1.山东省2026年初中学业水平考试（潍坊市、济宁市、泰安市、临沂市、菏泽市、滨州市、威海市、枣庄市、日照市、聊城市）-2027年山东中考数学必备试题汇编

参考答案及解析 (部分答案不唯一) ①山东省2026年初中学业水平考试 联立，得0=(x-15),解得x=60。 1.D【考点】实数的大小比较。 2.A【考点】轴对称图形和中心对称图形。 .小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00。 3.B【考点】科学记数法。 10.B【解析】由图象可知，抛物线开口向下，即a<0。 顶点P的坐标为(2,3)， 善总结 解题技巧 :对称轴为直线x=2,即-)=2 用科学记数法表示数的方法 ∴.b=-4a,即4a+b=0。故选项A错误； 一般形式：a×10。 设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3。 (1)a值的确定：1≤lal<10。 令x=0,得y=4a+3,即抛物线与y轴的交点坐标为 (2)n值的确定： (0,4a+3)。 ①当原数的绝对值大于或等于10时，n等于原数的 由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y 整数位数减1； =1的下方，.0<4a+3<1, ②当原数的绝对值小于1时，是负整数，它的绝对 解得-子<a<-分故造项B正确； 值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数 (含小数点前的零)。注意，若含有计数单位，则先 当x=2时，y=ax2+bx+c取得最大值4a+2b+co 把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示。 对任意实数t,at2+bt+c≤4a+2b+c。 ∴.at2+bt≤4a+2b。故选项C错误； 4.C【考点】三视图。 对称轴为直线x=2, 5.B【解析】逐项分析如表所示。 ∴.11-m-21=1m+11,l1+m-2|=1m-1l。 选项 分析 正误 当m=0时，两点到对称轴的距离相等，y1=y2。故选 项D错误。 A m3与m2不是同类项，不能合并 11.11ab【考点】合并同类项。 B (m2)3=m2x3=m6 12.720°【考点】多边形的内角和。 m÷m3=m9-3=m≠m 13.2【考点】解一元二次方程一因式分解法。 D 2m·3m=6m2≠6m 1436【解折】由=会，得=√瓜（负数已合去）。 6.C【解析.'a∥b,∴.∠MAB+∠ABD=180°。 点A1的坐标为（√压，√压）。OA1=√2k1。 :∠ABD=54°，.∠MAB=180°-54°=126°。 同理可得0A2=√2k2,0A3=√2h,0A4=√2k4,… 由所给作图步骤可知，AC平分∠MAN。 ∠MD=∠M8=63. .0An=√2kn A1A2=A2A3=…=An-1An=2, a∥b,∠ADB=∠MAD=63°。 即√2k2-√2k1=√2k-√2k=…=√2k- 7.A【考点】分式的加减法。 √2k-1=V2, 8.D【考点】折线统计图。 9.C【解析】由题意，得当0<x<25时，设小英的函数表 √E-√压=所-√瓜=…=E-√k-1=1。 达式为y=x,将点(25,2)代入，得25k=2。 k1=1,.k2=4,k3=9,…,kn=n2。 =会。心光时小英的函教表达式为y=务。 当n=6时，k6=36。 15.1.8【解析】如图，过，点G作GH⊥AD于点H,连接 :小英在途中打卡，点拍照停留了15min后仍按原速行进， DG,标注∠1，∠2，∠3，∠4， 当≥40时，小英的画数表达式为y=号(x-15)。 设小杰的函数表达式为y=mx。 将点(25,1.5)代入，得25m=1.5。 m司小杰的函载表达式为y动。 B .∠GHA=∠GHE=90°。 ·.·四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm, 16.解：(1)原式=4-4+3=3。 ∴.AB∥CD,CD=AB=4cm. rx+1<2x-1,① ,E是边AD的中点，且AD=5cm, .AE=DE=2.5cm。 2分<.② 2 设AH=acm,则EH=AE-AH=(2.5-a)cm。 解不等式①，得x>2。 由折叠性质，得EG=DE=25cm,∠2=∠3，∠EGF=∠D。 解不等式②，得x<3。 在△GHM和△GHE中，∠GHA=∠GHE=90°，AG=3cm, .不等式组的解集是2<x<3。 由勾股定理，得G=AG2-AR=EG2-EH。 17.(1)证明：在△ABC中，CD⊥AB于点D,E,F,G分别 32-02=2.52-(2.5-a)2。解得a= 是边AC,BC,AB的中点， 59 .DE=CE=AE,EF∥AB M=号m。 ∴.∠A=∠ADE,∠CEF=∠A,∠DEF=∠ADE。 ∴.∠DEF=∠CEF。 M=v3-a-V63-(3-号(m). .·EF=EF, .△EDF≌△ECF(SAS)。 EG∥AB,AB∥CD,∴.EG∥CD。.∠1=∠ADC。 (2)解：四边形AEFG是平行四边形。理由如下： .∠1=∠EGF。.AD∥FG。 E,F,G分别是边AC,BC,AB的中点， ∴.四边形EGFD是平行四边形。.DF=EG=2.5cm。 .CF=CD-DF=4-2.5=1.5(cm)。 AG=2AB,EF∥AB,EF=2AB。 :平行回边形B0FD的面软为DE,CH=25x号 =6(cm2), .EF=AG。 .四边形AEFG是平行四边形。 Sacr=2×6=3(cm2)。 