11.山东省烟台市2025年初中学业水平考试-2027年山东中考数学必备试题汇编

10 烟台市2025年初中学业水平考试 13.因式分解：2x2-12xy+18y2= 14.如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点0，以点 (时间：120分钟总分：120分) 0为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则 图中阴影部分的面积为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分。 风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈 A 每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案，其中有且 利95元。这款风扇每台的标价为 只有一个是正确的) A.350元B.320元C.270元 D.220元 1209 1.1-31的倒数是 8.如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3,反 2 B号 C.-3 D.-3 比例函数y=华(x>0)的图象过点C和菱形的对称中 1 B< A.3 0123456x 2.2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮 心M,则k的值为 () 第14题图 第15题图 丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝。下列航 A.4 B.42 C.2 D.22 天图案是中心对称图形的是 15如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6，》， △ABC的顶点A的坐标为(4,3)。以点P为位似中心 作△A,B,C,与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位 于点P同侧；以点P为位似中心作△A,B2C2与 2 0 210 x=1 △AB,C1位似，相似比为2，且与△A1B,C1位于点P同 第8题图 第9题图 侧…按照以上规律作图，点A3的坐标为 0 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一 16.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm。点 个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，顶点P的坐标 M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动， 0 为(1，n)。下列结论：①abc<0;②对于任意实数m,都 同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点 3.下列计算正确的是 有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c;④若该二次函数的 D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 A.2x2+x3=3x B.2x2.x3=2x 图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角 AW,DM交于点P。在此过程中，点P的运动路径长为 C.2x3÷(-x2)=2x D.(2x2)3=2x6 4.如图是社团小组运用3D打印技术制作的模型，它的左 形，则1=一子。其中所有正确结论的序号是() cmo 视图是 A.①②B.①③C.①④D.①③④ 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平 分线。点E从点A出发，沿AB方向向点B运动，连 接CE,点F在BC上，且∠CEF=45°。设AE=x,FD =y,若y关于x的函数图象过点(0,2-2)，则该图 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 象上最低点的坐标为 () 17.(本题满分6分) 先化简，再求值：2+m+23”6其中m= (-1)2025。 D 从正面看 第4题图 第5题图 5.如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD,∠1= 30°，∠2=70°，则∠3的度数为 () A(2-2可 停- A.40° B.35° C.309 D.20° 6.求一组数据方差的算式为：2= 1 + c(2,3-22 -22 [(6-x)2+(8-x)2+(8-x)2+(6-x)2+(7-x)2]。 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 由算式提供的信息，下列说法错误的是 () 11.2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是 A.n的值是5 “保护湿地共筑未来”。国家林草局公布的最新数据 B.该组数据的平均数是7 显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以 C.该组数据的众数是6 上。将数据56350000用科学记数法表示为 D.若该组数据加人两个数7,7，则这组新数据的方差变小 7.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台12.实数32的整数部分为 -41- -4 18.