2.济南市2026年初中学业水平考试-2027年山东中考数学必备试题汇编

2济南市2026年初中学业水平考试 14.某学校组织七、八年级的学生参加“徒步母亲河—黄 河”活动，两个年级匀速步行前进，七年级比八年级早 (时间：120分钟总分：150分) 出发20min,七年级经过40min抵达目的地。两个年 级之间的距离y(单位：m)和七年级出发后的时间x(单 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题9.如图，在平面直角坐标系中，A(3,0),B(9,0)是x轴上 位：min)之间的关系如图所示，则八年级从出发到抵达 只有一个选项符合题目要求) 的两点，P是函数了-图象上一动点，连接.即 目的地所用的时间是 min。 1.-7的倒数是 则AP2+BP2的最小值为 () 1500p/m A.7 B.-7 C. 1200 --, y↑ 900 600 2.如图是一个由数控车床制造的高精度零件，其主视图是 300 G 0204060x/min 10A 第14题图 第15题图 A.30 B.36 C.42 D.63 15.如图，在平行四边形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB= 10.如图，AB为半圆0的直径，C为半圆0上一点，连接 3,BC=4,M是AD上一点，将纸片沿过点M的直线折 叠，使点D落在AB上的点E处，点C落在点F处，折痕 正面 AC,BC,CD⊥AB,垂足为D。以点B为圆心，以BC的 交BC于点N,EF与BC交于点G。若BE=2AE,则 长为半径作弧，交AB于点E;以点A为圆心，以AE的 BG= 3.在《城市综合发展指数报告(2025年)》中，济南位列宜 长为半径作弧，交AC于点F。设BC=a,AC=b,CD= 三、解答题（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说 居城市第二名，吸引了大量游客前来旅游。据统计，2026 h,AD=m,BD=n。有下列结论：①m+n≥2h;②a2+ 明、证明过程或演算步骤) 年5月1日当天，济南市某景点接待游客约183000人。 数据183000用科学记数法表示为 m∈3，③若6=2，则2器-5，④(+-a,0) 16.（本小题满分7分)计算：4sin60°-√12-1-31+ A.1.83×104 B.18.3×104 (-）'+(m-3140. 是二次函数y=x2+2ax-b2的图象与x轴的一个交 C.1.83×103 D.0.183×10 点：⑤若F为4C的中点，则号=子。以上结论正确 4.下列地铁标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的 () ( 的有 2x+5≤3(x+2),① 17.（本小题满分7分)解不等式组： 份<营② 并 5.下列运算正确的是 EO 写出它的所有整数解。 A.x4·x3=x B.(y)2=x2y A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C.x8÷x2=x4 D.3x+3y=6xy 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。直接 6.若关于x的方程x2-4x-m=0有实数根，则实数m的 填写答案) 取值范围是 11.27的立方根是 0 A.m≤4 B.m<4 12.如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留 18.（本小题满分7分)已知：如图，E,F是平行四边形 C.m≥-4 D.m>-4 在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最 ABCD对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF。求证： BF=DE。 7计算22的结果是 终停留在黑砖上的概率是 A.1 B.2-x C.x+2 D.x-2 8.经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或者右 B 拐。假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好 第12题图 第13题图 有一人直行，另一人右拐的概率是 13.