3.青岛市2026年初中学业水平考试-2027年山东中考数学必备试题汇编

3 青岛市2026年初中学业水平考试 三、作图题（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作 法，但要保留作图痕迹) (时间：120分钟总分：120分) 16.已知：如图，△ABC。 求作：Rt△ADE,使∠AED=90°，点D,E分别在边BC, 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 8.张老师去书店购买图书，他先用108元买了一种史学 AB上，且点D到边AB,AC的距离相等。 1.-}的绝对值为 ( 书若干本，又用150元买了一种哲学书若干本。已知 张老师所买史学书的单价是哲学书单价的1.2倍，所 A.3 B.-3 买史学书比哲学书少2本。设这种哲学书的单价为x 元，根据题意可列分式方程为 () 2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 A.150-108=2 B.150_108=2 x1.2x 1.2xx c-2 D.108_150=2 四、解答题（本大题共9小题，共71分） ·1.2xx 3(x+2)≥2x+5， 9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为边AD上一点，将 3.如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，其左 17.(8分)(1)解不等式组：x-1x △ABE沿BE所在直线折叠得到△HBE,DH的延长线 13 49 视图是 交BC于点F。若∠DEH=60°，则CF的长为() A.4-2√3 D B.1 正面 C.8-43 D.25-2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10.计算：(-2a3b)2= 4.我国科研团队首次在三维晶体中发现并操控“一维带电 11.在平面直角坐标系中，将点A(-5,2)先向右平移4 (2)计算：1+m+2m2-4 畴壁”，为下一代超高密度存储与人工智能芯片奠定了 m m2+2m 个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点A',则 科学基础。“一维带电畴壁”厚度约为2.55埃米，相当 于0.000000000255米，将0.000000000255用科学记 点A'的坐标为 1 数法表示为 ) 12.若二次函数y=2-x+k的图象与x轴有两个交 A.0.255×10-9 B.2.55×10-9 点，则实数k的取值范围是」 C.2.55×10-10 D.25.5×10-1n 13.如图，点O是正五边形ABCDE的中心，DF∥OE, 5.下列计算正确的是 EF∥OD,连接OF,则∠OFD的度数为 A.4=±2 B.0=5 2 18.(6分)小明和小颖都想去参观非遗剪纸展览，但只有一 C.3+5=35 D.6×5=√30 张门票，两人决定一起做游戏，谁获胜谁就去参观展览。 6.为提升学生体质健康水平，学校开展了丰富多彩的体育 游戏规则如下：A盒中装有2个白球和1个红球，B盒 活动。甲、乙两名同学进行了定点投篮练习，每人每次定 中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同。 点投篮5个，最近10次练习的数据如图所示。甲、乙两 小明从A盒中随机摸出一个球，小颖从B盒中随机摸 名同学这10次练习投中个数的平均数分别记为x甲和 第13题图 第14题图 出一个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明获胜；若摸 x乙，方差分别记为s甲和s2。下列结论正确的是（ 14.如图，PA是⊙0的切线，A是切点，过点A作OP的平 出的两个球颜色不同，则小颖获胜。 A.5>52B.s<s2C.x甲>xzD.x甲<xz 行线，交⊙0于点B,若0B=3,∠AP0=36°，则图中 请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果， ↑投中个数 阴影部分的面积为（结果保留π）。 并说明这个游戏是否公平。 15.我们约定：在平面直角坐标系中，点P(a,b)的“伴点” 是点Q(-b,a)(其中a,b不同时为0)。例如，点(3， 2)的“伴点”是点(-2,3)。