（本题满分7分) 2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕。某校带 领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明 甲骨文化穿越千年的不朽魅力。活动结束后，两个社团 进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所 有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8,8,9,9,9, 8,8,9,9,9,7,9,6,9,9,10,8,8,9,9,10,10。 ②乙社团的平均成绩为6×8+7×12+8×6+9×10+10×4 8+12+6+10+4 =7.75(分)。 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数 口甲社团 14-27 12 口乙社团 104 6 0 6 8 10成绩/分 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在 社团的排名更靠前； (填“甲”或“乙”) (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团 满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学发展史宣讲活 动。请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男 生和一名女生的概率。 2- 19.（本题满分7分) 如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决 问题： (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线 BD成轴对称：（不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F,AB=1,BC= 2,求AF的长。 20.(本题满分8分) 2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色 低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装 在社区公共区域，升级改造现有照明系统。已知购买1 盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种 路灯比4盏乙种路灯的费用少140元。 (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路 灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一 种购买方案，使所需费用最少。 -4 21.（本题满分9分) 23.（本题满分11分) 【综合与实践】 【问题呈现】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山 如图1，已知P是正方形AA2A3A4外一点，且满足 上，为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业 ∠PA1A2+∠PA3A2=180°，探究PA1,PA2,PA3三条线段 情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。 的数量关系。 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 码头A航行，小组同学收集到以下信息： 思路一：如图2，构造△QA3A2与△PA1A2全等，从而得 码头A在灯塔B北偏西14°方向 出PA1+PA3与PA2的数量关系； 思路二：如图3，构造△MAA2与△NA3A2全等，从而得 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方 出PA1+PA3与PA2的数量关系。 位置信息 向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的 D处 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 M. 天气预警 A附近海域将出现浓雾天气，请注意防范 A 请根据以上信息，解答下列问题： 图1 图2 图3 (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (1)请参考小颖的思路，直接写出PA1+PA3与PA2的 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在 数量关系 浓雾到来前到达码头A。（参考数据：sin37°≈0.60， 【类比探究】 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14° (2)如图4，若P是正五边形A1A2A3A4A外一点，且满 ≈0.97，tan14°≈0.25) 足∠PA1A2+∠PA3A2=180°，PA1=11,PA3=49,求PA2 的长度。（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81， 码头 北 sin72°≈0.95，c0s54°≈0.59，c0s72°≈0.31) 有烟台山灯塔 图4 22.(本题满分10分) 如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段 CB的延长线上，且BD=AB,连接AD。 (1)求证：AD是⊙0的切线； (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长及⊙0的半径。 0 D 【拓展延伸】 A4 (3)如图5，若P是正十边形AA2… A1o外一点，且满足∠PA1A2+∠PA3A2 =180°，则PA1,PA2,PA3三条线段的 数量关系为 。(结果用含有 A P A10 图5 锐角三角函数的式子表示) 3- 24.（本题满分14分) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直 线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E, 垂足为点F,连接CD。 (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请 求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明 理由； (3)连接OE,将线段0E绕点0按顺时针方向旋转90° 得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的 最小值。 备用图 4-由翻折的性质， 得AD=A1D,∠DA,E=∠A=90° .AC=CD=A1D。 .△ACD为等边三角形。 .∠DA1C=60°。 AF⊥CD, 图1 ÷∠DM,F=7∠DMC=30°，DF=Cf=2CD=2。 .A1F=√5DF=2√3，∠GAE=180°-∠DA1E ∠DA1F=60°。 .AG=FG-A1F=4-23。 在Rt△A,GE中， EG=AG·tan60°=(4-23)·5=4√5-6。 .AG=DF=2..'.BG=AB-AG=20 ∴.BE=BG+EG=2+4√5-6=45-4； ②当A1C=AB时，如图2，作A1F⊥CD于点F,延长 FA,交AB于点G,作AH⊥BC于点H, 则cH=B阳=之Bc=2,四边形 D CFA1H为矩形，四边形BGFC为 矩形。 H ∴.AF=CH=2,BG=CF,FG=BC=4。 .A,G=FG-A,F=2。 图2 在Rt△AFD中， mLA你品子宁 .∠ADF=30°。.∠FAD=60°，DF=5A,F=25。 ∴.BG=CF=CD-DF=4-2√3，∠EAG=180°- ∠DA,F-∠DA1E=30°。 在Rt△A,GE中，EG=A,G.tan30°=25 3 、BE=BG+EG=4-25+25=4-45 3 39 综上，BE的长为43-4或4-4,5 c 【拓展延伸】连接AA1,AD,AD交AD,于点O,作FK ⊥AB于点K,如图3，则四边形ADFK为矩形。 图3 ∴.FK=AD=AB,∠FEK+∠KFE=90°。 由翻折的性质，得AE=AE,AD1=AD,AA1⊥FE, ∠GA,E=∠DAB=90°，OA=OA1,OD=OD1, ∴.∠AAB+∠FEA=90°，A1D=AD1。 .∠BAM1=∠KFE。 又∠FKE=∠ABA1=90°，FK=AB, .△EFK≌△A1AB(ASA)。.EF=AA1O .EF+AD1=AA1+A1D。 作点A关于BC的对称点A',连接A1A',连接A'D交 BC于点M,如图3，则A'B=AB=CD,A1A'=AA1。 .EF+AD =AA +A D=A'A +A DA'Do .当点A1在A'D上，即点A1与点M重合时，EF+ AD,=A'D的值最小。 如图4， G D B 图4 ∠DCA1=∠A'BA1=90°，∠CAD=∠BAA',CD=BA', ∴.△CDA1≌△BA'A(AAS)。 .A1C=AB。.A1为BC的中点。 4C=A,B=2BC=2。 设AE=A1E=x,则BE=AB-AE=4-x。 在Rt△ABE中，由勾股定理，得x=2+(4-x)2, 解得x=弓。AB=习。B=AB-AB=子。 ∠ABC=∠C=90°=∠GA1E, .∠BEA1=∠CA,G=90°-∠BA1E。 .△A1CG△EBA1。 …%-品鸣子c 2 2 1①烟台市2025年初中学业水平考试 1B【解折：1-31=3,3的倒发是号 -3的倒数是子 2.D【解析】A不是中心对称图形；B不是中心对称图 形；C不是中心对称图形；D是中心对称图形。 3.B【解析】 选项 分析 正误 2x2和x3不是同类项，无法合并 + B 2x3·x3=2x3 C 2x3÷(-x2)=-2x 0 (2x2)3=8x 4.C【解析】如题图是社团小组运用3D打印技术制作 的模型，它的左视图是 5.A【解析】.AB∥CD,∠1=30°，∴.∠A=∠1=30°。 ∠2=70°，∠2=∠3+∠A,.∠3=70°-30°=40°。 6.C【解析】A.算式中平方差项数为5，对应数据个数 n=5,说法正确。 B.平均数元=6+8+8+6+7=7，说法正确。 5 C.数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和 8,说法错误。 D.加入两个7后，教据更集中，方差由号=0.8减小为 号=0571，说法正确。 7.A【解析】设这款风扇每台的标价为x元。 由题意，得0.6x+10=0.9x-95。解得x=350。 .这款风扇每台的标价为350元。 8.D【解析菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=3, .AM=CM,OC=OA BC =AB=3, y A(3,0). 设6(0M告，） y安·子解得=1。 过，点C作CH LAO于点H,如图， 0H=1。.CH=√32-12=2√2。 ∴.C(1,22)。.k=1×2√2=2√2。 9.D【解析】小：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向 下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， .a<0,b>0,c>0。∴.abc<0。