巧点拨 ,△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同， 关键点 8-限-第号mw18am. SACDF 1.利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半，得出DE=CE=AE,利用等边对等角，三角 善总结 形的中位线定理推导角相等，准备三角形全等 解题技巧 的条件，得出△EDF≌△ECF。 解决折叠问题的一般思考过程 2.利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边 图形折叠的本质是轴对称，解决折叠问题的关 形进行证明。 键是寻找图形中相等的线段、角。解决此类问题的 一般思考过程如下： 18.解：(1)设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元 (1)利用轴对称的性质找到折叠前后的不变量与 y元a 变量。 由题意，得x+2y=100, 解得t40, (2)根据题目中已知角、线段之间的关系，结合三角 3x+4y=240。 1y=30。 形的内角和定理、三角形的内角与外角的关系，把 答：描金琉璃瓶的单价为40元，内画瓶的单价为 待求解的线段或角转移到相应的直角三角形、等腰 30元。 三角形等特殊三角形中进一步求解。如题目让求 (2)设购买描金琉璃瓶x个，则购买内画瓶(20-x) 某个角的三角函数值，常用的方法是构造直角三角 个，总费用为w元。 形或在已知直角三角形中找到相等角，进而进行 由题意，得w=40x+30(20-x)=10x+600。 求解。 由题意，得x≥2(20-x)。解得x≥0。 3 (3)若简单的等量关系不能直接解决问题，则思考 10>0,∴.0随x的增大而增大。 能否在构造出来的三角形中运用勾股定理、锐角三 :x只能取整数， 角函数、三角形的全等或相似等知识建立有关线段、 ∴当x=14时，w有最小值，最小值为10×14+600 角之间的联系。 =740。 (4)解答折叠问题中的计算问题，有时还需要将折叠 答：当购买14个描金琉璃瓶、6个内画瓶时，可使总费 图还原，而后利用折叠前后对应三角形、线段、角的 用最少，最少费用为740元。 关系以及相似三角形的性质、勾股定理等进行下一 步的计算。 19.(1)证明AC=BD,.∠ADC=∠BAD。 .AB∥CD。 .AH⊥CD,.∴.AB⊥AH。 (4)建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和 AB是⊙0的直径，.AH是⊙0的切线。 指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组 (2)解：如图，连接BD。 合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯 AH⊥CD,.∠H=90°。 一，合理均可)。 ·sin L CAH=Cg=5 ΓAC=5 善总结 .设CH=√5，AC=5k。 解题技巧 列举（列表或画树状图）法求概率的一般步骤： .AH=√AC2-CH=25k=2。 (1)判断是使用列表法还是画树状图法：列表法一 6=5。Gm=1,ac=5。 般适用于两步求概率的问题，画树状图法适用于两 步及两步以上求概率的问题。 AC=BD,.BD=AC=5。 (2)不重不漏地列举出所有可能出现的结果，并判 :AB是⊙O的直径，∴.∠ADB=90°=∠H。 断每种结果出现的可能性是否相等。 ∠ACH=∠ABD,,△ACH△ABD (3)确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出 AC_CH .51 AB-BD。·AB万 现的结果数m。 :MB=5。六00的半径为号。 (4)用公式P(A)=m求事件A发生的概率。 21.解：(1)61°1.8【解析】根据题意，得AG⊥PG, 巧点拔 ∠AGP=90°。 关键点 .·∠DAE=29°， 巧做辅助线：等圆周角等孤弦，等量关系互转换。 .∠P=90°-∠DAE=61°。 20.解：(1)参与调查的学生总数为5÷10%=50（名），选 :在正方形ABCD中，∠ADC=90°， .∠AED=90°-∠DAE=61°。 择主题⑤的人数为50×12%=6，则选择主题③的人 数为50-(5+13+14+6)=12。 ∴∠P=∠AED。 补全条形统计图如下： .tanP=tan∠AED=Dp=55≈1.8。 人数 (2)如图，标注各点。 10 M ①②③④⑤主题 A B (2)500×0=410(名)， 50 根据题意，得BF=CN=1.6m,MN=AC=20m, .估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数 ∠EFM=∠EFN=90°，∠NGH=45°，GH⊥MN,KL=5, 为410。 JK=10. (3)将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作A, .∠ENF=90°-45°=45°。 B,C, 六在Rt△EFN中，tan∠ENF=E NE 列表如下： A B C 即an45°=1=EE 「WF A (A,A) (A,B) (A,C) .EF=NF。 B (B,A) (B,B) (B,C) 设EF=NF=xm,则MF=(20-x)m。 :·∠MJL+∠EMF=∠MJL+∠KJL=90°， (C,A) (C,B) (C,C) .∠EMF=∠KJL。 由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选 择同一领域的结果有3种， m∠BMP=wnZKJL=-0-0-5。 