下列结论：①点(-5,1) 的“伴点”是点(-1，-5)；②存在点P(a,b),使点P 12345678910次序 甲■·乙 与它的“伴点”均在反比例函数y=的图象上；③存 第6题图 第7题图 在点P(a,b),使点P与它的“伴点”均在一次函数y= 7.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙0上的三点，∠B= 3x+2的图象上；④有且只有一个点P(a,b),使点P 112°，则∠E的度数为 与它的“伴点”均在二次函数y=2x2-3的图象上。 A.20° B.229 C.30 D.32 其中正确的是 (填写序号)。 9 19.(6分)为了解学生在阅览室的阅读情况，某校随机抽取 了部分学生，并对他们在阅览室的一周阅览时长进行了 收集、整理和描述。所抽取学生在阅览室的一周阅览时 长t(单位：小时)均不高于4小时。 【收集数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长如下： 0.6,0.8,0.9,1.0,1.2,1.2,1.3,1.4,1.4,1.4, 1.6,1.6,2.1,2.2,2.2,2.3,2.3,2.4,2.4,2.5, 2.6,2.6,2.6,2.6,2.6,2.7,2.7,2.8,2.8,2.8, 3.0,3.1,3.2,3.3,33,3.5,3.7,3.7,3.8,3.8。 【整理数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计表 如下： A组 B组 C组 D组 分组 (0≤t<1)(1≤t<2) (2≤t<3) (3≤t≤4) 人数 3 a 18 10 【描述数据】 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的不完整统计图 如下： 所抽取学生在阅览室的一周 所抽取学生在阅览室的一周 阅览时长的频数直方图 阅览时长的扇形统计图 21 ↑人数（频数） A组 18 18 15 B组 D组 12 22.5% 25% 10 9 6 C组 3 3 45% 2 34时间/小时 根据以上信息，解决下列问题： (1)补全频数直方图； (2)所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的众数为 小时；所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的 中位数为 小时： (3)扇形统计图中，A组所对应的扇形圆心角度数为 (4)该校共有600名学生，请估计该校在阅览室的一周 阅览时长不低于2小时的学生人数。 0- 20.(6分)如图是某公园的部分平面示意图。环湖观景路 线由木栈道AB和圆弧形观景步道BC组成，D,E分别表 示观景亭和喷泉，点A,E,C在同一直线上，且点E是 BC所在圆的圆心，BE⊥AC,AB=50米。在A处测得 ∠BAC=53°，∠CAD=16°，在C处测得∠ACD=90°，求 C,D两点间的距离（结果精确到0.1米）。 (参考数据：sin53°≈4， ,c0853≈3 ，an53≈子， sm160-名s160-2若，m160-2） B ↑北 /53°E AA:16 D 21.(8分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩 形，点A,C分别在x轴，y轴上，点B在反比例函数y1= 么(x>0)的图象上，将矩形01BC绕原点0按顺时针 方向旋转90°，得到矩形0AB1C1,A1C=5,AC1=3,直线 y2=ax+b经过点A1,B。 (1)求点B的坐标； (2)求直线AB与x轴的交点D的坐标； (3)根据图象，直接写出当0<y2<y1时x的取值范围。 y y1 B/ 32 C℃D 0 A AB. -1 22.(8分)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE 【探究二】如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°， 平分∠ABC,CE平分∠BCD,F是BC的中点，过点B AB=4,BC=10,CD=2.4。在该梯形内部排列边长为 作CE的平行线交EF的延长线于点G,连接CG。 1.2的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠， (1)求证：△BFG≌△CFE; 且一边与BC平行)。 (2)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明 (2)在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多为 你的结论。 【探究三】如图5，在五边形ABCJK中，AB∥CJ,AK∥ BC,∠B=90°，AB=4,BC=10,CJ=1.2,AK=3.6,在该 五边形内部排列边长为1.2的小正方形（小正方形完全 在五边形内部，互不重叠，且一边与BC平行)。 (3)在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多 为 24.（10分)某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召， 依托本地特色资源，计划投资生产某种产品。投产第 年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不 超过24万件，并且生产的产品能全部售出。经调研，投 产第一年该产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单 位：万件)之间将近似满足二次函数关系y=-x2+bx+ c(13≤x≤24)，部分数据见表： 产量x/万件 15 18 20 总成本y/万元 … 285 336 360 (总利润=总销售额一总成本) (1)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函 23.(9分)【探究一】如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°， 数关系式； AB=4,BC=10。在该三角形内部排列边长为1.2的 (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该 小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且 一边与BC平行)，最多能排列多少个小正方形？我 产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ 们不妨这样思考： (3)投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利 润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 如图2，排列第一层时，因为BE=1.2,所以AE=4 1,2-28,易得△AF~△AC,所以E-侣解得 BF=7。因为7÷12=5名，所以第一层最多排列 5个； 如图3，排列第二层时，因为BG=2.4,所以AG=4 24=1.6,易得△46H一△ABC,所以80-S解得 GH=4。因为4÷1.2=3}，所以第二层最多排列 3个。 A G -C BL CBL■T 图1 图2 图3 A 图4 图5 (1)按上述思路，可求得在Rt△ABC内部能排列的小 正方形个数最多为 25.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm;动 点P从点B开始沿对角线BD以1cm/s的速度运动， 动点Q从点C开始沿边CD以}cms的速度运动。 BD与AQ相交于点E,FP是△APQ的中线，连接BQ。 点P和点Q同时出发，设动点的运动时间为 0<)。 解答下列问题： (1)当点Q在线段AB的垂直平分线上时，求t的值； (2)设四边形APQD的面积为Scm2,求S与t之间的函 数关系式； (3)是否存在某一时刻，使FP+乃BQ的值最小？若 存在，求出此时FP+2BQ的值：若不存在，说明 理由。 备用图 2-90°=∠AFG,D'F=DFo=6。 当M,F,D'三点共线时，FM+DF取最小值。 .·∠G=∠AFG=∠MAF。=90°， .四边形AMGF。是矩形。 .∴.GM=APF。=14,AM=F。G=1。 .D'G=D'F。+F。G=7。.D'M=√GM+D'G=75。 .FM+DF的最小值为7√5。 ③青岛市2026年初中学业水平考试 1.C【考点】绝对值。 2.D【考点】轴对称图形和中心对称图形。 3.B【考点】三视图。 4.C【考点】科学记数法。 5.D【解析】逐项分析如表所示。 