故①结论正确； 顶，点P的坐标为(1，n),a<0, ∴.当x=1时，n=a+b+c最大。 :当x=m时，y=am2+bm+c, .a+b+c≥am2+bm+c。 ∴.am2+bm-a-b≤0。故②结论错误； :二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交 点A位于(-2,0)和(-1,0)之间，对称轴为直线x=1, 5-会=1a-b+c>0 5a=-2b。1-26-b+e>0. .3b<2c。故③结论正确； 如图，：△PAB为等边三角形， .PA=AB=PB,PH⊥AB,HA= HB,∠PAB=60°。 ∴.PH=tan60°·AH=tan60°·BH。 H -2-10 B 记A,B的横坐标分别为x1,2, !x=1 .n=5(x2-1)=5(1-x1)。 2n=3(x2-x1)。 令y=a㎡2+bx+e=0,得+=-合=2，=分 a 名2-x=V√(x+x)2-4名= /4、4c ·√a 3a-3c a 3 a2 -3ac a n=a+b+c=c-a,.c-a=-13a-3ac a a(a-c)=3。∴n=-y3aa-c=-3 a 故④结论正确。 10.B【解析】：∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平分线， ∴.∠CAB=∠CBA=45°。∴.∠CAD=∠BAD=22.5°。 设AC=BC=m, .AB=√AC2+BC=√2m。 如图，在AC上取点Q,使AQ=DQ, .∠QAD=∠QDA=22.5°。.∠CQD=45°=∠CDQ。 .CQ=CD。∴.AQ=QD=2CQ. ..2CQ+CQ=m, 解得CD=CQ=(V2-1)mo ∠CEF=45°=∠CAB,LCEF+∠BEF=∠ACE+ ∠CAE, ∴.∠BEF=∠ACE。∴.△ACE∽△BEF。 小能崇。小赤时.n m DF=y=m-(2-1)m-(2m-x)x m =(2-2)m-（2m-x)x m y关于x的函数图象过点(0,2-2)， .(2-√2)m=2-√2，解得m=1。 ∴y=2-2-(万-x)x=x2-√2x+2-2。 “当=-=竖时，取最小位，最小位为号 -2。 流周泉上装低点的坐标为（竖号-回列小 11.5.635×10'【解析】56350000=5.635×10'。 12.4【解析】32=√18,4<√18<5， .4<3√万<5，实数3√2的整数部分为4。 13.2(x-3y)2【解析】2x2-12xy+18y2=2(x2-6y+ 9y2)=2(x-3y)2。 3 14.16π-83【解析】连接0A,0E,0F,过点0作0M 3 AF于点M,如图所示。 D ·六边形ABCDEF为正六边形， ..OA=OE=OF, ∠A0F=∠E0F=360°=60，∠BMF=120。 6 .△OAF和△OEF为等边三角形， ∠A0E=60°+60°=120°。 ∴.∠OEF=∠0AF=60°，OA=AF=4。 :OM⊥AP,AM=FM=2AF=2. .0M=√42-2=25。 5Saw=24.0M=×4x23=45。 ∠BAF=120°，.∠0AG=120°-60°=60°。 .∠OAG=∠OEH。 ∠GC0A+∠A0H=∠A0H+∠E0H=120°， ∴.∠GOA=∠EOH。 .△C0A≌△HOE(ASA)。∴.SACOA=S△IoEo .S△GOA+Sg边形AOHF=S△H0E+Sg边形A0HF0 S五边形AC0P=Sg边形A0Br=2SA40P=85。 ∴.S阴影=S扇形一S五边形ACOHF =120π×4-83 360 =1-86。 15(-10,贸)【解析】依题意， 得A,P-2P=2√6-42+(3-3-5， .A2P=2A1P=10。A3P=2A2P=20。 设直线AP的解折式为y=低+b,代入(6,2），(4,3)， 3 3=4k+b,【b=6。 由题意知，点A3在直线AP上， 设(m,-子m+6） (m-62+(-m+6-}-20, 解得m1=-10,m2=22(舍去)。 4(-10,7)。 16.25m【解析】如图，连接BD交AC于点J。 3 :在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm, ∴△ABD为等边三角形，∠DAC=30°=∠DCA,AJ= CJ=3cm,BD⊥AC ∴.DJ=BJ=AJ·tan30°=√3cm。 ∴.AD=AB=BD=2V3=CD。 设运动时间为t,则AM=tcm,CN=√3tcmo 26瑞- ∴.△ADM∽△CAN。.∠ADM=∠CAN。 ∴.∠APM=∠DAP+∠ADM=∠DAP+∠CAN=30°。 .∠APD=180°-30°=150°。 如图，作等边三角形AD0,并以O为圆心，OD为半径 作圆，在圆上取点K,连接AK,DK, ∴.OA=0D=AD=2V3cm,∠A0D=60°。 LAKD=子x60P=30.1LAKD+ZAPD=180。 P在⊙0上，且在AD上。 在此过程中，点P的运动路径长为60m×25 180 2g4(m 17.解：2+m+ 41 m 2+m-2)÷3m-6 =m2-4+4.3(m-22 m-2 m =m.3(m-2) m-2 m =3m。 m=(-1)2025=-1,.原式=3×(-1)=-3。 18.解：(1)由统计数据，可得甲社团满分10分的有3人； 乙社团7分的有12人。 补全条形统计图如图。 甲、乙两社团成绩条形统计图 人数↑ 14 口甲社团 口乙社团 8 4 3 0 10成绩/分 44 (2)乙 【解析】小甲社团的成绩（单位：分）情况如下：6,6,6， 6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9 9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10, .排在第20,21位的数据为8。 