精品解析：江西省南康中学2026-2027学年高二上学期教学质量检测（一）数学试题

高二数学学科第一次测试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的方向向量求出斜率，再由点斜式得到直线方程即可. 【详解】因为直线的方向向量，所以直线的斜率为2， 又直线经过点，所以直线方程为，即. 故选：B. 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立， 若直线和直线平行， 当时，直线分别为和，不满足条件， 当时，满足，即，解得或， 当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立， 综上“”是“直线和直线平行”的充要条件， 故选：C． 3. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模的运算公式、共轭复数的定义，结合复数虚部定义、复数在复平面对应点的位置逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项说法不正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：因为复数的虚部为，所以本选项说法不正确； D：因为复数在复平面内对应的点的坐标为，它位于第四象限， 所以本选项说法正确， 故选：D 4. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论. 【详解】根据题意将化为标准方程可得， 即圆心，半径； 由可知圆心，半径； 此时圆心距为，； 显然，即两圆相交. 故选：C 5. 曲线与的关系是（ ） A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有不等的焦距，相同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据将军饮马模型，求得对称点，利用两点距离公式，可得答案. 【详解】由圆，得圆心，半径， 易得点关于轴的对称点为， 如图，所求的最短路程即为到圆上的点的最短距离． 故选：A. 7. 已知点为直线与直线的交点，点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断两条直线的位置关系为垂直，再判断两条直线分别过定点，，进而可判断点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)，且圆与已知圆相离，进而可得两圆上的两点的距离的最大值. 【详解】因为点为直线与直线的交点， 又因为，所以. 又由，令，得，即过定点. 又由，令，得，所以过定点. 因为直线的斜率对都存在，所以点取不到点. 又,则点的轨迹是以点与点为直径端点的圆(去除)， 其圆心为，半径. 而圆的圆心为，半径为， 因两圆的圆心距，所以两圆外离， 因此的最大值为：. 8. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由四边形面积求出，根据点唯一得，利用点到直线距离求出，，联立直线与得点坐标；是两圆公共弦，两圆方程相减即得方程. 【详解】如图， ，解得， 所以， 因这样的点有且仅有一个，由图知此时， 则圆心到直线的距离为6， 即，化简得， 其中，， 则， ， 所以，即， 则直线的斜率为，所以直线， 即，联立，解得， 即，因的中点坐标为，且， 则以为直径的圆的方程为 ， 整理得， 易知直线是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，将两圆的方程相减得， 故直线的方程为. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的有（ ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，注意到过原点直线满足在轴上截距相等，据此可判断选项正误； 对于B，将直线化为：，据此可得直线所过定点； 对于C，由直线垂直与直线一般式关系可判断选项正误； 对于D，由平行直线距离公式结合题意可得答案. 【详解】对于A，注意到当直线过原点且过点时，方程为： ，满足在轴上截距相等，则A选项错误； 对于B，将直线化为：，令，则直线过定点，故B正确； 对于C，直线与垂直需满足：，得或. 由可得两直线垂直，由或得不到，则是直线与直线垂直的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因与平行，则， 则与距离，即为与的距离，为，故D错误. 故选：BC 10. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，联立，可得，再代入，得，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点或，满足题意，即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，即， 解得或， 所以或或， 所以曲线与直线有3个公共点，故正确； 对于B，由，可得， 则有，平方得， 代入，得， 即， 因为，， 所以关于的方程有两个不同的正根， 从而得有四个不同的解， 所以曲线与圆有4个公共点，故正确； 对于C，， 如图所示： 曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 因为所在圆的圆心为，半径为2，, 在中，，， 所以， 所以扇形的面积, ， 所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故错误； 对于D，当与或重合时， 则，故正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 13. 若实数满足，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】先将方程配方并看成一个圆，再令，得直线，进而可得直线与圆有公共点，再用圆心到直线的距离计算可得. 【详解】由实数满足，即， 方程表示以点为圆心、半径的圆，即点的运动轨迹是该圆. 令​，该式的几何意义是：圆上的动点与定点连线的斜率， 整理得直线方程：，即. 若直线斜率不存在时，直线方程为 此时直线与圆无公共点，不符合； 所以直线斜率存在，且与圆有公共点， 因此圆心到直线的距离， 即，，， 化简整理得，解得. 因此的最大值是. 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得，从而利用两点距离公式求得点的轨迹方程，进而得到直线与圆有交点，由此得解. 【详解】连接圆心和切点，如图所示，则有， 易知， 故，， 不妨设，，， ，化简得， P的轨迹为以圆心，为半径的圆， 又P在直线上，直线与圆有交点， ，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得，从而利用阿氏圆的相关知识可知点的轨迹方程为圆，进而得解. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10； （2）过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的两个焦点坐标，得到焦点在y轴上，且，再结合椭圆的定义，求得，进而求得，即可求得椭圆标准方程； （2）根据题意，设它的标准方程为且，代入点，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，可得焦点在y轴上，且， 又由椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，即，所以， 所以，所以椭圆标准方程为. （2）由与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有 ①， 又因为 ②， 由①②解得：，. 