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=30°，以点A为 A.1 9 B号 c D.2 圆心，以AB的长为半径作弧BD,则图中阴影部分的 面积是 (结果保留)。 5 19.（本小题满分8分)小明学习了直角三角形的边角关系 一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可 以利用所学的知识进行估算。估算前，需要借助AI工 具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长 度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的 度数。小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成 如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务。 动作 图片 (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 任务 (线段AE的长度)； (线段AE的长度)。 B 和示 B E一A 意图 ED ·A D D 图1 图2 AB=61 cm,BC =41 cm, AB=58 cm,BC=40 cm, 相关 CD=78.5cm,∠ABC= 条件 CD=78cm,∠ABC=150° 122°，∠BCD=45°，DE⊥ ∠BCD=30°，DE⊥CD。 CD,AE⊥DE。 (结果精确到0.01cm,参考数据：sin77°≈0.974， cos77°≈0.225，tan77°≈4.331；W2≈1.414，W3≈1.732) (1)计算甲同学的成绩； (2)计算乙同学的成绩。 20.(本小题满分8分)如图，AB是⊙0的直径，直线1与 ⊙0相切于点D,BE⊥1，垂足为E,交⊙0于点C,连接 OE,交弦BD于点F。 (1)求证：BD平分∠ABC: (2)若DF=2,s∠A0G=号，求nF的长。 21.(本小题满分9分)某校组织七年级学生进行济南特色 文化相关知识测评（百分制），从中随机抽取了部分学 生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩） 进行整理，数据分为五组： A:50≤x<60;B:60≤x<70;C:70≤x<80;D:80≤x< 90:E:90≤x≤100。 下面给出了部分信息： a.C组的数据：70,71,71,72,72,72,74,74,75,76,77， 77,77,78,79,79。 b.不完整的学生成绩频数直方图和扇形统计图如下： +人数（频数） 6 16 2 D A 6 4 B 12% 0 '5060708090100成绩/分 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数： (2)扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为 度； (3)请补全频数直方图； (4)抽取的学生成绩的中位数是 分； (5)该校七年级共600人参与了此次测评，请你估计该校 七年级参与此次测评成绩达到80分及以上的学生人数。 22.（本小题满分10分)为改善学生视力状况，某学校将课 间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备 购买甲、乙两种型号的视力训练仪。已知购买2台甲型 视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购 买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花 费1200元。 (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元； (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60 台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪 数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优 惠，请问购买甲型视力训练仪多少台时花费最少？