的切线方程； （2）找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； （3）求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程. 【答案】（1）和 （2）直线l恒经过点，证明： 变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）最短弦长为，此时直线方程为， 【解析】 【分析】（1）判断点与圆的位置关系，根据切线是否有斜率，再根据点到直线的距离即可求解直线方程； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得定点坐标；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【小问1详解】 由题意可得圆心，则点在圆外， 当切线无斜率时，此时，满足题意， 当切线有斜率时，设切线斜率为，且切线方程为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线方程为，即. 综上可得：切线方程为和 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 19. 设圆C过点且与圆：相切于点． （1）求C的方程； （2）已知，，三个点，点P在圆C上运动，求的最大值和最小值； （3）已知直线l：与x轴交于点G，过点G的直线m与圆C交于D，E两点，求证：为定值，并求出这个定值. 【答案】（1） （2） 最大值88，最小值72 （3） 解法一： 由题可知，， 因为直线m过点G，且直线m与圆C相交，则直线m的斜率一定存在， 所以设直线m的方程为， 将代入，得：． 设，，所以，， 所以 ， 所以为定值，这个定值为12． 解法二： 取中点H，连，则，， 所以 ． 所以为定值，这个定值为12． 【解析】 【分析】（1）求出圆的圆心，半径，由题意得圆C的圆心在直线上，因为直线的方程为，所以设圆心，由求得，进而得圆心C坐标及半径，可得圆C的方程； （2）设，所以，又，解得，从而可得出所求最大值及最小值． （3）解法一：由题可知，设直线m的方程为，代入，根据韦达定理及向量的数量积运算计算即可；解法二：取中点H，则，利用向量的线性运算及数量积运算计算即可. 【小问1详解】 由已知，将圆的一般方程化为标准方程为， 所以圆的圆心，半径， 因为圆C与圆相切于点， 所以点C，，N三点共线，即圆C的圆心在直线上， 因为直线的方程为，所以设圆C的圆心， 因为，在圆C上，所以， 所以，解得， 则圆心C坐标为，半径， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 设，因为，，三点， 所以 ， 因为点P在圆上运动，则，解得， 所以， 当时，取得最大值88， 当时，取得最小值72． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $