4.3.1等比数列的概念（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第二册

分层作业 4.3.1等比数列的概念 目录 知识点01 等比数列的定义 知识点02 等比数列通项公式的基本量计算 知识点03 利用等比数列的通项公式求数列中的项 知识点04 确定等比中项 知识点05 等比中项的应用 知识点06 等比数列下标和性质及应用 知识点07 等比数列子数列性质及应用 知识点08 等比数列的通项公式的指数函数特征 知识点09 等比数列的单调性 知识点10 求等比数列中的最大（小）项 知识点11 证明数列是等比数列 知识点12 正项等比数列的对数成等差数列的应用 知识点01 等比数列的定义 1．（3.1等比数列的概念及其通项公式（第1课时）课堂例题）（多选）以下数列中，哪些是等比数列 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据等比数列的概念求解即可. 【详解】是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 因为，所以不是等比数列； 当时，是公比为的等比数列； 当时，不是等比数列； 故选：AB 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列是等比数列，则也是等比数列 【答案】AB 【分析】等比数列各项不能为0，公比也不能为0，所以A、B错误；非零常数列其公比为1，故C正确；等比数列各项乘以相同非零数后仍为等比数列，故D正确. 【详解】对于A：等比数列的定义要求每一项与前一项的比值为常数（公比），若某一项为0，则后一项与该项的比值无意义，因此等比数列中任何一项都不能为0，故A错误； 对于B：等比数列的公比不能为0，否则数列会出现0项，导致后续项无意义，因此公比的取值范围是，故B错误。 对于C：若一个常数列是等比数列，则根据等比数列的定义可知该数列为非零常数列，易知其公比为1，故C正确； 对于D：若数列是等比数列，设其公比为，则，所以也是公比为的等比数列，故D正确。 故选：AB 知识点02 等比数列通项公式的基本量计算 4．（浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷）已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即． 5．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 【答案】B 【详解】，因为是正项等比数列，所以. 6．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则______. 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及等差中项的性质列式求解即可. 【详解】因为为等比数列，设公比为，则， 因为成等差数列，所以， 可得，因为该数列是正项等比数列， 所以，所以， 即，解得或（舍）， 所以. 知识点03 利用等比数列的通项公式求数列中的项 7．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用等比数列通项公式即可求解. 【详解】. 8．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知数列为等比数列，则， 即，解得. 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则（     ）． A．24 B．48 C．64 D．96 【答案】D 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 由，得，解得， . 知识点04 确定等比中项 10．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知和的等比中项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等比中项满足，所以． 11．（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 12．（25-26高二下·广东惠州·期中）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差中项和等比中项的定义即可求解． 【详解】和的等差中项为， 和的等比中项为． 知识点05 等比中项的应用 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】根据等差中项与等比中项的性质，列出等式求解，进而得出结论. 【详解】设，，是公比为的等比数列，则，． 又因为，所以，整理得：，解得或， 因为，所以，则． 14．（2026·福建龙岩·三模）已知等比数列为1，2，4，8，…．若数列满足，且是与的等比中项，则的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由题意得等比数列的通项公式为，， 又是与的等比中项，，即，解得. 15．（2026·陕西咸阳·二模）设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据等比中项可得，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为为，的等比中项，则， 可得，整理可得， 且，可得，所以. 知识点06 等比数列下标和性质及应用 16．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等比数列的性质可得，所以或. 17．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等比数列通项公式结合已知条件求出公比的平方，再将所求式子变形为与已知和相关的形式代入计算. 【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式 ，得， 由， ， ， 或（舍去）. ， . 18．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则______________． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 所以等比数列的公比为， ， ，得， 因为数列是正项等比数列， 所以由. 知识点07 等比数列子数列性质及应用 19．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知等比数列满足，则______. 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 20．（25-26高三·全国·一轮复习）等比数列中，相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为________（）． 