最少 花费是多少元？ 23.（本小题满分10分)在平面直角坐标系中，矩形OABC 24.（本小题满分12分)在平面直角坐标系中，抛物线y= 的边OA在x轴上，OC在y轴上，点B的坐标为 -x2+bx+c(c≠0)与x轴交于A,B两点（点B在点A (6,4)。反比例函数y=(x>0)的图象经过BC的 右侧)，点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C。 (1)若点(2,3)在该抛物线上， 中点D,与AB交于点E。 ①求该抛物线的表达式及点B的坐标； (1)求k的值； ②如图，连接BC,D为线段BC上一点，连接AD并延长 (2)P是反比例函数y=卓(x>0)图象上一点。 交抛物线于点E,F为第四象限内抛物线上一点，且点F 到x轴的距离为h,以AE,AF为边作平行四边形AEGF, ①如图1，若点P在矩形OABC的内部，PF⊥x轴，垂 若△ADF的面积为2h,求平行四边形AEGF面积的最 足为F,连接PE,EF,△PEF的面积为2，求点P的 大值； 坐标； (2)作直线BC,P是直线BC上一点，若使∠AP0=45 ②如图2，作直线AC,连接OP,在OP上方作∠OPQ= 的点P恰有两个，求b的取值范围。 ∠OAC,过点O作OP的垂线，交PQ于点M,当点M 落在直线AC上时，求点P的坐标。 0 M 备用图 图1 图2 25.(本小题满分12分)在矩形ABCD中，BC=kAB(k≥1)， O为对角线AC的中点，M为边AB上一点，连接OM,过 点O作OM的垂线交BC于点N,连接MN。 (1)如图1，当k=1时，请完成填空：0M与0W的数量 关系为 ;用等式表示线段AM,MW,CN的 数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明； ②用等式表示线段AM,MW,CN的数量关系，并证明； (3)如图3，当k=号，AB=6时，连接0B,过点N作M ⊥OB,垂足为H,E为AD上一点，连接CE,将线段EC 绕点E逆时针旋转90°得到线段EF,连接FM,DF,当 NO平分∠CNH时，求FM+DF的最小值。 A 0 0 M N N 图1 图2 D 10 图3即0.5=20-x解得x≈6.67。 .BE=EF+BF≈6.67+1.6=8.27≈8.3(m)。 答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m。 22.解：(1)①以点0为坐标原点，地面为x轴，建立如图 所示的平面直角坐标系， A① 文地面 则4（分），c(3,3) C为最高点，.抛物线的顶点坐标为(3,3)。 ∴.设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+3。 =a(-3)+3。a=- =-2+3=+号- ∴y关于：的函数表达式为y=号+号 5 50 ②花枪处于下落过程，x≥3。 当y=时得号+号-号 5x-5, =号西=（不合题激，合去： 当y时，号+号-号 5, 一号（不合题意，合去）。 d的取值范周是}≤d≤号。 (2):花枪飞行高度h与时间t之间的关系式是h= -5P+7u+(>0), 花枪落地时h=0,即-5+71+号=0。 4=号或4=写（不合题意合去）。 ·从乙抛出花枪，到花枪落地需要？。 5s。 丙的平均速度为5÷号-名(9)。 23.(1)证明：如图1，连接CD。 D 图1 根据旋转性质可得，∠CAD=60°，AC=AD, ∴.△ACD为等边三角形。 .∴.CD=AD,∠ACD=60° ∠EAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60°， .∠EAD=∠ACDE AE=CF,∴.△AED≌△CFD(SAS)。 DE=DF。 （2)解：EF=√3EH。理由如下： :AH⊥AC,∴.∠CAH=90°。 ∴.∠BAH=∠BAC-∠CAH=30°。 :AB=AC,LB=∠C=7×(180-120)=30。 ∠aMH=∠c,mG=m30=7品 c=2得-分器-8盟 △AEIACFI。册铝分，∠AE=∠G球。 .∴∠AHE+∠AHF=∠AHF+∠CHF,即∠EHF=∠AHC。 器品器-鼎△~△4Ca。 ∴.