选项 分析 正误 A 4=2≠±2 9√停√侵5 C 3与5不能合并，3+√5≠3√3 0 √6×5=√6×5=√30 V 6.A【解析】由统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的 成绩波动幅度大，>5。 :xp=4+5+1+3+4+3+4+4+1+5=3.4, 10 2=3+4+3+3+3+4+2+4+3+5=3.4, 10 .x甲=x乙0 7.B【解析】如图，连接BD。 D AD是⊙0的直径， ∴.∠ABD=90°。 ∠ABC=112°， .∠E=∠CBD=∠ABC-∠ABD=112°-90°=22°。 8.A【考点】分式方程的实际应用。 9.C【解析】如图，过点H作HM⊥AD于，点M,延长MH 交BC于点N。 由折叠，得△ABE≌△HBE。 E M .AE=EH,∠AEB=∠HEB, ∠ABE=∠HBE。 ∠DEH=60°， .·.∠AEH=180°-∠DEH=120°。 ∠AEB=∠EB=7∠ABH=60. .∠ABE=∠HBE=90°-∠AEB=30°。.2AE=BE。 在Rt△ABE中，AB=4,由勾股定理，得 AE2 +AB2 BE2,E AE2+42=(2AE)2, 解得6-4（负位合去。m 30 四边形ABCD是正方形，.AD∥BC,AD=BC。 ∴.HN⊥BC,∠HDM=∠HFN。 ∴.四边形ABNM是矩形。 ∴.AM=BN,MN=AB=4,∠EMH=∠FNH=90°。 ∠DEH=60°，∴∠EHM=90°-∠DEH=30°。 w=号m=号4929 六AM=BN=AE+EM=4g5+25=25。 3 3 .DM=CN=AD-AM=4-2V3。 在Rt△HEM中，由勾股定理，得 ∴.HN=MN-HM=4-2=2=HM。 r∠HDM=∠HFV, 在△DMH和△FNH中， ∠DMH=∠FNH, HM HN, .△DMH≌△FNH(AAS)。 ∴.DM=FN=4-2W3。∴.CF=FN+CN=4-2√5+4- 25=8-43。 10.4ab2【考点】暴的乘方与积的乘方。 11（-1,-1)【考点】坐标与图形变化一平移。 卫.k<分【解析】小：二次函数y=2-x+k的图象与 ￥轴有两个交点，即分-x+k=0有两个不相等的 实数根， 4=-4ac=(-1)2-4×7×k>0,解得k<2。 13.36【解析】：点0是正五边形ABCDE的中心， ∠D0B=360°=72°，0D=0E。 5 DF∥OE,EF∥OD, .四边形ODFE是平行四边形。 OD=OE,∴.四边形ODFE是菱形。 ∠DFE=∠D0E=72。∠0FD=7∠DFE=36。 14号m【解析】如图，连接0A。 :PA是⊙O的切线， .∴.∠0AP=90°。 ∠AP0=36°， .∠A0P=90°-∠AP0=90°-36°=54°。 AB∥0P,.∠OAB=∠AOP=54°。 0A=OB,∴.∠OBA=∠OAB=54°。 .∠A0B=180°-∠0BA-∠0AB=180°-54°-54°=72°。 △AOB与△ABP同底等高，.SAAOB=S△ABP0 8=5w-20-g 15.①③【解析】对于点(-5,1)，a=-5,b=1,其伴点 为(-1，-5)。故①正确； 由点P(a,6)在反比例函数y=的国象上，得d的=6， 由点Q(-6,)在反比例函数y=。的图象上，得 (-b)·a=6,即ab=-6。 6≠-6，不存在满足条件的点。故②错误； 2 a=-51 由条件可知， b=3a+2,解得 1a=-3b+2, 4 =5 .存在，点P,使点P与它的“伴，点”均在一次函数y= 3x+2的图象上。故③正确： rb=2a2-3, 由条件可知，a=28-3。 整理，得(b-a)[1+2(a+b)]=0。 .b=a或a+b=-20 1 将b=a代入b=2a2-3,得2a2-a-3=0, 4=(-1)2-4×2×(-3)=25, ∴.该方程有两个不相等的实数根，对应两个不同的点P: 将a+6=-号代入6=2a2-3,得2a2+a-各=0， 4=1-4x2x(-）-=21, ∴.该方程有两个不相等的实数根，对应两个不同的点P。 .共有4个不同的点P满足条件。故④错误。 综上所述，正确的是①③。 16.解：如图，Rt△ADE即为所求作。 0 3(x+2)≥2x+5,① 17.解：(1){ 解不等式①，得x≥-1。 解不等式②，得x<4。 ∴.不等式组的解集为-1≤x<4。 (2)原式=1+m+2. m(m+2) m m+2)(m-2)=1+m+号 m-2 =m-2+m+2=2m m-2 m-2 18.