【答案】 【分析】利用等比数列的定义及通项公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 故答案为. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 【答案】AD 【分析】A选项，设出公比，得到，A正确；B选项，不是常数，B错误；C选项，不恒为0，C错误；D选项，，D正确. 【详解】A选项，因为是等比数列，设， 则，故A正确； B选项，，不是常数，故B错误； C选项，，不恒为0，故C错误； D选项，，故D正确． 故选：AD 知识点08 等比数列的通项公式的指数函数特征 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）等比数列的图像是函数的图像上的一群________． 【答案】孤立的点 【分析】略 【详解】略 23．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】已知，则数列的公比为，故C正确. 24．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 知识点09 等比数列的单调性 25．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 26．（2027高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是常数列 D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列 【答案】C 【分析】由已知等式展开，利用等比数列的性质将各项统一用首项和公比表示，化简后得到关于公比的方程，解得（ 舍去），从而判断该数列为常数列． 【详解】各项均为正数的等比数列中，因为成立，即成立． 利用等比数列的定义和性质化简可得，进一步化简得． 设公比为，则得，化简可得，即， 所以，故（由于各项均为正数的等比数列，故舍去）． 故此等比数列是常数列． 27．（25-26高二上·山西朔州·期末）（多选）记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 【答案】ABD 【详解】设的公比为.， 对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当或7时，取得最小值， 选项C的表述未包括“”，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为14，故D正确. 故选：ABD. 知识点10 求等比数列中的最大（小）项 28．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等比数列前项积的最值，前项积的增减由每一项与1的大小关系决定：乘大于1的项，积变大；乘小于1的项，积变小，因此只需找到由大于1转为小于1的分界项即可. 【详解】已知数列为等比数列，，公比，则， 因为数列是首项为正、公比为正的等比数列，所有项均为正数，因此前项积的变化规律为： 当时，，即前项积递增；当时，；即前项积递减. 因此当从大于1过渡到小于1时，取得最大值. 令，得，化简得，解得，即， 当时，，； 当时，， 所以，取得最大值时的值为8. 29．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 30．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 知识点11 证明数列是等比数列 31．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若数列是以为首项、以为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（     ） A．是以为首项、以为公差的等差数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以为首项、以为公比的等比数列 【答案】D 【分析】根据等比数列的定义即可判断是等比数列. 【详解】，，对任意，，为定值， 所以是公比为、首项的等比数列. 32．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 【答案】(1)，，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 33．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2)由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式. 【详解】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． （2）略 知识点12 正项等比数列的对数成等差数列的应用 34．（25-26高二下·四川雅安·期末）若数列为正项等比数列，则下列一定为等差数列的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列定义逐一分析. 【详解】设正项等比数列的公比为，通项公式为， 选项A：令，则：， 差为常数，因此一定是等差数列，A选项正确； 选项B：令，，不是常数， 反例：若，则，，， 差不相等，B选项错误； 选项C：令，则，，不是常数， 反例：，，差为和，不相等，C选项错误； 选项D：令，则，，不是常数， 反例：，，差不相等，D选项错误. 35．（24-25高二下·广东·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 【答案】ABD 【分析】利用等差中项法可判断A选项；利用等比中项法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【详解】对于A选项，若、、成等差数列，则， 所以，， 所以，、、成等差数列，A对； 对于B选项， 若、、成等差数列，则， 所以，、、均为正数，且， 所以，、、成等比数列，B对； 对于C选项，若、、成等比数列，如取， 则、、均无意义，C错； 对于D选项，若、、成等比数列，则、、均不为零，且， 所以，，即、、成等比数列，D对. 故选：ABD. 36．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 【答案】(1)440 (2)205 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【详解】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 一、单选题 1．已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，，，，即， 解得.，，，. 2．