∠EFH=∠C=30°，∠FEH=∠CAH=90°。 .∠EHF=90°-30°=60°。 m∠Br=m60=月-器EF=Ea。 (3)解：如图2，延长CA,并取点N,使AN=AF,过点G 作GM⊥AN于点M,则∠M=90°。 EG=EF, ∴.AE为△FGN的中位线。 .AE-GN.AE/CN. ∴.∠GNA=∠BAC-=120°。 ∴.∠GWM=180°-120°=60°。 图2 :AB=6,.AC=AB=6。 设AE=x,则GN=2AE=2x,CF=2AE=2x,AN=AF= 6-2x。 1MN cOs LMING cos 60=2=GIN sin∠MNG=sin60°=3_CM 2=GN' MN=2cv=,GM=cN=原 .'AM=AN+MN=6-2x+x=6-xo 在Rt△AGM中，根据勾股定理，得AM2+GM2=AG2, 即(6-x)2+(5x)2=(2√7)2，解得x1=2,x2=1。 .线段AE的长度为1或2。 2济南市2026年初中学业水平考试 1.D【考点】倒数。 2.B【考点】三视图。 3.C【考点】科学记数法。 4.A【考点】轴对称图形和中心对称图形。 5.A【解析】逐项分析如表所示。 选项 分析 正误 A x·x3=x (y)2=x2y2≠x2y x8÷x2=x5≠x + 0 3x与3y不是同类项，不能合并 6.C【解析】关于x的方程x2-4x-m=0有实数根， .4=(-4)2-4×1×(-m)=16+4m≥0。 解得m≥-4。 解标22红-4+4-x x-2 x-2 8.B【解析】画树状图如下： 开始 第一人 直 第二人直左右 直左右 直左右 由图可知，共有9种等可能的结果，其中恰好有一人直 行，另一人右拐的结果有2种， 恰好有一人直行，另一人右拐的概率为2 9B【解析1淡P,孕) A(3,0),B(9,0), 严+aP=u-3)+(停)+-9P+(停到】 =2-6+9+-18:+81+=号-24+90 =-2)+6。 当=号时，AP+B产有最小值，最小值为36。 10.C【解析】AB为半圆0的直径，.∠ACB=90°。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2, 即(m+n)2=b2+a2。 CD⊥AB,∴.∠ADC=∠BDC=90°。 ∠CAD=∠BAC,∠ACB=∠ADC=90°， △4CD△Ac。G-A把 .AC=AB·AD,即b2=m(m+n)。 ∠CBD=∠ABC,∠ACB=∠CDB=90°， △cB0△MBc器-80 .BC2=BD·AB,即a2=n(m+n)。 .∠ACD+∠BCD=∠CAD+∠ACD=90°， ∴.∠BCD=∠CAD。 :∠ADC=∠BDC=90°，∴.△ACD∽△CBD。 …品品 .CD2=AD·BD,即h2=mn。.h=√mna :对于正数m,n,有（√m-√n)2=m-2√mn+n≥0， 即m+n≥2√mn, .m+n≥2h。故①正确； .a2+m2-3h2 m2 +mn n2-3mn m2 -2mn+n2 =(m-n)2≥0，∴.a2+m2≥3h2。故②错误； b=2a,.b2=4a2。 b2=m(m+n),a2=n(m+n), ,∴.m(m+n)=4n(m+n)。 'm+n≠0，∴.m=4n。∴.AB=m+n=5no 由作图可得，BE=BC=a,AF=AE=AB-BE=5n-a。 ∴.CF=AC-AF=b-(5n-a)=2a-5n+a=3a-5n。 a2=n(m+n), .a2=n·5n=5n2。.a=√5n。 ∴.AF=5n-√5n,CF=3√5n-5n。 :4g-5n-5m=5-5=(5-5(35+5) CF35m-5n35-5(35-5)(35+5) =55+-55_100-5③ 45-25 20 正确； 当x=m+n-a时， y=(m+n-a)2+2a(m+n-a）-b2 =(m+n)2-2a(m+n)+a2+2a(m+n)-2a2-b =(m+n)2-a2-b2。 (m+n)2=a2+b2,y=a2+b2-a2-b2=0。 ∴.(m+n-a,0)是二次函数y=x2+2ax-b2的图象 与x轴的一个交点。故④正确； F为AC的中点，A=24C=b, 由作图可得，AE=AF=AB-BE=(m+n)-a。 之=(m+m）-a,即m+n=+a (a+矿=+。整理，得= 、2 。 60号-子。敢⑤正确。 综上所述，正确的有①③④⑤，共4个。 11.3【考点】立方根 【考点】几何概率 善总结。 