两人恰好选择同一领域的既率为号-了。 在△EMF中，LEMP-祭。 即0.5=202解得x=661。 .CD=AD,∠ACD=60°。 ∠EAD=∠BAC-∠CAD=120°-60°=60°， ∴.BE=EF+BF≈6.67+1.6=8.27≈8.3(m)。 ∴.∠EAD=∠ACD。 答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m。 'AE=CF,∴.△AED≌△CFD(SAS)。 22.解：(1)①以点0为坐标原点，地面为x轴，建立如图 .DE=DF。 所示的平面直角坐标系， (2)解：EF=√3EH。理由如下： y AH⊥AC,·∠CAH=90°。 .∠BAH=∠BAC-∠CAH=30°。 A AB=AC∠B=∠C=分×(180-120)=30。 x地面 ∠BAH=LC,sinC=sin30°=L=4L 则4分）c(33) cF=2M8普-分小得-册 :C为最高点，抛物线的顶点坐标为(3,3)。 .设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+3。 EH AH 1 △AEH∽△CFH。·FHCa2,LAE=LCHF。 =(3-3+3。a=-号 .'∠AHE+∠AHF=∠AHF+∠CHF,即∠EHF=∠AHC。 y=x-3+3=号+号- E阻_AH:.E阻-F阳÷△EFH∽△ACH。 5 FHCH·AH=CH y关于：的函数表达式为y=子+号-号 ∴.∠EFH=∠C=30°，∠FEH=∠CAH=90°。 ∠EHF=90°-30°=60°。 ②花枪处于下落过程，.x≥3。 当y时+号， 六m∠Er=am60=5-跃Er=5E, (3)解：如图2，延长CA,并取点N,使AN=AF,过点G 名=号=（不合题意，合去： 作GM⊥AN于点M,则∠M=90°。 .EG=EF, 当=时，-号+号- .AE为△FGW的中位线。 名=号（不合愿意，合去）。 AF-GN.AE/GN. .∠GNM=∠BAC=120°。 d的取值范周是号≤d≤号。 .∠GWM=180°-120°=60°。 图2 (2):花枪飞行高度h与时间t之间的关系式是h= AB=6,∴AC=AB=6。 设AE=x,则GN=2AE=2x,CF=2AE=2x,AN=AF= -5+7+号(>0)， 6-2x。 花枪落地时么=0，即-5+71+号=0。 cos LMNG=cos60°=2=G, 1 MN 4=号或4=（不合题意，合去）。 sin LMNG=sin60°=5_CM 2GN' ·从乙抛出花枪，到花枪落地需要 58。 MN=w=x,cM=cw=。 丙的平均速度为5÷弩-装()。 .'AM =AN+MN=6-2x+x=6-xo 23.(1)证明：如图1，连接CD。 在Rt△AGM中，根据勾股定理，得AM+GM2=AG2, 即(6-x)2+(5x)2=(2√7)2，解得x1=2,x2=1。 ∴线段AE的长度为1或2。 ②济南市2026年初中学业水平考试 1.D【考点】倒数。 D 图1 2.B【考点】三视图。 根据旋转性质可得，∠CAD=60°，AC=AD, 3.C【考点】科学记数法。 ∴，△ACD为等边三角形。 4.A【考点】轴对称图形和中心对称图形。 41山东省2026年初中学业水平考试 15.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm,AD=5cm, E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF。将纸片沿 潍坊市、济宁市、泰安市、临沂市、菏泽市、滨州市、威海市、枣庄市、日照市、聊城市 EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG,CG。若 (时间：120分钟总分：120分) AG=3cm,EG∥AB,则△CFG的面积为 cm。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题 C.甲的跳绳成绩的中位数小于乙 --..D 只有一个选项符合题目要求) D.甲的跳绳成绩的方差小于乙 1.下列实数中，比1大的数是 () 9.在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主 A.-2 B.0 C.0.5 D.√2 会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目。两人 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 8:00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min 三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说 后仍按原速行进，小杰全程无停留行进。他们行走的路 明、证明过程或演算步骤) A.◇◇B.>>c兄7 D. 程y(单位：km)与时间x(单位：min)之间的关系如图所 16.(7分)(1)计算：22-√16-(-3)； 示。小英追上小杰的时刻是 () 3.山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里。将 A.8:25 B.8:33 C.9:00 D.9:17 160000用科学记数法表示为 y/km A.0.16×10 B.1.6×10 5 小英小杰 C.1.6×109 D.16×104 4.