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为. 由，得， 因为，，化简得，即. 由，得，因为，所以. 则. 所以. 3．记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】A 【详解】∵为等比数列，且， 得到的首项为，第二项为，∴的公比为2，∴， 当时，，验证可得时，上式也符合， ∴，∴. 4．等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦达定理以及等比中项即可求解. 【详解】由韦达定理以及、为方程两根可得， ，且 ， 由等比中项可得，，解得， 若，则，解得或，若， 则，则，，满足题意； 若，则，则，，满足题意； 若，则，解得或， 当时，，此时，， 此时，，满足题意； 当时，，此时，， 此时，，满足题意，故. 5．已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 【答案】D 【分析】对AB，举反例当时，数列既不成等差数列，也不成等比数列；对C，当时，可得数列的公比为1，可判断；对D，当时，，可判断. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 对于AB，当时，，，，数列既不成等差数列，也不成等比数列，故A，B错误； 对于C，当时，数列为常数列且，所以数列的公比为1，故C错误； 对于D，当时，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确. 6．各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用等比数列性质计算结合基本不等式计算求解. 【详解】正数等比数列中，， 则，当且仅当时取等号， 又因为，设公比为，所以， 则取最小值时，. 二、多选题 7．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合等差数列通项公式直接计算公差判断A；结合等差数列的通项公式，前项和公式计算判断BC；根据等比数列定义判断D. 【详解】对于A，已知等差数列，，，设公差为， 所以，，即，解得 所以，数列的公差，故正确； 对于B，数列的通项公式为：，故正确； 对于C，数列的前项和为：，故错误； 对于D，对于数列，因为，所以为公比等于的等比数列，故正确. 8．已知数列满足，且，数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推式求得判断A；根据单调性的定义判断B；利用累加法求和判断C，利用递推增长性分析D. 【详解】数列满足，且， 可得，，故A错误； 由，可得， 即，即数列单调递增，故B正确； 由，可得， 即，可得，故C正确； 由，当时，可得，当时，数列单调递增知，， 所以由，即，故 ，故D正确. 9．已知 是公比不为的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先设原数列公比为（），依次检验四个选项，选项A在时出现0，不是等比数列；选项B相邻两项的公比为，选项C相邻两项的公比也是，选项D相邻两项的公比为，三项都不为0，因此BCD都成立． 【详解】解：已知是公比不为的等比数列， 设公比为（），则． 选项A、， ， 当时，， 则全部等于0， 因为等比数列不能含有0， 所以不是等比数列，选项A错误； 选项B、因为， 所以，， 因为相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以一定是等比数列，选项B正确； 选项C、因为，，相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以、、成等比数列，选项C正确； 选项D、因为，，相邻两项比值恒为，且原数列各项不为0， 所以、、成等比数列，选项D正确． 三、填空题 10．记数列的前项和为，且满足，，则______，______. 【答案】 【分析】令，则，解方程即可得出答案；，当时，，得，然后利用等比数列定义求得通项公式并验证是否成立即可得解. 【详解】令，则，化简得，因为，所以， 所以，当时，， 得，即， 所以是首项、公比的等比数列，即， 时，符合题意， 所以. 11．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 【答案】/ 【分析】利用等差数列的公差，等比数列的公比，将题设等式全转化成的方程组求解. 【详解】由题知，， 由，解得， 由，结合，即，解得， 于是. 12．已知为数列的前项和，，，则______，则数列的前项积取得最小值时，______． 【答案】 或 【分析】通过代入求出，再通过递推得出为等差数列，从而求出通项公式，第二空先求出前项积的表达式，利用二次函数的最值性质即可求出使其最小的正整数. 【详解】由题意，， 令，得，因为，所以，解得； 令，得，解得即； 当时，已知①， 将替换为得②， ①-②得：， 化简得，即. 因为，两边同除以得， 又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 设数列，则， 其前项积， 指数部分为，所以， 要使取得最小值，只需取得最小值， 二次函数的对称轴为， 因为为正整数，所以当或 时，取得最小值，此时也取得最小值. 四、解答题 13．已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比中项性质建立关于的方程并求解，再根据等差数列通项公式求解； （2）根据通项公式确定，再并项求和即可. 【详解】（1）因为 成等比数列，所以. 即 ，代入，得. 化简得 ，因为，所以， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，故， ， . 14．已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【详解】（1），即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. （2）， . 15．已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列并求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，，得； ，，. 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. . 当时，，，，，，； ； . 当时，，符合题意； ，即的通项公式为. (2) 【分析】（1）由，得，结合等比数列的定义即可得证数列为等比数列；利用累加法即可求得通项公式； （2）由和，化简；利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由，，得. ； ； 数列的前n项和. 1．若数列的每一项均为复数，，且，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，所以数列是首项和公比均为的等比数列， 则，所以，则，， 故的实部与虚部之积为. 