要点巧记 几何图形的概率公式 P(A)=构成事件A的区城长度（面积或体积或度数） 「全部结果构成的区域长度（面积或体积或度数）° 13.8-子m【解析】如图，过点D作DH⊥AB于点H :菱形ABCD的边长为4， D .AB=AD=4。 .∠BAD=30° ∠AHD=90°， HB DH=2A0=2. ∴.菱形ABCD的面积=AB·DH=4×2=8。 扇形ADB的面积=30TX4=T 360 :图中阴影部分的面积是8-号。 14.100【解析】七年级的速度为1500÷20=75(m/min), 3 八年级的速度为75+(1500-1200)÷(40-20)= 90(m/min), 总路程为75×40=3000(m),八年级从出发到抵达目 的地所用的时间是30：90-1g9(mim）。 15.1【解析】如图，在BM延长线上截取AP=AM,连 5 接PM。 4￥ B AB=3,BE =2AE,.'.BE=2,AE=1 在平行四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=60°， .∠BAD=120°，∠MAP=60°。 .△APM为等边三角形。∴.∠P=60°。 过点M作MQ⊥AP于点Q。 设AQ=m,则MQ=√3m,AM=2m。 AD=4,..DM=AD-AM=4-2mo 由折叠可知，DM=EM=4-2m。 在Rt△MEQ中，MQ2+EQ2=EM, 即3m2+(1+m)2=(4-2m)2,解得m=三 AM=AP=MP=2m=音，EM=4-2m=子。 P=AB+AP号. 由折叠可知，∠MEG=∠D=∠B=60°。 :'∠AEG=∠AEM+∠MEG=∠EGB+∠B, ∴.∠AEM=∠EGB。 ∠P=∠B=60°，∴.△EPM∽△GBE。 8.5 影0脚品=。Bc=5 EP MP3 3 16.解：原式=4×5-25-3-2+1 2 =25-25-3-2+1=-4。 17.解：解不等式①，得x≥-1。 解不等式②，得x<3。 .不等式组的解集是-1≤x<3。 ∴整数解为-1,0,1,2。 18.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD。.∠ABE=∠CDF。 LABE L CDF, 在△ABE和△CDF中 AB=CD, L∠BAE=∠DCF ∴.△ABE≌△CDF(ASA)。∴.BE=DF。 .BE+EF=DF+EF,即BF=DE。 善总结 解题技巧 证明三角形全等的思路 找夹角SAS 已知两边{找直角→HL或SAS 找第三边→SSS 边为角的对边→找任一角→AAS 已知一边和一角边为角 T找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 的一边 (找边的对角→AAS 已知两角厂找夹边ASA L找任意一边（非夹边）→AAS 19.解：(1)如图1，过点B作BP⊥CD,垂足为P, 则∠BPC=∠BPD=90°。 cosC=cos30°=C。 BC=40 cm, ÷CP=BC·c0s30°=40x5-34.64(cm）。 2 .·∠ABC=150°，∠BCD=30°， .∠ABC+∠BCD=180°。∴.AB∥CD。 .∠PBE=180°-∠BPD=90°。 DE⊥CD,即∠PDE=90°， .四边形BPDE是矩形。.BE=DP。 .AE=AB+CP-CD≈58+34.64-78=14.64(cm)。 答：甲同学的成绩是14.64cm。 A P D 图1 图2 (2)如图2，过点B作BM⊥CD,垂足为M,交AE的延 长线于点N,则∠BMC=90°。 cos C=cos 45=CM BC .BC=41 cm, ÷CM=BC·cos450=41x5-28.987(cm）。 2 AE⊥DE,DE⊥CD,即∠DEN=∠D=90°， ∴.四边形NMDE是矩形。 .EN=DM,∠ANB=90° 在Rt△BMC中，∠C=45°，.∠CBM=45°。 :∠ABC=122°，.∠ABN=∠ABC-∠CBM=77°。 在Rt△ANB中，sin∠ABN=sin77°=AW AB AB=61 cm, ∴.AW=AB·sin77°≈61×0.974≈59.414(cm)。 ∴.AE=CM+AW-CD≈28.987+59.414-78.5≈9.90(cm)。 答：乙同学的成绩是9.90cm。 20.(1)证明：如图，连接0D。 