解：列表如下： CA盒 白 白 红 B盒 白 (白，白) (白，白) (红，白) 红 （白，红) (白，红) (红，红) 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同 的结果有3种，颜色不同的结果有3种， 5小明获陆的概率为名-分，小领获胜的概率为名-分。 :子=子，即两人获胜的概率相等这个游戏公平。 19.解：(1)根据题目数据可得a=9。 补全频数直方图如下： 所抽取学生在阅览室的一周阅览时长的频数直方图 2人数（频数） 18 18 15 12 9 0 9 6 3 3 0 1 23 4时间小时 (2)2.62.55【解析】2.6小时一共出现5次，出现 次数最多，故众数为2.6小时；40个数据从小到大排 列后，第20个数据为2.5小时，第21个数据为2.6小 时，故中位数为(2.5+2.6)÷2=2.55（小时）。 (3)27【解析】扇形统计图中，A组所对应的扇形圆 心角底数为0×360=270。 (4)600×(45%+25%)=420(人)。 答：估计该校在阅览室的一周阅览时长不低于2小时 的学生人数为420。 20.解：：BE⊥AC,∴.∠AEB=90°。 在Rt△ABE中，∠BAC=53°，AB=50米， 5AB=AB·cs530≈50×号=30（米）， BB=AB·m53=50×专=40（米）。 :点E是BC所在圆的圆心， ∴.CE=BE=40米。 .AC=AE+CE=30+40=70(米)。 在Rt△ACD中，.·∠ACD=90°，∠CAD=16°， 7 CD=AC·an16°≈70×24≈20.4（米）。 答：C,D两点间的距离约为20.4米。 21.解：(1)将矩形OABC绕原点0按顺时针方向旋转 90°，得到矩形0AB,C1, ∴.0C=0C1,0A=0A1o A1C=0C+0A1=5, .0C1+0A=0C1+0C1+AC1=5。 AC1=3,.20C1+3=5。.0C1=1。 .0C=1。.0A=0A1=A1C-0C=5-1=4。 ,四边形OABC是矩形， ∴AB=0C=1,BC=0A=4。∴.点B(4,1)。 (2)由(1)，得0A1=4,∴.点A(0,-4)。 将点A1(0,-4),B(4,1)代入y2=ax+b, 5 解得 b=-4。 ·直线AB的函数表达式为为= 4x-4。 当=0时，子-4=0，解得x=5。点0(50）。 (3)当0<<1时，x的取值范围是6 是5<x<4。 22.（(1)证明：F为BC的中点，.BF=CF。 CE∥BG,.∠ECF=∠GBF。 r∠BFG=∠CFE, 在△BFG和△CFE中，BF=CF, ∠GBF=∠ECF, ∴.△BFG≌△CFE(ASA). (2)解：四边形BGCE是正方形。证明如下： 如图，四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°， .四边形ABCD是矩形。 .∠ABC=∠BCD=90°。 :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD, 1 LCBE=LBCE=2∠ABC=45。 ∴∠BEC=90°，BE=CE。 由(I),得△BFG≌△CFE,∴.BG=CE。 :BG∥CE,.四边形BGCE是平行四边形。 .∠BEC=90°，BE=CE, .四边形BCCE是正方形。 23.(1)8【解析】根据题意，得 M 第一层最多排列5个，第二 层最多排列3个。 如图1，排列第三层时，AM= 图1 AB-BM=4-3.6=0.4。 :MN∥BC,∴.△AMN∽△ABC。 瓷-将-0解得N=1。 1<1.2,∴第三层无法排列完整的小正方形。 5+3=8(个)， 在Rt△ABC内部能排列的小正方形个数最多为8。 (2)18【解析】小2.4÷1.2=2,10÷1.2=8 31 “前二层每层最多各排列8个小正方形。 如图2，排列第三层时，AE=AB-BE=4-2.4=1.6, AF=AE-EF=1.6-1.2=0.4。 由题意可知，∠BED=∠B= A G ∠C=90°， E ∴.四边形BCDE是矩形。 B .DE=BC=10。 图2 .FG∥DE,∴.△AFG∽△AED. 12 形铝即侣-合解得c=25。 1 :25÷1.2=22第三层最多排列2个小正方形。 AF=0.4<1.2,∴第四层无法排列完整的小正方形。 8+8+2=18(个)， .在梯形ABCD内部能排列的小正方形个数最多 为18。 (3)17【解析】如图3， ∠A=∠BOK=∠B=90°， ∠C=∠C0D=∠JD0=90°， 0 ∴.四边形ABOK和DOCJ是 图3 矩形。 ∴.0K=AB=4,0B=AK=3.6, DJ=0C=BC-0B=10-3.6=6.4,0D=CJ=1.2。 .DK=0K-0D=4-1.2=2.8,EK=DK-DE=2.8 -1.2=1.6,MK=EK-EM=1.6-1.2=0.4。 3.6÷1.2=3,41.2=3写，3x3=9, ∴.在矩形ABOK中最多排列9个。 6412=5分 .在梯形JCOK中，第一层最多排列5个。 EF∥DJ,∴.△KEF∽△KDJ。 份-於-解释即- 359 器12=3分 .在梯形JCOK中，第二层最多排列3个。 :MN∥EF,.△KMN△KEF。 小警紧即器告解得MN-务。 EF=EK,128=1.6' 35 32 35<1, ∴.在梯形JCOK中，第三层无法排列完整的小正方形。 5+3=8(个)，∴.在梯形JC0K中最多排列8个。 9+8=17(个)， ∴，在五边形ABCJK内部能排列的小正方形个数最多 为17。 24.解：(1)将x=15,y=285和x=20,y=360代入y= -2+s+6,得5-15156+5解得=50， 360=-202+206+c, 1c=-240。 ∴.y=-x2+50x-240(13≤x≤24)。 (2)设总利润为w万元， 则0=20x-（-x2+50x-240)=x2-30x+240= (x-15)2+15。 ∴.抛物线开口向上，对称轴为直线x=15。 :13≤x≤24，∴.当15<x≤24时，w随x的增大而增 大；当13≤x<15时，0随x的增大而减小。 :24-15>15-13,∴.当x=24时，0取得最大值， 最大值为(24-15)2+15=96。 答：生产该产品24万件时，总利润最大，最大总利润 是96万元。 (3)根据题意，得0=mx-(-x2+50x-240)=x2+ (m-50)x+240。 ·对称轴为直线x=50m 2 :总利润随着产量x的增大而增大，且13≤x≤24， :50m≤13，解得m≥24。m的最小值为24。 2 25.解：(1)四边形ABCD是矩形， .AD=BC=8cm,CD=AB=6cm,∠BCQ=∠ADQ=90°。 :点Q在线段AB的垂直平分线上，∴.AQ=BQ。 「AQ=BQ, 在R△ADQ和R△BCQ中，AD=BC, .Rt△ADQ≌Rt△BCO(HL)。 :.D@-C@-]CD-3cm. 根据题意，得CQ=3cma 5 子=3，解得=号。 (2)在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD=√AB+AD2=√62+82=10(cm)。 sinLADB=4B=6 3 BD=10=5 在△cD中mLc-%-品-子 根据题意，得BP=tcm,CQ=3tcm。 5 .DP BD -BP =(10-t)cm,DO CD CO (6-m 如图，过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN L CD于 点N。 在Rt△DPM中， PpM=Dp.sinADB=-(I0-)×子=(6-寻em。 在Rt△DPN中， PN=Dp.si L.BDC=(I0-)×专-(8-子em。 .ADPM+DPN =3×8x6-号别+2×(6-子别列×(8-号到 =(24-号判+(24-号-+号) =(子-+48)m2。 S与1之间的函数关系式为S=号P-昭1+ 15 3 48(0<<) D A F E 0 (3)由(2)，得63 432-.3 8-42- .DM =AB-品8-品 w=(8-m AM=AD-DM=8-(8-号=号em 0-m∠c-品品 N=(6-m。 QN=DN-D0=(6-子)-(6--cm。 4 AM 5 3 PM QN16, =4=pN 15 ∠PMA=∠PNQ=90°， ∴.△APM∽△QPN。.∠APM=∠QPN。 PM⊥AD,PN⊥CD,∠ADC=90°， ∴.四边形PWDM是矩形。 ∴.∠MPN=90°。 .∠APQ=∠APM+∠MPQ=∠QPN+∠MPQ= ∠MPN=90°. FP是△APQ的中线，FP=之40。 fp+20=240+20=2(40+B0). 当4Q+BQ最小时，FP+2B0最小。 如图，作点A关于CD的对称点A',连接A'Q,A'B,则 A'D=AD=8cm,A'Q=AQ,∠A'DC=∠ADC=90°。 .AA'=AD+A'D=16cm。 在Rt△ABA'中，由勾股定理，得 A'B=√AB2+AM2=√62+16=2√73cm AQ+BQ=A'Q+BQ≥A'B, .AQ+BQ的最小值为2√73cm。 存在某一时刻，使FP+之BQ的值最小，此时FP+ 之BQ的值为V万cm。