4.3.1第1课时等比数列的概念课时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 一、基础落实 1.在正项等比数列{an}中,若a3=2a1+a2,则数列{an}的公比是(　　) A.4 B.2 C.1 D. 2.已知数列{an}是公比为2的等比数列,且a1+a2=3,则a5+a6等于(　　) A.24 B.48 C.72 D.96 3.设{an}是公差不为0的等差数列,a2,a4,a10成等比数列,则=(　　) A.3 B. C. D.2 4.已知一个各项都为正数的等比数列,任一项都等于它后面的两项之和,则其公比为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 6.(多选题)已知{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(　　) A.{an+1} B.{3an} C.{} D.{an+1-an} 7.(多选题)等比数列{an}的公比为q,若a1a5a9=64,则下列说法正确的是(　　) A.a5=4 B.当a1=1时,q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.a1+a9=8 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1,S2,3a3成公比为q的等比数列,则q的值为　　　　　.  9.已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　.  10.在数列{an}中,=anan+2,a1=1,a4=8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=log2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 二、素能提升 11.(多选题)在递增的等比数列{an}中,公比为q,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.数列是首项为,公比为的等比数列 C.a1·a2·a3·…·a10=255 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列 12.已知数列{an}满足a1=1,an+1=5an+4,则数列{an}的通项公式an=　　　　　.  13.设数列{an}的首项a1=a≠,且an+1=设bn=a2n-1-,n=1,2,3,…. (1)求a2,a3; (2)判断数列{bn}是不是等比数列,并证明你的结论. 14.已知数列{an}满足a1=4,an+1=2an-2n+1. (1)证明:数列{an-2n-1}是等比数列. (2)设bn=tn+2,对于任意的n∈N*,bn<2an恒成立,求实数t的取值范围. 参考答案 一、基础落实 1.B 解析 设数列{an}的公比是q,则a1q2=2a1+a1q. 因为an>0,所以q2=2+q, 则(q+1)(q-2)=0, 解得q=2或q=-1(舍去), 故选B. 2.B 解析 因为数列{an}是公比为2的等比数列,且a1+a2=3,所以a5+a6=(a1+a2)q4=3×24=48,故选B. 3.B 解析 设等差数列{an}的公差为d,d≠0, 由题意可得=a2·a10, 即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+9d), 解得a1d=0,又因为d≠0,所以a1=0, 则a11=a1+10d=10d,a5=a1+4d=4d, 所以,故选B. 4.A 解析 设各项都为正数的等比数列为{an},公比为q,由题意知,an=an+1+an+2,则有an=anq+anq2,由an≠0,得q2+q-1=0,解得q=,由等比数列各项都为正数,得q>0,则q=,故选A. 5.C 解析 设数列{an}的公差为d,则d≠0.∵a3,a4,a6成等比数列,∴=a3·a6,∴(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),整理,得d2-2d=0,解得d=0(舍去)或d=2,∴a10=a1+9d=16.故选C. 6.BC 解析 不妨设等比数列{an}的公比为q.对于A选项,不妨取数列{an}为2,4,8,16,…,则{an+1}为3,5,9,17,…,显然不是等比数列,故A项错误;对于B选项,由=q,则数列{3an}为等比数列,故B项正确;对于C选项,由=()2=q2,则数列{}为等比数列,故C项正确;对于D选项,当q=1时,数列{an+1-an}为首项为0的常数列,显然不是等比数列,故D项错误,故选BC. 7.AB 解析 对于A选项,由a1a5a9=64,可得q12=64,即a1q4=4,所以a5=4,故A正确; 对于B选项,当a1=1时,a5=a1·q4=4,所以q=±,故B正确; 对于C选项,因为a1a9=q8=(a1q4)2==16,所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误; 对于D选项,当a1=1时,a5=4,a9=16,故a1+a9=17,故D错误,故选AB. 8.3 解析 依题意可得=3a3a1, 所以(2a1+d)2=3(a1+2d)a1, 所以a1=d,故q==3. 9.-2 解析 (方法一)设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8, 得可得 所以a7=a1q6=a1q·q5=-2. (方法二)设等比数列{an}的公比为q. 由a2a4a5=a3a6,可得a2=1. 又因为a9a10=a2q7·a2q8=-8,即q15=-8,得q5=-2, 则a7=a2·q5=-2. 10.解 (1)因为=anan+2,a1=1,a4=8,则an≠0, 所以数列{an}是以1为首项的等比数列, 设其公比为q,则q3==8,解得q=2, 故an=2n-1. (2)由(1)知an=2n-1,所以bn=log22n-1=n-1, 则bn+1=log22n=n,所以bn+1-bn=1, 所以{bn}是首项为0,公差为1的等差数列. 故Sn=n×0+×1=n2-n. 二、素能提升 11.BC 解析 ∵{an}为递增的等比数列,a1a4=32,a2+a3=12, ∴q>1,a2a3=a1a4=32, ∴解得(舍去), ∴q=2,则a1==2,故A错误; ∵an=2×2n-1=2n,∴=()n,当n=1时,,故数列是首项为,公比为的等比数列,故B正确; a1·a2·a3·…·a10=21×22×23×…×210=21+2+3+…+10==255,故C正确; ∵an=2n,∴lg an=lg 2n=nlg 2,∴数列{lg an}不是公差为2的等差数列,故D错误,故选BC. 12.2×5n-1-1 解析 由an+1=5an+4得an+1+1=5(an+1), 又因为a1=1,所以a1+1=2≠0, 则=5,所以数列{an+1}是以2为首项,5为公比的等比数列, 故an+1=2×5n-1,则an=2×5n-1-1. 13.解 (1)根据题意,可知a2=a1+=a+,a3=a2=a+. (2)因为a4=a3+a+,所以a5=a4=a+, 所以b1=a1-=a-, b2=a3-(a-), b3=a5-(a-). 猜想:数列{bn}是公比为的等比数列. 证明如下: 因为bn+1=a2n+1-a2n-(a2n-1+)-(a2n-1-)=bn,且b1=a1-=a-≠0,bn≠0,所以,故数列{bn}是首项为a-,公比为的等比数列. 14.(1)证明 因为an+1=2an-2n+1, 所以an+1-2(n+1)-1=2an-2n+1-2(n+1)-1=2(an-2n-1),即=2. 又因为a1-2×1-1=1≠0, 所以{an-2n-1}是公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知an-2n-1=1×2n-1, 所以an=2n-1+2n+1. 由已知可得,tn+2<2n+4n+2对于任意的n∈N*恒成立, 所以t<(+4)min对于任意的n∈N*恒成立. 令f(n)=+4,则f(n+1)-f(n)=. 当n=1时,f(2)=f(1); 当n≥2时,f(n+1)>f(n),所以f(1)=f(2)<f(3)<f(4)<…, 所以f(n)min=f(1)=6, 所以t<6,即实数t的取值范围为(-∞,6). 学科网（北京）股份有限公司 $