G :直线1与⊙0相切于点D,∴.∠ODE=90°。 BE⊥L,∴.∠BED=90°。∠ODE+∠BED=180°。 ∴.OD∥BE。∴.∠ODB=∠CBD。 OB=OD,∴.∠ODB=∠OBD。 .∠OBD=∠CBD。∴.BD平分∠ABC。 (2)解：如图，过点D作DG⊥AB,垂足为G。 设⊙0的半径为r。 OD∥BE,.∠DOG=∠ABC。 DG⊥AB,.∠DC0=90°。 在RtADG0中，cosLDOG=OC=2 0D=3, 0G=子。BG=0G+0B=亭。 :∠DGB=∠DEB=9O°，∠DBG=∠DBE,BD=BD, △DBG≌△DBE(AS)。BG=BE=}。 .∠ODF=∠EBF,∠OFD=∠EFB, .△ODF∽△EBF。 小-0即品=互BF-9。 r 37 21.解：(1)6÷12%=50（人）。 .随机抽取的学生人数为50。 (2)28.8【解析】扇形统计图中A组对应扇形的圆 心角为360°×号=2880。 (3)D组频数为50-4-6-16-14=10， 补全频数直方图如下： 人数（频数） 16 16 4 1 10 10 8 6 4 2 0 5060708090100成绩/分 (4)79【解析】从小到大排列，第25,26个数据分别 为79分，79分，中位教为797型=79（分）。 2 (5)600×10+14=288(人)。 50 ∴.估计该校七年级参与此次测评成绩达到80分及以 上的学生人数为288。 22.解：(1)设甲型视力训练仪的单价为x元，乙型视力训 练仪的单价为y元。 根据题意，得 r2x+3y=850, 3x+4y=1200 解得t=200, ly=150。 答：甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练 仪的单价为150元。 (2)设购买甲型视力训练仪m台，则购买乙型视力训 练仪(60-m)台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费 0元c 根据题意，得w=200×0.9m+150(60-m)=30m+ 9000。 30>0,∴.w随m的增大而增大。 ·购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练 仪数量的2倍， ∴.m≥2(60-m),解得m≥40。 当m=40时，10最小=10200。 答：购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费 为10200元。 23.解：(1)：四边形0ABC是矩形，点B的坐标为(6,4)， D为BC的中点，点D的坐标为(3,4)。 将点D(3,4)代人反比例函数y=k,得k=3×4=12。 (2)①由(1)知，反比例函数的表达式为y=卫 设点P的坐标为，吕) PF1x轴，PF=12 1.12 ×(6-a)=2。 a=号。点P的坐标为（号，号） ②如图，过点M作MG⊥x轴于点G,过点P作PH⊥x 轴于点H。 GO A 设直线AC的表达式为y=x+t。 将点A6,0),G(0,4代人，得0=6+解得 S=- 14=to t=4 2 直线AC的表达式为y=-了x+4。 2 设点M的坐标为几，-3n+4, 则c=-号+4,0c=-a ∠OPM=∠OAC, Op =tan ZOPM=tan L OAC=2 .OM :∠OMG+∠M0G=90°，∠POH+∠M0G=90°， .∠OMG=∠POH。 :∠MG0=∠OHP=90°，∴.△MG0∽△OHP。 MG OG OM 2 ÷OH=PH-0P=3 0m=2Mc=-a+6,Pm=20G=- 2n。 点P的坐标为-n+6,-2 31 ·P是反比例函数图象上一点， (-+6)(-3)=12。 解得n1=3+√7（舍去），n2=3-√7。 点P的坐标为3+Vm,3-2) 24.解：(1)①将点A(-1,0),(2,3)代入抛物线y=-x2 4两8得 rb=2, lc=3。 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+2x+3。 令y=0,得-x2+2x+3=0。 解得x1=-1,x2=3。.点B的坐标为(3,0)。 ②点A(-1,0),B(3,0),∴.AB=4。 :点P到天轴的距离为ASA=弓×4Xh=2。 S△ADr=2h,.SABF=S AADF0.AF∥BC。 