2．设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续6项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为_____________. 【答案】/ 【分析】由前项和公式推出每连续两项的和. 将连续6项按起始位置分两类，每类中利用两项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意可得， 即得， 设所给等比数列首项为，则六项为，，，，，. 若为奇数，三个完整配对和依次为，，， 同时又构成公比的等比数列，必须满足，矛盾，故不能为奇数. 若为偶数，其中两组完整配对为，. 两式相除得.因，故. 验证可取：取、，令，并设至为，，，，，. 则、.再取、；其余每对可取，. 所有配对和均为，满足原前项和条件，且六个等比项均非零，因此能取到. 所以的最大值为. 3．（多选）在如图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则（       ） A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 【答案】ABC 【分析】先利用公比不为或说明每行、每列至多出现一个和一个，再由两种数各有个推出每行、每列恰有一个和一个.对数表各项取绝对值后以为底取对数，把行、列的等比关系转化为等差关系；研究四行公差的可能取值，确定数表只有两种，再逐项判断各选项. 【详解】设第行第列的数为. 在同一行中，若有两个位置的数都为，设该行公比为，则有，从而或，与题意矛盾. 因此每行至多有一个数为； 同理，每行至多有一个数为. 数表中共有个、个，故每行恰有一个和一个. 同理，每列也恰有一个和一个. 另外，同一行不可能同时出现与：否则有，实数只能在为奇数时取，仍与题意矛盾； 同理，同一行也不可能同时出现与.列的情形相同. 于是各行中的数均不为，且取绝对值后每行、每列仍恰有一个和一个. 令 则每行、每列的四个都成等差数列，且公差均不为； 并且每行、每列都恰有一个和一个. 记第行的公差为. 由于相邻两列都是等差数列，所以它们对应项之差也成等差数列，即成等差数列. 在第行中，与所在列的距离只能为或，故 若，则每一行中从到的列号差都等于同一个非零整数. 而四个分别占据四列，其中必有第列和第列，固定平移同一个非零列数后不可能仍全部落在第至第列内，矛盾. 因此不全相等. 集合中，非恒定四项等差数列的四项必须互不相同. 比较这六个数的间距，可知能选出的四个等距数只有， 故或 先考虑第一种. 第行公差为，所以该行的在第列、在第列； 第行公差为，所以该行的在第列、在第列. 其余两个只能在第列. 第行公差为，结合每列只能有一个，可得第行的分别在第列； 于是第行的分别在第列. 因此 另一种情形得到上下翻转的数表. 又因为每行中与的位置相距格或格，均为奇数格.若某行公比为负数， 则相距奇数格的两项异号，与均为正数矛盾. 因此各行公比均为正数，数表中所有数均为正数，从而. 所以符合条件的数表只有下面两种： A：每行恰有一个数为，正确. B：数表中的不同数为共个，正确. C：每一行四个数的乘积均为，故数表中所有数的乘积为，正确. D：符合条件的数表共有个，不是个，错误. 4．设数列的前n项和为，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，． （ⅰ）若是递增数列，是递减数列，求的通项公式； （ⅱ）求最小的正整数m，使得存在一个数列，满足． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）若，则，若，则.（ⅱ）66 【分析】（1）由，，两式作差可得，再利用累乘法得到； （2）由题可得， （ⅰ）根据是递增数列，得到，再由是递减数列，可得，于是有，或，分别讨论的通项公式即可； （ⅱ）由题，得到，于是当时，则，然后依次验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由，可得． 当时，利用及， 可得，整理得． ；当时，符合上式．故，. （2）由（1）知，故． （ⅰ）由于是递增数列，所以． 而，其中，． 所以必有．① 同理，由是递减数列，可得．② 将①②两式相加，得． 所以是公差为的等差数列． 又因为，，所以或． 若，则，． 结合，得， 若，则，． 结合，得， 综上，若，则， 若，则. （ⅱ）由，可得． 因此． 若，则，故． 当时，由，可知，其中t为非负整数． 由于为奇数，而2026为偶数，故． 因此． 当时，令， 则． 故存在满足题意的数列，使得． 综上，所求最小正整数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.1等比数列的概念 知识点01 等比数列的定义 1． 【答案】AB 2． 【答案】ABC 3． 【答案】AB 知识点02 等比数列通项公式的基本量计算 4． 【答案】D 5． 【答案】B 6． 【答案】 知识点03 利用等比数列的通项公式求数列中的项 7． 【答案】A 8． 【答案】C 9． 【答案】D 知识点04 确定等比中项 10． 【答案】C 11． 【答案】C 12． 【答案】B 知识点05 等比中项的应用 13． 【答案】C 14． 【答案】B 15． 【答案】B 知识点06 等比数列下标和性质及应用 16． 【答案】B 17． 【答案】B 18． 【答案】 知识点07 等比数列子数列性质及应用 19． 【答案】 20． 【答案】 21． 【答案】AD 知识点08 等比数列的通项公式的指数函数特征 22． 【答案】孤立的点 23． 【答案】C 24． 【答案】C 知识点09 等比数列的单调性 25． 【答案】B 26． 【答案】C 27． 【答案】ABD 知识点10 求等比数列中的最大（小）项 28． 【答案】B 29． 【答案】B 30． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 知识点11 证明数列是等比数列 31． 【答案】D 32． 【答案】(1)，，得； ，； 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）得数列是以首项为1，公比为3的等比数列，则； ，即的通项公式为. 33． 【答案】(1)， (2)由条件可得，即， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列． 于是，， 又，所以， 解得． 【分析】（1）根据递推公式，赋值求解即可； （2）利用定义，求得，由的通项公式即可求得的通项公式. 【详解】（1）由条件可得． 将代入得，，而，所以． 从而， ． （2）略 知识点12 正项等比数列的对数成等差数列的应用 34． 【答案】A 35． 【答案】ABD 36． 【答案】(1)440 (2)205 【分析】（1）利用等差数列的求和公式和下标和性质即可得到答案； （2）根据正项等比数列的性质即可得为等差数列，再利用等差数列的求和公式和等比中项的性质即可得到答案. 【详解】（1）由等差数列求和公式知． （2）∵为正项等比数列，∴为等差数列，从而 ． 1． 【答案】C 2． 【答案】A 3． 【答案】A 4． 【答案】B 5． 【答案】D 6． 【答案】B 7． 【答案】ABD 8． 【答案】BCD 9． 【答案】BCD 10． 【答案】 11． 【答案】/ 12． 【答案】 或 13． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比中项性质建立关于的方程并求解，再根据等差数列通项公式求解； （2）根据通项公式确定，再并项求和即可. 【详解】（1）因为 成等比数列，所以. 即 ，代入，得. 化简得 ，因为，所以， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，故， ， . 14． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的关系式，使用和的关系求解； （2）使用裂项相消法求解. 【详解】（1），即，， 则数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， ，当时，； 当时，，； 综上，. （2）， . 15． 【答案】(1)，，得； ，，. 数列是以首项为1，公比为3的等比数列. . 当时，，，，，，； ； . 当时，，符合题意； ，即的通项公式为. (2) 【分析】（1）由，得，结合等比数列的定义即可得证数列为等比数列；利用累加法即可求得通项公式； （2）由和，化简；利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由，，得. ； ； 数列的前n项和. 1． 【答案】A 2． 【答案】/ 3． 【答案】ABC 4． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）若，则，若，则.（ⅱ）66 【分析】（1）由，，两式作差可得，再利用累乘法得到； （2）由题可得， （ⅰ）根据是递增数列，得到，再由是递减数列，可得，于是有，或，分别讨论的通项公式即可； （ⅱ）由题，得到，于是当时，则，然后依次验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由，可得． 当时，利用及， 可得，整理得． ；当时，符合上式．故，. （2）由（1）知，故． （ⅰ）由于是递增数列，所以． 而，其中，． 所以必有．① 同理，由是递减数列，可得．② 将①②两式相加，得． 所以是公差为的等差数列． 又因为，，所以或． 若，则，． 结合，得， 若，则，． 结合，得， 综上，若，则， 若，则. （ⅱ）由，可得． 因此． 若，则，故． 当时，由，可知，其中t为非负整数． 由于为奇数，而2026为偶数，故． 因此． 当时，令， 则． 故存在满足题意的数列，使得． 综上，所求最小正整数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.3.1等比数列的概念 目录 知识点01 等比数列的定义 知识点02 等比数列通项公式的基本量计算 知识点03 利用等比数列的通项公式求数列中的项 知识点04 确定等比中项 知识点05 等比中项的应用 知识点06 等比数列下标和性质及应用 知识点07 等比数列子数列性质及应用 知识点08 等比数列的通项公式的指数函数特征 知识点09 等比数列的单调性 知识点10 求等比数列中的最大（小）项 知识点11 证明数列是等比数列 知识点12 正项等比数列的对数成等差数列的应用 知识点01 等比数列的定义 1．（3.1等比数列的概念及其通项公式（第1课时）课堂例题）（多选）以下数列中，哪些是等比数列 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）（多选）下列数列是等比数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下列说法中，错误的是（   ） A．等比数列中的某一项可以为0 B．等比数列中公比的取值范围是 C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1 D．若数列是等比数列，则也是等比数列 知识点02 等比数列通项公式的基本量计算 4．（浙江杭州市2026-2027学年第一学期高三年级教学质量检测数学试题卷）已知数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏连云港·阶段检测）已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则公比 （     ） A．4 B．2 C．-2 D．2或-2 6．（26-27高二上·江苏镇江·阶段检测）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则______. 知识点03 利用等比数列的通项公式求数列中的项 7．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列为等比数列，，，则（     ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则（     ）． A．24 B．48 C．64 D．96 知识点04 确定等比中项 10．（26-27高三上·湖南·阶段检测）已知和的等比中项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·广东惠州·期中）和的等差中项与等比中项分别为（    ） A． B． C． D． 知识点05 等比中项的应用 13．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）在正项数列中，，，成等差数列，，，成等比数列，若，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7.5 14．（2026·福建龙岩·三模）已知等比数列为1，2，4，8，…．若数列满足，且是与的等比中项，则的值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 15．（2026·陕西咸阳·二模）设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（    ） A． B． C．2 D．4 知识点06 等比数列下标和性质及应用 16．（26-27高二上·全国·期中）已知等比数列 中，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2026·广东广州·模拟预测）已知等比数列满足，，则（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）已知正项等比数列满足，，则______________． 知识点07 等比数列子数列性质及应用 19．