如图所示几何体的俯视图是 1.5 25 x/min 10 2 第9题图 第10题图 rx+1<2x-1, 10.如图，P是抛物线y=ax2+bx+c的顶点。下列结论 (2)解不等式组： C. 0 正面 正确的是 () 2 5.下列运算正确的是 A.2a+b=0 A.m3-m2=m B.(m2)3=m B.、3 C.m÷m3=m3 D.2m·3m=6m <a<方 6.如图，直线a∥b,直线c分别交a,b于a C.对任意实数t,at2+bt<4a+2b总成立 点A,B。以点A为圆心，以适当长为半 D.若点A(1-m,y1),B(1+m,y2)在抛物线上，则 N> 径作弧，分别交a,c于点M,N;再分别。 D y1<y2 c/B 以点M,N为圆心，以大于MN的长为 大C 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C;作射线AC交 11.计算：5ab+6ab= 17.(8分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E,F,G分别 b于点D。若∠ABD=54°，则∠ADB的度数是() 12.如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形 是边AC,BC,AB的中点。 A.36° B.54° C.63 D.72 的内角和等于 (1)求证：△EDF≌△ECF: 7计镇，车中的监果是 (2)判断四边形AEFG的形状，并说明理由。 A.x-1 B.x+1 C. x-1 D中 8.甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳 成绩，整理、绘制成如图。根据图中信息，下列结论正确 的是 8 10 甲、乙两名同学6天的跳绳成绩统计图 第12题图 第14题图 ↑成绩/个 一◇甲0…乙 13.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个 190 188.--188 根是10，则另一个根是」 186 184 184186186 k3 181∠的 82 14.如图，一组反比例函数y= 180 181180 183 177中 81791 179 其中x>0,k1=1,kn>kn-1,n为大于1的整数。这组 第1天第2天第3天第4天第5天第6天时间 反比例函数的图象与正比例函数y=x的图象相交， A.甲的跳绳成绩总是高于乙 交点依次记为A1,A2,A3,…,An。若A1A2=A2A3=… B.甲的跳绳成绩的众数为184 =An-1An=√2，则k6=。 18.(8分)在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校 科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品， 赠送给科技工作者。两名志愿者的对话如下： 购买1个描金琉璃瓶与2个 1内画瓶共需100元。 购买3个描金琉璃瓶与4个 内画瓶共需240元。 请根据他们的对话解答下列问题： (1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； (2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃 瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个 描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多 少元？ 19.(8分)如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点， AC=BD,连接AC,AD,CD,过点A作AH⊥CD交DC的 延长线于点H。 (1)求证：AH是⊙0的切线； (2)若=2LCa=号，求⊙0的半径。 HC 20.(10分)某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学 习活动。为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部 分九年级学生进行如下调查。 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷 问题1 你最想参加以下哪一个主题的项目式学习 活动？ )(单选) ①绘制校园平面地图 ②读书长廊地面铺设设计 ③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用 什么方式解决？ ()(可多选) A.查阅文献 B.上网查询 C.同伴合作 D.寻求指导 E.专业咨询 问题3你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了 如下两幅不完整的统计图。 人数 6 12 12%10% 10 ① ④ 420 ③ ①②③④⑤主题 信息2将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了 如下统计表。 解决困难的方式 A B E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问 题主要涉及三个领域：科技、交通、经济。 