设直线BC的表达式为y=x+a。 k=-1, 将点B(3,0),C(0,3)代人，得 0=3张+a解得{ 13=ao a=3。 .直线BC的表达式为y=-x+3。 ·.设直线AF的表达式为y=-x+t。 将点A(-1,0)代入，得t=-1。 直线AF的表达式为y=-x-1。 令-x2+2x+3=-x-1,解得x1=-1,x2=4。 .点F的坐标为(4，-5)。 如图1，过点E作EH⊥x轴交AF于点H。 设点E的坐标为(m,-m2+2m+3), 则点H的坐标为(m,-m-1)。 .EH=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4。 ∴Saw=2(-m㎡+3m+4):[4-（-1] =(-m2+3m+4)。 .S平行四边形ABcF=2S△MBr=-5m2+15m+20。 当m=2时，S取得最大值，最大值为。 01 图1 图2 (2)·抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0), .-1-b+c=0,即b=c-1。 .y=-x2+(c-1)x+co 令y=0,得-x2+(c-1)x+c=0。 解得x1=-1(舍去)，x2=c, ·点B的坐标为(c,0),c>-1。 当x=0时，y=c,即点C的坐标为(0，c)。 ∴.直线BC的表达式为y=-x+co 如图2，以OA为斜边作等腰直角三角形AOO1和等腰 直角三角形A002,分别以点01,02为圆心，以0,0和 020的长为半径作⊙01，⊙02，与坐标轴的交点分别 为A(-1,0),0(0,0),M(0,1),W(0,-1)。 圆心角∠A010=∠A020=90°， ∴.当点P在优弧AMO和优弧AWO上（异于点A,O) 时，圆周角∠AP0=45°。 ∴.使∠AP0=45°的点P恰有两个。 c>-1,c≠0， .当直线BC与⊙O1相交时，符合题意。 将点M(0,1)代人y=-x+c,得c=1。 将点A(-1,0)代入y=-x+c,得c=-1。 .c的取值范围是-1<c<0或0<c<1。 b=c-1, ∴.b的取值范围是-2<b<-1或-1<b<0。 8 25.解：(1)0M=ONAM+CW2=MN2【解析】当k=1 时，BC=AB,此时矩形ABCD为正方形。 如图1，连接OB。 在正方形ABCD中，OA=OB=OC,∠AOB=90°， ∠OAM=∠0BN=45°。 ∠MON=90°，∴.∠AOM=∠B0N=90°-∠BOM。 .△AOM≌△BON(ASA). .OM=ON,AM=BN。 ∴.AB-AM=BC-BN,即BM=CN。 在Rt△BMN中，BN2+BM=MN2, 即AM+CN2=MN2。 A D 0 B 图1 图2 (2)①0M=kON。证明如下： 如图2，过点O作OP⊥BC,垂足为P,作OQ⊥AB,垂 足为Q。 :BC⊥AB,.OQ∥BC。 :O为AC的中点，∴.OQ为△ABC的中位线。 30=号c. 同理可得OP=24B。 ÷器胎-6。 :∠MON=90°，∴.∠MOQ=∠NOP=90°-∠MOP。 :∠OQM=∠0PN=90°，∴.△OQM△OPN. 六80-8品=，即0M=k0n。 ②AM+CW2=MW。证明如下： 如图3，延长NO交AD于点N',连接MN'。 N 图3 :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC。.∠OCN=∠OAN'。 .∠CON=∠AONW',OA=OC .△OCW≌△OAN'(ASA)。.OW=ON',CN=AW'。 .·OM⊥NW',.MN=MW'。 在Rt△MAN'中，AM+AN2=MN2, 即AM+CN2=MN2。 9 (3)如图4，过点0作OP⊥BC,垂足为P,作OQ⊥AB, 垂足为Q。 对D1 Fo B N 图4 由题意，得BC=号4B=8,0P=B0=AQ=3,00= BP=4,0B=5。 :NO平分∠CNH,OP⊥BC,OH⊥HN, .OH=0P=3。∴.BH=OB-0H=2。 ON=ON,∴.Rt△OHN≌Rt△OPN(HL)。 .设NH=NP=x,则BN=BP-NP=4-x。 在Rt△BHN中，B+N=BN2, 即2+子=（4-小，解得=多。 由△o0a0PN,得怒=别-手 M0=李P=2。AM=A0-M0=1。 当点E与点D重合时，点F落在点F。的位置，连接 CF,CF。,FF,此时CD=DF。=6,∠CDF。