所求椭圆的标准方程为. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定于与标准方程的求解，以及椭圆的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 16. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 【答案】（1） 圆的标准方程为 （2） 切线的方程为或 【解析】 【分析】 （1）设圆心坐标，利用圆心在给定直线上、圆上两点到圆心距离相等的性质求解圆心和半径，得到圆的方程； （2）分切线斜率存在、不存在两种情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解切线方程. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为. 因为圆心在直线上，故，即. 又圆过点和，两点到圆心的距离均等于半径， 因此  ，展开化简得，即. 将代入，解得，，即圆心坐标为. 而半径，因此圆的方程为 ， 【小问2详解】 圆心到该点的距离为，故该点在圆外，存在两条切线. 若切线斜率不存在，此时切线方程为， 圆心到直线的距离为， 符合切线要求，故是切线方程. 若切线斜率存在，设切线斜率为，则切线方程为， 整理为标准形式. 由圆心到切线的距离等于半径，得  ，即， 两边平方化简得，解得. 将代入切线方程，整理得. 综上，切线的方程为或. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【小问1详解】 由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明：底面，且底面，， 为正方形，，又，且平面，平面. 平面，. 由为线段的中点，可知， ，且平面，平面． （2）（i）EF和平面夹角的正弦值为； （ⅱ）点P到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直及正方形的性质得、，再由线面垂直的判定定理、性质定理证明结论； （2）（i）取的中点，连接，根据线面角的定义确定和平面夹角的平面角，最后结合已知求其正弦值； （ⅱ）利用等体积法，设点到平面的距离为，求出和， 从而计算出，再求出，根据，可算出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取的中点，连接． 为中点，是的中位线，故，且． 又底面，底面，因此是在底面内的投影， 即为直线与平面所成的角．由题意可知是的四等分点，， 故．又是中点，，故． 在中，． 在中，．因此． （ⅱ）利用等体积法， 设点到平面的距离为． 由（1）知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此． 由（1）知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由得：． 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由圆方程求得圆心和半径，根据两圆相交的判断方法建立不等式，解之即得； （2）将直线方程与圆方程联立整理成一元二次方程，计算，写出韦达定理，由题设等式化简计算求出值，并检验即得； （3）设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为，分别写出直线和的方程，依题，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等，列出方程并化简整理成或，根据题设要求可得关于的两个方程组，解之即得点的坐标. 【小问1详解】 由配方得，则其圆心，半径， 由，则其圆心，半径 圆与圆相交， ， 即，解得， 的取值范围是. 【小问2详解】 设，， 联立，消去得 由，可得， 则有， ， 解得， 因为，所以． 【小问3详解】 如图，设点坐标为，直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线、的方程分别为：，， 即：， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等． 故有：， 化简得：， 即或， 整理得：，或， 依题存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，所以关于的方程有无穷多解， 从而有或， 解得或， 所以点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学学科第一次测试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为5 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 4. 已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 5. 曲线与的关系是（ ） A. 有相等的焦距，相同的焦点 B. 有不等的焦距，相同的焦点 C. 有不等的焦距，不同的焦点 D. 有相等的焦距，不同的焦点 6. 在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬行的最短路程是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 7. 已知点为直线与直线的交点，点为圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线，圆，过上一点作的两条切线，切点分别为，使四边形的面积为的点有且仅有一个，则此时直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题表述正确的有（ ） A. 直线l过点，且在轴上截距相等，则直线l的方程为 B. 直线恒过定点 C. ，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 10. 已知直线，圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 圆心坐标为 B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线与直线有3个公共点 B. 曲线与圆有4个公共点 C. 曲线所围成的图形的面积为： D. 若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 13. 若实数满足，则的最大值是____________. 14. 已知圆，圆，直线上存在点，过点向圆引两条切线和，切点是和，再过点向圆引两条切线和，切点是和，若，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10； （2）过点，且与椭圆有相同的焦点. 16. 已知圆过与两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求的方程． 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点. （1）证明：平面； （2）若F是BC上靠近B的四等分点； （i）求EF和平面夹角的正弦值； （ⅱ）求点P到平面的距离. 19. 已知圆和圆． （1）若圆与圆相交，求的取值范围； （2）若直线与圆交于两点，且，求实数的值； （3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $