20.福建省2026年初中学业水平考试-2027年山东中考数学必备试题汇编

20 福建省2026年初中学业水平考试 13.因式分解：x2-y2= 14.某数学兴趣小组的成员把一副三角板按如图所示的方 (时间：120分钟总分：150分) 式摆放，其中∠B=∠DFC=90°，∠BAE=30°，∠CDF= 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小 6.下列各点中，在函数y=图象上的点是 45°，四边形ABCD恰好为矩形，点E,F分别在BC,AE 上，则∠AFD等于 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) A.(1,1)B.(1,2)C.(2,1）D.(2,2) 1.福建省首届“闽超”足球比赛正如火如茶地进行中，在某 7.古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶。 轮比赛中，甲队与乙队的比赛结果为0：1，丙队与丁队的 如图是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图。已知 比赛结果为2：0。若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作 秋千的绳索长OA=6尺，且秋千的绳索始终保持直线 -1,则丙队的净胜球数应记作 状态，踏板的起始位置在点A处，OA与地面BD垂直， A.-2B.-1C.+1 D.+2 踏板离地面的高度AB=1尺。当踏板从A处绕点O 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 运动到C处时，踏板离地面的高度CD=4尺，则秋千 的绳索荡过的∠AOC的度数为 15.已知实数p,9满足+】=1，则(p-1)(g-1)的值为 p q A.30° B.459 C.609 D.75 5个班级数/个 16.由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没在水 4 321 中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的9和，9 20和10 一件重80克的实心金银饰品，浸没在水中称重，弹簧测 D 6 810图片数张 第7题图 第8题图 力计的示数为原来的8。若实心的纯金和纯银浸没在 3.2026年5月24日，神舟二十三号飞船成功发射，彰显了 8.为庆祝“中俄教育年”正式启动，某校8个班级分别制作 我国航空航天事业取得巨大成就。飞船在轨飞行速度接 了若干张宣传图片，图片数的条形统计图如图所示。这 水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的号和号计 近地球第一宇宙速度7900米/秒。数据“7900”用科学 8个班级宣传图片数的中位数与平均数分别是() 算，则这件金银饰品中含金 克。 记数法表示为 A.7,7 B.7,7.5 C.7.5,7D.7.5,7.5 三、解答题（本题共9小题，共86分。解析应写出文字说 A.0.79×104 B.7.9×10 9.如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，AC交⊙0 明、证明过程或演算步骤) C.7.9×102 D.79×102 于点D。若AD=CD,则tanA的值是 () 17.(8分)计算：√4+1-31-22。 A 4.福建土楼产生于宋元，成熟于明末、清代和民国时期。土 楼或方或圆，以圆为主，如珍珠般洒落在闽西南的绿水青 山间，遵循“天人合一”的东方哲学理念。如图1是福建 众多土楼中的一座圆形土楼，如图2为其示意图。关于 它的三视图的描述，下列说法正确的是 A 2 B.1 C.√2 D.2 10.已知抛物线y=x2-2nx经过点A(3,a),B(5,b)。若 18.(8分)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC,CE⊥BC, 主视方向 a<b,且ab<0,则n的取值可以是 () BD=CE。求证：AD=AE。 图1 图2 A.0 B.1 C.2 D.3 A.主视图和左视图相同 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） B.主视图和俯视图相同 11.一组数据9,8,5,2,1,1的众数是。 C.左视图和俯视图相同 12.如图，A,B两点被池塘隔开，在AB外选择一点C,连 D.三种视图都相同 接AC和BC,分别取AC和BC中点M,N,测得MN= 5.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论 100米，则A,B两点间的距离是 米。 正确的是 A 6-101→ A.a+b2o B.a-6<0 C.ab20 D.o -77- -7 19(8分)解不等式组：-21， ① 3x-5<2(x+1)。② 20.(8分)如图，四边形ABCD是矩形，AB<BC,点E在AD 的延长线上。 (1)求作点F,使点F在边AD上，且∠AFB=2∠EBC; （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若AB=4,BC=6,DE=2,求AF 的长。 E 21.(8分)一个不透明的盒子中有1个标号为0的黄球a, 2个标号分别为1,2的红球b1,b2,1个标号为3的白球 c3,这些球除颜色和标号外无其他差别。 (1)从盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黄球的 概率； (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸 出1个球。求摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4 的概率。 8- 22.(10分)如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点， ∠ADC=∠BCD=∠CED=90°，CE=DE。四边形 A'B'CD由四边形ABCD沿CD翻折得到，点A,B,E的 对应点分别为A',B',E。F是AD延长线上的一点，且 FE∥AB。 (1)求证：EA'=EF; (2)若AD=√2，DE=4,求A'F的长。 A E 23.（10分)阅读下列材料，回答问题。 探究形如(2a+b)2的数的整数部分与小数部分的 主题 特征 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理 提出 数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即√币= 问题 m+n,其中m为整数，0<n<1。如2=1+(V2-1), 1-√5=-2+(3-√5)。那么形如(2a+b)2的数， 其整数部分m与小数部分n各有什么特征呢？ 小华对此展开研究，其探究过程如下： (1)(2-1)2=0+(3-22); (2)(2+1)2=3+22=① +(2√2-2)； (3)(2√2-2)2=0+(12-82)； (4)(2√2+2)2=12+82=23+② 探究 发现 (5)(3√2-4)2=0+(34-242)； (6)(3√2+4)2=34+24√2=67+(242-33)。 据此，小华提出并证明了以下命题。 命题：若整数a,b满足0<√2a-b<1,且(2a+b)2的 整数部分为m,小数部分为n,则m必为奇数，且 (√2a-b)2=1-n。 (续表) 24.（12分)如图，四边形ABCD内接于⊙0，E是DC延长 证明：因为(2a+b)2=2a2+2√2ab+b2,(2a- 线上的一点，EB的延长线交⊙O于点F,连接AF,AB= b)2=2a2-22ab+b2 BD,∠CBE=∠ABD=60°。 (1)求∠E的度数； 所以(2a+b)2+(2a-b)2=4a2+2b2,即(2a+ (2)求证：四边形AFEC是平行四边形； b)2=4a2+2b2-(V2a-b)2。 命题又因为(2a+b)2=m+n,且0<n<1, (3)设cF交D于点c,且%号，求肥的值。 证明 所以4a2+2b-(2a-b)2=m+no o 又根据0<2a-b<1,可得0<(2a-b)2<1。 因此，m=③ ,n=④ 又因为a,b均为整数，所以4a2+2b2为偶数， 故m必为奇数，且(2a-b)2=1-n。 问题1：若整数a,b满足1<√2a-b<√2，则（√2a+ b)2的整数部分m是否仍为奇数？证明你的结论； 拓展 延伸 问题2：若整数a,b满足<√2a-b<√k+1,其中 k为整数，且k≥2，试探究：(2a+b)2的整数部分 m是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明。 (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2。 9- -8 25.(14分)已知抛物线y=-x2+bx+c。 （1)若b=1,c=2,求抛物线的顶点坐标； (2)若抛物线上存在一点P(x,yo)在x轴上方，求证： 抛物线与x轴有两个交点； (3)抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,2), 直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D,E是y轴上 不与点C重合的点。若平面直角坐标系内存在点M满 足MA=MB=MC=ME,试探究CD和DE的数量关系， 并证明。 0-将f-22-8e+21代人，整理，得50-14e+9=0。 3 9 解得e1=1,2=5· 9 e<1.5,e=3不符合题意，舍去。 ∴.e=1。∴.栅栏EH到铁路l2的距离为1km。 24.解：(1)100【解析】.∠BPC=80°， .∠APB+∠DPC=180°-∠BPC=100°。 (2)选择①△ASQ△BAP。 证明：QS∥AB,∴.∠ASQ=∠BAP。 又∠QAS=∠ABP,∴.△ASQ△BAP。 或选择②△DSQ∽△CDP。 证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD。 又：QS∥AB,.QS∥CD。∴.∠QSD=∠PDC。 又：∠QDS=∠DCP,∴.△DSQ∽△CDP。 (3)AP=DS。理由如下： .△ASQ∽△BAP,△DSQ△CDP, 器品份 :AB=00部-8@. 由①，得AB·SQ=AP·AS。 由②，得AB·SQ=DP·DS。 ∴.AP·AS=DP·DS。 ∴.AP·(AD-SD)=(AD-AP)·DS。 ∴.AP·AD-AP·SD=AD·DS-AP·DS。 ∴.AP·AD=AD·DS。∴.AP=DS。 (4)·四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=3。 根据题意，得图3中△ADQ和图4中△DAR全等， ∴.DQ=AR。 :图3中△s0△G0P,光8S 由（3)知4P=ns瓷品 又·LRAP=∠DCP,∴.△ARP△CPD 出品 设DP=x,则AP=4-x。 =2。PRs :4-PR 3 PR+PD=4x-X】 -+x 3 +好 (引+ 当x=子时，PR+PD取得最大值，最大值为号。 20福建省2026年初中学业水平考试 1.D【考点】正数和负数。 2.C【考点】中心对称图形+轴对称图形。 3.B【考点】科学记数法。 4.A【考点】简单几何体的三视图。 5.D【解析】由数轴，得0<a<1,b<-1,1b1>Ial。 a+b<0,a-b>0,b<0,号<0。 6.A【解析】小：反比例函数的解析式为y=】 该函数图象上点的横、纵坐标的乘积为1。 .1×1=1,1×2=2≠1,2×1=2≠1,2×2=4≠1， A选项符合题意。 7.C【解析】如图，过点C作CE⊥OA于点E。 :0A=6尺，AB=1尺，.0B=7尺。 0 CD=4尺，BE=CD,∴.BE=4尺。 ∴.0E=0B-BE=7-4=3(尺)。 :OC=0A=6尺，CE⊥0A, .∠0EC=90°。 w140c-8名-3 .∴.∠A0C=60°。 8.B【解析】由图可知，这8个数据从小到大排序为6， 6,6,6,8,8,10,10,中位数为68=7，平均数为 2 4×6+2×8+2×10=7.5。 8 9.B【解析】如图，连接BD。 :BC是⊙O的切线， .∠ABC=90°。 AD=CD, .D为AC的中点。 .AD=BD=CD。 :AB是⊙0的直径，∴.∠ADB=90°。 mA-0-1。 10.C【解析】抛物线y=x2-2nx经过点A(3,a), B(5,b), ∴.a=9-6n,b=25-10n。 .a<b,且ab<0,.a<0,b>0。 05600解得号<n< 5 25-10n>0。" .n可以为2，n不可以取0,1,3。 11.1【考点】众数。 12.200【解析】M,N分别是AC和BC的中，点， .MW是△ABC的中位线。 .AB=2MN=2×100=200(米)。 13.(x+y)(x-y)【考点】因式分解。 14.75【解析】小四边形ABCD是矩形， 76 ∴.∠BAD=∠ADC=90°。 ∠BAE=30°，∠CDF=45°， .∠DAF=60°，∠ADF=45°。 