=90°。 R,G=∠0，=6，告=反 EF=CE,∠CEF=90°， ∠Bc=45=∠DcR8E=2。 .∠DCF。-∠DCF=∠ECF-∠DCF(当AE<2时， LDCF。+∠DCF=∠ECF+∠DCF), 即∠ECD=∠FCFo。 %器 √2，∴.△CDE∽△CFF。 ∴∠CFF=∠CDE=90°。 点F在过点F。且垂直于CF。的射线FF上运动， ∠DFF=∠CFF-∠DFC=45°。 当点E与点A重合时，点F落在点F,的位置， 点F的轨迹是线段FF1。 作点D关于FF的对称点D',连接D'M,过点M作 GM⊥D'F。交D'Fo的延长线于点G, 则FM+DF=FM+D'F≥D'M,∠DFD'=2∠DFF= 90°=∠AFG,D'F=DFo=6。 当M,F,D'三点共线时，FM+DF取最小值。 .·∠G=∠AFG=∠MAF。=90°， .四边形AMGF。是矩形。 .∴.GM=APF。=14,AM=F。G=1。 .D'G=D'F。+F。G=7。.D'M=√GM+D'G=75。 .FM+DF的最小值为7√5。 ③青岛市2026年初中学业水平考试 1.C【考点】绝对值。 2.D【考点】轴对称图形和中心对称图形。 3.B【考点】三视图。 4.C【考点】科学记数法。 5.D【解析】逐项分析如表所示。 选项 分析 正误 A 4=2≠±2 9√停√侵5 C 3与5不能合并，3+√5≠3√3 0 √6×5=√6×5=√30 V 6.A【解析】由统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的 成绩波动幅度大，>5。 :xp=4+5+1+3+4+3+4+4+1+5=3.4, 10 2=3+4+3+3+3+4+2+4+3+5=3.4, 10 .x甲=x乙0 7.B【解析】如图，连接BD。 D AD是⊙0的直径， ∴.∠ABD=90°。 ∠ABC=112°， .∠E=∠CBD=∠ABC-∠ABD=112°-90°=22°。 8.A【考点】分式方程的实际应用。 9.C【解析】如图，过点H作HM⊥AD于，点M,延长MH 交BC于点N。 由折叠，得△ABE≌△HBE。 E M .AE=EH,∠AEB=∠HEB, ∠ABE=∠HBE。 ∠DEH=60°， .·.∠AEH=180°-∠DEH=120°。 ∠AEB=∠EB=7∠ABH=60. .∠ABE=∠HBE=90°-∠AEB=30°。.2AE=BE。 在Rt△ABE中，AB=4,由勾股定理，得 AE2 +AB2 BE2,E AE2+42=(2AE)2, 解得6-4（负位合去。m 30 四边形ABCD是正方形，.AD∥BC,AD=BC。 ∴.HN⊥BC,∠HDM=∠HFN。 ∴.四边形ABNM是矩形。 ∴.AM=BN,MN=AB=4,∠EMH=∠FNH=90°。 ∠DEH=60°，∴∠EHM=90°-∠DEH=30°。 w=号m=号4929 六AM=BN=AE+EM=4g5+25=25。 3 3 .DM=CN=AD-AM=4-2V3。 在Rt△HEM中，由勾股定理，得 ∴.HN=MN-HM=4-2=2=HM。 r∠HDM=∠HFV, 在△DMH和△FNH中， ∠DMH=∠FNH, HM HN, .△DMH≌△FNH(AAS)。 ∴.DM=FN=4-2W3。∴.CF=FN+CN=4-2√5+4- 25=8-43。 10.4ab2【考点】暴的乘方与积的乘方。 11（-1,-1)【考点】坐标与图形变化一平移。 卫.k<分【解析】小：二次函数y=2-x+k的图象与 ￥轴有两个交点，即分-x+k=0有两个不相等的 实数根， 4=-4ac=(-1)2-4×7×k>0,解得k<2。 13.36【解析】：点0是正五边形ABCDE的中心， ∠D0B=360°=72°，0D=0E。 5 DF∥OE,EF∥OD, .四边形ODFE是平行四边形。 OD=OE,∴.四边形ODFE是菱形。 ∠DFE=∠D0E=72。∠0FD=7∠DFE=36。 14号m【解析】如图，连接0A。 :PA是⊙O的切线， .∴.∠0AP=90°。 ∠AP0=36°， .∠A0P=90°-∠AP0=90°-36°=54°。 AB∥0P,.∠OAB=∠AOP=54°。 0A=OB,∴.∠OBA=∠OAB=54°。 .∠A0B=180°-∠0BA-∠0AB=180°-54°-54°=72°。 △AOB与△ABP同底等高，.SAAOB=S△ABP0 8=5w-20-g