二甲社园的成绩的中位数为7×(8+8)=8（分）。 .·将乙社团的成绩从小到大排列后，排在第20,21位 的数据为7,8， 八乙社国的成绩的中位数为7×(7+8)=7,5（分）。 .成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前。 (3)记男生为甲，两个女生分别为乙、丙， 画树状图如图。 开始 乙 丙 丙 甲 丙 甲 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男 生和一名女生的结果有4种， ·所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率 19.解：(1)如图1，△BED即为所求作。 图1 (2)如图2，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=2,AD∥BC, ∠A=90°。 .∠ADB=∠CBD .·△BED与△BCD关于直线BD 成轴对称， 图2 .∠EBD=∠CBD。.∠FBD=LFDB。 .FB=ED 设AF=x,则DF=BF=2-x。 12+=(2-x)2,解得= 4。AF=3 20.解：(1)设甲、乙两种路灯的单价分别为x,y元。 根据题意，得区+220：解得=60， 13x+140=4y。ly=80。 答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元 (2)设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40- m)盏。 根据题意，得m≤子(40-m)。 解得m≤10。 设购买费用为n元。 根据题意，得n=60m+80(40-m)=-20m+3200。 -20<0, ∴.当m=10时，n最小，最小值为3000， 此时40-m=40-10=30。 答：购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏，费用 最少。 21.解：(1)如图，过点B作BE⊥AC 于点E。 设BE=x。 依题意，得∠EBC=53°， ∠EBD=45,CD=10×7=5, ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x。 ..EC=ED+DC=x+5。 在Rt△BCE中，：EC=BE 4 =tanc=an37元0.75=3x, 4 六3x=x+5,解得x=15。 .渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15 海里。 (2)在Rt△ABE中， ∠ABE=14°，BE=15, ∴.AE=BE·tan14°≈15×0.25=3.75。 .∴.AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75。 23.75÷10=2.375小时=142.5分钟， 从14：30经过142.5分钟是16：52：30， .在17：30之前能到达。 ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A。 22.(1)证明：如图1，连接A0并延长交⊙0于点E,连 接BE。 图1 BD=AB,∴.∠D=∠BAD。 .∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D。 又∠ABC=2∠C,∴.∠D=∠C。.∠BAD=∠C。 AB=AB,.∠C=∠E。 ∴∠BAD=∠E。 .·AE是⊙O的直径，.∠ABE=90°。 ∠BAE+∠E=90°。∴.∠BAD+∠BAE=90°， 即AD⊥AE。 ,AE是⊙0的直径，∴.AD是⊙O的切线。 (2)解：，'∠D=∠D,∠DAB=∠C, AD DB .△DAB∽△DCA。∴CD-DA ∠D=∠C,.AD=AC=8。 又DB=AB=5, “54C名解得BC=9 8 如图2，过点A作AF⊥DC于点F。 AD=AC, .DF-FC=(DB+BC) =5+9)-号。 D ∴.AF=√AD2-DF 图2 -√8-(- 4 .sin D=Ar 5 3 =AD=8=5。 又.∠E=∠D,∠ABE=90°，.sinE=sinD。 AE=4B=AB-5_25 sin E sin D33 5 ⊙0的半径为5。 ° 23.解：(1)PA1+PA3=2PA20 【解析】思路一：如题图2，在射线PA3上截取AQ= PA1,连接A2Qo ∠PA1A2+∠PA3A2=180°，∠QA3A2+∠A2A3P=180°， ∴.∠A2A1P=∠A2A3Qo 又：四边形A1A2A3A4是正方形， .A2A1=A2A30.△QA3A2≌△PA1A2(SAS)。 ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q。 又四边形A1A2A3A4是正方形， .∠A1A2A3=90°。∴.∠PA2Q=90°。 ∴.△A,PQ是等腰直角三角形。 .PQ=PA +A:Q=PA,PA=2PA2 思路二：如题图3，过点A2作A2M⊥AP交射线PA1于 点M,在PA3上截取A3N=A1M,连接A2N。 ∠PA142+∠PA3A2=180°，∠PA1A2+∠A2A1M=180°， .∠A2A1M=∠A2A3N。 :四边形A1A2A3A4是正方形， .A1A2=A2A3,∠A1A2A3=90°。 .△A1A2M≌△A3A2N(SAS)。 ∴.∠A1A2M=∠A3A2N,MA2=A2N,∠M=∠A2NA3=90°。 .∠MA2N=∠A1A2A3=90°。 ∴.∠M=∠MA2N=∠A2NP=90°。 ∴.四边形A2MPW为正方形。 .A2P=√2PM=√2(PA1+MA1)=2(PA1+AN),A2P= √2PN。 