在△ADF中，∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=180 60°-45°=75°。 15.1【解析】已知实数p,9满足上+1=L, 则p,q均不为0。 去分母，得p+9=P9。 .(p-1)(9-1)》 =Pg-p-9+1 =p9-(p+q)+1 =P9-P9+1 =1。 16.60【解析】设这件金银饰品中含金x克，则含银(80 x)克。 根据题意，得品+品(80-)=0x5 6 号+2-0=75。 去括号，得 移项、合并同类项，得20=3。 系数化为1，得x=60。 .这件金银饰品中含金60克。 17.解：4+1-31-22 =2+3-4 =1。 18.证明：BD⊥BC,CE⊥BC, ∴.∠CBD=∠BCE=90°。 .·△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°。 .∠ABD=∠ACE=150°. rAB=AC, 在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠ACE, BD=CE, .△ABD≌△ACE(SAS)。∴.AD=AE。 19.解：解不等式①，得x>3。 解不等式②，得x<7。 ∴.原不等式组的解集为3<x<7。 20.解：(1)如图，点F即为所求作。 (2)四边形ABCD是矩形，BC=6, .AD∥BC,AD=BC=6。 ∴.∠E=∠EBC,∠AFB=∠FBC。 ∠AFB=2∠EBC, .∠FBE=∠EBC=∠E。∴.BF=EF。 DE=2,.AE=AD+DE=8。 设AF=x,则BF=EF=8-x。 在Rt△ABF中，∠A=90°，AB=4, 由勾股定理，得AF2+AB2=BF2。 .x2+42=(8-x)2。解得x=3。.AF=3。 21.解：(1)：从盒子中随机摸出1个球，共有4种结果， 且每种结果出现的可能性相同， ∴.摸出的球是黄球的结果有1种。 ∴摸出的球是黄球的概率为}。 (2)从盒子中随机摸出1个球，不放回，再从中随机摸 出1个球，列表如下： 黄球a 红球b1 红球b2 白球c3 黄球a (ao,b1) (ao,b2) (a,c3) 红球b1 (b1,ao） (b1,b2) (b1,c3) 红球b2 (b2,a） (b2,b1) (b2,c3） 白球c3 (c3,ao） (c3,b1) (c3,b2） 由表可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性 相同，其中，摸出2个球的颜色不同且标号之和小于4 的结果共有6种：(a,b1),(a,b2),(a,c3),(b1,a), (b2,ao),(c3,ao), ∴.摸出的2个球颜色不同且标号之和小于4的概率 为始3 22.(1)证明：由翻折的性质，得∠B'A'D=∠A。 F是AD延长线上的一点， ∴.∠EA'F+∠B'A'D=180°。 .∠EA'F+∠A=180°。 FE∥AB,∴.∠F+∠A=180°。 .LEA'F=∠F。∴.EA'=EF。 (2)解：如图，过点E作EH⊥A'F于点H。 A A H E B ∴.∠E'HD=90°。 由(1)可知，EA'=EF, ·△EA'F是等腰三角形。 ∴.A'H=FH。∴A'F=2A'H。 由翻折的性质，得DE=DE',CE=CE', A'D=AD=√2，∠A'DC=∠ADC=90°。 又CE=DE,DE=4,∴.DE=DE'=CE=CE'=4。 ∴.四边形DECE是菱形。 又·∠CED=90°，.菱形DECE是正方形。 ∴.∠EDC=45°。∴.∠EDH=∠A'DC-∠E'DC=45°。 在△EHD中，∠E'HD=90°，∠E'DH=45°， ∴.△EHD是等腰直角三角形。DH=E'H。 由勾股定理，得DE'=√E+D㎡=√2DH=4。 .DH=2√2。 ∴.'H=DH-A'D=22-√2=√2。 .A'F=2A'H=2√2。 23.解：(1)①5②(8√2-11)③4a2+2b2-1 ④1-（√2a-b)2 【解析】(2+1)2=3+2√2=5+(2√2-2)， (2√2+2)2=12+8√2=23+(8√2-11)， 所以4a2+2b2-(2a-b)2=m+n。 根据0<√2a-b<1,可得0<(2a-b)2<1。 因此，m=4a2+2b2-1,n=1-(√2a-b)2。 (2)m不是奇数。证明如下： (2a+b)2=2a2+2√2ab+b2,(V2a-b)2=2a2- 22ab+b2, ∴(2a+b)2+(2a-b)2=4a2+2b2, 即（√2a+b)2=4a2+2b-(2a-b)2。 (2a+b)2=m+n,且0<n<1, .4a2+2b2-(2a-b)2=m+no 1<√2a-b<√2，∴1<(2a-b)2<2。 ∴.n=2-(2a-b)2。 .m+n=4a2+2b2-2+2-(2a-b)2。 .m=4a2+2b2-2。 a,b均为整数，.4a2+2b2-2为偶数。 .m不是奇数。 (3)由(2)，得4a2+2b2-(2a-b)2=m+n, √E<2a-b<√+I, .k<(2a-b)2<k+1。 .m+n=4a2+2b2-(k+1)+k+1-(2a-b)2。 .m=4a2+2b2-(k+1)。 a,b均为整数，k为整数，且k≥2， ∴.当k为偶数，且k≥2时，m为奇数； 当k为奇数，且k≥2时，m为偶数。 24.(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， .△ABD是等边三角形。 .∠BAD=∠ADB=60°。 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180°。 又.∠BCE+∠BCD=180°， .∠BCE=∠BAD=60°。 ∠CBE=60°， ∴.∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60°。 (2)证明：.∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E=60°。.AC∥EF。 ·四边形AFBD是⊙O的内接四边形， .∠AFB+∠ADB=180°。 .∠AFB=180°-∠ADB=120°。 .∠AFB+∠E=180°。∴AF∥CE。 ∴.四边形AFEC是平行四边形。 (3)解：如图，过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF。 设CD=a。 B ∠E=∠CBE=∠BCE=60°， .△BCE是等边三角形。∴.BE=CE。 又，∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, ∴.△CFE≌△BDE(AAS)。 .EF=ED。 .EF-BE=ED-CE,即BF=CD=a。 :∠E=60°，△DEF是等边三角形。 ∴.∠FDE=∠BCE=60°。 .BC∥DF。.△BCG∽△DFG。 器%子 :BC∥DF,∴.△BCE∽△FDE。 BEBC2 ÷FE-F03。BE=2a,EF=3a。 :四边形AFEC是平行四边形， ∴.AC=EF=3a。 :△BCE是等边三角形，CH1BE,BH=2BE=a。 在△BCH中，如∠CBE=m60品=5， .CH=√3BH=√3ao FH=BF BH=2a, .CF=√Ff+CH=√(2a)2+(3a)2=√7a。 △CFE≌△BDE,∴BD=CF=√7a。 - AC 3a -39 25.(1)解：b=1,c=2, 抛物线为y=++2=-（+是。 78 抛物线的顶点坐标为分，) (2)证明：抛物线上的点P(xo,y)在x轴上方， ∴.y0=-x6+bx0+c>0。 .c=x行-bx0+yo0 .4=b2+4c=b2+4x6-4bx0+4y0=(2x-b)2+4y0>0, 即方程-x2+bx+c=0有两个不相等的实数根。 ∴.抛物线与x轴有两个交点。 (3)解：CD和DE的数量关系是CD=DE。证明如下： 抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y 轴交于点C(0,2),如图， ·抛物线的对称轴是直线x= 29 设点A(x1,0),B(x2,0),x1>x2, 则x1,x2是方程-x2+bx+2=0的两个根。 解得=b++8,-b-+8。 2 2 又·平面直角坐标系内存在点M满足MA=MB=MC, 由对称性可设点M台小， 由两点间的距离公式可得， M=(-++国 2 +(m-0)2, Mc=()+(m-22, (5++(a-02-(+(m-2 2 解得m=2· 1 点M的坐标为（宁，）》 直线y=bx+2与y=-bx-1相交于点D,∴.b≠0。 3 联立=+2, x=-2b 解得 Ly=-bx-1, y=2 点D的坐标为26,2° 311 点M台)(》 ∴点M,D所在的直线与y轴垂直。 :点C,E都在y轴上，∴.MD⊥CE。 又MC=ME,∴.MD垂直平分CE。 .CD=DE。 一79