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）已知等比数列满足，则______. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）等比数列中，相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为________（）． 21．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等比数列 D．成等比数列 知识点08 等比数列的通项公式的指数函数特征 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）等比数列的图像是函数的图像上的一群________． 23．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 24．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点09 等比数列的单调性 25．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（2027高三·全国·专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．数列是递减数列 C．数列是常数列 D．数列有可能是递增数列也有可能是递减数列 27．（25-26高二上·山西朔州·期末）（多选）记正项等比数列的前n项积为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．是递增数列 C．当取得最小值时， D．使的n的最小值为14 知识点10 求等比数列中的最大（小）项 28．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 29．（24-25高三上·河北邢台·阶段检测）已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高二下·上海奉贤·阶段检测）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 知识点11 证明数列是等比数列 31．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）若数列是以为首项、以为公差的等差数列，数列满足（为正整数），则数列（     ） A．是以为首项、以为公差的等差数列 B．是以为首项、以为公比的等比数列 C．是以为首项、以为公比的等比数列 D．是以为首项、以为公比的等比数列 32．（26-27高二上·福建龙岩·阶段检测）在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列． (2)求的通项公式． 33．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列满足，，设. (1)求，的值； (2)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 知识点12 正项等比数列的对数成等差数列的应用 34．（25-26高二下·四川雅安·期末）若数列为正项等比数列，则下列一定为等差数列的是（    ）． A． B． C． D． 35．（24-25高二下·广东·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．若、、成等差数列，则、、成等差数列 B．若、、成等差数列，则、、成等比数列 C．若、、成等比数列，则、、成等差数列 D．若、、成等比数列，则、、成等比数列 36．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中： (1)若为等差数列，且，求． (2)若为正项等比数列，且，求的值． 一、单选题 1．已知数列为等比数列，且，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．记为数列的前项和，若，且为等比数列，则（    ） A．32 B．16 C．8 D．4 4．等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知等差数列的首项，取子数列，（，，，…），则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使是等比数列 6．各项为正数等比数列中，，则取最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（） A．数列的公差 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．数列是公比为2的等比数列 8．已知数列满足，且，数列的前n项和为，则下列选项正确的是（   ） A． B．数列单调递增 C． D． 9．已知 是公比不为的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 10．记数列的前项和为，且满足，，则______，______. 11．已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 12．已知为数列的前项和，，，则______，则数列的前项积取得最小值时，______． 四、解答题 13．已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 14．已知数列的前项和为，且（，），． (1)求数列的通项公式； (2)数列的前项和为，求． 15．已知数列满足，，． (1)证明：数列为等比数列并求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 1．若数列的每一项均为复数，，且，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 2．设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续6项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为_____________. 3．（多选）在如图的数表中，每行从左到右的四个数成等比数列，每列从上到下的四个数成等比数列，且所有公比均不为1或．若数表中有四个数为1，有四个数为2，则（       ） A．数表中每行恰有一个数为1 B．数表中共有6个不同的数 C．数表中所有数的乘积为256 D．符合条件的数表共有4个 4．设数列的前n项和为，已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，． （ⅰ）若是递增数列，是递减数列，求的通项公式； （ⅱ）求最小的正整数m，使得存在一个数列，满足． / 学科网（北京）股份有限公司 $