46 ∴.2A2P=2(PA1+AN+PN)=√2(PA1+PA3)。 2A2P=PA+PA3 (2)正五边形的一个内角的度数为 (5-2)×180°=108°。 5 如图1，在射线PA3上截取AQ= Q PA1,连接A2Q,过点A2作A2T⊥PQ A3 于点T。 同理可得△QAA2≌△PA1A2(SAS)。 ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q。 A1 .∠PA2Q=∠A1A2A3=108°。 图1 LP%,T=分PA0=4. PA1=11,PA3=49, ∴.PQ=PA3+AQ=PA3+PA1=60。 Pr=2P0=30. pT≈30≈37.0。 PA=sin 540.81 (3)PA1+PA3=2PA2·sin72°。 【解析】如图2，在射线PA,上裁取AQ=PA1,连接 A2Q,过点A2作A2T⊥PQ于，点T。 同理，可得∠PA2Q=∠AA2A3= Q-A3 (10-2)×180°=144°，PA2=AQ, T 10 A LPA,T=7∠PA,Q=72。 A1 P A1o 图2 PT PAa=sin 72 .PQ=PA3 +A3Q=PA3 +PA, PT=2PQ=之(PA,+PA), PT (PA PA3) .PA2=sin72° sin72° 即PA1+PA3=2PA2·sin72°。 24.解：(1)抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点 (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,OA=2,OB=6, ∴.A(-2,0),B(6,0)。 4a-2b+3=0,解得 1 a=-4 136a+6b+3=0,r b=1。 范物线的表达式为)=-子+x+3。 (2)①对于抛物线的表达式y=+x+3, 当x=0时，y=3,.C(0,3)。 设直线BC的表达式为y=x+b, k=-2' 1 Lb=3. :直线BC的表达式为y=-2x+3。 DE⊥AB,点D的横坐标为t,点D在抛物线上，点E 在直线BC上， D(4,-4++3,(4,-2+3。 DE=-++3-(-+3=-4+2。 DB=-+2(0<<6)。 ②存在。CD=WB+(-4+t+3-3列 =V+(+, c=VP+(+3-- 2.DE=- 4 2 ·△CDE是等腰三角形， 当DE=0E时，-+3-汽， 解得t=6-25或t=0(舍去)。 -+4+3=4×(6-252+6-25+3 45-5。 .D(6-25,4V5-5); 当c0=E时，+(+°=(+别， 整理，得2(-t+1)=0。解得t=1或t=0(舍去)。 -+1+3=子x1+1+3-5 49 D(1,): 当0=E时，+(+°=(， 整理，得(。-之+)=0。 解得t=2或t=6(舍去)或t=0(舍去)。 -+4*3=-4×2+2+3=4 .D(2,4)。 综上，当△CDE是等腰三角形时，点D的坐标为 (2,4)或1，)成(6-25,45-5)。 (3)在y轴负半轴上取点N(0,-6),连接NG并延长 交x轴于点M,连接AN,标注∠1，L2,如图。 由旋转，得0E=0G,∠E0G=90°。 B(6,0),∴.OB=ON。 :∠B0N=90°， ∴.∠1=∠2=90°-∠M0Go .△BOE≌△NOG(SAS). ∴.∠CB0=∠MNO。 ∴.点G在线段MN上运动（不包括端点）。 .当AG⊥MN时，AG最小。 .·∠CBO=∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON。 ∴.△COB≌△MON(ASA). ∴.0M=0C=3。 .MN=√OM2+OW2=3√5。 :当AGLMN时，Sn=子AM·0N=子MN·AC 1 1 六2×5×6=2×35×AG。AG=25。 ∴.线段AG长度的最小值为2√5。 2潍坊市2025年初中学业水平考试 1.A【解析】根据相反数的定义，可得实数4的相反数是 -4。 2.B【解析】：主视图和左视图相同，均为两层，上层的 矩形较宽，下层的矩形较窄，选项A,C不符合题意。 又：俯视图是一个内部为圆的正方形，故几何体的底 层是一个圆柱，故选项D不符合题意。 3.D【解析】小，一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等 的实数根，∴.4=（-2)2-4c=0,解得c=1。 4B【绿折1站产奇1 5.D【解析】设AB的长度为a。 :△ABC有两个角是60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴，lm=AC+BC=a+a=2a。 :△ADE和△EFB有两个角是60°， ∴.△ADE和△EFB是等边三角形，设△ADE的边长 为m, 可得AD=DE=AE=m,EF=FB=EB=a-m, .I2 =AD+DE+EF+FB=m+m+(a-m)+(a-m) =2ao 丙路程中，延长AG与BH,交于点I,如图。 :GI+HⅢ>GH,两边同加AG+BH,得 AG+GI+BH+HI>AG+GH +BH, .∴.AI+BI>AG+GH+BH。 、H 由图可知AB=AI=BI=a, .∴.2a>AG+GH+BH。 A B 又l两=AG+GH+BH,∴.l甲=l2>l两o 6.C【解析】小从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴.有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝， 红红红，蓝蓝蓝，共8种等可能的结果，相邻两个方格 所涂颜色不同的结果有2种：红蓝红，蓝红蓝， 故相邻两个方格所涂颜色不同的就率是号子。 7.AD【解析】A.逆命题为若a=b,则a2=b2,为真命题， 符合题意。 B.逆命题为若a3>b3,则|a|>|b,为假命题，例如