【分析应用】 根据调查信息，解答下列问题： (1)求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； (2)若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用 “上网查询”的方式解决困难的学生人数； (3)甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个 领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状 图的方法求两人恰好选择同一领域的概率； 【决策建议】 (4)假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开 展本次项目式学习活动的合理建议。 21.(10分)我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一 22.（12分)“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花 种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘，综 枪等动作呈现故事场景（如图1）。甲、乙、丙三人在表 合实践小组开展矩盘应用的探究活动。 演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不 【模型制作】 转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物 综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1。四边 线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）。 形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左 矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺 (1)如图2，甲站在地面的点0处，从距离地面2m高 盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组 成角度盘。 的点A踢出花枪，点A与点0的水平距离0B是}m, 【操作发现】 花枪飞行到与点O水平距离3m的C处达到最高，高 使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线 度为3m。 P℉重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、 ①设花枪离地面的高度为ym,到点O的水平距离为 矩尺盘的交点的刻度为读数。 xm。请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表 (1)如图2，左矩AB与视线P℉重合，角度盘读数为31 达式； (∠DAE=31),矩尺盘读数为6(DE=6),可知仰角 ②花枪下落过程中，乙在与点0水平距离dm处接花 06=06。 ∠P=LDAE=31,tan∠P=tan∠DAE=DE=6 枪，能接到的高度最大为号m,最小为7m,求的取值 如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29° 范围； （∠DAE=29),矩尺盘读数为5.5(DE=5.5),则仰角 (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地 ∠P= ,tan∠P≈ (结果精确到0.1)； 前接到花枪。已知花枪飞行高度h(单位：m)与时间t 【应用探究】 (单位：)之间的关系式是么=-5+71+(：>0)，丙 (2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端 E到地面的距离(EB的长度)。如图5，某同学站在城 在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点。求 门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时 丙的平均速度。 矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达 城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重 合，角度盘读数为45°。已知AC=20m,该同学眼睛 到地面的高度是1.6m,求城门楼的顶端E到地面的 地面 距离（结果精确到0.1m)。 图1 图2 左矩 右矩 角度盘 909 6.0力】 矩尺盘 -铅垂线 P.: 重物。G 图1 图2 图3 图4 图5 23.(12分)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°。 【观察与发现】 (1)如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段 AD,D与C是对应点。点E,F分别在边AB,AC上， AE=CF,连接DE,DF。求证：DE=DF; 【思考与探究】 (2)如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H。点E,F分 别在边AB,AC上，CF=2AE,连接EF,EH,FH。猜想线 段EF与EH的数量关系，并说明理由； 【拓展与延伸】 (3)如图3，在(2)的条件下，延长FE至点G,使EG= EF,连接AG,GH。若AB=6,AG=2√7，求线段AE的 长度。 F D B H 图1 图2 B H 图3 备用图